山东省济南外国语学校三箭分校2021届高三9月月考数学(理)试题

山东省济南市市中区济南外国语学校三箭分校2025届高三第二次诊断性检测数学试卷 注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ） A ．0 B ．2- C ．52- D ．3-2．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ）A ．156B ．124C ．136D ．1803．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．4e CD 4．若函数()()2sin 2cos f x x x θ=+⋅（02πθ<<）的图象过点()0,2，则（ ） A ．函数()y f x =的值域是[]0,2 B ．点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心 C ．函数()y f x =的最小正周期是2π D ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴5．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）．A ．21B ．63C ．13D ．846．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( ) A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++= 7．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N*=-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分 B ．充要 C ．充分而不必要 D ．即不充分也不必要8．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知全集，，则（ ） A ． B ． C ． D ．10．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ） A ． B ． C ．D ．11．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3412．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

学习资料山东省济南外国语学校2021届高三数学10月月考试题（含解析）(考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

设集合{}2=A x x x <，1{|1}B x x=≥，则A B =（ ） A. (0,1)B 。

[0,1]C 。

(,1]-∞D.(,0)(0,1]-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和分式不等式的解法求得集合{}=|01A x x <<，{|01}B x x =<≤,再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}{}2=|01A x x x x x <=<<,1{|1}{|01}B x x x x=≥=<≤, 则{|01}(0,1)A B x x =<<=.故选:A 。

【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算,以及一元二次不等式和分式不等式的解法，其中解答中根据一元二次不等式和分式不等式的解法求得集合,A B 是解答的关键，着重考查运算与求解能力。

2。

已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A.1255i - B 。

1255i + C 。

2155i - D 。

2551i +【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -,得到答案．【详解】由题意,复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+,故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键,着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3. 命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定是（ ) A. 2[2,),4x x ∀∈+∞<B 。

高三数学（理）试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1．ii i i +---+1)2(1)21(22等于（ ）A ．i 43-B ．i 43+-C ．i 43+D ．i 43-- 2、椭圆x y y x 313422==+的右焦点到直线的距离是 （ ）A ．21 B ．23C ．1D ．33、在△ABC 中，边a 、b 、c 所对角分别为A 、B 、C ，且cCb B a A cos cos sin ==，则△ABC 的形状为 （ ）A ．等边三角形B ．有一个角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个角为30°的等腰三角形4、已知a >0，b >0，a 、b 的等差中项是21，且α＝a ＋a 1, β＝b+b1，则α＋β的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65、在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为（ ） A ．3400m B ．33200m C ．33400m D ．3200m 6、对下列命题的否定，其中说法错误的是A ．P ：能被3整除的整数是奇数；⌝P ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B ．P ：每一个四边形的四个顶点共圆；⌝P ：每一个四边形的四个顶点不共圆C ．P ：有的三角形为正三角形：⌝P ：所有的三角形都不是正三角形D ．P ：022,:;022,22≤++∈∀⌝≤++∈∃x x R x p x x R x 7 、如右图，阴影部分的面积是（ ）A ．32B ．32-C ．332D ．3358、若命题甲为：xxx2,22,)21(成等比数列，命题乙为：)3lg(),1lg(,lg ++x x x 成等差数列， 则甲是乙的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9、已知x 和y 是正整数，且满足约束条件y x z x y x y x 32,72210+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+则的最小值是A ．24B ．14C ．13D ．11.510、曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 ()A 有相等的长、短轴 ()B 有相等的焦距()C 有相等的离心率()D 有相同的准线11、P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△F 1PF 2的面积等于 （ ）()A 3316 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 1612、已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线222232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝±y 215B.y ＝±x 215 C.x ＝±y 43 D.y ＝±x 43第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、在数列,2,11211,}{1+=++++++=n n n n n a a b n n n n a a 又中 则数列{b n }的前n 项和为 ； 14.若x >1时，不等式x +k x ≥-11恒成立，则实数k 的取值范围是_________________. 15过抛物线0)0(22=+->=m my x p px y 的焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，且 △OAB （O 为坐标原点）的面积为46,22m m +则= .16、若双曲线m y x 224-＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，则双曲线的焦点坐标是 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分。

2021届山东省济南市外国语学校高三9月阶段测试数学试题一、单选题1．设集合{}|1213A x x =-≤+≤，{}2|log B x y x ==，则A B =（）A ．(]0,1B ．[]1,0-C ．[)1,0-D ．[]0,1【答案】A【解析】化简集合A,B ，根据交集的运算求解即可. 【详解】因为{}|1213[1,1]A x x =-≤+≤=-，{}2|log (0,)B x y x ===+∞， 所以0,1]A B =（，故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题. 2．复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（） A ．-1 B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】根据复数除法的计算公式计算，由复数的概念即可得到结果. 【详解】因为21(1)(1)(1)21222i i i i i i i ----==-==+，所以虚部是1，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题.3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，378a a +=，735S =，则2a =（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C【解析】根据等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质可求出54,a a ，即可求出公差，再根据通项公式求出2a . 【详解】因为37582a a a +==，74357S a == 所以544,5a a ==， 故1d =-，242527a a d =-=+=，故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和，等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于中档题. 4．命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤ B ．2a ≤C ．3a ≤D ．4a ≤【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为[]22,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案. 【详解】若“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立只需2min (2)2a x ≤=，所以1a ≤时，[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题， “[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 选A. 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题. 5．在某次试验中，实数x ，y 的取值如下表：y1.3m2m5.6 7.4若x 与y 之间具有较好的线性相关关系，且求得线性回归方程为1y x =+，则实数m 的值为（） A ．1.6 B ．1.7C ．1.8D ．1.9【答案】D【解析】根据线性回归方程必过点(),x y ，可求出m 的值. 【详解】 因为14.333,5mx y +== 所以14.333145m+=+=，解得 1.9m = 故选D. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程，样本中心点，属于容易题.6．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0，∴排除B ， 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题． 7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()2019f =（）A ．0B ．1C ．-1D ．2【答案】B【解析】由()()f x f x -=知函数为偶函数，故有()()11(1)f x f x f x +=-=-可得周期，利用周期即可求解. 【详解】因为()()f x f x -=，所以函数为偶函数所以()()11(1)f x f x f x +=-=-，即(2)()f x f x += 所以周期2T =，()22019(1)log 21f f ===故选B. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，属于中档题.8．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．332π-B ．634π-C ．33πD ．3π【答案】B【解析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率.【详解】设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为22221113sin6236S r r rπ=π-⋅⋅=π弓形．∴所求的概率为P=24SS弓形圆222132464634r rrπππ⎛⎫-⎪⎝⎭==-．故选：B．【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养.9．已知三棱锥P ABC-的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为1，2AB=，1AC=，60BAC∠=，则此球的表面积等于（）A．3πB．323πC．12πD．16π【答案】D【解析】利用棱锥的体积，求PA的长度，由2AB=，1AC=，60BAC∠=利用余弦定理求BC，可得ABC∆外接圆的半径，利用勾股定理可得球半径，即可求解.【详解】因为2AB=，1AC=，60BAC∠=由222cos2AB AC BCBACAB AC+-∠=⋅可得3BC=又13Csin602ABCS AB A︒=⋅=因为PA⊥平面ABC，该棱锥的体积为1，所以3VPA h S=== 设ABC ∆外接圆的半径为r ，则22sin 60BCr ︒==，1r =，所以球的半径2R == 球的表面积2416S R ππ==，故选D. 【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的问题，余弦定理，球的表面积，三棱锥的体积，属于中档题. 10．函数()f x 的定义域为D ，若满足如下两个条件：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1x a f x a t a a =+>≠是“希望函数”，则t 的取值范围是（）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”,所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的. 所以22log log m a n a a t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩即22m m n n a t a a t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩20x xa a t ∴--=有2个不等的正实数根，140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->解得104t -<<，故选A.本题主要考查了函数的值域，单调性，二次方程根的问题，属于难题.二、多选题11．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为B ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1C ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1 【答案】AD【解析】根据函数图象的平移可得()sin(2)3g x x π=+，结合正弦函数的图像和性质可求最值.【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin(2)3g x x π=+, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42333x πππ∴≤+≤sin(2)123x π∴-≤+≤ 故选AD. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题. 12．已知a ，b 为正实数，则下列命题正确的是（） A ．若221a b -=，则1a b -< B ．若111b a-=，则1a b -< C ．若1a b e e -=，则1a b -<D ．若ln ln 1a b -=，则1a b -<【解析】通过举例分析判断BD 是假命题，通过推理说明判断命题AC 是真命题. 【详解】对于A, 221a b -=时，()()1a b a b -+=⋅，0,0a b >>0a b a b ∴<-<+11a b a b ∴-=<+，故A 正确； 对于B, 111b a -=时，不妨取33,4a b ==满足条件，则914a b -=>，所以B 错误.对于C ，由1a b e e -=，可得(1)1a b bb b a b ee e e -+--=-=，0b >1b e ∴>，11a b e -∴-<，即2a b e -<，ln 2ln 1a b e ∴-<<=，故C 正确.对于D,不妨取2,a e b e ==满足条件，则21a b e e -=->，所以D 错误. 故正确的是AC. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质与应用问题，取特殊值否定一个命题是解题的常用方法，属于中档题.13．设函数()()2ln 02ax f x ax a e=->，若()f x 有4个零点，则a 的可能取值有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】先判断函数是偶函数，则条件等价为当0x >时，()f x 有2个零点，求函数的导数，研究函数的单调性，求出函数的极小值，让极小值小于0即可. 【详解】因为函数定义域为{|0}x x ≠，且()()f x f x -=-，所以函数为偶函数， 故函数()f x 有4个零点等价于0x >时， ()f x 有2个零点，当0x >时，()()2ln 02ax f x ax a e =->，则221()2ax a ax ax ef x e ax e x ex'-=-=-=当,()x f x →+∞→+∞，当0,()x f x →→+∞ 由()0f x '=得ex a =，当ex a >时，()0f x '>，当0ex a<<时，()0f x '<， 如图：所以()f x 有极小值(e f a ，要使函数有4个零点，只需()0e f a<即可， 即111()ln(ln 02222ea e e a f a ae ae a e a ⋅=-=-=-<， 解得1a >，所以a 可取2,3,4，故选BCD. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当0x >时()f x 有2个零点，利用导数研究函数的单调性及极值，属于难题.三、填空题14．已知(1,2)a =，(1,1)b =，若()a kb a +⊥，则实数k 的值为_____. 【答案】53-【解析】根据向量的坐标运算知(1,2)a kb k k +=++，再利用向量垂直可知()0a kb a +⋅=，计算即可求出k 的值. 【详解】因为(1,2)a =，(1,1)b =， 所以(1,2)a kb k k +=++， 又因为()a kb a +⊥所以()12(2)0a kb a k k +⋅=++⨯+= 解得53k =-，故填53-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直，属于中档题.15．2019北京世园会期间，安排5名志愿者到3个展区提供服务，每个展区至少一名志愿者，不同的安排方案共有______种. 【答案】150【解析】5人可分为3,1,1或2,2,1两类分法，然后安排到3个展区排列即可. 【详解】第1类，5人分成3人一组，其他2人各一组，共有分法35C 种，安排到3个展区有335360C A ⋅=种，第2类分成2人，2人，1人三组，共有分法225322C C A ,安排到3个展区有2235332290C C A A ⋅= 根据分类加法原理共有6090150+=种安排方法，故填150. 【点睛】本题主要考查了分类加法计数原理，分步乘法计数原理，平均分组问题，属于中档题.16．已知：()()()()82901292111x x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则129a a a ++⋅⋅⋅+=______，2a =______.【答案】-1 20【解析】分别令1,2x x ==，求出00129,a a a a a +++⋅⋅⋅+即可求出129a a a ++⋅⋅⋅+，由()882[(1)1][(1)1]x x x x -=-+--，利用组合数知识可求解2a .【详解】令1x =得01a =，令2x =得01290a a a a +++⋅⋅⋅+=，1291a a a ∴++⋅⋅⋅+=-，故填1-因为2a 为含2(1)x -的项的系数，需求出8[(1)1]x --展开式中含2(1)x -与(1)x -的项，含2(1)x -的项的系数为668(1)28C -=,含(1)x -的项的系数为778(1)8C -=-，故228820a =-=，故填20. 【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式的系数，赋值法求系数，利用组合数求系数，属于难题.17．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，2AF ，2BF 分别交y 轴于P ，Q 两点，若2PQF ∆的周长为16，则21ba +的最大值为______. 【答案】4【解析】由题意可得2ABF ∆的周长为32，利用双曲线的定义，可得24324b a a =-，进而转化22811a b a a a =-++，变形后利用均值不等式求解即可. 【详解】 如图：由2PQF ∆的周长为16，所以2ABF ∆的周长为32，AB 是双曲线的通径，22||b AB a =，22||32AF BF AB ++=，2222||4,||b AF BF AB a AB a +-==可得224324,(8)b a b a a a =-∴=-，可得(0,8)a ∈则229(110)18411b a a a a a a ==-++-++-≤+， 当且仅当911a a +=+，即2a =时等号成立， 故填4. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于难题.四、解答题18．已知()()4sin sin 313f x x x x R π⎛⎫=⋅++∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间.【答案】（1）()f x 的最小正周期T π=（2）()f x 的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【解析】（1）由两角和的正弦公式，降幂公式将函数化为正弦型函数，利用公式2T πω=求解（2）根据正弦型函数的性质即可求出单调区间.【详解】（1）∵()4sin sin 13f x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭14sin sin cos 122x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos 1x x x =+1cos 221x x =-+2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期T π=. （2）3222262k x k πππππ+≤+≤+ 422233k x k ππππ+≤≤+263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈ ∴()f x 的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，正弦型函数的图象与性质，属于中档题.19．设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足()2121log n n nb n a =++，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a =（2）11211n n +--+ 【解析】（1）根据前n 项和求通项公式（2）化简1121n n b n n =-++，利用裂项相消法及等比数列的求和公式求和. 【详解】（1）1n =时，112a S ==，122n n S +=-，∴()1222n n S n -=-≥，∴()122n n n n a S S n -=-=≥，∴数列{}n a 的通项公式为：2nn a =.（2）()()211221log 21n nn nb n n n =+=+++1121n n n =-++， ()212111111223112nn T n n -=-+-+⋅⋅⋅+-++-111221n n +=-+-+ 11211n n +=--+.【点睛】本题主要考查了由前n 项和公式求通项公式，裂项相消法求和，等比数列求和公式，属于中档题. 20．如图，四棱锥P ABCD -的一个侧面PAD 为等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，2AD =，23BD =，3BAD π∠=.（1）求证：BD PD ⊥；（2）求二面角P BC D --的余弦值. 【答案】（1）详见解析（225【解析】（1）由面面垂直的性质可得BD ⊥平面PAD ，即可证得BD PD ⊥（2）作PO AD ⊥于点O ，过点O 作OE BC ⊥于点E ，连接PE ，以O 为坐标原点，以OA ，OE ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求平面PBC 法向量，利用向量夹角即可求出. 【详解】（1）证明：在ABD ∆中，2AD =，23BD =3BAD π∠=，∴AD BD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，∴BD⊥平面PAD，∴BD PD⊥.（2）如图，作PO AD⊥于点O，则PO⊥平面ABCD，过点O作OE BC⊥于点E，连接PE，以O为坐标原点，以OA，OE，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,0D -，()1,23,0B-，(3P，()3,23,0C-，(1,23,3BP=-，()2,0,0BC=-，由（1）知平面DBC的一个法向量为()0,0,1，设平面PBC的法向量为(),,n x y z=，则n BCn BP⎧⋅=⎨⋅=⎩，即202330xx z-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取()0,1,2n=，设平面DBC与平面PBC所成二面角的平面角为θ，则25cos5θ=.所以二面角P BC D--25.【点睛】本题主要考查了面面垂直，线面垂直，线线垂直，二面角的向量求法，属于中档题.21．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行调查.（1）已知抽取的n名学生中含男生55人，求n的值；（2）为了了解学生对自选科目中“物理”和“地理”两个科目的选课意向，对在（1）条件下抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如表是根据调查结果得到的22⨯列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的选择“地理”的学生中按分层抽样抽取6名，再从这6名学生中随机抽取3人，设这3人中女生的人数为X，求X的分布列及数学期望.附参考公式及数据：()()()()()22n ad bcxa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）100n=（2）填表见解析，有99%的把握认为选择科目与性别有关（3）详见解析【解析】（1）利用频率与频数和样本容量的关系求出n和男生的人数（2）写出22⨯列联表，计算2k，对照临界值得出结论（3）由分层抽样得到6名学生中男、女人数，写出X可能值，分别求出概率即可得到分布列,即可计算期望.【详解】（1）由题意知551000550n =，∴100n =. （2）22⨯列联表为：()22100452025108.1289 6.63555457030k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99%的把握认为选择科目与性别有关.（3）从选择“地理”的学生中分层抽样6名同学，则其中2名男生，4名女生， 6名同学中再抽取3名，其中女生的人数X 可能为1，2，3，()212436411205C C P X C ====()1224361232205C C P X C ====()3436413205C P X C ====所以X 的分布列为学期望()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样，22⨯列联表，分布列，期望，属于中档题.22．设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的圆恰好经过椭圆C 的两焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过定点()2,0P 的直线交椭圆C 于两点A 、B ，椭圆上的点M 满足OA OB OM +=，试求OAB ∆的面积.【答案】（1）2212x y +=（2）4【解析】（1）根据离心率及a =b ,即可写出椭圆方程（2）设过点P 的直线方程为2x my =+，联立椭圆方程可求出12y y +，12y y ，由向量坐标运算得()1212,M x x y y ++，代入椭圆方程可求出m ，即可求出三角形面积. 【详解】 （1）∵2e =，a =1c =， ∴椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设过点P 的直线方程为2x my =+，A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程22122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222420m y my +++=，2281602m m ∆=->⇒>，∴12242m y y m +=-+，12222y y m =+， ∵OA OB OM +=，∴点()1212,M x x y y ++， ∵点M 在椭圆上，有()()22121222x x y y +++=， 即()()221212422m y y y y ++++=⎡⎤⎣⎦，()()()22121228140my y m y y +++++=，即()2222442814022m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得214m =，∴12y y -==，∴121224OAB S y y ∆=⋅⋅-=. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角面积公式，属于难题. 23．已知函数()21xx f x e+=. （1）求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）设函数()()()ln 21f xg x x a x =⋅++，当2a ≤时，求证：()1g x <. 【答案】（1）2350x e y +-=（2）详见解析【解析】（1）求出函数的导数，计算(1),(1)f f '，写出切线方程即可（2）由题意转化为只需证()2ln 22xx e +<，构造函数()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-，利用导数研究函数的极小值，得出函数最小值，只需证明最小值大于0即可. 【详解】（1）()()22421212x x x xe x e xf x e e-+⋅--'==， ()231f e -'=，()221f e =， ()22231y x e e -=--，整理得，所求切线方程为：2350x e y +-=. （1）要证()1g x <， 只需证()2ln 2xx a e +<，又∵2a ≤，∴只需证()2ln 22xx e +<，即证()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-，∵()()122th t e t t '=->+单调递增，()1110h e '-=-<，()10102h '=->，∴必有()01,0t ∈-，使()00h t '=，即0012te t =+， 即()00ln 2t t =-+.且在()02,t -上，()00h t '<；在()0,t +∞上，()00h t '>， ∴()()()020000min0011ln 2022t t h t e t t t t +=-+=+=>++，∴()()ln 20th t e t =-+>， 即()1g x <. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的切线方程，利用导数研究函数的最值，证明不等式恒成立，属于难题.。

山东省济南外国语三箭分校2018届高三9月月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，，,<2,,故选B2. 要从编号为1-50的50名学生中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是（）A. 3，13，23，33，43B. 2，4，8，16，32C. 1，2，3，4，5D. 5，10，15，20，25【答案】A【解析】样本间隔为50÷5=10，则用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是3，13，23，33，43，故选：A3. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】设z=a+bi（a，b∈R），代入可得2（a-1-bi）=i（a+1+i），即2（a-1）-2bi=-1+（a+1）i，解得∴复数z在复平面内对应点的坐标为∴复数z在复平面内对应点的坐标为在第四象限．故选：D．4. 某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，测验员拿到次品的概率得P＝故选C5. 已知双曲线与（）的一条渐近线被圆截得弦长为（其中为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线方程为，圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为：∵渐近线被圆截得的弦长为，即故选B．点睛：本题考查双曲线的性质和应用，圆与双曲线以及直线的位置关系的应用，解题时要注意公式的合理运用．6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为的圆，若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】几何体为圆柱中挖去一个半球，圆柱底面半径和高均为r，半球的半径为r，∴几何体的体积V=×r2•r-πr3=πr3=9，∴r=3．∴S侧=×2r×r=2 r2=18，S底=×r2=9，S半球=×4π×r2=2 r2=18，∴几何体的表面积为S表面积=18 +9 +18 =45．故选：C7. 将函数的图象向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将函数的图象向右平移个单位，可得的图像，再把所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，令，得，故图象的一个对称中心为故选A点睛:本题是对型函数图像变换的考查，左右平移改变x本身，伸缩变换改变周期，即改变x前的系数w,做题时一定要注意左右平移时x前的系数，若不为1，应先提取再进行变换.8. 设变量满足约束条件，若目标函数的最小值为，则实数等于（）A. 2B. 1C. -2D. -1【答案】D【解析】实数满足约束条件的可行域如图，目标函数的最小值为-6，可知目标函数的最优解为B，由解得解得故选：D．点睛：本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最优解是解题的关键，考查计算能力．9. 函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】＜x＜时，y=cosx是偶函数，并且y=cosx∈（0，1]，函数f（x）=（）是偶函数，cosx∈（0，1]时，f（x）≥0．∴四个选项，只有C满足题意．故选：C．点睛：对于函数图像选择题要抓住函数的性质，先从定义域值域入手，进行排除；也可根据奇偶性单调性进行分析，复合函数的单调性符合同增异减的原则，有时也可以根据特殊的函数值进行排除.10. 根据下列流程图输出的值是（）A. 79B. 31C. 51D. 11【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得n=2，S1=0，a1=1执行循环体，a2=2，S2=3，n=3满足条件n≤5，执行循环体，a3=4，S3=11，n=4满足条件n≤5，执行循环体，a4=8，S4=31，n=5满足条件n≤5，执行循环体，a5=16，S5=79，n=6不满足条件n≤5，退出循环，输出S5的值为79．故选：D11. 已知函数，满足和是偶函数，且，设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数知：f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）=f（x﹣2），故f（x）=f（x+4），则F（3）=f（3）+f（﹣3）=2f（3）=2f（﹣1）=2f（1）=，故选：B．点睛：y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数，说明函数y＝f（x）即关于对称，又关于对称，所以函数y＝f（x）的周期为,（轴间距的二倍）.12. 设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【解析】∵抛物线方程为,∴焦点，设,由抛物线性质,可得，因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.所以抛物线C的方程为或.故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为的焦半径,以为直径的圆交抛物线于点，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在菱形中，，，则__________．【答案】【解析】在菱形中，，，故答案为14. 若的展开式中常数项为43，则为__________．（用数字填写答案）【答案】5【解析】的展开式的通项为，解得n=5，故答案为515. 已知，，，则的最小值是__________．【答案】4【解析】，即，那么，所以的最小值是4.【点睛】1．活用几个重要的不等式：，（同号），，2．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“一正”“二定”“三相等”的条件．16. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，为的导函数，函数的图象如下图所示，若两正数满足，则的取值范围是__________．-2 0 41 -1 1【答案】【解析】由导函数的图形知，x∈（-2，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0∴f（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；∵f（2a+b）＜1∴-2＜2a+b＜4∵a＞0，b＞0∴a，b满足的可行域为表示点（a，b）与（-3，-3）连线的斜率的2倍由图知当点为（2．，0）时斜率最小，当点为（0，4）时斜率最大所以的取值范围为故答案为点睛：利用导函数求函数的单调性问题，应该先判断出导函数的符号，当导函数大于0对应函数单调递增；当导函数小于0，对应函数单调递减．结合函数的单调性求出不等式的解即a，b的关系，画出关于a，b 的不等式表示的平面区域，分析函数几何意义，结合图象求出其取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且满足，.（1）求角；（2）若，求三角形的边长的值及三角形的面积.【答案】（1）, ,（2）,【解析】试题分析：(1)利用两角和差正余弦公式可得的大小为，结合余弦定理可得，(2) 利用正弦定理首先求得b的值，然后求解三角形的面积为试题解析：（1）因为均为锐角，,,为锐角，,则的大小为，在中,,,,，（2）根据正弦定理,得，18. 如图，三棱柱中，，，.（1）证明：；（2）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线与平面所成角的正弦值是.试题解析：（1）证明：如图所示，取的中点，连接，，.因为，所以.由于，，故为等边三角形，所以.因为，所以.又，故（2）由（1）知，，又，交线为，所以，故两两相互垂直.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系.由题设知，则，，.设是平面的法向量，则即可取故.所以与平面所成角的正弦值为19. 2017年3月29日，中国自主研制系全球最大水陆两栖飞机AG600将于2017年5月计划首飞，AG600飞机的用途很多，最主要的是森林灭火、水上救援、物资运输、海洋探测、根据灾情监测情报部门监测得知某个时间段全国有10起灾情，其中森林灭火2起，水上救援3起，物资运输5起，现从10起灾情中任意选取3起.（1）求三种类型灾情中各取到1个的概率；（2）设表示取到的森林灭火的数目，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】试题分析：（1）利用古典概型的概率公式求解即可．（2）随机变量X的取值为：0，1，2，曲线概率，即可得到分布列，然后求解期望即可．试题解析：（1）令A表示事件“三种类型灾情中各取到1个”，则由古典概型的概率公式有；（2）随机变量X的取值为：0，1，2，则，，，X 0 1 2P．点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.20. 在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，若线段上存在定点使得以，为邻边的四边形是菱形，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）运用题设条件及椭圆的定义进行求解；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行分析探求：试题解析：解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，又∵，∴，∴椭圆方程是：．（Ⅱ）设中点为，因为以、为邻边的四边形是菱形，则，设直线的方程为，联立整理得，∵在椭圆内，∴恒成立，∴，∴，∴，∴，即，整理得，∵，∴，∴，所以的取值范围是．点睛：本题旨在考查圆锥曲线中的椭圆、抛物线的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识与基本思想方法的综合运用。

高三模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题1-5 BCDCD 6-10 AADCB二、填空题11：3 12： 13： 14： 15 ：三、解答题16.解：（Ⅰ），，又，.1cos(π)cos 2B B -=-=-Q ，且， .（Ⅱ）由正弦定理得，，另由2222cos b a c ac B =+-得，解得或（舍去），，.17. 解：（I ）设“甲比乙少投进一次”为事件A ，依题意可知它包含以下两个基本事件： ① 甲投进0次，乙投进1次，记为事件B ，则有：212()0.50.8(10.8)0.08P B C =⨯⨯⨯-=；② 甲投进1次，乙投进2次，记为事件C ，则有：1222()0.50.80.32P C C =⨯⨯=；()()()0.080.320.40P A P B P C ∴=+=+=)（II ）甲乙两人得分的分布列为：概率分开写步骤00.0120.1040.3360.4080.16 5.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=)18.（Ⅱ）因为,所以，因为，，222+2cos60AD BD AB BD AB ︒=-⋅，所以，又所以所以以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所以1(1,0,0),(0,0,2),(2B D P F E则133(1,0,2),(0,3,2),(,,0),(0,222PB PD AE AF=-=-==设、分别是面与面的法向量则11112020x zz-=⎧⎪-=，令又22222122y zx y+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令所以12121211cos,19n nn nn n⋅==19.解：（Ⅰ）∵22nS n n=+，当212,(1)2(1)nn S n n-≥=-+-则121n n na S S n-=-=+，当时，，适合上式，所以设正项等比数列的公比为∵，所以，，所以（舍去）所以（Ⅱ）∵231111357(21)2222n nT n=⋅+⋅+⋅+++⋅……2311111135(21)(21)22222n n nT n n+=⋅+⋅++-⋅++⋅……两式相减得12212555222n n n nn nT-++=--=-20.121()()2 4.(0)4,(0)4,4,8, 4;f x e ax a b x f f b a ba b=++--===+= ==（I）由已知得故从而(II) 由（I）知，2)4(1)4,xf x e x x x=+--（11()4(2)244(2)().2x xf x e x x x e=+--=+-令1()0=-1n2x=-2.f x x=得，或从而当11(,2)(10;(22,),12))()x n f x x n f x>∈--+∞-∈-∞-当时，（时，<0.故()--2-12+-2-12f x n n ∞∞在（，），（，）单调递增，在（，）单调递减. 当2=-2-2=41-)x f x f e -时，函数（）取得极大值，极大值为（）（ 21.解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为． 设椭圆E 的方程为2222+1(0)x y a b a b =>>，半焦距为．由已知可得：2221b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得 ．所以椭圆的方程为：．（Ⅱ）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， 故可设直线l 的方程为1,y kx =+112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠，由, 消去并整理得∴．∵抛物线的方程为，求导得，∴过抛物线上两点的切线方程分别是，,即，，解得两条切线的交点的坐标为，即， 122121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +⋅=-⋅--=22222121111()2()0244x x x x ---=, ∴．。

山东省济南外国语学校三箭分校2021-2022学年高三上学期模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下列各组集合表示同一集合的是（ ） A ．{}{}(3,2),(2,3)M N == B ．{}{}(,)1,1M x y x y N y x y =+==+= C ．{}4,5M =，{}5,4N =D ．{}{}1,2,(1,2)M N ==2．已知0a <，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是（ ） A ．{|5x x a >或}x a <- B ．{|5x x a <或}x a >- C ．{}|5x a x a -<<D ．{}5x a x a <<-3．已知函数()()1,03,0f x x f x x x ⎧->=⎨-+≤⎩，则()2f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()y f x =在R 是奇函数，当0x >时，()21xf x =+， 则()2f - 的值（ ） A ．5B ．-5C ．9D ．-95．若函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且其图象向左平移6π个单位后所得图象对应的函数()g x 为奇函数，则()f x 的图象（ ） A ．关于直线3x π=对称 B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=-对称D ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称6．若(2,1)a =，(1,2)b =-，(2)//()a b a mb +-，则m =（ ） A ．12-B ．12 C ．2D ．-27．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{}n x 满足()()n 1n n n f x x x f x +'=-，则称数列{}n x 为牛顿数列.如果函数2()2f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设n n 2ln1n x a x -=+且11a =-，2n x >，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =（ ）A ．202121-B ．202112-C ．20211122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2021122⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知双曲线2212y x m -=，直线l 过其上焦点2F ，交双曲线上支于A ，B 两点，且AB 4=，1F 为双曲线下焦点，1ABF 的周长为18，则m 值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．254二、多选题9．如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A ．点M 存在无数个位置满足1CM A D ⊥B ．若正方体的棱长为1，三棱锥1BC MD -的体积最大值为13C ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30° D ．点M 存在无数个位置满足到直线AD 和直线11C D 的距离相等 10．经过点()4,2P -的抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x =B ．2y x =-C ．28y x =-D ．28x y11．假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ，则（ ） A ．目标被击中的概率为3132B ．()314P X == C ．()2316E X =D ．()87256D X =12．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -+=+，则下列结论正确的是（ ） A ．(4)0f =B ．函数()y f x =的图象关于直线1x =对称C ．(8)()f x f x +=D ．若(3)1f -=-，则(2021)1f =- 三、填空题13．设集合{}2,0a A x x a ==>，{}2230B x x x =-+>，则A B =_________.14．设曲线e x y ax =+在点(0,1)处的切线方程为21y x =+，则=a ___________. 15．已知圆22(1)4x y -+=内一点P (2，1)，则过P 点的最短弦所在的直线方程是________.16．如图所示，公园直立的路灯杆BC 正前方有棵挺拔的小树NH ，在路灯杆前的点A （BC ，NH ，点A 在同一平面内）处测得路灯顶点B 处和小树顶点N 处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M ，此时M ，N ，B 三点在同一条直线上.在点M 处测得MH =1m ，小树顶点N 处的仰角为60°，则路灯杆BC 的长为___________m .四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． (1)若1+2cos A cos B ＝2sin A sin B ，求角C ；(2)若()()()2221tan 1tan b A c a A +=--，求角C ．18．已知数列{n a }是首项1a =1，公差为d 的等差数列，数列{n b }是首项1b =2，公比为q 的正项等比数列，且公比q 等于公差d ，3a +6a =32b .（1）求数列{n a }，{n b }的通项公式；（2）若数列{n c }满足21123333n n c c c c +++⋯+－=n a （n *∈N ），求数列{n c }的通项公式.19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =（1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ；（2）若BM PC ⊥，求直线AP 与BM 所成角的余弦值.20．甲、乙两位大学生参加一企业的招聘，其中有三道测试题△△△，已知甲同学对这三道题解答正确的概率分别为13，13，23，乙同学对这三道题解答正确的概率均为12，公司规定甲、乙均从这三道试题中抽取两道试题进行解答，且两道试题解答完全正确就可以被录用．（1）求甲同学被录用的概率；（2）若甲同学抽中试题△△，乙同学抽中试题△△，设两人解答正确的试题总数为X ，求X 的分布列与数学期望．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一点，12,A A 为椭圆C 的左､右顶点，M 为2PA 中点，求证：直线2PA 与直线OM 它们的斜率之积为定值；（3）若椭圆C 的右焦点为F ，过()4,0B 的直线l 与椭圆C 交于,D E ，求证：直线FD 与直线FE 斜率之和为定值.22．设函数()1xf x e -=-.（1）求函数()()g x f x x =-的极值点； （2）令()()()1h x x f x =-. （i ）求()h x 的最大值； （ii ）如果12x x ≠，且12h x h x ，判断12x x +与2的大小关系，并证明你的结论.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据集合的表示法一一判断即可； 【详解】解：对于A ：集合{}(3,2)M =表示含有点()3,2的集合，{}(2,3)N =表示含有点()2,3的集合，显然不是同一集合，故A 错误；对于B ：集合M 表示的是直线1x y +=上的点组成的集合，集合N R =为数集，故B 错误；对于C ：集合M 、N 均表示含有4,5两个元素组成的集合，故是同一集合，故C 正确； 对于D ：集合M 表示的是数集，集合N 为点集，故D 错误； 故选：C 2．D 【解析】 【分析】直接根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】解：因为方程22450x ax a --=的解为x a =-或5a ，且0a <， 所以不等式22450x ax a --<的解集是{}5x a x a <<-. 故选：D. 3．D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】()()()210033f f f ===-+=.故选：D 4．B【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，可直接得到答案. 【详解】数()y f x =在R 是奇函数，当0x >时，()21xf x =+所以()22(2)(21)5f f -=-=-+=-，故选：B. 5．D 【解析】 【分析】先求出()sin()f x x π=-223，再求出函数的对称轴方程和对称中心即得解.【详解】解：由函数()f x 的最小正周期T π=可得0>ω， 所以2T ππω==，可得2ω=，这时()2sin(2)f x x ϕ=+，向左平移6π可得()2sin[2()]2sin(2)63g x x x ππϕϕ=++=++，要使函数()g x 为奇函数，则3k πϕπ+=，k Z ∈，而||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223， 对称轴满足232x k πππ-=+，k Z ∈，可得A,C 不正确；对称中心满足23x k ππ-=，k Z ∈，所以26k x ππ=+，可得D 正确，B 不正确； 故选：D 6．A 【解析】 【分析】首先求出2a b +，a mb -的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】解：因为(2,1)a =，(1,2)b =-，所以()23,4a b +=，()2,12a mb m m -=+- ，因为(2)//()a b a mb +-，所以()()31242m m -=+，解得12m =-故选：A 7．B 【解析】 【分析】先由题设得到：221222121n n n n n n n x x x x x x x +--+=-=--，从而得到12n n a a +=，即可说明数列{}n a 是以-1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前n 项和求和公式得到结果. 【详解】解：由题知()21f x x '=-221'()22()2121n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-=--22121222212211121n n n n n n n n x x x x x x x x +++-⎛⎫---∴== ⎪+++⎝⎭+-两边取对数得：1122ln 2ln 11n n n n x x x x ++--=++令2ln1n n n x a x -=+即12n n a a +=，所以数列{}n a 是以-1为首项，2为公比的等比数列， ()1202120211121n a q S q-∴==--故选：B 8．D 【解析】 【分析】根据三角形1ABF 周长和双曲线的定义，可得到周长与实半轴a 和||AB 的关系，进而求出m 的值．【详解】：由题意三角形1ABF 的周长为11||||||AB AF BF ++，由双曲线的定义，可知12||2||AF a AF =+，12||2||BF a BF =+ 所以1122||||||||||||442||AB AF BF AB AF BF a a AB ++=+++=+， 由题意，可知42||18a AB +=，||4AB =，a =所以10，解得254m =． 故选：D ． 9．ABD 【解析】 【分析】画出示意图，由直线与平面垂直的判定定理，可判断A 正确；求出三棱锥1B C MD -体积的最大值，可判定B 正确；由线面角的概念，求得其正切值，可判定C 错误；根据抛物线的定义，可得M 的轨迹为平面11ADD A 上抛物线的部分，可判断D 正确. 【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11ADD A ，则1CD AD ⊥， 又由111,AD A D A DDC D ⊥=，所以1AD ⊥平面1A DC ,当点M 在线段1A D 上时，可得1CM A D ⊥，所以A 正确； 由正方体的性质，可知1A C ⊥平面1BC D ，若正方体的棱长为1， 则M 与1A 重合时，三棱锥1B C MD -的体积取得最大值，最大值为111323⨯=，所以B 正确；异面直线1B M 与CD 所成的角，即为11A B M ∠，当M 在线段1AD 上运动时，取1AD 的中点M 时，11A B M ∠最小，可得11111tan A M A B M A B ∠==>C 错误； 平面11ADD A 上的点M 到直线11C D 的距离等于点M 到1D 的距离，则满足到直线AD 和直线11C D 的距离相等，即满足到直线AD 和点1D 的距离相等， 可知M 的轨迹为平面11ADD A 上抛物线的部分，故D 正确.故选：ABD.10．AD 【解析】 【分析】把点()4,2P -代入选项，逐项检验即可求解. 【详解】因为抛物线过点()4,2P -， 所以代入2y x =，28x y 满足，2y x =-，28y x =-不符合.故选：AD 11．BD 【解析】 【分析】求随机变量X 的分布列，由期望，方差公式求其期望，方差，由此判断各选项对错. 【详解】由题意可得，目标没有被击中的概率为30311464C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以目标被击中的概率为16316464-=，A 错误. 易知该射手每次射击命中失败的概率为14，X 的取值范围为{1，2，3}，所以()314P X ==，()13324416P X ==⨯=，()11134416P X ==⨯=，所以X 的分布列为：()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=，()2222132132118712316416161616256D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， B ，D 正确，C 错误， 故选：BD. 12．ACD 【解析】 【分析】由()f x 奇函数可得(0)0f =，令2x =-，(4)(0)f f =可判断A ；由(2)(2)f x f x -+=+，可得2x =为对称轴，可判断B ；由()f x 是奇函数，(2)(2)f x f x +=-+，分析可判断C ；由()f x 周期为8，可判断D【详解】选项A ，由于()f x 是定义域为R 的奇函数，故(0)0f =，令2x =-，(4)(0)0f f ==，故A 正确；选项B ，由于(2)(2)f x f x -+=+，故函数()f x 关于2x =对称，不一定关于1x =对称，故B 错误；选项C ，()f x 是奇函数，故(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，令2t x =-，有(4)()f t f t +=-，故(8)(4)()f t f t f t +=-+=，即(8)()f x f x +=，故C 正确； 选项D ，由C ，()f x 周期为8，故(2021)(25383)(3)1f f f =⨯-=-=-，故D 正确 故选：ACD13．{}1x x >##()1,+∞ 【解析】【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B . 【详解】因为{}{}2,01a A x x a x x ==>=>，{}2230B x x x R =-+>=，因此，{}1A B x x ⋂=>. 故答案为：{}1x x >. 14．1 【解析】 【分析】由题意02x y ='=，求导，代入0x =，即得解 【详解】对函数x y ax e =+求导得xy a e '=+， 由已知可得012x y a ==+='，解得1a =. 故答案为：1 15．30x y +-= 【解析】 【分析】要使过P 点的最短弦，则圆心到弦所在直线的距离最大，由当CP 与所求弦垂直时，圆心到弦所在直线的距离最大，先求出CP k ，从而可得答案. 【详解】圆22(1)4x y -+=的圆心为()1,0C ，半径2r =要使过P 点的最短弦，则圆心到弦所在直线的距离最大. 当CP 与所求弦垂直时，圆心到弦所在直线的距离最大. 由10121CP k -==-,所以所求弦的斜率为1- 故所求弦的方程为()12y x -=--，即30x y +-= 故答案为：30x y +-=16．33 【解析】 【分析】设CH x =，结合Rt MNH △，Rt ANH △中的长度和角度关系可求得3AH =，再由MNH △MBC △，可得NH MHBC MC=，解得x = 【详解】设CH x =，在Rt MNH △中，有1MH =，60NMH ，所以NH =在Rt ANH △中，有NH =30NAH ∠=︒，则3AH =， 所以 3BC AC x ==+， 由题意可知MNH △MBC △，可得NH MHBC MC=，11x =+，解得x =所以3BC =故答案为：3 17．(1)3C π=(2)34C π=【解析】 【分析】（1）根据两角和的余弦公式求出C 的余弦值，求出C 的值即可； （2）结合余弦定理求出C 的正切值，求出C 的值即可． (1)若1+2cos A cos B ＝2sin A sin B ，则cos A cos B ﹣sin A sin B ＝12-，即故1cos()2A B +=-，即()1cos()cos cos 2A B C C π+=-=-=-,所以1cos 2C =，由0C π<< ，故3C π=(2)若()()()2221tan 1tan b A c a A +=--，显然2A π≠，所以2222222cos cos tan tan 2cos cos tan c a b ab C a C AA b c a bc A c A C-----====+-， 又由tan A ≠0得到tan C ＝﹣1，0C π<<，故34C π=．18．（1）21n a n =-，2n n b =；（2）11,112,23n n n c n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 【解析】 【分析】（1）用基本量11,,,a d b q 表示题干中的条件，求解即可；（2）构造对2n ≥时，有2212311333n n n c c c c a ---++++=，与原式相减，即得解【详解】（1）由题意3632a a b +=，可得211272a d b q +=，因为d q =，则2274d d +=，解得2d =或14-，因为等比数列{}n b 各项为正项，所以2d q ==，则12(1)21n a n n =+-=-，1222n nn b -=⨯=.（2）因为对n *∈N ，有21123333n n n c c c c a -++++=成立，对2n ≥时，有2212311333n n n c c c c a ---++++=成立，两式相减得1132n n n n c a a --=-=，所以()11212233n n n c n --⎛⎫==⨯≥ ⎪⎝⎭，当1n =时，111c a ==不符合上式，所以11,112,23n n n c n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.19．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）证明BQ AD ⊥，利用面面垂直的性质可得出BQ ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定定理可证得平面MQB ⊥平面PAD ；（2）连接PQ ，以点Q 为坐标原点，QA 、QB 、QP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(01)PM PC λλ→→=≤≤，根据BM PC ⊥可得出0BM PC →→⋅=，求出λ的值，利用空间向量法可求得直线AP 与BM 所成角的余弦值. 【详解】（1）Q 为AD 的中点，且2AD BC =，则DQ BC =，又因为//BC AD ，则//BC DQ ，故四边形BCDQ 为平行四边形， 因为90ADC ∠=，故四边形BCDQ 为矩形，所以BQ AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BQ ⊂平面ABCD ， BQ ∴⊥平面PAD ，因为BQ ⊂平面MBQ ，因此，平面MQB ⊥平面PAD ；（2）连接PQ ，由（1）可知，BQ ⊥平面PAD ，PA PD =，Q 为AD 的中点，则PQ AD ⊥，以点Q 为坐标原点，,,QA QB QP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A 、P 、B 、(C -、(1,0,0)D -， 设((,)(01)PM PC λλλλ→→==-=-≤≤，(0,(,)()BM BP PM λλ→→→=+=+-=-,因为BM PC ⊥，则3333760BM PC λλλλ→→⋅=+--+=-=，解得67λ=，6(,7BM →∴=-，(AP →=-，则9cos ,||||AP BM AP BM AP BM →→→→→→⋅<>===⋅. 因此，直线AP 与BM所成角的余弦值为28. 20．（1）527；（2）53.【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式，分别计算甲同学抽取△△，△△和△△被录用的概率，再利用互斥事件的加法公式计算即可；（2）列出X 的可能取值为0，1，2，3，4，利用事件的独立性分别计算概率，列出分布列，求解数学期望即可. 【详解】（1）甲同学抽取△△被录用的概率为1311113327C ⨯⨯= 甲同学抽取△△和△△被录用的概率均为1311223327C ⨯⨯= 所以甲同学被录用的概率为1252272727+⨯=. （2）由题意可知X 的可能取值为0，1，2，3，4，可知22214(0)3236P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22211221212112(1)3323236P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 222221122111212113(2)323323236P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2221122111216(3)3233236P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22111(4)3236P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：所以4121361605012343636363636363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 21．（1）22143x y +=；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用离心率公式得到,a c 的关系，得到b 和c 的关系，将点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程，即可求出c 的值，从而得到a 和b 的值，求出椭圆的标准方程；（2）设()00,P x y 为椭圆C 上任意一点，由题意可得1//OM PA ，由两点间斜率公式表示出2PA OM k k ，由点P 在椭圆上，化简求解即可证明结论；（3）设直线l 的方程为()4y k x =-，与椭圆方程联立方程组，得到韦达定理，利用两点间斜率公式表示出FD FE k k +，结合韦达定理进行化简整理，即可证明结论. 【详解】（1）由题意，椭圆C 的离心率12e =，即12c e a ==，可得2a c =， 又由22223b a c c =-=，所以椭圆的方程为2222143x y c c+=，因为点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，可得所以22914+143c c =，解得21c =， 则224,3a b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）设()00,P x y 为椭圆C 上任意一点，由题意可知，212,PM MA AO OA ==，所以1//OM PA ， 故210000,22PA OM PA y y k k k x x ===-+，所以22222003334444PA OMx y k k x x -===---， 故直线2PA 与直线OM 它们的斜率之积为定值34-.（3）设直线l 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,D x y E x y ， 联立方程组()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222343264120k x k x k +-+-=，则()()()2223243464120k k k ∆=-+->，解得214k <， 所以22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++， 故()()()12121212122581111FD FE k x x x x y y k k x x x x -++⎡⎤⎣⎦+=+=----， 因为()22212122221282416024322580343434k k k x x x x k k k -+-++=-+=+++， 即0FD FE k k +=，所以直线FD 与直线FE 斜率之和为定值0. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．22．（1）0x =；（2）（i ）()h x 的最大值为1e ；（ii ）122x x +>；证明见详解.【解析】 【分析】（1）由()()1x g x f x x e x -=-=--，则()1xg x e -'=-，利用导数求出函数()g x 的单调性，进而求出函数的极值点.（2）由题意得()xh x xe -=，()()1xh x x e -'=-，（i ）利用导数求出函数的单调性，从而得到函数的极值与最值； （ii ）由题意不妨设12x x <，又12h x h x ，可得1201x x <<<，令()()()2H x h x h x =--，[)1,x ∈+∞，利用导数可得函数()H x 在[)1,+∞上单调递增，从而可推出()()2h x h x >-，结合条件可得()()122h x h x >-，易得12,21x x -<，从而借助函数()h x 在(),1-∞上单调递增即可证明．【详解】（1）证明：由()()1x g x f x x e x -=-=--，则()1xg x e -'=-，由()0g x '≤得0x ≥，由()0g x '>得0x <，△函数()g x 在(),0-∞上单调递增，在[)0,+∞上单调递减， △0x =是函数()g x 的极大值点.（2）解：()()()1h x x f x =-()11xx x e xe --⎡⎤=--=⎣⎦，()()1x h x x e -'=-， （i ）由()0h x '≤得1≥x ，由()0h x '>得1x <，△函数()h x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， △函数()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值， △()h x 的最大值()()1max 11h x h e e-===；（ii ）由12x x ≠，不妨设12x x <，又12h x h x ，△当0x >时，()0xh x xe -=>，且()00h =，△1201x x <<<，令()()()2H x h x h x =--()22x x xe x e --=--，[)1,x ∈+∞，则()()()2112x x H x x e x e --'=---+-()()2211x x x ee --=--， △1≥x ，△220x -≥，2210x e --≥，△()0H x '≥，△函数()H x 在[)1,+∞上单调递增， 又()10H =，△当1x >时，()()()()210H x h x h x H =-->=， 即()()2h x h x >-，则()()222h x h x >-， 又12h x h x ，则()()122h x h x >-，△1201x x <<<，△221x -<，即12,21x x -<， 而函数()h x 在(),1-∞上单调递增，△122x x >-， △122x x +>．。

山东省济南外国语学校三箭分校2022届高三9月月考 数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{230}A x x x =--<，{|ln(2)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|12}x x -<<C ．{|32}x x -<<D ．{|12}x x << 2.要从编号为1-50的50名同学中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名同学的编号可能是（ ） A ．3，13，23，33，43 B ．2，4，8，16，32 C ．1，2，3，4，5 D ．5，10，15，20，25 3.已知复数z 满足1112z i z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限4.某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个安排给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ ） A ．328 B ．128 C. 1328 D ．375.已知双曲线与22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线被圆222()4x c y a -+=截得弦长为2b （其中c 为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（ ） A ．6 B ．3 C. 2 D ．626.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积是9π，则它的表面积是（ ）A ．27πB ．36π C. 45π D ．54π 7.将函数()2cos()13f x x π=--的图象向右平移3π个单位，再把全部的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为（ ） A ．(,1)12π- B ．(,0)12π C. (,1)6π- D ．(,0)6π8.设变量,x y 满足约束条件030260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数2z a x y =+的最小值为6-，则实数6-等于（ ）A ．2B ．1 C. -2 D ．-1 9.函数12()log cos ()22f x x x ππ=-<<的图象大致是（ ）10.依据下列流程图输出的值是（ ）A ．79B ．31 C. 51 D ．1111.已知函数()y f x =，满足()y f x =-和(2)y f x =+是偶函数，且(1)3f π=，设()()()F x f x f x =+-，则(3)F =（ ） A ．3πB ．23π C. π D ．43π12.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x =C. 24y x =或216y x = D ．22y x =或216y x =第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，2AB =，则BC DC += ．14.若2(3)(1)nx x+-的开放式中常数项为43，则n 为 ．（用数字填写答案） 15.已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2xy+=，则113x y+的最小值是 ． 16.已知函数()f x 的定义域为[2,)-+∞，部分对应值如下表，'()f x 为()f x 的导函数，函数'()y f x =的图象如下图所示，若两正数,a b 满足(2)1f a b +<，则263b a ++的取值范围是 ． x-2 0 4 ()f x1-11三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足222cos cos sin sin sin B C A A B --=-，sin()cos()A B A B -=+.（1）求角,,A B C ； （2）若2a =，求三角形ABC 的边长b 的值及三角形ABC 的面积.18. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，0160BAA ∠=.（1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值.19. 2021年3月29日，中国自主研制系全球最大水陆两栖飞机AG600将于2021年5月方案首飞，AG600飞机的用途很多，最主要的是森林灭火、水上救援、物资运输、海洋探测、依据灾情监测情报部门监测得知某个时间段全国有10起灾情，其中森林灭火2起，水上救援3起，物资运输5起，现从10起灾情中任意选取3起.（1）求三种类型灾情中各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的森林灭火的数目，求X 的分布列与数学期望.20. 在直角坐标系中，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其中2F 也是抛物线22:4C y x =的焦点，点P 为1C 与2C 在第一象限的交点，且253PF =. （1）求椭圆的方程；（2）过2F 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于,M N 两点，若线段2OF 上存在定点(,0)T t 使得以TM ，TN 为邻边的四边形是菱形，求t 的取值范围 21. 已知函数()2xxf x e ex -=--（1）争辩()f x 的单调性；（2）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值； （3）已知1.4142 1.4143<<，估量ln 2的近似值（精确到0.001）请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的参数方程为：1222x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，曲线2C 的极坐标方程：22(1sin )8ρθ=+= （1）写出1C 和2C 的一般方程；（2）若1C 与2C 交于两点,A B ，求AB 的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3f x m x =--，不等式()2f x >的解集为(2,4)（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.高三数学理参考答案一、选择题BADCB CADCA BC 二、填空题13. 23 14. 5 15. 4 16. (6/5,14/3) 三、解答题：（17）（1）由于A ，B 均为锐角，()()sin cos A B A B -=+， ∴sin cos cos sin cos cos sin sin A B A B A B A B -=-， ∴sin cos sin sin cos cos cos sin A B A B A B A B +=+， ∴()()sin cos sin cos cos sin A B B A B B +=+ ∵B 为锐角，∴cos sin 0B B +≠， ∴sin cos A A =，则A 的大小为4π， 在△ABC 中，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-， ∴()()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ----=-， ∴222sin sin sin sin sin C B A A B --=-， ∴222a b c ab +-=-，∴1cos 2C =，∴3C π=，∴53412B ππ=π--=π．（2）依据正弦定理sin sin a bA B=， 得sin 5πππ622sin 2sin()sin 12642a Bb A +===+=， ∴1136233=sin 2=22224ABC S C ab ++⋅⋅=⨯⨯⨯△． （18）(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 由于CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .由于OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ， 故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,03，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,03)，1BB ＝1AA ＝(－13，0)，1AC ＝(0，33． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,30.x z x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝31，－1)． 故cos 〈n ，1AC 〉＝11A C A C⋅n n ＝10. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 10. （19）（1）令A 表示大事“三种类型灾情中各取到1个”，则由古典概型的概率公式有()111235310C C C 1C 4P A ==；（2）随机变量X 的取值为：0，1，2，则38310C 7(0)C 15P X ===，1228310C C 7(1)C 15P X ===，2128310C C 1(2)C 15P X ===，()770121515155E X =⨯+⨯+⨯=． （20）解：（Ⅰ）抛物线24y x =的焦点为(1,0)，25||13p PF x =+=，∴23p x =，∴p y =2(3P ，又2(1,0)F ，∴1(1,0)F -， ∴1275||||433PF PF +=+=，∴2a =， 又∵1c =，∴2223b a c =-=，∴椭圆方程是：22143x y +=． （Ⅱ）设MN 中点为00(,)D x y ，由于以TM 、TN 为邻边的四边形是菱形，则TD MN ⊥，设直线MN 的方程为1x my =+，联立221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得22(34)690m y my ++-=，∵2F 在椭圆内，∴0∆>恒成立，∴122634my y m -+=+， ∴02334m y m -=+，∴0024134x my m =+=+， ∴1TD MN k k ⋅=-，即22334434m m m t m -+=--+， 整理得2134t m =+， ∵20m >，∴234(4,)m +∈+∞，∴1(0,)4t ∈，所以t 的取值范围是1(0,)4． （21）（1）.)(.02-12≥2-12-)(∴∈2--)(--上单增在所以，，R x f e e e e e e x f R x x e e x f xxx x x x x x =•+=+=′= （2）22()(2)4()44(2)0xx x x g x f x bf x e e x b e e x --=-=----->，0x >，令22()44(2)xx x x h x ee x b e e x --=-----，0x >，则(0)0h =，'22()2244(2)x x x x h x e e b e e --=+--+-，∴(0,)x m ∃∈，0m >，使'()0h x ≥，即222244(2)0xx x x e e b e e --+--+-≥即2222(2)0xx x x ee b e e --+--+-≥，同理，令22()22(2)xx x x m x ee b e e --=+--+-，(0,)x m ∈，0m >，则(0)0m =，'22()222()x x x x m x e e b e e --=---，∴(0,)x t ∃∈，0t >，使()0m x ≥，即22222()0xx x x ee b e e -----≥，即()()()0x x x x x x e e e e b e e ---+---≥，且0x x e e-->，即xxe eb -+≥，即2x x e eb -+>=≥，所以b 的最大值为2.（Ⅲ）由Ⅱ知，32(21)ln 22g b =-+-， 当2b =时，36ln 202g =->，3ln 20.692812>> 当1b =+时，ln(1b -=，ln 20.6934<< 所以，ln 2的近似值为0.6934.（22）（1）将曲线C 2的极坐标方程()221sin 8ρθ+=转化为直角坐标方程2228x y +=；将曲线C 1的方程1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去t 化为一般方程：3y x =-； （2）若C 1与C 2交于两点A ，B ，可设()1122,(,)A x y B x y ，联立方程组22328y x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y ，可得()22238x x +-=，整理得2312100x x -+=，所以有12124103x x x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，则AB ===． （23）解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2， ∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4）， ∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；（2）关于x 的不等式|x ﹣a|≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立 ⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3， 解得：a ≥6或a ≤0．。