使用遗传算法求解函数最大值【精品毕业设计】(完整版)

遗传算法求复杂函数极值问题中文摘要：本文首先介绍遗传算法的历史背景，基本思想，对遗传算法的常见的编码解码方法进行了深入的阐述，并对算子选择方法进行深入分析和对比，在此基础上把遗传算法应用于求解复杂函数的极值计算。

最后在MATLAB语言环境下编写程序，对求解函数的最大值进行了仿真，并对调试的结果进行了分析，得出了部分结论。

关键词：遗传算法最优解算子选择复杂函数作者：xx xx指导老师：xxxx xxUsing Genetic Algorithm to Solve Extreme Problemof Complex FunctionAbstractFirstly,the historical background and basic idea of genetic algorithm are introduced in this paper. The common coding and decoding method of genetic algorithm are discussed too.Secondly, the selection method of genetic operator is analyzed and compared deeply, based on which genetic algorithm is used to solve extreme problem of complex function.Finally, with MATLAB software, the program is compiled and the maximum is sought out. At the end of the paper, the debugging result is analyzed and the conclusion is given.Keywords: Genetic Algorithm Optimal Solution Operator Selection Complex FunctionWritten by : xx xxSupervised by: xxxx xx目录第一章绪论 (5)1.1 遗传算法生物学背景 (5)1.1.1 遗传与变异 (5)1.1.2 进化 (5)1.2 本文主要内容 (5)第二章遗传算法简介 (6)2.1 遗传算法历史和发展 (6)2.2 遗传算法的基本原理 (6)2.3 遗传算法的特点 (7)2.4 遗传算法的目的 (7)2.5 遗传算法应用 (8)第三章遗传算法的参数和算子选择 (10)3.1 遗传算法的数学理论 (10)3.2 编码 (11)3.2.1 编码方法 (11)3.2.2 编码原则 (13)3.3 个体适应度函数 (13)3.3.1 评价个体适应 (13)3.2.2 适应度尺度变换 (14)3.3 算子选择 (14)3.3.1 选择运算 (14)3.3.2 交叉运算 (16)3.3.3 变异运算 (18)3.4 其他运行参数 (18)第四章遗传算法求解复杂函数极值问题 (20)4.1 遗传算法的求解步骤 (20)4.2 算例验证 (24)第五章结论 (28)参考文献 (28)附录（程序） (29)第一章绪论1.1遗传算法生物学背景生物的进化是一个奇妙的优化过程，它通过选择淘汰，突然变异，基因遗传等规律产生适应环境变化的优良物种。

matlab遗传算法计算函数区间最大值和最小值下面是用matlab实现遗传算法计算函数区间最大值和最小值的示例代码：首先定义函数（此处以f(x)=x*sin(10*pi*x)+1为例）:matlabfunction y = myfun(x)y = x*sin(10*pi*x)+1;end然后设置遗传算法参数：matlaboptions = gaoptimset('Generations', 1000, 'PopulationSize', 50,'StallGenLimit', 200, 'TolCon', 1e-10);其中，Generations表示遗传算法的迭代次数，PopulationSize表示种群大小，StallGenLimit表示在连续多少代没有改变时停止迭代，TolCon表示收敛精度。

接着，编写遗传算法主函数：matlab[x, fval] = ga(@myfun, 1, [], [], [], [], -1, 2, [], [], options);其中，第一个参数为要优化的函数，第二个参数为变量维度，后面的参数为变量的取值范围。

最后，输出结果：matlabfprintf('Function maximum is %f\n',-fval);fprintf('Function minimum is %f\n',fval);其中，-fval表示函数最大值，fval表示函数最小值。

完整代码如下：matlabfunction y = myfun(x)y = x*sin(10*pi*x)+1;endoptions = gaoptimset('Generations', 1000, 'PopulationSize', 50, 'StallGenLimit', 200, 'TolCon', 1e-10);[x, fval] = ga(@myfun, 1, [], [], [], [], -1, 2, [], [], options);fprintf('Function maximum is %f\n',-fval);fprintf('Function minimum is %f\n',fval);参考资料：[1][2]。

利用遗传算法求函数的极大值function[BestSfi,BestS,x1,x2]=GenericAlgorithm(Size,G,Codel,umax,umin,pc,pm)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%主要符号说明% Size 种群大小，选为60% G 终止进化代数，选为100% Codel 用二进制编码串表示决策变量x1,x2，选为10位% umax 决策变量上限2.048% umin 决策变量下限2.048% pc 交叉概率，选为0.8% pm 变异概率，选为0.01----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------E=round(rand(Size,2*Codel)); %随机生成二十位的编码，前十位为x1,后十位为x2for k=1:1:Gtime(k)=k;for s=1:1:Sizem=E(s,:);y1=0;y2=0; %初始化m1=m(1:1:Codel);for i=1:1:Codely1=y1+m1(i)*2^(i-1); %二进制转化为十进制endx1=(umax-umin)*y1/1023+umin; %解码后x1的实际值m2=m(11:1:2*Codel);for i=1:1:Codely2=y2+m2(i)*2^(i-1);endx2=(umax-umin)*y2/1023+umin; %解码后x2的实际值F(s)=100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2; %所求函数endJi=1./F; %目标函数，此处取适应度的倒数%第一步，算出最优染色体BestJ(k)=min(Ji);fi=F;[Oderfi,Indexfi]=sort(fi);Bestfi=Oderfi(Size);BestS=E(Indexfi(Size),:);bfi(k)=Bestfi;%第二步，选择和复制过程fi_sum=sum(fi);fi_Size=(Oderfi/fi_sum)*Size;fi_S=floor(fi_Size); %适配值大的被复制kk=1;for i=1:1:Sizefor j=1:1:fi_S(i)TempE(kk,:)=E(Indexfi(i),:);kk=kk+1;endend%第三步，交叉过程n=ceil(20*rand);for i=1:2:(Size-1)temp=rand;if pc>tempfor i=n:1:20TempE(i,j)=E(i+1,j);TempE(i+1,j)=E(i,j);endendendTempE(Size,:)=BestS;E=TempE;%第四步，变异过程for i=1:1:Sizefor j=1:1:Codeltemp=rand;if pc>tempif TempE(i,j)==0TempE(i,j)=1;elseTempE(i,j)=0;endendendend%保证TempPop（30，：）是最大适应度的代码TempE(Size,:)=BestS;E=TempE;end%输出结果Max_Value=Bestfi;Bestfi %显示最大适应度值BestS %显示对应的染色体x1x2subplot(1,2,1);plot(time,BestJ); %目标函数title('目标函数J的优化过程')xlabel('Times');ylabel('Best J');subplot(1,2,2);plot(time,bfi); %适应度函数title('适应度F的优化过程')xlabel('times');ylabel('Best F');在Matlab下运行的结果为：GenericAlgorithm(60,100,10,2.048,-2.048,0.80,0.01)，回车Bestfi = 3.9059e+003。

遗传算法用matlab求函数极大值一、题目：寻找f(x)=x2,,当x在0~31区间的最大值。

二、源程序：%遗传算法求解函数最大值%本程序用到了英国谢菲尔德大学(Sheffield)开发的工具箱GATBX，该工具箱比matlab自带的GATOOL使用更加灵活，但在编写程序方面稍微复杂一些Close all;Clear all;figure(1);fplot('variable*variable',[0,31]); %画出函数曲线%以下定义遗传算法参数GTSM=40; %定义个体数目ZDYCDS=20; %定义最大遗传代数EJZWS=5; %定义变量的二进制位数DG=0.9; %定义代沟trace=zeros(2, ZDYCDS); %最优结果的初始值FieldD=[5;-1;2;1;0;1;1]; %定义区域描述器的各个参数%以下为遗传算法基本操作部分，包括创建初始种群、复制、交叉和变异Chrom=crtbp(GTSM, EJZWS); %创建初始种群，即生成给定规模的二进制种群和结构gen=0; %定义代数计数器初始值variable=bs2rv(Chrom, FieldD); %对生成的初始种群进行十进制转换ObjV=variable*variable; %计算目标函数值f(x)=x2 while gen<ZDYCDS %进行循环控制，当当前代数小于定义的最大遗传代数时，继续循环，直至代数等于最大遗传代数FitnV=ranking(-ObjV); %分配适应度值SelCh=select('sus', Chrom, FitnV, DG); %选择，即对个体按照他们的适配值进行复制SelCh=recombin('xovsp', SelCh, 0.7); %交叉，即首先将复制产生的匹配池中的成员随机两两匹配，再进行交叉繁殖SelCh=mut(SelCh); %变异，以一个很小的概率随机地改变一个个体串位的值variable=bs2rv(SelCh, FieldD); %子代个体的十进制转换ObjVSel=variable*variable; %计算子代的目标函数值[Chrom ObjV]=reins(Chrom, SelCh, 1, 1, ObjV, ObjVSel);%再插入子代的新种群，其中Chrom为包含当前种群个体的矩阵，SelCh为包好当前种群后代的矩阵variable=bs2rv(Chrom, FieldD); %十进制转换gen=gen+1; %代数计数器增加%输出最优解及其序号，并在目标函数图像中标出，Y为最优解, I为种群的%序号[Y, I]=max(ObjV);hold on; %求出其最大目标函数值plot(variable(I), Y, 'bo');trace(1, gen)=max(ObjV); %遗传算法性能跟踪trace(2, gen)=sum(ObjV)/length(ObjV);end%以下为结果显示部分，通过上面计算出的数值进行绘图variable=bs2rv(Chrom, FieldD); %最优个体进行十进制转换hold on, grid;plot(variable,ObjV,'b*'); %将结果画出三、运行结果：由图可见该函数为单调递增函数，即当X=31时，该取得最大值f(x)max =961。

GA包遗传算法最大化使用遗传算法的适应度函数。

默认求最大值。

用法：ga(type = c("binary", "real-valued", "permutation"), fitness, ..., min, max, nBits, population = gaControl(type)population,<br/>selection=gaControl(type)selection, crossover = gaControl(type)crossover,<br/> mutation=gaControl(type)mutation, popSize = 50, pcrossover = 0.8, pmutation = 0.1, elitism = base::max(1, round(popSize*0.05)), maxiter = 100, run = maxiter, maxfitness = Inf, names = NULL, suggestions = NULL, keepBest = FALSE, parallel = FALSE, monitor = gaMonitor, seed = NULL)参数说明•type: 解得编码类型–binary :二进制编码–real-valued：实数浮点编码–permutation：问题涉及到重新排序的列表，字符串编码。

可求解TSP 问题•fitness:适应度函数•min:解得下界(多元变量为一个向量)•max:解得上界(多元变量为一个向量)•nBits：一个种群用二进制编码的长度是多少(长度越大代表精度越高) •population:初始种群•selection:选择•crossover: 交叉•crossover:变异•popsize:种群大小•pcrossover: 交叉概率(默认0.8)•pmutation：变异概率(默认0.1)•elitism: 代沟(默认情况下,前5%个体将在每个迭代中保留)•maxiter：最大迭代次数(默认100)•maxfitness:适应度函数的上界,GA搜索后中断•keepBest:是否保留每一代的最优解•parallel：是否采用并行运算•monitor：绘图用的,监控遗传算法的运行状况•seed:一个整数值包含随机数发生器的状态。

完整的遗传算法函数Matlab程序function [x,endPop,bPop,traceInfo] = ga(bounds,eevalFN,eevalOps,startPop,opts,... termFN,termOps,selectFN,selectOps,xOverFNs,xOverOps,mutFNs,mutOps)n=nargin;if n<2 | n==6 | n==10 | n==12disp('Insufficient arguements')endif n<3 %Default eevalation opts.eevalOps=[];endif n<5opts = [1e-6 1 0];endif isempty(opts)opts = [1e-6 1 0];endif any(eevalFN<48) %Not using a .m fileif opts(2)==1 %Float gae1str=['x=c1; c1(xZomeLength)=', eevalFN ';'];e2str=['x=c2; c2(xZomeLength)=', eevalFN ';'];else %Binary gae1str=['x=b2f(endPop(j,:),bounds,bits); endPop(j,xZomeLength)=',...eevalFN ';'];endelse %Are using a .m fileif opts(2)==1 %Float gae1str=['[c1 c1(xZomeLength)]=' eevalFN '(c1,[gen eevalOps]);'];e2str=['[c2 c2(xZomeLength)]=' eevalFN '(c2,[gen eevalOps]);'];else %Binary gae1str=['x=b2f(endPop(j,:),bounds,bits);[x v]=' eevalFN ...'(x,[gen eevalOps]); endPop(j,:)=[f2b(x,bounds,bits) v];'];endendif n<6 %Default termination informationtermOps=[100];termFN='maxGenTerm';endif n<12 %Default muatation informationif opts(2)==1 %Float GAmutFNs=['boundaryMutation multiNonUnifMutation nonUnifMutation unifMutation']; mutOps=[4 0 0;6 termOps(1) 3;4 termOps(1) 3;4 0 0];else %Binary GAmutFNs=['binaryMutation'];mutOps=[0.05];endendif n<10 %默认的交叉信息if opts(2)==1 %浮点编码xOverFNs=['arithXover heuristicXover simpleXover'];xOverOps=[2 0;2 3;2 0];else %Binary GAxOverFNs=['simpleXover'];xOverOps=[0.6];endendif n<9 %Default select opts only i.e. roullete wheel.selectOps=[];endif n<8 %Default select infoselectFN=['normGeomSelect'];selectOps=[0.08];endif n<6 %默认的算法终止准则termOps=[100];termFN='maxGenTerm';endif n<4 %初始种群为空startPop=[];endif isempty(startPop) %随机生成初始种群startPop=initializega(80,bounds,eevalFN,eevalOps,opts(1:2));endif opts(2)==0 %二进制编码bits=calcbits(bounds,opts(1));endxOverFNs=parse(xOverFNs);mutFNs=parse(mutFNs);xZomeLength = size(startPop,2); %Length of the xzome=numVars+fittness numVar = xZomeLength-1; %变量数目popSize = size(startPop,1); %种群中个体数目endPop = zeros(popSize,xZomeLength); %次种群矩阵c1 = zeros(1,xZomeLength); %个体c2 = zeros(1,xZomeLength); %个体numXOvers = size(xOverFNs,1); %交叉操作次数numMuts = size(mutFNs,1); %变异操作次数epsilon = opts(1); %适应度门限值oeval = max(startPop(:,xZomeLength)); %初始种群中的最优值bFoundIn = 1;done = 0;gen = 1;collectTrace = (nargout>3);floatGA = opts(2)==1;display = opts(3);while(~done)[beval,bindx] = max(startPop(:,xZomeLength)); %当前种群的最优值best = startPop(bindx,:);if collectTracetraceInfo(gen,1)=gen; %当前代traceInfo(gen,2)=startPop(bindx,xZomeLength); %最优适应度traceInfo(gen,3)=mean(startPop(:,xZomeLength)); %平均适应度traceInfo(gen,4)=std(startPop(:,xZomeLength));endif ( (abs(beval - oeval)>epsilon) | (gen==1))if displayfprintf(1,'\n%d %f\n',gen,beval);endif floatGAbPop(bFoundIn,:)=[gen startPop(bindx,:)];elsebPop(bFoundIn,:)=[gen b2f(startPop(bindx,1:numVar),bounds,bits)... startPop(bindx,xZomeLength)];endbFoundIn=bFoundIn+1;oeval=beval;elseif displayfprintf(1,'%d ',gen);endendendPop = feeval(selectFN,startPop,[gen selectOps]); %选择操作if floatGAfor i=1:numXOvers,for j=1:xOverOps(i,1),a = round(rand*(popSize-1)+1); %一个父代个体b = round(rand*(popSize-1)+1); %另一个父代个体xN=deblank(xOverFNs(i,:)); %交叉函数[c1 c2] = feeval(xN,endPop(a,:),endPop(b,:),bounds,[gen… xOverOps(i,:)]);if c1(1:numVar)==endPop(a,(1:numVar))c1(xZomeLength)=endPop(a,xZomeLength);elseif c1(1:numVar)==endPop(b,(1:numVar))c1(xZomeLength)=endPop(b,xZomeLength);elseeeval(e1str);endif c2(1:numVar)==endPop(a,(1:numVar))c2(xZomeLength)=endPop(a,xZomeLength);elseif c2(1:numVar)==endPop(b,(1:numVar))c2(xZomeLength)=endPop(b,xZomeLength);elseeeval(e2str);endendPop(a,:)=c1;endPop(b,:)=c2;endendfor i=1:numMuts,for j=1:mutOps(i,1),a = round(rand*(popSize-1)+1);c1 = feeval(deblank(mutFNs(i,:)),endPop(a,:),bounds,[gen mutOps(i,:)]);if c1(1:numVar)==endPop(a,(1:numVar))c1(xZomeLength)=endPop(a,xZomeLength);elseeeval(e1str);endendPop(a,:)=c1;endendelse %遗传操作的统计模型for i=1:numXOvers,xN=deblank(xOverFNs(i,:));cp=find(rand(popSize,1)if rem(size(cp,1),2) cp=cp(1:(size(cp,1)-1)); endcp=reshape(cp,size(cp,1)/2,2);for j=1:size(cp,1)a=cp(j,1); b=cp(j,2);[endPop(a,:) endPop(b,:)] = feeval(xN,endPop(a,:),endPop(b,:), bounds,[gen xOverOps(i,:)]); endendfor i=1:numMutsmN=deblank(mutFNs(i,:));for j=1:popSizeendPop(j,:) = feeval(mN,endPop(j,:),bounds,[gen mutOps(i,:)]);eeval(e1str);endendend。

遗传算法求函数最大值(matlab实现)一、题目：寻找f(x)=x2,,当x在0~31区间的最大值。

二、源程序：%遗传算法求解函数最大值%本程序用到了英国谢菲尔德大学(Sheffield)开发的工具箱GATBX，该工具箱比matlab自带的GATOOL使用更加灵活，但在编写程序方面稍微复杂一些Close all;Clear all;figure(1);fplot('variable*variable',[0,31]); %画出函数曲线%以下定义遗传算法参数GTSM=40; %定义个体数目ZDYCDS=20; %定义最大遗传代数EJZWS=5; %定义变量的二进制位数DG=0.9; %定义代沟trace=zeros(2, ZDYCDS); %最优结果的初始值FieldD=[5;-1;2;1;0;1;1]; %定义区域描述器的各个参数%以下为遗传算法基本操作部分，包括创建初始种群、复制、交叉和变异Chrom=crtbp(GTSM, EJZWS); %创建初始种群，即生成给定规模的二进制种群和结构gen=0; %定义代数计数器初始值variable=bs2rv(Chrom, FieldD); %对生成的初始种群进行十进制转换ObjV=variable*variable; %计算目标函数值f(x)=x2 while gen<ZDYCDS %进行循环控制，当当前代数小于定义的最大遗传代数时，继续循环，直至代数等于最大遗传代数FitnV=ranking(-ObjV); %分配适应度值SelCh=select('sus', Chrom, FitnV, DG); %选择，即对个体按照他们的适配值进行复制SelCh=recombin('xovsp', SelCh, 0.7); %交叉，即首先将复制产生的匹配池中的成员随机两两匹配，再进行交叉繁殖SelCh=mut(SelCh); %变异，以一个很小的概率随机地改变一个个体串位的值variable=bs2rv(SelCh, FieldD); %子代个体的十进制转换ObjVSel=variable*variable; %计算子代的目标函数值[Chrom ObjV]=reins(Chrom, SelCh, 1, 1, ObjV, ObjVSel);%再插入子代的新种群，其中Chrom为包含当前种群个体的矩阵，SelCh为包好当前种群后代的矩阵variable=bs2rv(Chrom, FieldD); %十进制转换gen=gen+1; %代数计数器增加%输出最优解及其序号，并在目标函数图像中标出，Y为最优解,I 为种群的%序号[Y, I]=max(ObjV);hold on; %求出其最大目标函数值plot(variable(I), Y, 'bo');trace(1, gen)=max(ObjV); %遗传算法性能跟踪trace(2, gen)=sum(ObjV)/length(ObjV);end%以下为结果显示部分，通过上面计算出的数值进行绘图variable=bs2rv(Chrom, FieldD); %最优个体进行十进制转换hold on, grid;plot(variable,ObjV,'b*'); %将结果画出三、运行结果：由图可见该函数为单调递增函数，即当X=31时，该取得最大值f(x)max=961。

精选文档S311067019 李麒星用遗传算法经过复制交错过程循环求解函数f(x)=x^2 在 [0,31]区间上的最大值点 x。

代码以下：using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;namespaceProject2{class Class1{public int ff( int a){return a * a;}public int Max( int [] args){int s = 0;int m = args[0];for ( int i = 0; i < args.Length; i++){if (m < args[i]){m = args[i];s = i;}}return s;}public int Min( int [] args){int s = 0;int m = args[0];for ( int i = 0; i < args.Length; i++){if (m > args[i]){m = args[i];s = i;}}return s;}static void Main( String [] args){string [] A = new string [4];A[0] = "01101" ;A[1] = "11000" ;A[2] = "01000" ;A[3] = "10011" ;Class1 cl = new Class1 ();Randoma = new Random();int [] x = new int [4]; // 储存 x值float [] C = new float [4]; // 储存每个适配值所占比率int [] B = new int [4]; // 储存 x对应的 y值int k1 = 0; // 交错时所需的随机整数范围在0-4 之间int k2 = 0; // 交错时所需的随机整数范围在0-4 之间int max = 0; // 适配值总最大的值在 x中的下标int sum = 0; // 全部适配值对应的函数值的总和int min = 0; // 适配值总最小的值在 x中的下标int t1 = 0; // 初始最大值int ave1 = 0; // 初始均匀值int t2 = 0; // 每次循环得出的最大值int ave2 = 0; // 每次循环得出的均匀值int smax = 20; // 循环最大次数for ( int l = 1; l < smax; l++){for ( int i = 0; i < 4; i++){x[i] =Convert .ToInt32(A[i],2);//x[i] = Int32.Parse(A[i]);//怎么把二进制数转变为十进制数}for ( int i = 0; i < 4; i++){B[i] = cl.ff(x[i]);// 求出 f(x)=x^2 的值存入 B中sum += B[i];}for ( int i = 0; i < 4; i++){C[i] = B[i] / sum;}max =cl.Max(x);min = cl.Min(x);t2 = x[max];// 用来记录每次循环的最大值ave2 = sum / 4;// 用来记录每次循环的均匀值if (t2 < t1 && ave2 < ave1){break ;}else{t1 = t2;ave1 = ave2;}for ( int i = 0; i < 4; i++)// 输出每次循环的结果{System. Console .Write(x[i]); //System.Console .Write( ' ' );} System. Console .Write( "\n" ); // 换行A[min] = A[max];// 适配值较小的被裁减，由最大的代替 k1 = a.Next(1,4);// 从 1-4 之间选一个随机数 k2 =a.Next(1,4);if (max + min != 3){string s1 = A[max].Substring(k1); // 从第 k 个数开始获 得后边的子串string s2 = A[min].Substring(k2);string s3 = A[3 - max].Substring(k1);string s4 = A[3 - min].Substring(k2); A[max] = A[max].Substring(0, k1) + s3; A[min] = A[min].Substring(0, k2) + s4; A[3 - max] = A[3 - max].Substring(0,k1) + s1; A[3 - min] = A[3 - min].Substring(0,k2) + s2; }else{ if ((max > min) && (min + 1 == max)) //max=2 min=1string s1 = A[max].Substring(k1); // 从第 k 个数开 始获取后边的子串string s2 = A[min].Substring(k2); string s3 = A[3].Substring(k1); string s4 = A[0].Substring(k2);A[max] = A[max].Substring(0,k1) + s3; A[min] = A[min].Substring(0,k2) + s4; A[3] = A[3].Substring(0,k1) + s1;.S311067019李麒星}elseif ((max < min) &&(min == max+ 1))//max=1 min=2 {string s1 = A[max].Substring(k1); // 从第 k 个数开始获取后边的子串string s2 = A[min].Substring(k2);string s3 = A[0].Substring(k1);string s4 = A[3].Substring(k2);A[max] = A[max].Substring(0,k1) + s3;A[min] = A[min].Substring(0,k2) + s4;A[0] = A[0].Substring(0,k1) + s1;A[3] = A[3].Substring(0,k2) + s2;}elseif ((max > min) && (max ==min + 3))//max=3 min=0{string s1 = A[max].Substring(k1);// 从第 k个数开始获取后边的子串string s2 = A[min].Substring(k2);string s3 = A[2].Substring(k1);string s4 = A[1].Substring(k2);A[max] = A[max].Substring(0,k1) + s3;A[min] = A[min].Substring(0,k2) + s4;A[2] = A[2].Substring(0,k1) + s1;A[1] = A[1].Substring(0,k2) + s2;}elseif((max < min) && ( min==max +3 )) //max=0 min=3{string s1 =A[max].Substring(k1);// 从第 k个数开始获取后边的子串string s2 = A[min].Substring(k2);string s3 = A[1].Substring(k1);string s4 = A[2].Substring(k2);A[max] = A[max].Substring(0,k1) +s3;A[min] = A[min].Substring(0,k2) +s4;A[1] = A[1].Substring(0,k1) + s1;A[1] = A[1].Substring(0,k2) + s2;}}Console .WriteLine( " 最大值是 ={0}" , t1);}}}输出以下：结论：由图可知每次循环结果不独一。