线性代数复变函积分变换

线性代数复变函积分变换————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：21 《线性代数、复变函数与积分变换》课程教学大纲线性代数、复变函数与积分变换》练习题一、填空题1． 设132511111D 11111111a --=----，则13a 的代数余子式为_________.2． 设1111111111111)(23------=x x x x P 为x 的多项式，则x 的一次项系数为_________.3． 如果1112132122233132330a a a D a a a M a a a ==≠，1112131313233212223222222222a a a D a a a a a a =，则1D =_________. (a) 2 M (b) －2 M (c) 8 M (d) －8 M4． 已知四阶行列式D 中第三列元素依次为－1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，－7，4，则D =_________.5． 若齐次方程组1231231230,0,20;kx x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解, 则k 的值为 ___________.6． 若齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+=+--;0,0)3(2,042)1(321321321x x x x x x x x x λλ有非零解,则λ的值为 ___________.7． 设矩阵A =001030200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则其伴随矩阵*A 的行列式 |*A | =_________,1-A =__________.8． 设矩阵A =121342541-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1-A =__________.2 9． 设a X b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则T XX ＝____________，T X X ＝___________。

10．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλ000010, 则6A =_____________. 11．设向量组321,,ααα线性无关,131223312,,βααβααβαα=-=-=-,则向量组321,,βββ必线性________（相关或无关）.12． 设向量组321,,ααα线性无关,321332231,,αααβααβαβ++=+==,则向量组321,,βββ必线性________关.13． 设A 为m 个n 维向量组成的向量组,如果向量的维数n 小于向量的个数m 时,则向量组A 必然线性____关。

14． 设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----41461351021632305023, 则矩阵A 的秩是________ 15． 设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭，1010100001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100010101P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则必有______________.（a ）12APP B = （b ）21AP P B = （c ）12PP A B = （d ）21P P A B = 16． 设四元非齐次线性方程组AX=b 的系数矩阵的秩为3，已知21,ηη是AX=b 的任意两个解（向量），且12345η⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，21234η⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则AX=0的基础解系是_________，非齐次线性方程组AX=b 的通解为________________。

3 17． 非齐次方程组AX=b 所对应的齐次方程组记作AX=0. 若已知21,ηη是AX=b 的任意两个解，21,ξξ是AX=0的基础解系，21,k k 为任意实数，则下列结论中_________必为真。

（a ）22111ηηξk k ++是AX=0的通解； （b ）22111ηηξk k ++是AX=b 的通解 （c ）22111ξξηk k ++是AX=0的通解； （d ）22111ξξηk k ++是AX=b 的通解。

18． 设A,B,C 均为n 阶方阵,下列各式中不一定成立的是__________.(a) A(BC)=(AC)B (b) (A+B)+C=A+(C+B) (c) (A+B)C=AC+BC (d) A(BC)=(AB)C 19． 设A 、B 、C 、E 为同阶方阵, E 为单位矩阵，若ABC ＝E ，则下列各式中总是成立的有__________.(a) BCA ＝E (b) ACB ＝E (c) BAC=E (d) CBA=E20． 矩阵10000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵100010001B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，那么x =__________.21．22ieπ-的值为 。

22． )Ln(i -的值为 ; 它的主值为 . 23． 积分⎰=-Cdz z z2；其中C 为正向圆周1=z 24． 级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1211)(n n n i n 为 （发散，收敛）.25． 幂级数∑∞=+0)(1n n n z i 的收敛半径为 . 26． z cos 在0=z 处的泰勒展开式为 . 27． 21()1f z z=+在0z =处的泰勒展开式为 28．ez 11-有孤立奇点=z ，它的类型是4 29． 设11iα=-，则α＝ 及Arg α＝ 。

30． 求方程380z +=的所有根为 。

31． 13(1)i -＝ 。

32． (1)ii +＝ 。

33． 级数0(34)6nnn i ∞=+∑的收敛性为 （绝对收敛，条件收敛，发散） 34． ()sin cos f t t t =⋅的Fourier 变换式为 。

35． 设)()(t tet f tδ+=-，则[()]f t L ＝＝ 。

36． 设()cos2f t t t =，则[()]f t L ＝ 37． 设21(),(1)F s s s =+则1[()]F s -L ＝ 。

二、计算、证明题 1．计算下列行列式（1）0112012120112110-----=D（2）6741212060311512-----=D（3）41234212332124321D =5 （4） a aaa a a aa a D n +++=111ΛM M M ΛΛ（5）41111111111111111xx D y y+-=+-2．设有矩阵方程142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求解矩阵X.3．设有矩阵方程X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111012112 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-234311，求解矩阵X.4．设有矩阵方程（4A －2B ）X = C, 其中A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-216111112,B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--116211221,C=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--231001,求解矩阵X. 5．证明下列各题（1）如果方阵A 满足A 4 = 0, 试证321)(A A A E A E +++=--.（2）如果方阵A 满足A 2－A －2E = 0, 试证A+2E 可逆,并求1(2)A E -+ 6．证明：（1）设A 、B 都是n 阶对称矩阵，且AB ＝BA ，则AB 是对称矩阵。

（2）设A 、B 都是n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵。

7．求下列向量组的一个最大无关组,并将其余向量用此最大无关组线性表示.123411210211,,,20331101αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6 8．设123412430154,,,12231111y x αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，试讨论此向量组的线性相关性。

9．λ取何值时，方程组12312321231,,x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解? 有解时求出其解。

10．设方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+--=++-;22,2,22321321321λλx x x x x x x x x 问λ取何值时方程组有解?有解时求出其解。

11．求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=--+=+-+=++-123134322532421432143214321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

12．设矩阵A=110430102-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的特征值和特征向量;13．设矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112，(1) 求A 的特征值和特征向量; (2) 求矩阵A 11. 14．设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314020112， (1) 求A 的特征值和特征向量; (2) 问是否可以对角化？说明理由。

15．设A 为n 阶可逆方阵，λ为A 的一个特征值，证明：λ1是1-A 的一个特征值。

16．设A 为n 阶方阵，λ为A 的特征值，证明：2λ是2A 的一个特征值。

17．设A 为n 阶方阵，21,λλ为的两个不同的特征值，21,p p 分别为21,λλ所属的特征向量，证明：21,p p 必线性无关。

7 18．设)()(2323lxy x i y nx my z f ,iy x z +++=+=为解析函数，试求.l ,n ,m 19．设z x yi =+，判别下列函数何处可导？何处解析？（1）()(cos sin )xf z e y i y -=- （2）()2f z x yi =+（3）222()(2)w x y x i xy y =--+-20．判别下列函数孤立奇点的类型，并求其在孤立奇点处的留数（1）212)(z z e z f z+=（2）113)1()(++=z ez z f（3）221()ze f z z -=21．将函数)1(1)(2-+=z z z z f 在园环域O ＜z ＜1及1＜z ＜+∞内分别展为洛朗级数。

22．将2)1)((1)(--=z z z f 在指定的圆环域内展开成洛朗级数：(1) ;z 10<< (2);z 21<< (3)∞<-<21z . 23．计算⎰Czdz ，其中C 为（1）从原点到点i 43+的直线段.（2）从原点沿虚轴至i 4，再由i 4沿水平方向向右至点i 43+的折线. 24．计算下列积分（1）||Czdz z ⎰Ñ C ：||2z =正向 （2）dz ze C z⎰5 ,:1C z =正向（3）2(21)zCe dz z +⎰Ñ C ：||2z =正向8 （4）z23e 2(6)(3)Cdz z z ++⎰Ñ C ：||2z =正向 （5）1C dz z ⎰Ñ； C ：12=-z 正向 （6）dz zzsin C⎰,2:=z C 正向； （7）dz z z e C z⎰-21)( ,2:=z C 正向； （8）241 C z dz z -⎰Ñ ,:3C z =正向；（9）⎰+∞∞-+dx x 22)(1125．若函数v u z f i )(+=在区域D 内解析，且满足1u v +=，证明)(z f 在D 上为常数。