第十一篇 概率、随机变量及其分布第1讲 随机事件的概率[最新考纲]1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别． 2．了解两个互斥事件的概率加法公式.知 识 梳 理1．频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 2．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1.(2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．辨 析 感 悟1．对随机事件概念的理解(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件．(√) (2)“方程x 2＋2x ＋8＝0有两个实根”是不可能事件．(√) (3)(2014·广州调研C 项)“下周六会下雨”是随机事件．(√) 2．对互斥事件与对立事件的理解(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)(5)(2014·郑州调研B 项)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张，“抽取黑桃”与“抽取方块”是对立事件．(×) 3．对频率与概率的理解(6)(教材练习改编)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(7)(教材习题改编)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率为13.(√)(8)(2014·临沂调研改编)甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.3，甲不输的概率为0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为0.5.(√) [感悟·提升]两个区别 一是“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件，如(5)中为互斥事件．二是“频率”与“概率”：频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.学生用书第179页考点一 事件的关系与运算【例1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )．A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件解析根据互斥与对立的定义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．答案 D规律方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．【训练1】对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．解析设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．答案A与B，A与C，B与C，B与D B与D考点二随机事件的概率与频率【例2】某小型超市发现每天营业额Y(单位：万元)与当天进超市顾客人数X有关．据统计，当X＝700时，Y＝4.6；当X每增加10，Y增加0.05.已知近20天X的值为：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700.(1)完成如下的频率分布表：近20天每天进超市顾客人数频率分布表率，求今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率．解(1)在所给数据中，进超市顾客人数为1 100的有3个，为1 600的有7个，为1 900的有3个，为2 200的有2个．故近20天每天进超市顾客人数频率分布表为(2)由已知可得Y ＝4.6＋10×0.05＝200X ＋1.1， ∵4.6<Y <10.6，∴4.6<X200＋1.1<10.6， ∴700<X <1 900.∴P (4.6<Y <10.6)＝P (700<X <1 900)＝P (X ＝1 100)＋P (X ＝1 400)＋P (X ＝1 600)＝320＋420＋720＝1420＝710. 即今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率为710.规律方法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．【训练2】 某市统计的2010～2013年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：(1)(2)该市男婴出生的概率约是多少？解 (1)2010年男婴出生的频率为f n (A )＝n A n ＝11 45321 840≈0.524.同理可求得2011年、2012年和2013年男婴出生的频率分别约为0.521,0.512,0.513. (2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.学生用书第180页【例3】 (2014·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：(1)(2)至少3人排队等候的概率是多少？审题路线 (1)分别求等候人数为0人、1人、2人的概率⇒根据互斥事件的概率求和公式可求．(2)思路一：分别求等候人数为3人、4人、5人及5人以上的概率⇒根据互斥事件的概率求和公式可得．思路二：转化为求其对立事件的概率⇒根据P(A)＝1－P(A)可求．解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.规律方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．【训练3】一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412＝13，P(A3)＝212＝16，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34；(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法二(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝34.(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝11 12.1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．创新突破11——全面突破概率与其它知识的综合问题【典例】(2013·新课标全国Ⅱ卷)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T的数学期望．突破1：购进130 t农产品全部售出还是有剩余是解题的关键；突破2：T 为X 的函数是分段函数；突破3：由函数求得利润T 不少于57 000元时的X 的范围； 突破4：根据直方图估计概率；突破5：找出所有的T 的取值，列出分布列，求出数学期望． 解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000.当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T 的分布列为[反思感悟] (1)本题是一道分段函数、频率直方图、随机事件概率的综合问题，解本题的关键所在是“购进了130 t 该农产品”是否全部售出．考查了考生的逻辑思维能力、数据处理能力．(2)在频率分布直方图中，纵轴上的数据表示“频率÷组距”，不能与“频率”混淆． (3)可以用频率来估计概率的值． 【自主体验】(2013·四川卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表(部分)乙的频数统计表(部分)当n ＝2 100时，的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数X 的分布列及数学期望．解 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：(3)随机变量X 可能的取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝127. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×27＋1×9＋2×9＋3×27＝1.即X 的数学期望为1.对应学生用书P365基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( )．A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差逐渐减小C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定解析随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．答案 D2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )．A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球解析对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立．答案 D3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )．A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8解析由题意知该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B.答案 B4．(2014·沈阳模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )．A.110B.310C.35D.910解析从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－110＝910.答案 D5．(2013·陕西卷)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )．A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45解析 由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为0.45. 答案 D 二、填空题6．(2014·郑州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析 因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案 237．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)． 解析 ∵P (A )＝152，P (B )＝1352，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝726.答案7268．(2014·成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．解析 记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A ，B ，C .则A ，B ，C 彼此互斥，由题意可得P (B )＝0.03，P (C )＝0.01，所以P (A )＝1－P (B ＋C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96. 答案 0.96 三、解答题9．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，黑球或黄球的概率是512，绿球或黄球的概率也是512，求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？解 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 彼此互斥，所以有 P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (D ＋C )＝P (D )＋P (C )＝512，P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14. 故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是14，16，14.10．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t <94，2，94≤t <102，4，t ≥102.从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)．解 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42， 即X 的分布列为X 的数学期望E (X )能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·大连模拟)某城市2013年的空气质量状况如下表：其中污染指数＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2013年空气质量达到良或优的概率为( )． A.35 B.1180 C.119 D.56解析 由题意可知2013年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案 A2．(2014·漳州调研)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )．A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件． 答案 A二、填空题3．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析 由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.答案 32 0.437 5 三、解答题4.如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查， 调查结果如下：(1)(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为：(3)设121212L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1；同理，P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P (B 2)＞P (B 1)，∴乙应选择L 2.学生用书第182页 [最新考纲]1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.知 识 梳 理1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．3．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.辨 析 感 悟1．古典概型的意义(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)(3)(教材习题改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.(√)2．古典概型的计算(4)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，所有的基本事件构成集合I ，则事件A 的概率为AI.(√) (5)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是0.2.(×) (6)(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(√) [感悟·提升]1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，(1)、(2)不符合定义．2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集，故P (A )＝A I ＝mn，如(4)；根据古典概型概率公式计算，如(5)、(6)．考点一 简单古典概型的概率【例1】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解 从6道题中任取2道有n ＝C 26＝15(种)取法．(1)记“所取的2道题都是甲类题”为事件A ，则A 发生共有m ＝C 24＝6种结果．∴所求事件概率P (A )＝m n ＝615＝25.(2)记“所取的2道题不是同一类题”事件为B ，事件B 包含的基本事件有C 14C 12＝8(种)，则事件B 的概率为P (B )＝815.规律方法 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.学生用书第183页【训练1】分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解 (1)从5张卡片中任取两张，共有n ＝C 25＝10种方法．记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A ，则A 包含基本事件m ＝C 12C 12－1＝3个． 由古典概型概率公式，P (A )＝m n ＝310. (2)从6张卡片中任取两张，共有n ＝C 26＝15个基本事件，记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B ，则事件B 包含基本事件总数m ＝C 11(C 12＋C 13)＋(C 12C 12－1)＝8， ∴所求事件的概率P (B )＝m n ＝815. 考点二 复杂的古典概型的概率【例2】 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的外部或圆上的概率．解 由题意，先后掷2次，向上的点数(x ，y )共有n ＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型． (1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，记为B .∵事件B 包含的基本事件数m ＝C 13C 13＝9. ∴P (B )＝936＝14，则P (B )＝1－P (B )＝34，因此，两数中至少有一个奇数的概率为34.(2)点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部记为事件C ，则C 表示“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆的外部”．又事件C 包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个．∴P (C )＝836＝29，从而P (C )＝1－P (C )＝1－29＝79.∴点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆外部的概率为79.规律方法 (1)一是本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P (A )＝1－P (A )求解．【训练2】 某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1)以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解 (1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12.(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P ＝310.考点三 古典概型与统计的综合问题【例3】 (2013·广东卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． (1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．审题路线 (1)阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值．(2)根据样本算出优秀工人的比例，再估计12人中优秀工人的个数．(3)用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数，利用古典概型概率公式计算．解 (1)由茎叶图可知：样本数据为17,19,20,21,25,30.则x ＝16(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，故样本均值为22.(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名， 故优秀工人的频率为26＝13.该车间12名工人中优秀工人大约有12×13＝4(名)，故该车间约有4名优秀工人．(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A ，其包含的基本事件总数为C 14C 18＝32，所有基本事件的总数为C 212＝66.由古典概型概率公式，得P (A )＝3266＝1633.所以恰有1名优秀工人的概率为1633.学生用书第184页规律方法 (1)算．(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这 都是得分的重点．【训练3】 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． 解 (1)由题意知苹果的样本总数n ＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)的频率是2050＝0.4.(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x 个，则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x )个． ∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15， ∴5∶15＝x ∶(4－x )，解得x ＝1. 即重量在[80,85)的有1个．。
第十章⎪⎪⎪统计与统计案例 第一节 统 计突破点(一) 随机抽样1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样在抽样时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先确定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(也称为机械抽样)．3．分层抽样在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．4．三种抽样方法的比较本节主要包括2个知识点： 1.随机抽样； 2.用样本估计总体.1．抽签法的步骤第一步，将总体中的N个个体编号；第二步，将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；第三步，将号签放在同一不透明的箱中，并搅拌均匀；第四步，从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次；第五步，将总体中与抽取的号签的编号一致的k个个体取出．2．随机数法的步骤第一步，将个体编号；第二步，在随机数表中任选一个数开始；第三步，从选定的数开始，按照一定抽样规则在随机数表中选取数字，取足满足要求的数字就得到样本的号码．[例1](1)以下抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验(2)总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()C．02 D．01[解析](1)选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．(2)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.[答案](1)D(2)D系统抽样系统抽样的步骤(1)先将总体的N 个个体编号；(2)确定分段间隔k (k ∈N *)，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝Nn ； (3)在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号l (l ≤k )；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．[例2] (1)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．14(2)中央电视台为了解观众对《中国好歌曲》的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．[解析] (1)由系统抽样定义可知，所分组距为84042＝20，每组抽取一人，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720－480)÷20＝12.(2)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含50050＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10. [答案] (1)B (2)2 10 [易错提醒]用系统抽样法抽取样本，当Nn 不为整数时，取k ＝⎣⎡⎦⎤N n ，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N －nk )个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．分层抽样进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)样本容量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数； (2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．[例3](1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师 1 800青年教师 1 600合计 4 300A．90 B．100C．180 D．300(2)(2016·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝() A．54 B．90C．45 D．126(3)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．[解析](1)设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得x900＝3201 600，故x＝180.(2)依题意得33＋5＋7×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.(3)由题意知1245＋15＝3045＋15＋30＋10＋a＋20，解得a＝30.[答案](1)C(2)B(3)30[方法技巧]分层抽样的解题策略(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．(4)抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法①1,2,3，…，100； ②001,002，…，100； ③00,01,02，…，99； ④01,02,03，…，100. 其中正确的序号是( ) A ．②③④ B ．③④ C ．②③D ．①②解析：选C 根据随机数法编号可知，①④编号位数不统一．2.[考点三]为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180,270,90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为( )A ．10B ．12C ．18D ．24解析：选A 根据分层抽样的特征，从C 学校中应抽取的人数为90180＋270＋90×60＝10.3.[考点二]某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是( )A ．10B ．11C ．12D ．16解析：选D 从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D.4.[考点三]某市有A 、B 、C 三所学校，共有高三文科学生1 500人，且A 、B 、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取________人．解析：设A 、B 、C 三所学校高三文科学生人数分别为x ，y ，z ，由题知x ，y ，z 成等差数列，所以x ＋z ＝2y ，又x ＋y ＋z ＝1 500，所以y ＝500，用分层抽样方法抽取B 校学生人数为1201 500×500＝40.答案：405.[考点二]为了了解本班学生对网络游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取时的分段间隔是6.即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.答案：57突破点(二)用样本估计总体1．频率分布直方图和茎叶图(1)作频率分布直方图的步骤①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．(3)茎叶图的优点茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．2．样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. ②方差：标准差的平方s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x i (i ＝1,2,3，…，n )是样本数据，n是样本容量，x 是样本平均数．③方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度．(3)平均数、方差公式的推广若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则数据mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n＋a 的平均数为m x ＋a ，方差为m 2s 2.[例1] (1)(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140(2)某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则(30,35](百元)月工资收入段应抽出________人．[解析] (1)由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140，故选D.(2)月工资收入落在(30,35](百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，所以(30,35](百元)月工资收入段应抽出100×0.15＝15(人)．[答案] (1)D (2)15 [方法技巧]1．绘制频率分布直方图时需注意的两点(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确； (2)频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率．2．与频率分布直方图计算有关的两个关系式 (1)频率组距×组距＝频率； (2)频数样本容量＝频率，此关系式的变形为频数频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数．茎叶图1(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一； (2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．2．茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．[例2] 某良种培育基地正在培育一小麦新品种A ，将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下．品种A ：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品种B ：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,41 5,416,422,430(1)作出数据的茎叶图；(2)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．[解](1)画出茎叶图如图所示：(2)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A 的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．[方法技巧]茎叶图问题的求解策略(1)由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表问题时，要充分对这个图表提供的样本数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断．(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图数据求出样本数据的数字特征，进一步估计总体情况．样本的数字特征1际应用中，需先计算数据的平均数，分析平均水平，再计算方差(标准差)，分析稳定情况．2．若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性比较方差(标准差)的大小．考法(一)与频率分布直方图交汇命题[例3](2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．[解](1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：组号12345678分组[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27] 频率0.10.150.20.250.150.050.050.054×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．[方法技巧]频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．考法(二)与茎叶图交汇命题[例4](1)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别为()甲组乙组9099y6166x629A.7,8 B．5,7(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：8 7 7 941x91则7个剩余分数的方差为________．[解析] (1)甲组数据的中位数为17, 故y ＝7，乙组数据的平均数为3×10＋20＋(9＋6＋6＋x ＋9)5＝17.4，解得x ＝7.(2)由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4.s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.[答案] (1)D (2)367[易错提醒]在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．考法(三) 与优化决策问题交汇[例5] 甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲 乙 丙 丁 平均环数x 8.3 8.8 8.8 8.7 方差s 23.53.62.25.4) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁[解析] 由题目表格中数据可知，丙平均环数最高，且方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.[答案] C [方法技巧]利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的14，且样本容量为80，则中间一组的频数为( )A ．0.25B ．0.5C ．20D ．16解析：选D 设中间一组的频数为x ，依题意有x 80＝14⎝⎛⎭⎫1－x 80，解得x ＝16. 2.[考点二]在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．131415⎪⎪⎪⎪0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 91 1 12 2 23 34 45 5 56 67 80 1 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在20÷5＝4个小组中，每组取1人，共取4人．3.[考点一]某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值等于( )A ．0.12B ．0.012C ．0.18D ．0.018解析：选D 依题意，0.054×10＋10×x ＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得 x ＝0.018. 4.[考点三·考法(二)]如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )7 9 8 4 4 6 4 793A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.6D ．85,4 解析：选C 依题意，所剩数据的平均数是80＋15×(4×3＋6＋7)＝85，所剩数据的方差是15×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.5.[考点三·考法(三)]甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：．解析：x －甲＝x －乙＝9，s 2甲＝15×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定． 答案：甲6.[考点三·考法(一)](2016·四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2，2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a ＋0.20＋0.26＋0.5×a ＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a ＝0.30. (2)由(1)知100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x ＜3.由0.30×(x －2.5)＝0.85－0.73，解得x ＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 7.[考点三·考法(二)]某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．解：(1)由题可知，这20名工人年龄的众数是30，极差是40－19＝21. (2)这20名工人年龄的茎叶图如图所示：(3)这20名工人年龄的平均数为x ＝120(19＋3×28＋3×29＋5×30＋4×31＋3×32＋40)＝30，∴这20名工人年龄的方差为s 2＝120∑20 i ＝1 (x i －x )2＝112＋6×22＋7×12＋5×02＋10220＝25220＝12.6.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国丙卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：选D由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；故D错误．2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样解析：选C由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B和D.故选C.3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解：(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？A 药解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y －.由观测结果可得 x －＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y －＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x －>y －，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：5 2 1 0 3. 2从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1 200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法解析：选B在①中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在②中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法．2．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝() A．660 B．720 C．780 D．800解析：选B由已知条件，抽样比为13780＝1 60，从而35600＋780＋n＝160，解得n＝720.3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．93 B．123 C．137 D．167解析：选C初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.4.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；。
