一种无界区域上二维双调和边值问题的非重叠型区域分解算法

二维切割问题常见解法（原创实用版）目录一、引言二、二维切割问题的定义和背景三、常见解法1.直接计算法2.启发式算法3.动态规划法四、总结五、参考文献正文一、引言二维切割问题是数学建模中的一个经典问题，它在实际生产和生活中具有广泛的应用。

本文将对二维切割问题的常见解法进行介绍和分析，以帮助读者更好地理解和掌握这一问题。

二、二维切割问题的定义和背景二维切割问题是指在平面上对一个给定的区域进行切割，使得切割后的区域面积之和最小。

这一问题在实际应用中具有广泛的背景，例如在制造业中，切割原材料以制作产品；在物流业中，切割货物以节省运输空间等。

三、常见解法1.直接计算法直接计算法是一种基于穷举法的解法。

它通过对给定区域内的每个点进行逐一考察，计算出每个点作为切割点的切割面积，然后取所有切割面积的最小值作为最终结果。

这种方法的优点是简单易懂，缺点是计算量过大，对于大规模问题难以适用。

2.启发式算法启发式算法是一种根据经验和启发规则进行解题的方法。

在二维切割问题中，常见的启发式算法有模拟退火算法、遗传算法等。

这些算法根据问题的特点和约束条件，在一定程度上减少了搜索空间，提高了求解效率。

3.动态规划法动态规划法是一种将问题分解为子问题，通过求解子问题来解决原问题的方法。

在二维切割问题中，动态规划法通常采用二维动态规划，即将问题分解为横纵两个方向的子问题，通过对子问题的求解，最终得到切割面积的最小值。

动态规划法的优点是计算效率高，适用于大规模问题。

四、总结本文对二维切割问题的常见解法进行了介绍和分析，包括直接计算法、启发式算法和动态规划法。

这些方法各有优缺点，适用于不同规模和复杂度的问题。

在实际应用中，需要根据具体问题特点选择合适的解法。

五、参考文献[1] 数学建模二维切割问题。

无界区域上非齐次抛物型方程的人工边界条件法抛物型方程在科学和工程领域中具有广泛的应用，例如热传导、扩散、波动等问题。

然而，对于无界区域上的抛物型方程，由于边界条件的缺失，往往导致数值求解的困难。

为了克服这一困难，人工边界条件法被提出并得到了广泛的应用。

人工边界条件法是一种将有界区域上的问题转化为无界区域上的问题进行求解的方法。

其核心思想是通过引入人工边界，将无界区域转化为有界区域，从而可以使用传统的数值方法求解。

在非齐次抛物型方程中，人工边界条件法的基本步骤如下：首先，选择合适的人工边界，通常选择与原问题的特征线相切的直线或曲线作为人工边界。

然后，根据边界条件的类型，确定人工边界上的数值近似值。

常见的方法有零边界条件、第一类边界条件和第二类边界条件。

接下来，根据人工边界条件的近似值，将无界区域划分为有界区域和无界区域。

有界区域是指与人工边界相切的部分，通常在这个区域内使用传统的数值方法求解。

无界区域是指人工边界以外的部分，通常采用特殊的数值方法求解，例如人工边界元法、人工边界积分法等。

最后，将有界区域和无界区域的数值解进行整合，得到整个无界区域上的数值解。

通常采用插值或外推的方法进行整合，确保数值解的精确性和稳定性。

与传统的有界区域上的数值方法相比，人工边界条件法具有以下优势：一是可以处理无界区域上的问题，扩展了数值求解的范围；二是可以避免边界条件的缺失带来的困扰，提高了数值求解的精度和稳定性；三是可以减少计算量和存储空间的需求，提高了求解效率。

总之，无界区域上非齐次抛物型方程的人工边界条件法是一种有效的数值求解方法。

通过引入人工边界，将无界区域转化为有界区域，可以克服边界条件缺失的困扰，实现对无界区域上抛物型方程的精确求解。

随着数值方法的不断发展，人工边界条件法在科学和工程领域中将发挥越来越重要的作用。

无界区域Stokes问题基于自然边界归化的区域分解法随着科技的不断发展，数学在许多领域的应用也越来越广泛。

其中，Stokes问题是流体力学中一个重要的数学模型，用于描述粘性流体的运动。

然而，该问题在无界区域上的求解一直是一个具有挑战性的难题。

为了解决这个问题，研究人员提出了基于自然边界归化的区域分解法。

在传统的有界区域中，Stokes问题可以通过有限元方法等数值方法进行求解。

然而，在无界区域中，问题的无穷远处边界条件的处理成为了一个困扰研究者的难题。

自然边界归化的思想在这里起到了关键的作用。

自然边界归化是一种将无界区域转化为有界区域的方法，通过引入一个人工边界，将无界区域的边界条件转化为有界区域上的边界条件。

这样一来，就可以利用传统的数值方法进行求解。

在基于自然边界归化的区域分解法中，将无界区域分割成一个核心区域和一个外边界区域。

核心区域是一个有界区域，可以通过传统的有限元方法进行求解；外边界区域则通过自然边界归化的方式进行处理。

具体而言，基于自然边界归化的区域分解法可以分为以下几个步骤：首先，选择一个合适的有界区域作为核心区域，并给出与无界区域的边界条件相对应的边界条件。

然后，将无界区域分割成核心区域和外边界区域，并利用自然边界归化的方法将无界区域的边界条件转化为有界区域上的边界条件。

接下来，利用传统的有限元方法在核心区域上求解Stokes问题。

最后，通过外边界区域上的边界条件，确定无界区域的解。

基于自然边界归化的区域分解法在解决无界区域Stokes问题方面具有很大的潜力。

它不仅可以简化问题的求解过程，还可以提高求解的精度和效率。

此外，该方法还可以应用于其他无界区域上的数学模型的求解，具有广泛的应用前景。

总之，基于自然边界归化的区域分解法为无界区域Stokes问题的求解提供了一种新的思路和方法。

通过将无界区域转化为有界区域，利用传统的数值方法进行求解，可以克服无界区域求解的困难，为相关领域的研究和应用带来了新的机遇。

二维有限差分法
二维有限差分法是一种用于求解二维偏微分方程的数值解法。

它将待求解区域分割成有限个网格点，并利用差分近似方法将偏微分方程转化为代数方程组，然后通过迭代求解这个方程组来获得数值解。

具体来说，二维有限差分法将二维区域 $\Omega$ 划分成
$M$ 个横向离散点和 $N$ 个纵向离散点，得到一个 $M \times N$ 的网格。

偏微分方程在网格上被离散化为一组代数方程，其中每个网格点的解被近似表示为该点以及周围点的函数值。

在二维有限差分法中，常用的差分格式包括中心差分、向前差分和向后差分等。

通过差分近似，偏微分方程中的导数被转化为差分系数的线性组合。

然后，可以得到一个线性方程组，其中每个网格点的系数由该点周围网格点的差分系数决定。

解这个线性方程组可以使用迭代方法，如Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代或SOR（逐次超松弛法）迭代等。

迭代过程一般需要设定迭代停止条件，比如迭代次数的上限、残差的收敛精度等。

通过二维有限差分法，可以求解各种边界条件下的二维偏微分方程，比如泊松方程、热传导方程、扩散方程等。

它是一种经典且简单实用的数值方法，广泛应用于科学计算和工程领域。

有限元综述蔡璟、吕丹丹、李川摘要：有限元法（Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法。

1965年“有限元”这个名词第一次出现，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。

如今，有限元在工程上得到广泛应用。

本文首先介绍了有限元的研究背景和意义，其次从它的诞生、主要特点以及解题步骤三方面阐述相关概念，再讨论传统有限元算法及优化算法、有限元与其他算法结合得到的混合算法两个方面来分类阐述各自的研究现状与特点，最后总结有限元算法的应用以及发展趋势。

关键词：有限元法，FEM，经典算法，优化算法，网格优化，Herrmann算法，时域有限元，混合算法，矩量法，时域有限差分，应用研究，边界元法，光滑粒子法，发展趋势前言有限元法（Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法，其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。

有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。

自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，解决了物理场应用中的限制。

经历几十年的发展，有限元法已经被广泛用于各个领域。

1.研究背景和意义有限元法的思想首先由 R. Courant 在 1943 年提出，十九世纪六十年代数值分析科学家认识了有限元基本思想，建立了有限元方法的数学基础。

其中，我国数学家冯康独立地提出了有限元方法，将其命名为“基于变分原理的差分格式”，对有限元方法的创始及奠基工作做出了重要贡献。

以变分原理为基础建立起来的有限元法,因其理论依据的普遍性,不仅广泛地被应用于各种结构工程,而且作为一种声誉很高的数值分析方法已被普遍推广并成功地用来解决其他工程领域中的问题,例如热传导!渗流!流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。

一种非完全的散点图去重叠算法
赵颖;秀昱宏;唐涛;文陈飞宇;陈晓慧;尤旸;周芳芳
【期刊名称】《软件学报》
【年(卷),期】2023(34)2
【摘要】散点图中数据点重叠现象会严重影响可视分析效率.现有散点图去重叠算法主要通过调整部分数据点的位置来完全去除重叠,但普遍存在画布面积增长、轮廓保持不自然、迭代时间较长等问题.认为完全去除重叠是非必须的,通过实验发现:用户能够在散点图有轻微重叠的情况下,快速、准确地完成数据点选取和区域密度估计等可视分析任务.因此,提出了一个非完全的散点图去重叠算法,该算法通过结合虚拟点临时占位、Voronoi网格划分、数据点选择性移动和重叠率快速计算等方法,实现分布紧凑、轮廓自然、高效迭代的散点图去重叠效果.通过客观实验和主观实验评估了算法性能.实验结果表明,该算法在移动距离、面积增长、形状保持、正交顺序、邻域保持这5个客观指标和形状相似性、类簇稳定性这2个主观指标上都优于现有算法.
【总页数】19页(P945-963)
【作者】赵颖;秀昱宏;唐涛;文陈飞宇;陈晓慧;尤旸;周芳芳
【作者单位】中南大学计算机学院;信息工程大学数据与目标工程学院;明略科技集团
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.一种基于SVD的非平稳信号重叠分段降噪算法
2.非定常Stokes方程一种基于完全重叠型区域分解的有限元并行算法
3.一种无界区域上二维双调和边值问题的非重叠型区域分解算法
4.一种基于完全子图与标签传播的重叠社区检测算法
5.非定常Navier-Stokes方程基于完全重叠型区域分解的有限元并行算法
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无界区域的定解问题前言：对于定义在整个空间或半空间的偏微分方程的定解问题，原则上可以用分离变量法求解，另外还有一些专门的方法来解决这类问题，本章就讨论这些解法。

含两个自变量x 和y 的二阶线性偏微分方程的一般形式为：),(22122222122211y x f cu y ub x u b yu a y x u a x u a =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂其中11a ，12a ，22a ，1b ，2b 和c 都只是x 和y 的函数。

根据判别式2211212a a a -=∆符号的不同可如下来划分偏微分方程的类型⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆=-=∆>-=∆椭圆型，抛物型，双曲型，000221121222112122211212a a a a a a a a a 定解问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∞<<-∞=∂∂==∂∂-∂∂==)0,0,(,)(),(),(),(00022222a t x x t x u t x t x u x u a t u t t ψϕ由于111=a ，012=a ，222a a -=，则0)(222211212>=-->-=∆a a a a a 。

令at x t x +=),(ζ，at x t x -=),(η，),(),(ηζv t x u =，可化为：02=∂∂∂ηζv通解为：)()(),(21ηζηζf f v +=，其中)(1ζf ，)(2ηf 为任意函数。

通解为：)()(),(21at x f at x f t x u -++= 代入初始条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-⇒='-'⇒=∂∂=+⇒=⎰==)()()(1)()()()()()(),()()()()(),(0201212102100x f x f d a x f x f x x f a x f a x t x u tx x f x f x t x u x x t t ζζψψψϕϕ由上式可推出：⎪⎩⎪⎨⎧---=-++=⎰⎰)]()([21)(21)(21)()]()([21)(21)(21)(020*******00x f x f d a x x f x f x f d a x x f x x x x ζζψϕζζψϕ 特解： ⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ζζψϕϕ)(21)]()([21),(达朗贝尔公式的物理意义： 初位移)(x ϕ分成两半，各为2)(x ϕ，经过时间t 分别向左移动at 变成2)(at x +ϕ，向右移动at 变成2)(at x -ϕ，移动的速度均为a ，弦的总位移),(t x u 为2)(at x +ϕ和2)(at x -ϕ的叠加。