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反证法的应用反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。
反证法的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证法的应用。
一、数学中的反证法在数学中，反证法是一种常用的证明方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。
二、哲学中的反证法在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“人类存在自由意志”，可以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论，从而证明人类存在自由意志。
三、科学中的反证法在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。
例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。
四、反证法的优缺点反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。
反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。
反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中常用的一种证明方法，它通过对反命题进行证明，从而推出原命题的真实性。
在初中数学中，反证法的应用十分广泛，尤其在数学证明和解题过程中起到了重要作用。
本文将通过分析初中数学中常见的反证法运用案例，探讨反证法在数学解题中的运用及其意义。
1.证明题中的应用在初中数学中，证明题是数学学习中的一个重要内容。
而反证法在证明题中常常发挥重要作用。
证明某个命题成立时，我们可以采用反证法，假设命题不成立，然后进行推导证明出现矛盾，从而得出原命题的成立。
2. 数学问题的解答中的应用在初中数学解题中，反证法也常常用于解决一些复杂的数学问题。
有一个常见的数列问题：已知数列的通项公式为an=n^2+n+41，要证明对于任意的整数n,an不可能是素数。
采用反证法，假设存在一个整数n，使得an是素数，然后进行推导得出矛盾，从而证明了原命题的成立。
这个案例展示了反证法在解决数学问题中的应用。
二、反证法在初中数学解题中的意义1. 提高解题的逻辑性反证法在初中数学解题中的应用，可以提高解题的逻辑性，让解题过程更加清晰和严密。
在解题过程中，采用反证法可以让学生对问题进行更全面的思考，不仅能够得出结论，还能够通过推导和反驳的过程加深对问题的理解。
2. 培养学生的思维能力反证法的应用可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
通过运用反证法，学生需要进行思考、推导和分析，从而加深对问题的理解和抽象能力。
这对学生的思维发展和逻辑能力的培养有着重要的意义。
反证法的应用可以提高学生解题的灵活性。
在解题过程中，遇到一些较为复杂的问题，可以尝试采用反证法来解决。
这种方法能够拓宽解题思路，增加解题的方式和途径，提高解题的灵活性。
三、结语反证法在初中数学解题中的运用极为广泛，它在证明题、数学问题解答及几何问题的解答中发挥着重要作用。
采用反证法不仅可以提高解题的逻辑性和灵活性，还能够培养学生的思维能力。
在教学实践中，应该重视反证法的教学和运用，让学生在解题过程中更加注重推理、严密、逻辑，从而提高数学学习的效果。
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是一种重要的数学推理方式，它可以通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明结论的正确性。
在初中数学中，反证法被广泛应用于证明题目中的一些重要结论和定理，下面将结合一些例子，探讨反证法在初中数学解题中的应用。
1. 证明无理数的存在性无理数是指不能表示为两个整数之比的数，比如根号2、π等。
我们可以采用反证法证明无理数的存在性。
假设根号2是有理数，即可以表示为分数a/b，其中a、b互质。
根据根号2的定义，可得到2=a^2/b^2，即a^2=2b^2。
由于a、b互质，所以a必须是偶数，不妨设a=2c，其中c是整数。
带入上式可得到4c^2=2b^2，即2c^2=b^2，由此可知b也必须是偶数，与a、b互质矛盾。
因此，假设不成立，即根号2是无理数。
2. 证明两线段的长度相等我们知道，两条直线的交点将平面分成四个部分，称为四象限。
若给定一条线段在第一象限内，另一条线段在第三象限内，如何证明它们的长度相等？我们可以采用反证法证明。
假设这两条线段的长度不相等，分别记为AB和CD。
假设我们按照图示的方式构造两个以点A为圆心、以长度AB为半径的圆和以点C为圆心、以长度CD为半径的圆，可以得到两个交点E和F。
连接AE、CF并延长，交于点G。
由于AE和CF是同一直线上的两条线段，因此AG+GF=CG+GE。
同时，AG+GF=AB+CD，CG+GE=AB+CD，因此AB+CD=AB+CD，显然矛盾，因此可知AB=CD。
3. 证明绝对值的基本性质绝对值是指一个数与0的距离，它的符号与原数相同。
在初中数学中，我们常用到绝对值的一些基本性质，如|a+b|≤|a|+|b|，|a-b|=|b-a|等。
我们可以通过反证法证明这些性质。
以|a+b|≤|a|+|b|为例，假设|a+b|>|a|+|b|，即a+b>|a|+|b|或a+b<-|a|-|b|，我们可以分别讨论。
第一种情况下，可得到b>|b|-a，即a<0，与假设的a、b符号相同矛盾；第二种情况下，可得到a+2b<0，与假设的a、b符号相同矛盾。
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学学习中常用的一种思维方式，通常在证明某些命题时会用到。
它的作用在于，通过假设命题不成立，然后通过推理得到矛盾，从而证明了命题是成立的。
下面就来探讨一下反证法在初中数学解题中的应用。
1. 证明逆命题、反命题在数学中，证明逆命题、反命题通常采用反证法。
例如，证明“如果两条直线平行，则它们的斜率相等”的逆命题“如果两条直线的斜率不相等，则它们不是平行的”以及反命题“如果两条直线不平行，则它们的斜率不相等”时，可以采用反证法。
首先假设逆命题和反命题是成立的，即假设存在两条斜率不相等的直线是平行或存在两条不平行的直线的斜率相等，然后通过推理得到矛盾的结论，从而证明了原命题是成立的。
2. 证明等式在初中数学中，证明等式也常常采用反证法。
例如，证明“对于任意实数x，x²≥0”时，可以采用反证法。
假设存在一个实数x，使得x²<0，然后通过x²的定义将其化简为（-x）²>0，即(-x)×(-x)>0，那么根据负数的定义可知，(-x)×(-x)>0的条件是x≠0，即(-x)²>0的条件是x≠0。
但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设x²<0，而这意味着x²≥0不成立，由此证明了原命题是成立的。
3. 证明最大值或最小值假设存在实数a、b，使得a+b=8且ab>16，然后将ab表达式展开为a(8-a)，化简后得到8a-a²>16，移项可得a²-8a+16<0，即(a-4)²<0，这与平方差公式是矛盾的，因此我们假设的ab>16是不成立的，即xy的最大值是16。
反证法数学最简单的例子
反证法是一种证明方法，用于证明某个命题的否定或矛盾。
它基于假设命题的否定为真，并通过逻辑推理的过程来得出矛盾的结论，从而证明原命题是成立的。
对于数学上最简单的例子，我们可以考虑证明一个整数是奇数。
以下是一个使用反证法证明某个整数是奇数的例子：
假设存在一个整数x，其中x是偶数。
根据偶数的定义，我们可以将x表示为2的倍数，即存在一个整数k使得x=2k。
根据这个假设，我们可以得出以下结论：
1. x是偶数，所以存在一个整数k使得x=2k。
2. 由于k也是整数，故存在一个整数n，使得k=2n。
现在我们可以将x用k和n来表示：
x=2k=2(2n)=4n
综上，我们得到结论x=4n。
此时我们来观察一下得到的结论。
我们知道4可以写成2的平方，所以x可以
写成2的平方乘以n，也就是说x是2的倍数。
然而，根据我们一开始的假设，x是偶数，x=2k，因此x也是2的倍数。
然而这与我们之前的结论矛盾，因为我们开始的时候假设x是一个奇数。
基于我们的假设推导出了矛盾的结论，说明我们的假设是错误的。
反设法的核心是通过推理达到矛盾，从而证明了原命题的成立。
因此，我们可以得出结论x 是一个奇数。
总结起来，反证法是一种重要的证明方法，可以用于解决各种数学问题。
这个简单的例子展示了反证法的使用过程，以及如何通过逻辑推理推导出矛盾，从而证明了原命题的成立。
当面对一些困难的问题时，反证法可以提供一个有效的解决思路，帮助我们理解问题的本质，并得出正确的结论。
反证法在数学中的应用反证法是一种逻辑推理方法，常常在数学领域中被广泛运用。
它的基本思想是通过对一个假设的否定来得出结论，从而证明原假设是错误的。
这种方法在解决数学问题和证明定理时，常常能够发挥重要的作用。
本文将就反证法在数学中的应用进行论述，为读者展示它在数学研究中的重要性及实际应用。
反证法最早出现在古希腊数学中，被哥德尔、皮亚诺等数学家广泛运用，并且在近现代数学中也得到了广泛的应用。
它的基本思想是通过假设的否定来推导出逻辑上的矛盾，从而证明该假设是错误的。
反证法是数学证明中最常见的一种证明方法之一，它的实际应用范围非常广泛，可以用于证明数论、代数、几何、分析等各个领域的定理和公式。
下面我们将分别从不同的数学领域来探讨反证法的应用。
在数论中，反证法常常被用来证明诸如素数性质、同余方程等数论问题。
证明素数的无穷性，可以使用反证法来证明。
假设存在有限个素数，然后通过对这一假设的否定，证明得出矛盾，从而得出结论：素数是无穷的。
同样，证明勾股定理、费马大定理等数论问题中，也常常使用反证法。
反证法实际上为数论问题的定理证明提供了一种十分有效和有力的工具。
在代数领域中，反证法也被广泛应用于证明群论、环论、域论等代数结构中的性质和定理。
在群论中，证明群中任意元素的逆元素唯一性可以使用反证法来证明。
在证明定理时，通过对某个假设的否定，再通过逻辑推理得出结论，极大地简化了证明的过程，提高了证明的效率。
在几何领域中，反证法也经常被用来证明诸如平行线性质、三角形性质、平面几何性质等问题。
证明平行线性质中互逆关系的定理，可以利用反证法进行证明。
通过对假设的否定，再进行逻辑推理，得出矛盾，从而证明原假设是正确的。
在实分析中，反证法也有着重要的应用。
在实数的连续性方面，常常通过反证法来证明某些重要的定理。
证明实数具有阿基米德性质，证明柯西收敛准则等，都可以使用反证法来进行证明。
反证法的严谨性和有效性在实分析中得到了充分的展现。
“反证法”应用例析反证法是一种间接证题方法。
证题时，首先假设结论不成立，然后以此为出发点，通过正确的逻辑推理，推导出与已知条件、定义、公理或定理等相矛盾的结果，从而肯定假设错误，得出结论正确。
下面举例加以说明，供同学们参考。
一、证明与三角形有关的问题例题1、求证：一个三角形中不能有两个角是直角。
分析：应首先据题意画出一个三角形草图，并写出已知、求证，然后按照反证法的步骤进行推理即可。
已知：△ABC。
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角。
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90º，则∠A+∠B+∠C=90º+90º+∠C＞180º，这与三角形的内角和定理相矛盾，所以假设∠A=∠B=90º不成立，因此，一个三角形中不能有两个角是直角。
二、证明与一元二次方程有关的问题例题2、已知a＞2，b＞2，请判断关于x的方程x2-(a+b)x+ab=0与x2-abx+(a+b)=0有没有公共根；并说明理由。
分析：可用反证法，先假设两个方程有公共根，然后推导出与已知相矛盾。
解：这两个方程没有公共根。
理由如下：假设所给的这两个方程有公共根x0,根据题意，得x02-(a+b)x0+ab=0①x02-abx0+(a+b)=0②②-①得：(x0+1) (a+b-ab)=0。
因为：a＞2，b＞2，所以a+b≠ab。
这样有，x0=-1。
将x0=-1代入到方程②中，得：1+ a+b+ab=0,显然这是不可能的。
故假设两个方程存在着公共根x0不成立。
因此，已知的两个方程没有公共根。
评注：应用反证法解题应首先掌握基本的解题步骤，其次熟练有关图形和代数等的基础知识，这些都是不可或缺的。
应认真体会、总结，并配合强化训练等加以融会贯通。
初中数学中的反证法例谈反证法是数学证明中非常常用的一种方法，在初中数学中也经常会遇到一些需要使用反证法来证明的问题。
以下是几个反证法的例子：1. 证明所有正整数都是奇数或偶数。
假设存在一个既不是奇数也不是偶数的正整数，那么这个正整数既不满足奇数的定义也不满足偶数的定义，与假设矛盾。
因此，所有正整数都是奇数或偶数。
2. 证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，那么可以表示为一个分数，即根号2 =a/b，其中a和b都是整数，且a和b互质。
将这个等式两边平方得2 = a^2 / b^2，即a^2 = 2b^2。
因为2是质数，所以a必须是2的倍数，那么就可以表示为a = 2c（c是整数）。
带入到a^2 =2b^2中得到(2c)^2 = 2b^2，即4c^2 = 2b^2或2c^2 = b^2。
这意味着b也是2的倍数，与a和b互质的条件矛盾。
因此，根号2是无理数。
3. 证明当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
假设√n是有限循环小数，即可以表示为a/b（a和b都是整数，且a和b互质），那么可以得到n = a^2/b^2。
因为n不是完全平方数，所以a和b必须互质，且a和b至少有一个是奇数。
假设a是奇数，那么a^2是奇数，b^2是偶数，所以a^2/b^2是一个无限不循环小数。
同理，如果b是奇数，也可以推出a^2/b^2是一个无限不循环小数。
因此，当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
这些例子展示了在初中数学中应用反证法的常见情形，可以巩固理解反证法在解决数学问题时的重要作用。
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，然后推出与已知事实相矛盾的结论，从而得出所要证明的结论成立的结论。
在初中数学中，反证法被广泛应用。
它不仅能够帮助学生更加深刻地理解数学概念，还能够提高学生的思维能力和解决问题的能力。
首先，反证法在初中数学中常用于证明某些命题是假的。
比如，我们常常可以用反证法证明一些等式不成立。
例如，我们来看下面这个例子：已知 $a,b,c$ 为正整数，且 $a+b=c$，证明 $a^2+b^2$ 不能被 4 整除。
我们可以用反证法来证明这个命题。
假设 $a^2+b^2$ 能被 4 整除，那么 $a$ 和$b$ 一定都是偶数。
令 $a=2m$，$b=2n$，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，则：$a^2+b^2=4(m^2+n^2)$由于 $a+b=c$，因此：因此，$c$ 也是偶数。
但是，由于 $a,b,c$ 是正整数，因此 $c$ 不能为偶数。
因此，假设不成立，命题得证。
其次，反证法在初中数学中还常用于证明一些命题是正确的。
有时候，我们可以通过假设某些前提不成立，然后推出一个与已知事实不符的结论，从而证明原命题是正确的。
比如，我们来看下面这个例子：对于正整数 $n$，如果 $n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
由于 $n^2$ 是奇数，因此 $4m^2$ 也是奇数。
但是，我们知道，偶数的平方一定是偶数，因此 $4m^2$ 一定是偶数，与已知事实相矛盾。
因此，可以得出结论：如果$n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
例谈反证法在数学证明中的应用【摘要】反证法是解决数学问题时常用的数学方法之一，它在数学解题中广泛使用，特别是有些问题，用反证法更简捷明了。
文章阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤，重点论述了反证法在中学数学证明中的应用。
【关键词】反证法证明假设矛盾结论有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
一、对“反证法”的概述（一）反证法的概念及其逻辑依据1.反证法的概念假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法。
2.反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
矛盾律： 在同一论证过程中， 对同一对象的两个互相矛盾（对立）的判断， 其中至少有一个是伪的。
排中律： 在同一论证过程中， 对同一对象的两个互相矛盾的判断， 不能为伪， 其中必有一个是真的。
（二）反证法的证明步骤设待证的命题为“若A 则B ”，其中A 是题设，B 是结论，A 、B 本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：1. 反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；2. 归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件﹑已知的公理定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3. 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
二、反证法在数学证明中的应用反证法在数学证明中的应用非常广泛，反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。
那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。
1.否定性命题结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而用反证法就容易多了。
例1 求证:当 n 为自然数时 ,2(2 n + 1) 形式的数不能表示为两个整数的平方差。
证明：假设有整数 a , b ,使）（1n 22b a 22+=-，即 (a + b)(a - b)=2(2n + 1)① 当 a ,b 同奇、 同偶时 , a + b 、 a - b 皆为偶数 ,(a + b)(a - b) 应是4的倍数 ,但2(2n+ 1) 除以4余2 ,矛盾。
② 当a ，b 一奇一偶时 ,a + b 、a - b 皆为奇数 ,(a + b)(a - b) 应是奇数 ,但2(2n + 1)为偶数 ，矛盾。
所以假设错误 ,即2(2n + 1) 形式的数不能表示为两个整数的平方差。
2.限定性命命题结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。
例2 1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于9π。
证明： 假设每个小圆的公共部分的面积都小于9π，而九个小圆共有2936C =个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于3649ππ⨯=，又大圆面积为5π，则九个小圆应占面积要大于945πππ-=，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于9π。
例3 试证： 由三个小于1的实数a ，b ，c 构成的三个乘积（1-a ）b ，（1-b ）c ，（1-c ）a 至少有一个不大于41。
证明：a ，b ，c 中如果有一个小于或等于零， 则命题成立。
假设0﹤a ，b ，c ﹤1且（1-a ）b ﹥41，（1-b ）c ﹥41，（1-c ）a ﹥41，由第一式有（1-a ）ab ﹥4a ，∵1-a 与a 都是正数，b 也是正数。
∴ 4a ﹤（1-a ）ab ≤ [2a a 1+-）（]2b=4b ，因此a ﹤b 。
同理由第二、 第三式可得b ﹤c ，c ﹤a ，即a ﹤b ﹤c ﹤a 矛盾。
故三个乘积（1-a ）b ，（1-b ）c ，（1-c ）a 至少有一个不大于41。
3.无穷性命题结论是无穷的，结论涉及的对象无法一一列出，而它的反面是有限的、肯定的命题。
例4 求证：质数的个数是无穷的。
证明：假设质数的个数有限，不妨设为k 个，则可以将全体质数列举如下：p 1，p 2，……p k 。
令q= p 1·p 2·……·p 1k +，其中q 是自然数，又令P 是q 的大于1的质因数；因为p 1，p 2，……，p k 是全体质数，所以，一定有某个P i =P ，(1≤i ≤k)。
显然p 1·p 2·……·p k 是P 的倍数，所以P=1，这与P 是大于1的质因数相矛盾 ，所以，质数的个数是无穷的。
例5 求证：2是无理数。
分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。
而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。
当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。
证明： 假设2是有理数，则存在b a N b a ,.,且∈互质，使2222b a ba =⇒=，从而，a 为偶数，记为c a 2=，所以224c a =，所以222bc =，则b 也是偶数。
由a ,b均为偶数与a 、b 互质矛盾，故2是无理数。
4.逆否命题原命题与它的逆否命题是同真同假的，某些命题，可以用反证法来证明它的逆否命题，从而带来方便。
例6 证明：1,034222≠-≠--+-b a b a b a 则。
分析：将“1,034222≠-≠--+-b a b a b a 则”视为原命题。
要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“1=-b a ，则34222--+-b a b a =0”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的。
证明：若 1=-b a ，则34222--+-b a b a= ()()()322---+-+b b a b a b a= 322--++b b a= 1--b a= 0∴ 原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。
5.唯一、存在型命题即结论是证“ 唯一性” ，“ 存在性”的命题。
例7 求证：方程x = sinx 的解是唯一的。
证明：显然，x=0是方程的一个解。
以下用反证法证明方程的解是唯一的。
假设方程至少有两个解α、β(α≠β)，则有sin α=α ，sin β=β两式相减得： sin α－sin β=α－β∴ 2cos 2βα+sin 2βα-=α-β ∵ |sin 2βα-|＜|2βα-| ∴ |cos 2βα+|·|2βα-|＞2||βα- 得 |cos 2βα+|＞1， 显然矛盾。
故 方程 x = sinx 的解是唯一的。
例8 设x ，y ∈(0,1),求证:对于a, b ∈R ,必存在满足条件的x, y,使|xy - ax - by|≥31成立.证明：假设对于一切x,y ∈（0 ,1）使|xy-ax-by|＜31恒成立， 令x=0 , y=1 ,得|b|＜31 ，令x=1, y=0 , 得|a|＜31， 令x = y = 1 ,得|1-a- b|＜31但|1- a - b|≥1-|a|-|b|＞1-31-31=31 产生矛盾,故欲证结论正确。
6.全称肯定性命题即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法试试。
例9 如果两个数的绝对值的和是零 ,证明这两个数都是零。
证明:假如两个数不都是零 ,如果其中一个数不是零 ,则它的绝对值是正数 ,而正数加零是正数 ,于是两个数的绝对值的和是正数;如果两个数都不是零,则它的绝对值的和也是正数。
这都与已知矛盾。
所以这两个数一定都是零。
例10 求证:无论n 是什么自然数，214143n n ++总是既约分数。
证明：假设214143n n ++不是既约分数， 令214n ka +=……①，143n kb +=……②（k,a,b ∈N ,k ＞1），且a b为既约，由②×3-①×2得132132kb ka b a k -=⇒-=，因32b a -为整数，1k 为分数，则132b a k -=不成立，故假设不成立，分数214143n n ++是既约的。
7.基本命题 即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。
如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。
因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证明。
例11 已知：如图1，AB ⊥EF 于M ，CD ⊥EF 于N ，求证：AB ∥CD 。
证明: 假设AB,CD 不平行，即AB,CD 交于点P ，则过P 点有AB ⊥EF ，且CD ⊥EF ，这与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾 。
∴ 假设错误，则AB ∥CD 。
例12 求证：两条相交直线只有一个交点。
已知：如图2，直线a 、b 相交于点P,求证：a 、b 只有一个交点。
证明：假定a ，b 相交不只有一个交点P ，那么a, b 至少有两个交点P 、Q ，于是直线a 是由P 、Q 两点确定的直线，直线b 也是由P 、Q 两点确定的直线，即由P 、Q 两点确定了两条直线a, b 。
与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a, b 不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。
8.一些不等量命题的证明如：证不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。
例13 若α、β、γ为正锐角且sin 2α+ sin 2β+ sin 2γ=1，求证α+β+γ＞2π。
证明：设α+β+γ≤2π，则α+β≤2π-γ， 故 sin （α+β）≤sin （2π-γ）=cos γ。
由条件知 cos 2γ=1- sin 2γ= sin 2α+ sin 2β，故 sin 2（α+β）- sin 2β≤sin 2α.又 sin 2（α+β）- sin 2β= [sin （α+β）+ sin β]·[sin （α+β）- sin β] = 2sin 22βα+cos 2α·2cos 22βα+sin 2α = sin α·sin(α+2β)∴ sin α·sin(α+2β)≤sin 2α,即sin(α+2β)≤sin α.①若α+2β≤2π，则α+2β≤α，即β≤0，与已知β为正锐角矛盾。
