回归分析总结
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第十二章 多元回归分析
在许多实际问题中，影响因变量的因素有一个时，我们用一元回归分析解决问题，但是影响因变量的因素往往有多个，此时问题就上升到了一个因变量同多个自变量的多元回归问题。
当因变量与自变量之间为线性关系时，我们称之为多元线性回归。
多元性性回归分析的原理同一元线性回归基本相同，但计算上要复杂得多。
主要知识点：
建立的回归模型中回归系数和误差项分别代表的含义：
回归系数)2,1,0(k i i
=β表示当其他 1-k 个自变量不变时，第i 个自变量
一个单位因变量y 的平均变动量；
误差项ε表示不能由各个自变量与y 之间的线性关系所解释的变异性。
利用软件用最小二乘法对参数进行估计的方法及步骤：
在Excel 中使用“工具”→“数据分析” →“回归” →输入数据区域→“确定”，即可得到各参数的估计值，此时便可以写出回归方程。
拟合优度的检验方法：
方法一：多重判定系数
1012
2≤≤-==R R SST
SSE SST SSR
R 2
表示在因变量y 的总变差中被估计的回归方程所解释的比例；
故R 2
越大越好。
方法二：估计标准误差 1
()ˆ2
e
---=∑k n y
y S
i
i
S
e
表示根据所建立的回归方程，用自变量来预测因变量时，平均
预测误差的大小；
故S e 越小越好，越小说明波动性越小。
用软件进行线性关系检验的方法：
在Excel 中，在“工具”→“数据分析” →“回归” →方差分析一栏中有“SignificanceF ”值（即P 值），当α<p 时，拒绝原假设；当α>p 时，接受原假设。
回归系数的检验：
检验单个自变量对因变量的影响是否显著，检验步骤同线性关系的检验，检验过
程中可能会因为“多重共线性”问题导致某些自变量无法通过检验。
检验步骤：第1步：提出假设。
对于任意参数)2,1(k i i
=β有
0:0
=β
i
H
0:1
≠β
i
H
第2步：计算检验的统计量t 。
)1(~ˆ
ˆ--=k n t S t
i
i
i
ββ
第3步：做出统计决策。
给定显著性水平α，根据自由度=n-k-1查t 分布表，得
t 2
α
的值。
若t t α>，则拒绝原假设；若t t 2α<，则不拒
绝原假设。
多重共线性：
产生原因：自变量之间的相关性； 检验方法：
方法一：检验模型中各对自变量之间是否显著相关，若显著相关则暗示
存在多重共线性；
方法二：当模型的线性关系检验（F 检验）显著时，几乎所有回归系数β
i
的t 检验却不显著；
方法三：当回归系数的正负号与预期的相反时也预示着多重共线性的存
在；
问题的处理：
方法一：将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量尽
可能不相关；
方法二：如果要在模型中保留所有的自变量，那就应该：
ⅰ 避免根据t 统计量对单个参数β进行检验。
ⅱ 对因变量y 值得推断（估计或预测）限定在自变量样本值
的范围内。
利用回归方程进行预测：
利用给定的k 个自变量，求出因变量y 的平均值的预测区间和个别值的预测区间。
变量选择：
原理：对统计量进行显著性检验，将一个或一个以上的自变量引入模型，如果增加一个自变量会使得残差平方和（SSE ）明显减少，则将该自变量留在模型中，否则剔除。
主要方法：1）向前选择2）向后剔除3）逐步回归
本章知识结构如下：
1、 建立回归模型 εβ
βββ+++++=x x
x k
k
y 2
2
1
1
回归方程 x
x
x k
k
y β
βββ
++++= 2
2
1
1
2、 利用最小二乘法对参数进行估计
参数包括ββββk
2
1
，，
本章例题
对于绝大多数的钢种而言，磷是有害的元素之一，要求含磷越低越好，经过试验技术人员发现，高磷钢的效率与高磷钢的出钢量及高磷钢中的FeO 含量有一定关系, 所测数据如下表：
方法一：多重判定系数
R 2
方法二：估计标准误差 S
e
1) 提出假设 2) 计算统计量)1,(~)
1(----=
k n k F k n SSE K
SSR F
3) 作出决策 αα,,,P F F
a) 向前选择 b) 向后剔除 c) 逐步回归
a) 计算各对自变量之间的相关系数，并对各相关系数进行显著性检验；
b) 当模型的线性关系进行F 检验显著时，几乎所有回归系数βi
的t 检验却不显著；
c) 回归系数与预期的的相反； 多 元 回 归 分 析
含量(x)
设高磷钢的效率为y、高磷钢的出钢量为x1、高磷钢中的FeO含量为x2用Excel进行回归，回答下面的问题：
（1）写出估计的回归方程。
（2）在高磷钢的效率的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是多少？（3）检验回归方程的线性关系是否显著（05
.0
=
α）。
（4）检验各回归系数是否显著（05
.0
=
α）。
（5）检验所建立的回归方程是否存在多重共线性。
解：用Excel进行回归分析输出如下所示：
回归统计
Multiple R 0.688844
R Square 0.474506
Adjusted R Square 0.369407
标准误差 3.846481
观测值13
方差分析
df SS MS F Significance F
回归分析 2 133.5981 66.79907 4.514849 0.040072
残差10 147.9542 14.79542
总计12 281.5523
Coefficients 标准误差P-value Lower
95%
Upper
95%
下限
95.0%
上限
95.0%
Intercept 75.14378 9.487736 1.29E-05 54.00379 96.28377 54.00379 96.28377 出钢量0.215485 0.074578 0.016124 0.049314 0.381655 0.049314 0.381655 FeO含量-0.84321 0.548418 0.155181 -2.06516 0.378745 -2.06516 0.378745 （1）由此可得到高磷钢的效率与高磷钢的出钢量及高磷钢中的FeO含量的回
归方程：x x y 2184321.0215485.014378.75-+=
其中回归系数215485.01
=β表示，在FeO 含量不变时，高磷钢的效率每增
加一个单位，高磷钢的出钢量将增加0.215485个单位。
84321
.02
-=β
表示，在高磷钢的出钢量不变时，高磷钢的效率每增加一个单位，FeO 含量要降低0.84321个单位。
（2）在回归统计一栏中有R 2
=0.474506，所以在高磷钢的效率的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是47.75%。
（3）在方差分析一栏中有Significance F （即P 值）=0.040072，在05.0=α的显著性水平下，有P<α,故拒绝原假设，说明高磷钢的效率与高磷钢的出钢量和高磷钢中的FeO 含量之间存在显著性的线性关系。
（4）由回归分析输出的结果中的P-value （即P 值）一栏可以看出，只有出钢量对应的回归系数通过了检验。
说明在影响高磷钢的效率的两个变量中，只有出钢量的影响是显著的，而高磷钢中的FeO 含量则对高磷钢的效率没有显著性影响。
（5）
各相关系数检验的统计量如下表所示：
查表得2010.2)213(2=-∂t ，由于统计量小于2010.2)213(2=-∂t ，所以接受
原假设，说明两个自变量之间没有显著的相关关系。
故不存在多重共线性。
出钢量 FeO 含量
出钢量 1
FeO 含量 0.256003 1
出钢量 FeO 含量
出钢量 1
FeO 含量 0,878336 1
出钢量、FeO 含量之间的相关矩阵
各相关系数检验的统计量。
