【K12教育学习资料】[学习]2019届高考数学一轮复习 第7单元 立体几何听课学案 理

第七单元立体几何第40讲空间几何体的三视图和直观图﹑表面积与体积课前双击巩固1.多面体的结构特征2.旋转体的结构特征3.三视图与直观图4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式5.空间几何体的表面积与体积公式常用结论1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.2.多面体的内切球与外接球常用的结论.(1)设正方体的棱长为a,则它的内切球半径r=,外接球半径R= a.(2)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球半径R=.(3)设正四面体的棱长为a,则它的高为a,内切球半径r=a,外接球半径R= a.3.正方体的截面情况: 三角形、四边形(有菱形、矩形、梯形等)、五边形、六边形.题组一常识题1.[教材改编]一个几何体由5个面围成,其中两个面是互相平行且全等的三角形,其他面都是全等的矩形,则该几何体是;一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周形成的封闭曲面所围成的几何体是.2.[教材改编]如图7-40-1所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,若图①是正视图,则图②是,图③是.图7-40-13.[教材改编]已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为.4.[教材改编]如图7-40-2所示是一个几何体的三视图,正视图是长为2,宽为1的矩形,俯视图是正方形,侧视图是半圆,则这个几何体的表面积是,体积是.图7-40-2题组二常错题◆索引:不清楚三视图的三个视图之间的长度关系致错;几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准确致误;对几何体与其外接球的结构不清楚致误.5.给出下列说法:①有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱;②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确说法的序号是.6.一个四面体的三视图如图7-40-3所示,则该四面体的表面积是.图7-40-37.若某几何体的三视图如图7-40-4所示,则此几何体的体积是.图7-40-48.某几何体的三视图如图7-40-5所示,则该几何体的外接球的表面积是.图7-40-5课堂考点探究探究点一空间几何体的三视图和直观图1 (1)[2017·南昌二模]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),,1,0,绘制该四面体的三视图时, 按照如图7-40-6所示的方向画正视图,则得到的侧视图可以为()图7-40-6图7-40-7(2)[2017·北京卷]某四棱锥的三视图如图7-40-8所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()图7-40-8A.3B.2C.2D.2[总结反思] 分析空间几何体的三视图可从以下几方面着手:(1)由三视图中的线是否含有曲线,可确定该几何体是多面体还是旋转体.(2)根据俯视图确定几何体的底面,再根据正视图或侧视图确定几何体的侧面与侧棱的特征,调整虚、实线对应的棱、面的位置,可确定几何体的形状.(3)由三视图还原实物图,要遵循以下三步:①看视图,明关系;②分部分,想整体;③综合起来,定整体.式题 (1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图7-40-9所示,则该几何体的侧视图为( )图7-40-9图7-40-10(2)某几何体的三视图如图7-40-11所示,则该几何体中最长棱的长度为()图7-40-11A.3B.2C.D.2探究点二空间几何体的表面积与体积2 (1)[2017·渭南质检]某几何体的三视图如图7-40-12所示,则该几何体的体积为()A.64B.64-4πC.64-8πD.64-图7-40-12(2)[2017·太原模拟]某几何体的三视图如图7-40-13所示,则该几何体的表面积为()A.B.8+C.(4+)πD.(5+)π图7-40-13[总结反思] (1)根据三视图求表面积、体积时,解题的关键是对所给三视图进行分析,得到几何体的直观图.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,求组合体的表面积时要注意重合部分的面积,不要漏算或多算,解决旋转体的表面积问题要熟练应用其侧面展开图的面积公式.(3)求规则几何体的体积,只需确定其底面积与相应的高,而对于一些不规则几何体的体积往往需采用分割法或补形法,转化求解.式题 (1)[2017·郑州质检]如图7-40-14是某个几何体的三视图,则这个几何体的体积是()A.2+B.2+C.4+D.4+图7-40-14(2)[2017·长沙一中二模]如图7-40-15,某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及两条对角线,则该几何体的表面积为 ()A.2B.2C.3D.4图7-40-15探究点三空间几何体与球的切﹑接问题考向1几何体的外接球3 (1)[2017·深圳二调]已知三棱锥S-ABC中,△ABC是直角三角形,其斜边AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.64πB.68πC.72πD.100π(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.[总结反思] 一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题,解决这类问题的关键是抓住外接球的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.考向2几何体的内切球4 (1)在三棱锥P-ABC中,侧棱PA=PB=2,PC=,则当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积和最大时,三棱锥P-ABC的内切球的表面积是 ()A.(32-8)πB.(32-16)πC.(40-8)πD.(40-16)π(2)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则= .[总结反思] 求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点,多面体的各侧面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.强化演练1.【考向1】正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于2,则它的外接球的表面积是()A.16πB.12πC.8πD.4π2.【考向2】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,AC=12,BC=5,若一个球和该三棱柱的各个面都相切,则该三棱柱的表面积为 ()A.60B.180C.240D.3603.【考向2】如图7-40-16,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为()A.πB.C. D.π图7-40-164.【考向1】在三棱锥S-ABC中,侧棱SA⊥底面ABC,AB=5,BC=8,∠ABC=60°,SA=2,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.πB.πC.πD.π5.【考向1】长方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球O的球面上,若AB∶AD∶AA1=2∶1∶,则四棱锥O-ABCD的体积为.第41讲空间点、直线、平面之间的位置关系课前双击巩固1.空间图形的公理与定理公理1:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相.定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角或.2.空间直线之间的位置关系(1)空间直线(2)异面直线所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围:.3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系(2)空间中平面与平面的位置关系题组一常识题1.[教材改编]共点的三条直线最少可确定个平面,最多可确定个平面.2.[教材改编]已知直线a与b平行,直线c与b相交,则直线a与c的位置关系是.3.[教材改编]已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线n满足n⊥β,则n与l的位置关系为.4.[教材改编]三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,底面边长为2,高为,M是AB的中点,则直线CM与BC1所成的角等于.题组二常错题◆索引:忽略公理2的条件致误;对异面直线概念的理解不准确致误;忽视异面直线的取值范围致误.5.若a,b是异面直线,c与a,b都相交,则由这三条直线可以确定个平面.6.下列关于异面直线的说法正确的是.(1)若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;(2)若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;(3)若a,b不同在平面α内,则a与b异面;(4)若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面.7.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的条件.(填充分不必要、必要不充分、充要)8.若一条直线与一个平面所成的角为,则此直线与这个平面内任意一条直线所成角的取值范围是.课堂考点探究探究点一平面的基本性质1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)直线AC1在平面CC1B1B内;(2)设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;(3)由点A,O,C可以确定一个平面;(4)由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;(5)设直线l是平面ABCD内的直线,直线m是平面DD1C1C内的直线,若l与m相交,则交点一定在直线CD上.[总结反思] (1)三个公理是立体几何的基础.公理1是确定直线在平面内的依据;公理2是利用点或直线确定平面的依据;公理3是确定两个平面有一条交线的依据,同时也是证明多点共线、多线共点的依据.(2)证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3,证明点在两个平面的交线上,或者选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在该直线上.式题 (1)若点P∈平面α,点Q∈平面α,点R∈平面β,α∩β=m,且R∉m,PQ∩m=M,过P,Q,R三点确定一个平面γ,则β∩γ是()A.直线QRB.直线PRC.直线RMD.以上均不正确(2)给出下列四个说法:①经过三点确定一个平面;②梯形可以确定一个平面;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3探究点二空间两条直线的位置关系2 (1)[2017·东北三省三校联考]已知α是一个平面,m,n是两条不同的直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是 ()A.垂直B.相交C.异面D.平行(2)[2017·临汾一模]已知平面α和直线a,b,则下列说法正确的是()A.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线平行B.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线不可能垂直C.若直线a,b平行,则这两条直线中至少有一条与平面α平行D.若直线a,b垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直[总结反思] (1)要判断空间两条直线的位置关系(平行、相交、异面),可利用定义及公理4,借助空间想象并充分利用图形进行判断.(2)判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来推断;二是利用排除法.式题 (1)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使得m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线(2)设a,b,c是空间中三条不同的直线,给出下面四个说法:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a与b一定是异面直线.其中说法正确的是.(写出所有正确说法的序号)探究点三异面直线所成的角3 (1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,D是CC1的中点,则CA1与BD所成角的大小是()A. B.C. D.(2)如图7-41-1,E,F分别是三棱锥P-ABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为.图7-41-1[总结反思] 用平移法求异面直线所成角的一般步骤:(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角;(2)求角——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角;(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ,若0°<θ≤90°,则θ即为所求,若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求.式题 (1)已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为()A. B.C.D.(2)如图7-41-2所示,正三棱锥A-BCD的底面BCD与正四面体E-BCD的底面BCD重合,连接AE,则异面直线AE与CD所成角的大小为 ()图7-41-2A.30°B.45°C.60°D.90°第42讲直线、平面平行的判定与性质课前双击巩固1.直线与平面平行的判定与性质2.面面平行的判定与性质常用结论1.两个平面平行,则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.2.三种平行关系的转化:线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.题组一常识题1.[教材改编]已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线有条.2.[教材改编]空间四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,且满足=,则直线EF与平面ABC的位置关系是.3.[教材改编]如图7-42-1所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1DC1的位置关系是.图7-42-14.[教材改编]如图7-42-2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面AEC 的位置关系为.图7-42-2题组二常错题◆索引:对空间平行关系的相互转化条件理解不够致误;忽略线面平行判定定理的条件致误;应用面面平行的判定定理时忽视“面内两条相交直线”这一条件致误.5.设m,l表示两条不同的直线,α表示平面,若m⊂α,则“l∥α”是“l∥m”的条件.6.(1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a与α的位置关系是.(2)已知直线a,b和平面α,β,若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α,β的位置关系是.(3)若α∥β,直线a∥α,则a与β的位置关系是.7.下列条件中,能判断两个平面平行的是.(1)一个平面内的一条直线平行于另一个平面;(2)一个平面内的两条直线平行于另一个平面;(3)一个平面内有无数条直线平行于另一个平面;(4)一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面.课堂考点探究探究点一平行关系的基本问题1 (1)[2017·全国卷Ⅰ]如图7-42-3,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()A B C D图7-42-3(2)[2017·济南模拟]平面α∥平面β的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α[总结反思] 解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面:(1)判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件;(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断;(3)举反例否定结论.式题 (1)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A.2条B.4条C.6条D.8条(2)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个说法:①若m⊂α,n∥α,则m∥n;②若α∥γ,β∥γ,则α∥β;③若α∩β=n,m∥n,m∥α,则m∥β;④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确说法的序号是.探究点二线面平行的判定与性质2 如图7-42-4所示,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,M为CC'的中点,N为AB的中点,AA'=BC=3,AB=2,AC=.图7-42-4(1)求证:CN∥平面AB'M;(2)求三棱锥B'-AMN的体积.[总结反思] (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.式题如图7-42-5所示,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2BC,E为侧棱PC上不同于端点的任意一点.若PA∥平面BDE,求的值.图7-42-5探究点三面面平行的判定与性质3 如图7-42-6,在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中,AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AD ∥BC,BC=2AD.请在图中作出平面α,使得DE⊂α,且BF∥α,并说明理由.图7-42-6[总结反思] 证明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的定义或判定定理;(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β);(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).式题已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD=2BC,E,F分别为CC1,DD1的中点.求证:平面BEF∥平面AD1C1.图7-42-7第43讲直线、平面垂直的判定与性质课前双击巩固1.直线与平面垂直(1)定义:如果直线l与平面α内的都垂直,就称直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的.(2)直线与平面垂直的判定与性质,⇒⇒b⊥α⇒a⊥b⇒a∥b2.两个平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)两个平面垂直的判定和性质⇒α⊥β⇒常用结论1.与线面垂直相关的两个常用结论:(1)两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直;(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直.2.三种垂直关系的转化:线线垂直线面垂直面面垂直题组一常识题1.[教材改编]已知直线a,b和平面α,且a⊥α,b∥α,则a与b的位置关系为.2.[教材改编]已知三棱锥P-ABC的三条侧棱都相等,顶点P在底面ABC上的射影为O,则O 是△ABC的心.3.[教材改编]如图7-43-1所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中点,E是PC上的点,且EF⊥BC,则= .图7-43-14.[教材改编]如图7-43-2所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,平面ADC ⊥平面.图7-43-2题组二常错题◆索引:忽略线面垂直的条件致误;忽视平面到空间的变化致误.5.“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的条件.6.已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a与c的位置关系为.7.已知直线a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,则a与α的位置关系为.8.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线n满足n⊥β,则n与l的位置关系是.课堂考点探究探究点一垂直关系的基本问题1 (1)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个说法中错误的是()A.若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥αB.若a∥α,a⊥β,则α⊥βC.若a⊥β,α⊥β,则a∥αD.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β(2)[2017·全国卷Ⅲ]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC[总结反思] 解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法: (1)依据相关定理得出结论;(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断;(3)否定命题时只需举一个反例即可.式题 (1)[2017·宣城二调]已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列四个说法中错误的是()A.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥nB.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥nC.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m⊥αD.若α∥β,m∥α,则m∥β(2)[2017·洛阳三模]若空间中四个不重合的平面α1,α2,α3,α4满足α1⊥α2,α2⊥α3,α3⊥α4,则下列结论一定正确的是()A.α1⊥α4B.α1∥α4C.α1与α4既不垂直也不平行D.α1与α4的位置关系不确定探究点二线面垂直的判定与性质2 [2018·郑州一中月考]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD 是等腰三角形,AB=2AD,E是AB的一个三等分点(靠近点A),CE的延长线与DA的延长线交于点F,连接PF.证明:(1)CD⊥PF;(2)在线段PC,PD上可以分别找到两点A',A″,使得直线PC⊥平面AA'A″.图7-43-3[总结反思] (1)解决直线与平面垂直问题的常用方法:①利用线面垂直的定义;②利用线面垂直的判定定理;③利用线面垂直的性质;④利用面面垂直的判定定理;⑤利用面面垂直的性质.(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着“线面垂直”这个核心展开,这是化解空间垂直关系问题难点的技巧所在.式题 [2017·北京海淀区期中]如图7-43-4所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E,F分别是棱BC,CC1的中点.证明:(1)AB⊥平面AA1C1C;(2)EF⊥A1C.图7-43-4探究点三面面垂直的判定与性质3[2018·豫南九校质检]在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,△PAD是等边三角形,已知AD=2,BD=2,AB=2CD=4.(1)设M是PC上一点,求证:平面MBD⊥平面PAD.(2)求四棱锥P-ABCD的体积.图7-43-5[总结反思] (1)证明面面垂直的常用方法:①利用面面垂直的定义;②利用面面垂直的判定定理,转化为从现有直线中(或作辅助线)寻找平面的垂线,即证明线面垂直.(2)两个平面垂直问题,通常是通过“线线垂直→线面垂直→面面垂直”的过程来实现的.式题如图7-43-6,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AA1,AB=BC,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C.求证:BC1⊥平面AA1C1C.图7-43-6探究点四平行与垂直的综合问题考向1平行与垂直关系的证明4 如图7-43-7,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D 不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.图7-43-7[总结反思] 处理空间图形中的平行与垂直问题,一般考虑判定定理和性质的应用,当满足相关定理的条件时,可直接使用相关定理得出结论.考向2探索性问题中的平行与垂直关系5 如图7-43-8所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.图7-43-8[总结反思] 处理空间中平行或垂直的探索性问题,一般是先根据条件猜测点或直线的位置再给出证明.点一般为中点或三等分点,直线一般为中位线.考向3折叠问题中的平行与垂直关系6 如图7-43-9(1)所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥A1-BCD,如图(2)所示.(1)若M是FC的中点,求证:直线DM∥平面A1EF.(2)求证:BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?请说明理由.图7-43-9[总结反思] 证明折叠问题中的平行与垂直,关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系可在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.强化演练1.【考向1】在三棱锥S-ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形,给出以下结论:①异面直线SB与AC所成的角为90°;②直线SB⊥平面ABC;③平面SBC⊥平面ABC;④点C到平面SAB的距离是 a.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4图7-43-102.【考向1】[2017·宝鸡质检]对于四面体ABCD,给出下列四个说法:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,AC⊥BD,则BC⊥AD.其中正确的说法是()A.①②B.②③C.②④D.①④3.【考向3】如图7-43-11,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,翻折△ABD 和△ACD,使得平面ABD⊥平面ACD.给出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的结论是()图7-43-11A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④4.【考向2】如图7-43-12,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,AB=1,∠ABC=,E为PD的中点,PA=1.(1)求证:PB∥平面AEC.(2)在棱PC上是否存在点M,使得直线PC⊥平面BMD?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.图7-43-12第44讲空间向量及其运算和空间位置关系课前双击巩固1.空间向量及其有关概念=x+y+z2.两个向量的数量积(1)a·b= .(2)a⊥b⇔(a,b为非零向量).(3)|a|2= ,|a|=.3.向量的坐标运算b>=题组一常识题1.[教材改编]已知向量a=(2,-3,5),b=,且a∥b,则λ等于.2.[教材改编]若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则l与α的位置关系为.3.[教材改编]已知在空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则化简+(+)= .4.[教材改编]如图7-44-1所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则可用a,b,c表示为.图7-44-1题组二常错题◆索引:忽略向量共线与共面的区别,使用向量的数量积公式出错.5.给出下列命题:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;③已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc;④若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0.其中为真命题的是(填序号).6.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)·(a-b)的值为.7.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是.课堂考点探究探究点一空间向量的线性运算1 如图7-44-2所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1); (2);(3)+.图7-44-2[总结反思] 进行向量的线性运算,有以下几个关键点:(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系;(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义;(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.式题如图7-44-3所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.(1)化简:--= .(2)用,,表示,则= .图7-44-3探究点二共线﹑共面向量定理的应用2 如图7-44-4所示,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.图7-44-4[总结反思] 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P,A,B,C四点共面,只要能证明=x+y即可.对空间任意一点O,若=x+y+z(x+y+z=1),则P,A,B,C 四点共面.式题如图7-44-5所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k, =k (0≤k≤1),问向量是否与向量,共面?图7-44-5探究点三利用空间向量证明平行或垂直3 [2017·常锡二模]如图7-44-6所示,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,E,F,G分别为AB,AD,AC的中点,AC=BC,∠ACD=90°.(1)求证:AB⊥平面EDC;(2)若P为FG上任一点,证明:EP∥平面BCD.。

平行于 棱锥被____________ 底面的平面所截，截面和底 面之间的部分叫做棱台
(2)旋转体的形成 几何体 圆柱 旋转图形 矩形 直角三角形或 等腰三角形 直角梯形或 等腰梯形 半圆或圆 旋转轴 矩形一边所在的直线 或对边中点连线所在直线 一直角边所在的直线或等腰 三角形底边上的高所在直线 直角腰所在的直线或 等腰梯形上下底中点 连线所在直线 直径所在的直线
第七章
立体几何
知识点
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空间点、 1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 直线、平 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 面之间的 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空 位置关系 间图形的位置关系的简单命题． 空间中的 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识 平行关系 和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．
5.在直观图(如图所示)中， 四边形 O′A′B′C′为菱形 且边长为 2 cm，则在平面直角坐标系 xOy 中，四 边形 ABCO 为________，面积为________cm2.
第七章
立体几何
知识点
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空间中的 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识 垂直关系 和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理． 1.了解空间向量的概念， 了解空间向量的基本定理 及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表 空间向量 示． 及其运算 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用 向量的数量积判断向量的共线与垂直．
第七章
立体几何
知识点
考纲下载 1.认识柱、 锥、 台、 球及其简单组合体的结构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结 构． 2． 能画出简单空间图形(长方体、 球、 圆柱、 圆锥、 棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图 所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直 观图．

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第1节空间几何体的结构、三视图和直观图【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的结构特征1,12空间几何体的三视图2，3，4,6，8，9,10,11,13，14斜二测画法5,7基础巩固(时间：30分钟)1.给出以下命题，其中正确的是( B ）①由五个平面围成的多面体只能是四棱锥;②多面体至少由四个面围成;③在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线;④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线。

（A）①④（B）③④ (C)②③(D）②④解析:三棱柱也是由五个平面围成的,因此①错误;三棱锥是最简单的多面体，由四个面围成,②正确；在圆柱的上下底面的圆周上所取两点连线与旋转轴不平行时,则不是圆柱的母线，③错误;由圆锥的定义知④正确。

故选B。

2。

一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( D ）(A)球（B)三棱锥(C）正方体（D）圆柱解析:球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项A和C。

对于如图所示三棱锥OABC,当OA， OB,OC两两垂直且OA=OB=OC时,其三视图的形状都相同,大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不会完全相同,故选D。

第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1．简单几何体(1)多面体的结构特征(2)旋转体的结构特征2．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)作、看三视图的3原则①位置原则：②度量原则：长对正、高平齐、宽相等(即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽)．③虚实原则：轮廓线——现则实、隐则虚．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．( )(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．( )(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )解析：选B 俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.3．若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为( )A．2,2 3 B．22，2C．4,2 D．2,4解析：选D 由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为23，故底面边长为4，故选D.4．(教材习题改编)如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是______．答案：五棱柱三棱柱5．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误，故结论正确的个数为1.答案：1考点一空间几何体的结构特征基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]A．圆柱B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C 截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．3．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④[怎样快解·准解]空间几何体概念辨析题的常用方法考点二空间几何体的直观图基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：选A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为2 2.故选A.2．已知正三角形ABC 的边长为2，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为________． 解析：如图，图①、图②分别表示△ABC 的实际图形和直观图． 从图②可知，A ′B ′＝AB ＝2，O ′C ′＝12OC ＝32，C ′D ′＝O ′C ′sin 45°＝32×22＝64. 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×2×64＝64.答案：643.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y ′轴，BC ，AD 平行于x ′轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为________ cm 2.解析：依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底的长分别与BC ，AD 相等，高为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.答案：8[怎样快解·准解]1．原图形与直观图中的“三变”与“三不变” (1)“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度改变减半图形改变(2)“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变与x 轴平行的线段长度不变相对位置不变2．原图形与直观图面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： (1)S 直观图＝24S 原图形；(2)S 原图形＝22S 直观图． 考点三 空间几何体的三视图题点多变型考点——追根溯源空间几何体的三视图的辨析是高考的热点内容，一般以选择题或填空题的形式出现.常见的命题角度有：已知几何体，识别三视图；已知三视图，判断几何体；已知几何体的三视图中的某两个视图，确定另一种视图.[题点全练]角度(一) 已知几何体，识别三视图1.(2018·河北衡水中学调研)如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )解析：选C 如图所示，过点A ，E ，C 1的截面为AEC 1F ，则剩余几何体的侧视图为选项C 中的图形．[题型技法] 识别三视图的步骤(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； (3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．角度(二) 已知三视图，判断几何体2．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．3 2 B．2 3C．2 2 D．2解析：选B 在正方体中还原该四棱锥如图所示，从图中易得最长的棱为AC 1＝AC2＋CC21＝2＋22＋22＝2 3.[题型技法] 由三视图确定几何体的3步骤熟练掌握规则几何体的三视图是三视图还原几何体的基础，在明确三视图画法规则的基础上，按以下步骤可轻松解决此类问题：角度(三) 已知几何体三视图中的某两个视图，确定另外一个视图3．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为( )解析：选D 由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D.[题型技法]由几何体的部分视图画出剩余视图的方法解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．[题“根”探求]根据几何体的三视图判断几何体的结构特征，常见的有以下几类[冲关演练]1．(2018·惠州调研)如图所示，将图①中的正方体截去两个三棱锥，得到图②中的几何体，则该几何体的侧(左)视图为( )解析：选B 从几何体的左侧看，对角线AD1在视线范围内，故画为实线，右侧面的棱C1F不在视线范围内，故画为虚线，且上端点位于几何体上底面边的中点．故选B2.(2018·石家庄质检)一个三棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧(左)视图可能为( )解析：选D 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.3.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为＋2×2＝12，故选B.(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1.如图，△A ′B ′O ′是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图，已知A ′B ′∥y ′轴，O ′B ′＝4，且△ABO 的面积为16，过A ′作A ′C ′⊥x ′轴，则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴，所以△ABO 中，AB ⊥OB . 又因为△ABO 的面积为16，所以12AB ·OB ＝16.因为OB ＝O ′B ′＝4，所以AB ＝8，所以A ′B ′＝4. 因为A ′C ′⊥O ′B ′于C ′，所以B ′C ′＝A ′C ′， 所以A ′C ′＝4·sin 45°＝22，故选A.2．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )解析：选B 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部是一条水平线段连接两个三角形，故选B.3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析：选D 由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D.4.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图为( )解析：选D 由正视图与俯视图知，几何体是一个三棱锥与半个圆锥的组合体，故侧视图为D.5.如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P­BCD的正视图与侧视图的面积之比为( )A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2解析：选A 根据题意，三棱锥P­BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P­BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )A ．2 B.92C.32D ．3解析：选D 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则体积V ＝13×1＋22×2×x ＝3，解得x ＝3，故选D. 7．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．答案：①④8．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C . 在Rt △ABC 中，AC ＝12(cm)，BC ＝8－3＝5 (cm)． ∴AB ＝122＋52＝13(cm)． 答案：139．已知正四棱锥V ­ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________．解析：如图，取正方形ABCD 的中心O ，连接VO ，AO ，则VO 就是正四棱锥V ­ABCD 的高．因为底面面积为16，所以AO ＝2 2. 因为一条侧棱长为211.所以VO ＝VA 2－AO 2＝44－8＝6. 所以正四棱锥V ­ABCD 的高为6. 答案：610．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图为如图所示的四棱柱ABCD­A1B1C1D1，当选择的4个点是B1，B，C，C1时，可知①正确；当选择的4个点是B，A，B1，C时，可知②正确；易知③不正确．答案：①②B级——中档题目练通抓牢1．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A．8 B．7C．6 D．5解析：选C 画出直观图可知，共需要6块．2.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：选 B 如图所示，由正视图和侧视图可知该几何体是由长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1截去三棱锥B 1­A 1BC 1得到的，故其侧视图为选项B.3．已知四棱锥P ­ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ­ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8解析：选C 四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则PN ＝5，PM ＝3，S △PAD ＝12×4×5＝25，S △PAB ＝S △PDC ＝12×2×3＝3， S △PBC ＝12×4×3＝6.所以四个侧面中面积最大的是6.4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为________．解析：由题意可知，该几何体是三棱锥，将其放置在长方体中形状如图所示(图中棱锥P ­ABC )，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形．答案：45.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处．若该小虫爬行的最短路程为4 3 m ，则圆锥底面圆的半径等于________ m.解析：把圆锥侧面沿过点P 的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP ＝4，PP ′＝43， 则cos ∠POP ′＝42＋42－322×4×4＝－12，所以∠POP ′＝2π3.设底面圆的半径为r ，则2πr ＝2π3×4，所以r ＝43.答案：436．已知正三棱锥V ­ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.7.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA .解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2. 由正视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，所以在Rt△APD中，PA ＝PD2＋AD2＝22＋62＝6 3 cm.C级——重难题目自主选做1．(2018·泉州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A．圆弧 B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分解析：选D 根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.2.一只蚂蚁从正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )A．①② B．①③C．③④ D．②④解析：选D 由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析：选B 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.2.已知点E，F，G分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P­MNQ的俯视图不可能是( )解析：选C 当M与F重合，N与G重合，Q与E重合，P与B1重合时，三棱锥P­MNQ 的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥P­MNQ的俯视图为B；当M，N，Q，P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P­MNQ，使其俯视图为D.故选C.3.已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )解析：选C 由已知条件得直观图如图所示，PC⊥底面ABC，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故选C.4．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是如图2所示的矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为( )A ．48B ．64C ．96D ．128解析：选 C 由题意可知该几何体是一个直四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O 1A 1B 1C 1，O 1A 1＝6，O 1C 1＝2，∴它的俯视图是边长为6的菱形，∵棱柱的高为4， 故该几何体的侧面积为4×6×4＝96.5．已知四棱锥P ­ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ­ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8解析：选C 四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则PN ＝5，PM ＝3，S △PAD ＝12×4×5＝25，S △PAB ＝S △PDC ＝12×2×3＝3， S △PBC ＝12×4×3＝6.所以四个侧面中面积最大的是6.6．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C . 在Rt △ABC 中，AC ＝12(cm)，BC ＝8－3＝5 (cm)．∴AB ＝122＋52＝13(cm)． 答案：137．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为________．解析：由题意可知，该几何体是三棱锥，将其放置在长方体中形状如图所示(图中棱锥P ­ABC )，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形．答案：48.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处．若该小虫爬行的最短路程为4 3 m ，则圆锥底面圆的半径等于________ m.解析：把圆锥侧面沿过点P 的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP ＝4，PP ′＝43， 则cos ∠POP ′＝42＋42－322×4×4＝－12，所以∠POP ′＝2π3.设底面圆的半径为r ，则2πr ＝2π3×4，所以r ＝43.答案：439.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积．解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥．(2)其侧视图如图所示，其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，∴该平面图形的面积S ＝12·3a ·3a ＝32a 2.(3)V ＝13×6×34a 2×3a ＝32a 3.10．已知正三棱锥V ­ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·邵阳模拟)某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是( )A ．2 5B ．2 6C ．27D ．4 2解析：选C 由三视图可知该四面体的直观图如图所示．其中AC ＝2，PA ＝2，△ABC 中，边AC 上的高为23，所以BC ＝42＋32＝27，AB＝32＋22＝4，而PB＝PA2＋AB2＝22＋42＝25，PC＝PA2＋AC2＝22，因此在四面体的六条棱中，长度最长的是BC，其长为27，选C.2．(2018·泉州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A．圆弧 B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分解析：选D 根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.3.一只蚂蚁从正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )A．①② B．①③C．③④ D．②④解析：选D 由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.4．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为________．解析：由三视图知三棱锥如图所示，底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，PA ⊥平面ABC ，BC ＝27， PA 2＋y 2＝102，(27)2＋PA 2＝x 2，因此xy ＝x 102－[x 2－72]＝x 128－x 2≤x 2＋－x22＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，因此xy 的最大值是64.答案：645.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA .解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2. 由正视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝22＋62＝6 3 cm.6．四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．解：(1)由题意，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∵BD ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，又平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ， ∴BC ∥FG ，BC ∥EH ， ∴FG ∥EH .同理，EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ， ∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．第二节空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2．空间几何体的表面积与体积公式1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( ) (4)球的体积之比等于半径之比的平方．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A.163π B.323πC ．16πD ．24π解析：选B 设球的半径为R ，则由4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积为43πR3＝323π. 3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋32＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.4．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h ＝3，所以该几何体的体积V ＝S ·h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×3×3＝3 3. 答案：3 35．正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A ­B 1DC 1的体积为________．解析：如图，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∵AD ⊥BC ，AD ⊥BB 1，BB 1∩BC ＝B ，∴AD ⊥平面B 1DC 1. ∴VA ­B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD ＝13×12×2×3×3＝1.答案：1考点一 空间几何体的表面积重点保分型考点——师生共研1．(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81解析：选B 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.2.(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π， ∴r 2＝4，r ＝2，故选B.[解题师说]1．三类几何体表面积的求法2．避免两类失误(1)因对几何体的结构特征认识不准，混淆几何体侧面的边长与三视图中有关数据的关系而导致解题错误．一定要熟记三视图中的数据反应的是空间几何体的长、宽、高，而不一。