近世代数测试题答案

近世代数测试题（A）参考答案

一、填空题（每题3分，共30分）: 一、 二、 3、或,或, 或

4、 五、或六、特点(或特点数) 7、没有

八、一个极大理想 九、不含真子域 10、代数元

二、选择题（每题4分，共20分）:

一、D 二、 D 3、B 4、D 五、D

三、证明题（每题5分,共50分）:

一、证明:显然是非空集合上的代数运算.

, 那么有

即, 对此运算知足结合律. 又, 即是的左单位元; 又, 有 且

, 即是在中的左逆元. 因此,对此运算作成一个群.

二、证明: 第一易知,中的单位是.

第二, 假设, 那么必是环的不可约元. 事实上, 假设是的任一因子, 那么有, 使, 故或.但不可能, 故只有或.

当时,是可逆元; 当时, 与相伴. 因此, 只有一般因子, 即是不可约元.

故, 是的不可约元.但, 而且又不与中的任一个相伴, 即9不能惟一分解.

3、证明:1), 那么, 于是.

再任取, 由知,. 故.

2) 不成立.

因为, 例如, 但.事实上, .

即是由8生成的主办想.

4、证明：方式(一):

因为,是满同态， 故.令

.

下证是商群到的一个同构映射. 1) 是映射: 设, 那么.因是同态满射,故

.

从而, 即是商群到的一个映射. 2) 是满射: , 因是同态满射, 故有使. 从而在之下有逆象, 即是满射. 3) 是单射: 设, 那么

.

因是满射, 故有使

,

其中是的单位元. 于是 故. 从而, 即是单射.

又显然在之下有

,

故是商群到的一个同构映射. 因此.

方式(二):利用群同态大体定理

因为,是满同态， 故.

设是群到商群的映射. 因为

又是满射(因是满射),故是群到商群的满同态映射.

又, 据群同态大体定理, .五、证 因为G不是循环群，故G没有6阶元.从而由Lagrange定理知，G必有2阶元或3阶元.

除 外G中元素不能都是2阶元：假设不然，G为互换群.于是在G中任取互异的2阶元，那么易知

.

这与Lagrange定理矛盾.

又除 外G中元素不能都是3阶元：假设不然，那么在G中任取3阶元，可知G有子群 ， 且.于是

, 这与矛盾.

因此，G必有2阶元和3阶元.由此可知：

， 且易知

是G到的一个同构映射，故G. 近世代数测试题（B）参考答案

一、填空题（每题3分，共30分）：

一、适合 二、(未全对者,不给分) 3、4、

五、8 六、是 7、2 八、主办想整环 九、(未全对者,不给分) 10、扩域

二、选择题（每题4分，共20分）：

一、D 二、 D 3、D 4、B 五、A

三、证明题（每题10分,共50分）：

一、证明: 设是由互换群中所有有限阶元素作成的集合. 显然, , 故非空. 假设， 设. 因可换, 故, 从而。

又因, 故. 因此,.

二、设为整数集，证明对以下二运算作成一个互换环:

.

证明: 易知对作成加群，1是零元，是元素的负元. 另外，对乘法知足互换律和结合律.

下证乘法对加法知足分派律：因为

故.

因此，对作成一个互换环.

3、证明: 第一，由于的单位元是的正规子群，故其所有逆象的集合，即也是的一个正规子群.

第二，设

， 那么在与之间成立以下映射：

.

1）设，那么.于是

即中的每一个陪集在之下在中只有一个象，因此，为到的一个映射；

2）任取，因是满射，故有，使.从而在之下在中有逆象，即为满射.

3）假设，那么，从而.即为单射.

因此为双射.

又由于有

，

故为同构映射，从而.

4、证明： 因假设不然，设

，

则. 由于是有单位元的互换环，故可令

，

这只有.

但因为显然是由常数项为偶数的所有整系数多项式作成的理想，故，矛盾.

五、证明：设是5在中的任一真因子，那么存在使

，

这只有.

由于是5的真因子，而环的单位只有，故； 又：因假设，那么由上知，即是单位，与5相伴，这与是5的真因子矛盾.故只有

.

解此方程可得

于是，5的全数真因子共有8个，它们是:

近世代数测试题（C）参考答案

一、填空题（每题5分，共40分）

1．t ； 2. T(n); 3. 2 ; 4. 2 ; 5. 2 ; 6. 是;是 ;

二、举例说明:群的正规子群的正规子群未必是的正规子群.

解：在四次对称群中，Klein四元群是四次

对称群的正规子群,

而是的正规子群, 可是并非是的正规子群. 因为有.…… (10分).

三、表达并证明群的同态大体定理.

表达: 设是从群与群的同态满射, 那么是的正规子群, 且.

证明: 由于的单位元是的一个正规子群, 故其逆象的集合, 即的核也是的一个正规子群. 第一, 设 那么对任意的,有

, 故是单射.

第二, 对任意的, 由于是满射, 因此, 使, 从而, , 因此, 是满射.

又对任意的, 有 , 因此, 是同构映射, 故 .

四、证明题( 每题10分, 共30分)

1.设是包括在群的中心内的一个子群.证明: 当为循环群时,为互换群.

证明: 第一, 由于子群含于群的中心, 故是的正规子群. 当是循环群, 且时, 对, 存在整数, 使得, 即, 于是有, 使得, 由于含于群的中心, 因此中的元素与的任何元素都可换,故, 即是互换群.

3.在整数环中,

3)假设为的非零理想, 为中的最小正整数, 那么.

若是个整数, 且, 那么

证明：1) 由于是非零理想, 因此, 必含非零整数, 从而, 必含正整数. 设是

中的最小正整数, 那么对任意的, 必存在整数, 使, 其中或, 于是, 由于是理想, 故, 从而, 但是中的最小正整数, 于是有 . 即,

因此 , 而 是显然的, 故.

2) 由于，故， 因此，， 即 , 又, 因此, , 使得, 因此,

, 从而, 因此.

3．设是一个域,且,证明:

1).

2)中除0与1外,其余的两个元素都知足方程.

证明：1) 设域的特点是素数, 那么中每一个非零元素的阶(作为加法)都是素数.

但, 故, 从而 , 即 .

4) 设, 那么的乘群为, 由于在中的阶整除, 故 的阶只能3.

令为中的任一个, 那么, 即, 但且域无零因子, 故

或 . 又因 , 故, 于是有.

一、填空题（每题5分，共40分）： 1.若群中元素的阶为,则=.

2.无限循环群的生成元为;4阶循环群的生成元为.

3.置换的阶为.

4.在三次对称群中,子群的指数为.

5.设是一个非空集合,则的幂集环的特征为.

6.模6的剩余类环的乘群阶数为.

7.整数环的极大理想是否为素理想? .

8.设分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏环的集合，则的关系为. 二、计算题（10分）：

设，求与.

三、证明题（20分）：设是一个群,证明:

1. 的全体内自同构作成一个群.

2. .

四、证明题（每题10分,共30分）：

1．设群中元素的阶为,证明:.

1.在整数环中,

1)若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.

2)若是个整数, 且, 则.

2.设是一个有单位元的整环,,证明:

1)主理想与相等与相伴.

2)是的单位.

近世代数测试题（D）参考答案

一、填空题（每题5分，共40分）

1．；

2. ，;

3.4;

4.3;

5.2; 6.2 ;

7.是 ; 8. .

二、计算题（10分）： 设，求与.

解：.

,

.

三、证明题（20分）：见3.5节的定理3.

四、证明题（每题10分,共30分）：

1 设群中元素的阶为,证明:.

证明: 若, 则, 又由于, 故 .

反之, 若有, 则由于, 故, 从而 .

3.在整数环中, 证明

1)若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.

2)若是个整数, 且, 则.

证明：1) 由于是非零理想, 因此, 必含非零整数, 从而, 必含正整数. 设是中的最小正整数, 则对任意的, 必存在整数, 使, 其中或, 于是, 由于是理想, 故, 从而, 但是中的最小正整数, 于是有 . 即, 因此 ,而 是显然的, 故.

2) 由于，故， 因而，， 即. 又, 所以, , 使得, 因此, , 从而,

因此. 4.设是一个有单位元的整环,,证明:

1)主理想与相等与相伴. 2)是的单位.

证明: 1) 设, 则, 从而有, 使得, 于是. 若 则, 从而与当然相伴. 若, 则,即为单位, 从而与也相伴. 反之, 若与相伴, 则存在单位, 使得, 于是, 但, 故, 故.

2) 设, 即 , 从而有1)知是单位.

反之, 若是单位, 则, 从而 .

近世代数测试题（E）参考答案

一、填空题（每题5分，共40分）

1． 1）；

2. 4；

3. 6 ；

4. 2；

5. 3；

6. ；

7. 是 ；

8. .

二、计算题（10分）：设，求与.

解：.