第4章图形变换

第4章图形的平移与旋转一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（）A．（5，2）B．（1，0）C．（3，﹣1）D．（5，﹣2）4．如图，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，△ADE由△ABC旋转而成，则BE的长为（）A．1B．C．1.2D．25．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为10，则△BCE的面积为（）A．5B．6C．10D．46．经过下列变换，不能由图①所示的基本图形得到图②的是（）A．旋转和平移B．中心对称和轴对称C．平移和轴对称D．中心对称7．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF 的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝3，则AE的长为（）A．B．5C．8D．48．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°9．将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（）A．（，1）B．（1，﹣）C．（，﹣）D．（﹣，）10．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝12，DC＝14，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（）A．6B．10C．8D．二、填空题（每小题3分，共24分）11．如果，那么．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转，得△AB'C'，连接BB'，若BB'∥AC'，则∠BAC′的度数是．13．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′、B′、C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′、B′、C′的对应点分别为A″、B″、C″，则点A″的坐标为．14．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到Rt△DEF，下列结论：①△ABC≌△DEF；②∠DEF＝90°；③AC＝DF；④EC＝CF；⑤S四动形ABEG＝S四边形DGCF．其中正确的有（填序号）．15．边长为1的正方形网格在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知A，B两点的坐标分别为A（3，3），B（5，0），若A1的坐标为（﹣5，﹣3），则B1的坐标为．16．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B、C的对应点分别为点B'、C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，则CD＝．18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x 轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2020的横坐标为．三、解答题（共46分）19．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE连结CD、BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连结DE，若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．20．（8分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．23．（10分）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选：C．3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（）A．（5，2）B．（1，0）C．（3，﹣1）D．（5，﹣2）【分析】根据平移变换，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；【解答】解：如图，△A2B2C1即为所求．观察图象可知：A2（5，2）故选：A．4．如图，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，△ADE由△ABC旋转而成，则BE的长为（）A．1B．C．1.2D．2【分析】根据BE＝AB﹣AE，求出AB，AE即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，由旋转不变性可知：AE＝AC＝4，∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，故选：A．5．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为10，则△BCE的面积为（）A．5B．6C．10D．4【分析】根据平移的性质得到AB＝BD，BC∥DE，利用三角形面积公式得到S△BCD＝S＝5，然后利用DE∥BC得到S△BCE＝S△BCD＝5．△ACD【解答】解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∴AB＝BD，BC∥DE，∴S△ABC＝S△BCD＝S△ACD＝×10＝5，∵DE∥BC，∴S△BCE＝S△BCD＝5．故选：A．6．经过下列变换，不能由图①所示的基本图形得到图②的是（）A．旋转和平移B．中心对称和轴对称C．平移和轴对称D．中心对称【分析】根据旋转、平移、轴对称、中心对称的性质即可进行逐一判断．【解答】解：因为经过旋转和平移能由图①所示的基本图形得到图②，所以A选项不符合题意；因为经过中心对称和轴对称能由图①所示的基本图形得到图②，所以B选项不符合题意；因为经过平移和轴对称能由图①所示的基本图形得到图②，所以C选项不符合题意；因为经过中心对称不能由图①所示的基本图形得到图②，所以D选项符合题意．故选：D．7．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF 的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝3，则AE的长为（）A．B．5C．8D．4【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，∴AD＝DC＝5，∵DE＝3，∴Rt△ADE中，AE＝＝＝．故选：A．8．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，故选：C．9．将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（）A．（，1）B．（1，﹣）C．（，﹣）D．（﹣，）【分析】求出旋转后OA与y轴夹角为45°，然后求出点A′的横坐标与纵坐标，从而得解．【解答】解：如图，∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，∴旋转后OA与y轴夹角为45°，∵OA＝2，∴OA′＝2，∴点A′的横坐标为2×＝，纵坐标为﹣2×＝﹣，所以，点A′的坐标为（，﹣）．故选：C．10．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝12，DC＝14，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（）A．6B．10C．8D．【分析】先求出∠ACD＝30°，再根据旋转角求出∠ACD1＝45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD1然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠D＝30°，∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∵旋转角为15°，∴∠ACD1＝30°+15°＝45°，又∵∠A＝45°，∴△ACO是等腰直角三角形，∴AO＝CO＝AB＝×12＝6，AB⊥CO，∵DC＝14，∴D1C＝DC＝14，∴D1O＝14﹣6＝8，在Rt△AOD1中，AD1＝＝＝10．故选：B．二、填空题（每小题3分，共24分）11．如果，那么．【分析】观察图象的变化，根据旋转变换的性质轴对称的性质即可解决问题．【解答】解：由题意性质180，可得图形：12．如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转，得△AB'C'，连接BB'，若BB'∥AC'，则∠BAC′的度数是105°．【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠B'AC'＝75°，AB＝AB'，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAB'＝30°，即可求解．【解答】解：∵以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转，得△AB'C'，∴∠BAC＝∠B'AC'＝75°，AB＝AB'，∵BB'∥AC'，∴∠C'AB'＝∠AB'B＝75°，∵AB＝AB'，∴∠AB'B＝∠BB'A＝75°，∴∠BAB'＝30°，∴∠BAC'＝∠BAB'+∠B'A'C'＝75°+30°＝105°，故答案为：105°．13．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′、B′、C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′、B′、C′的对应点分别为A″、B″、C″，则点A″的坐标为（6，0）．【分析】由平移的性质和旋转的性质作出图形，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，∴A′、B′、C′的坐标分别为（4，4），B（3，1），C（2，2），再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，则点A″的坐标为（6，0）；故答案为：（6，0）．14．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到Rt△DEF，下列结论：①△ABC≌△DEF；②∠DEF＝90°；③AC＝DF；④EC＝CF；⑤S四动形ABEG＝S四边形DGCF．其中正确的有①②③⑤（填序号）．【分析】由平移的性质可得Rt△ABC≌△Rt△DEF，由全等三角形的性质依次判断可求解．【解答】解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到Rt△DEF，∴Rt△ABC≌△Rt△DEF，故①正确；∴S△ABC＝S△DEF，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，故②、③正确；∴S四动形ABEG＝S四边形DGCF，CF＝BE，故④错误，⑤正确，故答案为：①②③⑤．15．边长为1的正方形网格在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知A，B两点的坐标分别为A（3，3），B（5，0），若A1的坐标为（﹣5，﹣3），则B1的坐标为（﹣3，﹣6）．【分析】各对应点之间的关系是横坐标加﹣8，纵坐标加﹣6，那么让点B的横坐标加﹣8，纵坐标加﹣6即为点B1的坐标．【解答】解：由点A到A1可知：各对应点之间的关系是横坐标加﹣8，纵坐标加﹣6，那点B到B1的移动规律也如此，则B1的横坐标为5+（﹣8）＝﹣3；纵坐标为0+（﹣6）＝﹣6；∴B1的坐标为（﹣3，﹣6）．故答案为：（﹣3，﹣6）．16．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为6．【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，∴AB＝2，∴阴影部分的面积之和为3×2＝6．故答案为：6．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B、C的对应点分别为点B'、C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，则CD＝．【分析】设CD＝x，由B′C′∥AB，可推得∠BAD＝∠B′，由旋转的性质得：∠B＝∠B′，于是得到∠BAD＝∠B，AC＝AC′＝4，AD＝BD＝8﹣x，由勾股定理可求解．【解答】解：设CD＝x，∵B′C′∥AB，∴∠BAD＝∠B′，由旋转的性质得：∠B＝∠B′，AC＝AC′＝6，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD＝8﹣x，∴（8﹣x）2＝x2+62，∴x＝，∴CD＝，故答案为：．18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O 分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x 轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2020的横坐标为10100．【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…，即可得每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求得B2020的坐标．【解答】解：由图象可知点B2020在第一象限，∵OA＝，OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），…∴B2020（10100，4）．∴点B2020横坐标为10100．故答案为10100三、解答题（共46分）19．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE连结CD、BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连结DE，若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质知∠DAE＝60°，AE＝AD，从而得∠EAB＝∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD为等边三角形，即∠AED＝60°，继而由∠AEB ＝∠ADC＝115°可得．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠AEB＝∠ADC；（2）如图，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED＝60°，又∵∠AEB＝∠ADC＝115°．∴∠BED＝55°．20．（8分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长．【分析】由平移的性质可知△ABC平移的距离，以及BE＝2BC＝4，DE＝AC＝2，故可得出BD⊥DE，由∠E＝∠ACB＝60°，在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．【解答】解：∵△DCE由△ABC平移而成，∴△ABC平移的距离为：BC＝2，且BE＝2BC＝4，DE＝AC＝2，∠E＝∠ACB＝60°，∴DE＝BE，∴BD⊥DE，又∵∠E＝∠ACB＝60°，∴AC∥DE，∴BD⊥AC，∴△BED是直角三角形，∵BE＝4，DE＝2，∴BD＝＝2．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS 得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF＝90°，∴∠DCE+∠ECF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF＝180°，∴∠EFC＝90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC＝∠EFC＝90°．23．（10分）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明Rt△BCD≌Rt△ACE，根据全等三角形的性质解答；（2）证明△EBD≌△ADF，根据全等三角形的性质证明即可．【解答】解：（1）AE＝DB，AE⊥DB，证明：∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝DC，在Rt△BCD和Rt△ACE中，，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC，∵∠BCD＝90°，∴∠DHE＝90°，∴AE⊥DB；（2）DE＝AF，DE⊥AF，证明：设DE与AF交于N，由题意得，BE＝AD，∵∠EBD＝∠C+∠BDC＝90°+∠BDC，∠ADF＝∠BDF+∠BDC＝90°+∠BDC，∴∠EBD＝∠ADF，在△EBD和△ADF中，，∴△EBD≌△ADF，∴DE＝AF，∠E＝∠F AD，∵∠E＝45°，∠EDC＝45°，∴∠F AD＝45°，∴∠AND＝90°，即DE⊥AF．。

第四章图形变换之轴对称下面给出几种常考虑要用或作轴对称的基本图形（1）线段或角度存在2倍关系时，可考虑对称；（2）有互余、互补关系的图形，可考虑对称；（3）角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称；（4）路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间例题精讲例1 如图，在△ABC中，∠B=22.5°，边AB的垂直平分线交BC于D，DF⊥AC于F，并与BC边上的高AE交于G．求证：EG=EC．例2 （1）如图a，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的B′处，点A落在A′处．若AE=a、AB=b、BF=c，请写出a、b、c之间的一个等量关系．（2）如图b，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）（3）如图c，等边△ABC的边长为1，D，E分别以AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为．（4）如图d，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=；若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=（用含有n的式子表示）．a b c d例3如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F 处，折痕为MN，求线段CN长．例4在四边形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，CD=40，∠ABD+∠BDC=90°，求四边形ABCD的面积。

例5 如图，在四边形ABCD中，连接AC，BC=CD，∠BCAˉ∠ACD=60°,求证：AD+CD≥AB。

例6问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为；（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．例7问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．例8请阅读下列材料：问题：如图，在四边形ABCD 中，M 是BC 边上的中点，且∠AMD=90°,试判断AB+CD 与AD 之间的大小关系。

章节测试题1.【答题】先观察，再填空.图形①绕O点顺时针旋转______度得到图形④；图形②绕O点______时针旋转90°得到图形③.【答案】90 逆【分析】此题考查的知识点是图形的旋转.【解答】图形①绕O点顺时针旋转90度得到图形④；图形②绕O点逆时针旋转90°得到图形③.2.【答题】将图形A先绕点O______时针旋转90°，再向右平移______个方格到图形B的位置.【答案】逆 6【分析】此题考查的知识点是图形的平移和旋转.首先将图形A的三个顶点绕O点逆时针旋转90°，再向右平移6个方格，即可得出答案.【解答】解：首先将图形A的三个顶点绕O点逆时针旋转90°到图形1的位置；再将图形1向右平移6个方格得到图形B.画图如下：3.【答题】图形2可以看作把图形1绕O点______时针旋转______度，再向下平移______个方格，最后向______平移______个方格得到的.【答案】顺 90 1 右 6【分析】根据旋转和平移的特征，图形1绕点O按顺时针旋转90°后，向下平移1个方格，再向右平移6个方格即可得到图形2.【解答】解：图形2可以看作把图形1绕O点顺时针旋转90度，再向下平移1个方格，最后向右平移6个方格得到的.4.【答题】图①到图②的位置，是图①绕点O______时针旋转了______度，再向______平移______个方格，最后向上平移______个方格得到图②.【答案】顺 90 右 4 1【分析】此题考查的知识点是图形的旋转和平移.【解答】图①到图②的位置，是图①绕点O顺时针旋转了90度，再向右平移4个方格，最后向上平移1个方格得到图②.5.【答题】如图，长方形A绕点O______时针旋转______度得到长方形B.【答案】顺 90【分析】根据旋转的概念可知，长方形A绕点O按顺时针旋转90度可以得到长方形B，据此解答即可得到答案.【解答】解：如图：长方形A绕点O顺时针旋转90度得到长方形B.6.【答题】图形2看作是图形1绕点______顺时针旋转______度，再向右平移______个方格，最后向下平移______个方格得到的；图形3看作是图形______绕点______顺时针旋转______度，再向下平移______个方格，最后向左方向平移______个方格得到的.【答案】A 90 1 1 2 B 90 1 1【分析】此题考查的知识点是图形的旋转和平移.【解答】图形2看作是图形1绕点A顺时针旋转90度，再向右平移1个方格，最后向下平移1个方格得到的；图形3看作是图形2绕点B顺时针旋转90度，再向下平移1个方格，最后向左平移1个方格得到的.7.【答题】图形D看作是图形A绕点______逆时针旋转______度，再向______平移______个方格得到的.【答案】P 90 下 2【分析】此题考查的知识点是图形的平移和旋转.【解答】解：图形D看作是图形A绕P点逆时针旋转90°，再向下平移2个方格得到的.故答案为：P，90，下，2.8.【答题】看一看，填一填.图形B可以看作是图形A绕点O顺时针旋转______度得到的；图形C可以看作是图形B绕点O顺时针旋转______度得到的；图形D可以看作是图形C绕点O顺时针旋转______度得到的.【答案】90 90 90【分析】旋转的要素是旋转方向，旋转中心，旋转角，据此即可解决问题.【解答】图形B可以看作是图形A绕点O顺时针旋转90度得到的；图形C可以看作是图形B绕点O顺时针旋转90度得到的；图形D可以看作是图形C绕点O顺时针旋转90度得到的.9.【答题】如图，图形①绕点______逆时针旋转______度就可以和图形②组成一个长方形.【答案】B 90【分析】根据旋转图形的特征，图形①绕B点按逆时针旋转90°和图形②可以组成一个长方形.【解答】解：如图，图形①绕B点按逆时针旋转90°就可以和图形②组成一个长方形.10.【答题】一个图形绕同一点顺时针旋转180°和逆时针旋转180°后，得到图形的方向和位置相同.（）【答案】✓【分析】根据旋转的特征，一个图形绕某一点按顺时针或逆时针旋转180°，某点的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，旋转得到的图形互相重合，即得到图形的方向位置相同.【解答】根据旋转的特征，一个图形绕同一点顺时针旋转180°和逆时针旋转180°后，得到图形的方向和位置相同.故答案为：✓.11.【答题】把一个三角形绕一个顶点旋转180°后与原图形重合.（）【答案】×【分析】根据旋转的性质可知，把一个三角形绕一个顶点旋转360°后与原图形重合，依此即可作出判断.【解答】解：把一个三角形绕一个顶点旋转360°后与原图形重合，原题的说法是错误的.故答案为：×.12.【答题】按照下图变化规律，第4个图形是（）.A. B. C.【答案】B【分析】此题考查的是找规律.【解答】由图可知，图中的三角形依次逆时针旋转90°，旋转90°得到.选B.13.【答题】下图中，（），可使两个图形合成一个长方形.A.把图甲绕A点顺时针旋转90°B.把图乙绕A点顺时针旋转90°C.把图甲绕B点逆时针旋转90°D.把图乙绕A点逆时针旋转90°【答案】B【分析】此题考查的是图形的旋转.【解答】在方格纸上画出简单图形旋转90°后的图形的方法：①找出原图形的几个关键点所在的位置；②根据对应点旋转90°，对应线段长度不变来找出关键点旋转后的对应点；③顺次连接所画出的对应点，就能得到旋转后的图形.将图乙绕A点顺时针旋转90°，得到的图形刚好和图甲合成一个长方形.故选B.14.【答题】图形B是由图形A通过（）得到的.A.平移B.旋转【答案】B【分析】此题考查的是旋转.【解答】旋转就是物体绕一个点向某一方向转动一定的角度.由图可知，图形B是由图形A通过旋转得到的.选B.15.【答题】下面的图形中，（）不能由上面的图形通过平移或旋转得到.A. B. C. D.【答案】B【分析】此题考查的是认识平移与旋转.【解答】平移时，物体或图形平移前后的形状、大小和方向不发生改变.图形旋转的特征：旋转中心的位置不变，过旋转中心的所有边旋转的方向相同，旋转的角度也相同；旋转后图形的形状、大小都没有发生变化，只是位置变了. 无论怎么平移或旋转，阴影部分与圆一直位于对角线位置，所以不能由通过平移或旋转得到.故选B.16.【答题】如果下图中的长方形ABEF旋转到长方形ADNM的位置，那么是绕（）旋转的.A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】A【分析】此题考查的是认识旋转.【解答】由图可知，长方形ABEF绕点A顺时针旋转到长方形ADNM的位置.故选A.。

图形的平移与旋转一．选择题（共8小题）1．如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD=DC=4，DE=3，DE∥BC，∠C=90°，将△ADE沿着AB 边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．62．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别A1、B1、C1，则点A1的坐标为（）A．（3，﹣3）B．（1，﹣1）C．（3，0）D．（2，﹣1）3．下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．115°B．120°C．125°D．145°5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC 的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°6．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．45°7．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC 边上，若AB=1，∠B=60°，则△ABD的面积为（）A．2B ．C ．D ．8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°二．填空题（共5小题）9．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为．11．如图，把直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF的位置，若AB=6，BE=3，GE=4，则图中阴影部分的面积是．12．如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°后得到的图形，点C恰好在边AB上．若∠AOD=100°，则∠D的度数是°．13．如图，在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）绕原点顺时针旋转90°，则其对应点Q的坐标为．三．解答题（共12小题）14．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度有一个△ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）将△ABC向右平移3个单位长度，得到△DEF（A与D、B与E、C与F对应），请在方格纸中画出△DEF；（2）在（1）的条件下，连接AE和CE，请直接写出△ACE的面积S，并判断B是否在边AE上．15．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）证明：△ABE≌△C1BF；（2）证明：EA1=FC；（3）试判断四边形ABC1D的形状，并说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（3，﹣1），C（1，﹣1）．（1）将△ABC向左平移3个单位得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A的对应点A2的坐标；（3）求（2）中点A所走过的路线长．17．将直角三角形ABC沿CB方向平移CF的长度后，得到直角三角形DEF．已知DG=4，CF=6，AC=10，求阴影部分的面积．18．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2．Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕A 点逆时针方向旋转60°得到的，求线段B′C的长．20．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B．（1）请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；（2）求BC′的长．21．如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED 与AB、BC分别交于M、H．（1）求证：CF=CH；（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论．图形的平移与旋转参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD=DC=4，DE=3，DE∥BC，∠C=90°，将△ADE 沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵∠C=90°，AD=DC=4，DE=3，∴AE==5，∵DE∥BC，∴AE=BE=5，∴当点D落在BC上时，平移的距离为BE=5．故选C．2．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别A1、B1、C1，则点A1的坐标为（）A．（3，﹣3）B．（1，﹣1）C．（3，0） D．（2，﹣1）【解答】解：将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别A1、B1、C1，∵A（﹣3，2）∴点A1的坐标为（﹣3+4，2﹣3），即（1，﹣1）．故选B．3．下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A、此图形是由平移得到的，故此选项正确；B、此图形是由翻折得到的，故此选项错误；C、此图形是由旋转得到的，故此选项错误；D、此图形是由轴对称得到的，故此选项错误；故选：A．4．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．115°B．120°C．125° D．145°【解答】解：∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=60°，∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB1等于旋转角，且∠BAB1=180°﹣∠BAC=120°，∴旋转角等于120°．故选B．5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′=40°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∵CC′∥AB，∴∠BAC=∠ACC′=70°，故选D．6．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．45°【解答】解：如图，连接BB′；由题意得：AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′为等边三角形，∴∠B′BA=60°，BB′=BA；在△BB′C′与△BAC中，，∴△BB′C′≌△BAC（SSS），∴∠B′BC′=∠ABC′=30°，故选C．7．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB=1，∠B=60°，则△ABD的面积为（）A．2 B ．C ．D ．【解答】解：∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，∴AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，∴△ABD的面积=AB2=×12=．故选D．8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE 上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【解答】解：由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，∴∠D=∠B=40°，AE=AC，∵∠CAE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE=∠E=60°，∴∠DAE=180°﹣∠E﹣∠D=80DU=（180°﹣∠CAE）=（180°﹣60°）=80°，∴∠DAC=∠DAE﹣∠CAE=80°﹣60°=20°；故选：B．二．填空题（共5小题）9．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF 上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为3﹣．【解答】解：∵∠F=45°，BC=3，∴CF=3，又EF=4，则EC=1，∵BC=3，∠A=30°，∴AC=3，则AE=3﹣1，∠A=30°，∴EG=3﹣，阴影部分的面积为：×3×3﹣×（3﹣1）×（3﹣）=3﹣．故答案为：3﹣．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AB=2BC=4，AC=2，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，∴S阴影=DF×CF=×=．11．如图，把直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF的位置，若AB=6，BE=3，GE=4，则图中阴影部分的面积是15．【解答】解：∵△ABC沿BCC的方向平移到△DEF的位置，∴S△ABC=S△DEF，∴S阴影部分+S△OEC=S梯形ABEO+S△OEC，∴S阴影部分=S梯形ABEO=×（4+6）×3=15．故答案为15．12．如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°后得到的图形，点C恰好在边AB上．若∠AOD=100°，则∠D的度数是50°．【解答】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB，∴CO=AO，∠D=∠B由旋转角为40°，∴∠AOC=∠BOD=40°，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）÷2=70°，∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD=20°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°，在△AOB中，由内角和定理得∠B=180°﹣∠OAC﹣∠AOB=180°﹣70°﹣60°=50°．∴∠D=∠B=50°故答案为50°．13．如图，在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）绕原点顺时针旋转90°，则其对应点Q 的坐标为（2，4）．【解答】解：作图如右，∵∠MPO+∠POM=90°，∠QON+∠POM=90°，∴∠MPO=∠QON，在△PMO和△ONQ中，∵，∴△PMO≌△ONQ，∴PM=ON，OM=QN，∵P点坐标为（4，2），∴Q点坐标为（2，4），故答案为（2，4）．三．解答题（共12小题）14．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度有一个△ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）将△ABC向右平移3个单位长度，得到△DEF（A与D、B与E、C与F对应），请在方格纸中画出△DEF；（2）在（1）的条件下，连接AE和CE ，请直接写出△ACE的面积S，并判断B是否在边AE上．【解答】解：（1）如图所示；（2）由图可知，S=5×4﹣×4×1﹣×2×4﹣×2×5=20﹣2﹣4﹣5=9．根据图形可知，点B不在AE边上．15．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）证明：△ABE≌△C1BF；（2）证明：EA1=FC；（3）试判断四边形ABC1D的形状，并说明理由．【解答】（1）证明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，∴AB=BC1=A1B=BC，∠ABE=∠C1BF，∠A=∠C1=∠A1=∠C，在△ABE和△C1BF中，，∴△ABE≌△C1BF（ASA）；（2）证明：∵△ABE≌△C1BF，∴EB=BF．又∵A1B=CB，∴A1B﹣EB=CB﹣BF，∴EA1=FC；（3）答：四边形ABC1D是菱形．证明：∵∠A1=∠C=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，∠A1=∠C=∠ABA1=∠CBC1．∴AB∥C1D，AD∥BC1，∴四边形ABC1D是平行四边形∵AB=BC1，∴四边形ABC1D是菱形．16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）△A1B1C如图所示，△A2B2C2如图所示；（2）如图，旋转中心坐标为（1.5，3）；（3）如图所示，点P的坐标为（﹣2，0）．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（3，﹣1），C（1，﹣1）．（1）将△ABC向左平移3个单位得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，并写出点A 的对应点A1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A的对应点A2的坐标；（3）求（2）中点A所走过的路线长．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求，点A1的坐标（﹣2，﹣2）；（2）如图，△A2B2C2为所求；（3）OA==，点A 所走过的路线长为=．18．如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A、B、C及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：（1）将△ABC绕点O旋转180°，得到△A1B1C1（不写作法，但要标出字母）；（2）求点A绕着点O旋转到点A1所经过的路径长．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点A绕着点O旋转到点A1所经过的路径长=π=4π．19．将直角三角形ABC沿CB方向平移CF的长度后，得到直角三角形DEF．已知DG=4，CF=6，AC=10，求阴影部分的面积．【解答】解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，CF=6，∴AD∥BE，AD=BE=6，∴四边形ABED是平行四边形，∴四边形ABED的面积=BE×AC=6×10=60．20．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转．（1）求两个正方形重叠部分的面积；（2）若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB∵BO⊥AC，∴∠AOE+∠EOB=90°，又∵四边形A1B1C1O为正方形，∴∠A1OC1=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF，又S△AOE =S△BOF∴S两个正方形重叠部分=S ABO =S正方形ABCD =×4=1；（2）如图，∵正方形的面积为4，∴AD=AB=2，∵正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，∴C1F=OC1=1，AG=1∴C1G=3，根据勾股定理，得AC1=．21．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE；（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，∴∠C=∠AEC=75°，∴∠CAE=180°﹣∠C﹣∠AEC=30°，∴△ADE绕着点A逆时针旋转30°后与△ABC重合，∴这个旋转角为30°．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2．Rt△AB′C′可以看作是由Rt △ABC绕A点逆时针方向旋转60°得到的，求线段B′C的长．【解答】解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E，∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2，∴∠ABC=30°，∴AC=AB=1，∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，∴AB=AB′=2，∠B′AB=60°，∴∠EAB′=180°﹣∠B′AB﹣∠BAC=60°，∵B′E⊥EC，∴∠AB′E=30°，∴AE=1，在Rt△AB′E中，∵AE=1，AB′=2，∴B′E==，∴EC=AE+AC=2，在Rt△CEB′中，∵B′E=，CE=2，∴B′C==．23．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B．（1）请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；（2）求BC′的长．【解答】解：（1）BC′垂直平分AB′．理由如下：如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=60°，C′B′=C′A′=CA=CB=，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，而C′B′=C′A′，∴BC′垂直平分AB′；（2）延长BC′交AB′于D，如图，在Rt△AC′B′中，AB′=AC′=2，∵BC′垂直平分AB′，∴C′D=AB=1，∵BD为等边三角形△ABB′的高，∴BD=AB′=，∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．24．如图，已知在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，B点的坐标为（4，8），将矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，点E恰好落在x轴上．（1）求证：OA=AE；（2）若GE交AB于点D，求AD的长；（3）求点F的坐标．【解答】解：（1）如图，连接BO、BE，∵矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，∴BO=BE，BA⊥OE，∴OA=AE；（2）∵矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，∴AE=OA=BG=90°，在△BGD和△EAD中，，∴△BGD≌△EAD，∴AD=GD，BD=ED，设AD=x，则DE=BD=8﹣x，∴x2+42=（8﹣x）2，∴x=3，即AD=3；（3）如图，作FH⊥x轴于点H，∵∠DAE=∠DEF=∠EHF=90°，∴△DAE∽△EHF，∴，∴，∴EH=，∴FH==，OH=OE+EH=，∴F （，）．25．如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC 交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．（1）求证：CF=CH；（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM 的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，∴∠1=∠2=90°﹣∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，在△ACF和△DCH中∴△ACF≌△DCH，∴CF=CH；（2）四边形ACDM是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°﹣45°=45°，∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM∥DC，AC∥DM，∴四边形ACDM是平行四边形，∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．。