2013年高考数学预测试题（2）

- 1 - 2013年网站高考预测系列试题【数学】高考预测试题（2）·解答题

1. （本题12分）（1）设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amxy,向量(,1)bxy,0•ba,动点(,)Mxy的轨迹为E.求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）直线l过（0,1）点与抛物线xy2只有一个公共点，求直线l的方程；

（3）直线w过（1,1）点与双曲线122yx交于BA,两不同点，且BA,的中点为（1,1），求直线w的方程。

2. （本题12分）已知锐角ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，226cosababC，且2sin2sinsinCAB.

（Ⅰ）求角C的值；

（Ⅱ）设函数()sin()cos(0)6fxxx，()fx且图象上相邻两最高点间的距离为，求()fA的取值范围.

3. （本题12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()fxx,2()5xfx,3()2fx，421()21xxfx，5()sin()2fxx，6()cosfxxx.

（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；

（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．

4. （本题14分）

已知等差数列na（nN+）中,nnaa1,23292aa,3774aa.

（1）求数列na的通项公式；

（2）数列,2naccnnn满足：证明： 11.....112211••nccccccnn

（3）若将数列na的项重新组合，得到新数列nb，具体方法如下: - 2 - 11ab，

322aab，

76543aaaab，

1510984aaaab，

…,

依此类推，第n项nb由相应的na中12n项的和组成。

求数列}241{nnb的前n项和nT.

答案：

1. （本小题满分12分）

解:（1）因为,(,1)amxy,(,1)bxy,所以2210abmxy, 即221mxy.

当m=0时,方程表示两直线,方程为1y;

当1m时, 方程表示的是圆

当0m且1m时,方程表示的是椭圆;

当0m时,方程表示的是双曲线.

解：（2）

01若直线l的斜率不存在，0:xl，此时恰与抛物线相切，满足题意；

若直线l的斜率存在，设,1:kxyl与抛物线xy2联立得：(*),01)12(22xkxk

02若,0k直线l为：1y，方程(*)仅有一解（或从图形上分析），满足题意；

03若,0k(*)中041k得：41k，此时直线141:xyl

综上述：满足题意的直线l的方程为：0x，1y，141xy

解：（3）法一（韦达定理）

若直线w斜率不存在显然不合题意；

若直线w斜率存在，则设,1)1(:xkyw与双曲线联立得：。。。。。。。经检验不符合0；

故直线w无解 - 3 - 法二（点差）

舍）恰为双曲线的渐近线，线不存在。（或者此时直故直线经验证得：设wwxywyyxxxxyyyxyxyxByxA,0,:,1)2()1(),2(1),1(1),,(),,(21212121222221212211

故直线w无解

2.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为Cabbacos622,由余弦定理知Cabcbacos2222所以abcC4cos2………2分

又因为BACsinsin2sin2,则由正弦定理得:abc22，所以21424cos2abababcC所以3C…6分

（Ⅱ）33()sin()cossincos3sin()6223fxxxxxx

由已知2,2,则()3sin(2),3fAA …………………8分

因为3C,23BA,由于0,022AB,所以62A……10分

所以20233A，根据正弦函数图象,所以0()3fA…………12分

3．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）31fxx为奇函数；25xfx为偶函数；32fx为偶函数；

42121xxfx为奇函数；5sin()2fxx为偶函数; 6cosfxxx为奇函数…………3分

所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为112333CCC

满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为23C

故所求概率为2311233314CPCCC ………………………………………………6分 - 4 - （Ⅱ）可取1，2，3，4． …………………………………………………7分

103)2(,21)1(151316131613CCCCPCCP，

201)4(,203)3(1313141115121613141315121613CCCCCCCCPCCCCCCP；

故的分布列为

 1 2 3

4

P 21 103 203 201

……………………………10分.47201420331032211E 的数学期望为.47………………………12分

4、解：（1）由23292aa与379274aaaa，解得:29892aa或82992aa（由于nnaa1，舍去）

设公差为d，则29881912daadaa ,解得351da

所以数列na的通项公式为)(23Nnnan……………………………………4分

（2）下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······12462nnbbbnnbbbn成立.

当1n时,左边=32,右边=2,因为322,所以不等式成立.。。。。。。。1分

假设当nk时不等式成立,即121211135721·······12462kkbbbkkbbbk成立.。。。。。。。。1分

则当1nk时,左边=11212111113572123·······246222kkkkbbbbkkbbbbkk123222321kkkkk - 5 - 下面证明21232kkk，即证：021232kkk，即证：

0128124912412)2)(1(4)32(122123222kkkkkkkkkkkkk

（注：也可以这样比较：要证21232kkk即证：)2)(1(232kkk，平方即可！）。。。。1分

所以当1nk时,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由①、②可得不等式恒成立.。。。。。。。1分

（也可以用比较法算出222321kkkk与的大小，只需平方一次就能算出！）

（3）由题意得: 1222212211111nnnnnaaaabn

)]123(23[)823()523()223(11111nnnnn

)]123()423(852[2321111nnnn…………………………10分

而)123()423(85211nn是首项为2,公差为3的等差数列的前12n项的和,

所以)123()423(85211nnnnnnn2412332)12(22232111

所以nnnnnnb241289241232323222………………………………12分

所以nnnb2289241，所以)14(2341)41(489)264164(892nnnnT…………14分