2013年山东省高考文科数学真题及答案

2013年山东省高考文科数学真题及答案

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2013年山东省高考数学试卷（文科）

一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．

1．（5分）复数z=（i为虚数单位），则|z|（ ）

A．25 B． C．5 D．

2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁UB=（ ）

A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅

3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（ ）

A．2 B．1 C．0 D．﹣2

4．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）

A．4，8 B． C． D．8，8

5．（5分）函数f（x）=的定义域为（ ）

A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0） D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1）

6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（ ）

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A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8

7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（ ）

A． B．2 C． D．1

8．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）

A． B． C． D．

10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨

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三．解答题：本大题共6小题，共74分，

17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：

A B C D E

身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82

体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9

（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率

（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．

18．（12分）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，

（Ⅰ）求ω的值

（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．

（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD

（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．

20．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．

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（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{bn}满足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．

21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）

（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间

（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．

22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为

（Ⅰ）求椭圆C的方程

（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．

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2013年山东省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．

1．（5分）（2013•山东）复数z=（i为虚数单位），则|z|（ ）

A．25 B． C．5 D．

【分析】化简复数z，然后求出复数的模即可．

【解答】解：因为复数z==，

所以|z|==．

故选C．

2．（5分）（2013•山东）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁UB=（ ）

A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅

【分析】通过已知条件求出A∪B，∁UB，然后求出A∩∁UB即可．

【解答】解：因为全集U={1.2.3.4．}，且∁U（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，3}，

B={1，2}，所以∁UB={3，4}，所以A={3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}．

所以A∩∁UB={3}．

故选A．

3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（ ）

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A．2 B．1 C．0 D．﹣2

【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．

【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，

故选D．

4．（5分）（2013•山东）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）

A．4，8 B． C． D．8，8

【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．

【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，

其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，

由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，

高PO=2，

则四棱锥的斜高PE=．

所以该四棱锥侧面积S=，

体积V=．

故选B．

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5．（5分）（2013•山东）函数f（x）=的定义域为（ ）

A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0） D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1）

【分析】由函数解析式可得 1﹣2x≥0 且x+3＞0，由此求得函数的定义域．

【解答】解：由函数f（x）=可得 1﹣2x≥0 且x+3＞0，解得﹣3＜x≤0，

故函数f（x）=的定义域为 {x|﹣3＜x≤0}，

故选A．

6．（5分）（2013•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（ ）

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A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8

【分析】计算循环中a的值，当a≥1时不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．

【解答】解：若第一次输入的a的值为﹣1.2，满足上面一个判断框条件a＜0，

第1次循环，a=﹣1.2+1=﹣0.2，

第2次判断后循环，a=﹣0.2+1=0.8，

第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，

不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a=0.8；

第二次输入的a的值为1.2，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环，

满足下面一个判断框条件a≥1，

第1次循环，a=1.2﹣1=0.2，

第2次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出a=0.2；

故选C．

7．（5分）（2013•山东）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（ ）

A． B．2 C． D．1

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【分析】利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．

【解答】解：∵B=2A，a=1，b=，

∴由正弦定理=得：===，

∴cosA=，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，

解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），

则c=2．

故选B

8．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．

【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，

∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，

其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，

则p是¬q的充分不必要条件．

故选A．

9．（5分）（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）

A． B． C．

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D．

【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．

【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，

由当x=时，，

当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．

由此可排除选项A和选项C．

故正确的选项为D．

故选D．

10．（5分）（2013•山东）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（ ）

A． B． C．36 D．

【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差．

【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，

所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．

∴这组数据的平均数是 =91，∴x=4．

∴这这组数据的方差是 （16+1+1+0+0+9+9）=．

故选：B．