第一章 晶体的对称性

1 第一章 晶体的对称性

§1-1 晶体内部结构的周期性---点阵与晶格

大家都知道晶体内部原子(分子、离子和原子团等，以后称质点)的排列是规则的，具有一定的周期性，这是晶体的主要特点。不同晶体中的质点在空间中的排列规律是不同的，有许多种排列方式。因此，在对晶体进行研究时，为了归类方便，常将构成晶体的实际质点抽象成纯粹的几何点，并称之为阵点。这样的阵点在空间中周期性规则排列并有相同的周围环境。这种阵点的空间排列就称为空间点阵，或晶体点阵，也称布拉法格子，简称点阵或晶格，共有14种。

§1-2 晶体的宏观对称性---点对称操作

晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。

1．晶体的宏观对称性。晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：

● 相等图形。如花瓣。

● 等同图形。如左右手。

相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。

● 对称图形。由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形。

2．对称性。对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。

3．对称操作。能把对称图形某一部分中的任一点带到一个等同部分中的相应点上去，使原图形与新图形重合的动作称对称操作。

4．对称性的阶。对称图形中所包括的等同部分的数目称对称性的阶。阶的大小反映了对称性的高低。如图1-1所示的平面正方形，包含了ΓΜΧ所标记的8个等同三角形，因此该正方形的对称性的阶为8。

5．对称要素。进行对称操作时所依据的几何元素（点、线、面）称对称要素。对于晶体，共有7种对称要素：旋转轴，对称面（反射面），对称中心（点），旋转反演（射）轴，螺旋轴，滑移面，点阵（平移）。先介绍前4种： 2 1）旋转轴。与旋转轴对应的操作是绕轴转动。若每转2π/n与自身重合，则该轴称n度（重）旋转轴。轴次n为该轴的对称性阶。

2) 对称面。相应的操作是镜像反映（射），如图1-2所示。其中m就是对称面。对称面的对称性阶为2。

3）对称中心。相应的操作是反演。其对称性阶也为2，见图1-3。对反演操作，两个等同部分相应点间的连线必须通过对称中心，等同图形对应的连线反平行。

4）旋转反演轴（转反轴）。相应的操作是旋转和反演的复合操作，反演点应在旋转轴上。与旋转轴类似，若每转2π/n并相继反演后与自身重合，则该轴就称n度（重）转反轴。图1-4为转反操作的一个例子。

关于以上四种对称要素，进一步说明如下：

1）与这四种对称要素相应的操作中至少有空间一个点保持不动。因此称这四种操作为点对称操作，与之对应的要素称点对称要素，与点对称操作相应的对称性称点对称性或宏观对称性。

2）可以证明，旋转轴的轴次n只能取1，2，3，4，6，即只存在一，二，三，四和六重旋转轴。这完全是由晶体点阵的特殊性决定的。请同学们自己证明。

3）上述四种对称要素共给出12种操作，分别用下列符号表示：

6,4,3,2,1,,,6,4,3,2,1Im

其中，m代表对称面，I表示对称中心，数字表示相应的转轴和转反轴。容易证明，这12种操作中只有8种是独立的。证明：

① 1I。实际上转动3600继而反演与不转动直接反演是等同的。

② 2m。图1-5(a)表示一个二重转反操作。显然，1，3两点相对于垂直于轴的对称面m是对称的，故有2m。这意味着有二重转反轴2，就一定有垂直于它的对称面m，反之亦然。这里顺便介绍一种图形操作法，用该方法证明更为简单。如图1-5（b）所示，对称面m规定为纸面，用大圆圈表示。圆心表示垂直于它的二重转反轴，黑点表示纸面上方的点1，小圆圈则表示纸面下方的点3。不难看出它们或通过镜映或通过二重转反操作都能达到自身重合。

③ I33。

④ m36。 3 ⑤ 4为一种独立的对称操作。

以上三种情况请同学们自己用图形操作法证明，并请说明只有四重转反轴的晶体不具有对称中心。

综上所述，对于晶体的点对称操作，只有8种是基本的，它们是4,,,6,4,3,2,1Im，这些基本操作加上它们的相互组合，共可构成32种操作，相应地有32种宏观对称操作集合，构成32个点群。

§1-3 点群

一．群的初步概念。先看一个例子。考察一下对称操作4(4C)的所有可能的操作，如图1-6所示，它们分别是：恒等操作（不变操作），用E表示；顺时针旋转900操作，用C14表示；逆时针旋转900操作，用C-14表示；旋转1800操作，用C24表示，共有4个操作。不难验证，这4个操作满足如下4个条件：

1．它们构成一个封闭的操作集合。就是说，其中任意两个接连的操作（称操作的相乘），结果仍是集合中的一个操作。如，先逆时针旋转900，然后再顺时针转1800，结果相当于顺时针转900，这个结果可写为C24C-14=C14，又如，C14C24=C-14等等。

2．此集合中有一恒等操作E，任何操作与它相乘，结果仍为该操作本身，例如，EC14=C14E=C14，C24E=EC24=C24。

3．此集合中的任一操作，都有它的逆操作，二者相乘的结果是恒等操作。如，C-14C14=E，C24C24=E。这里，C14的逆操作为C-14，C-14的逆操作为C14，C24的逆操作为其自身。

4．操作的相乘服从结合律。如，（C24C-14）C14= C24（C-14C14）= C24。

由于上述4个操作的集合满足所列举的4个条件，从而构成了一个特殊的集合，称为群。具体地说，C4的4个操作构成的群称四度旋转群。群中的操作称为元素。

简言之，群就是能够满足上述4个条件的“元素”的集合。

 群的阶。群中所含元素的个数称群的阶。

 群的乘法表。也称群表。群中元素的乘法关系，可以方便地用群的乘法表列出。表1-1为C4群的乘法表。

二．点群及其符号和图示

依据点对称要素进行的对称操作的集合所构成的群称点群或称晶体点群。

晶体点群是用其点对称要素来标记的。点群的符号有两种记法，一为赫曼-模根（Hermann-Mauguin）符号（简记H.M.），也称国际符号；一为熊夫利斯（Schoenflies）符号 4 （简记Sch.）。表1-2给出了点群中对称要素的符号，而表1-3，1-4则分别列举了Sch.和H.M.符号的意义。

三．32个点群

前已证明，独立的点对称要素有8个。现在说明，由这些要素共可构成32种不同的组合，每种组合的操作构成一个点群，共有32个。 首先说明，不是对称要素的所有组合都是可能的。如，不可能有垂直于三重轴或六重轴 5 的四重轴，因为垂直于四重轴的三重轴或六重轴都将破坏四重轴的对称性。但是，两个按顺序完成的操作永远可用等价的第三个操作来代替。对称要素的所有可能的组合，严格地受某些对称要素组合定理的限制。例如，组合定理之一：如果有一个二重轴垂直于n（n>1）重对称轴，则一共有n个二重轴垂直于这个n重轴，且二重轴的交角为π/n。以四重轴为例证明：如果有一个二重轴与四重轴垂直，必然还有其它3个二重轴与其垂直，二重轴的彼此交角为π/4。采用操作图形法证明非常方便，见图1-7。不难看出，经过AB轴操作后，在垂直于AB的方向和在与AB成o45角的方向上，各存在一个二重轴。因此，共有四个二重轴，都在纸面内，与四重轴垂直，且彼此夹角为π/4。其它组合定理留给大家用类似的方法证明。下面给出由组合定理决定的32个点群。

1．仅含旋转轴的群。

⑴ 仅含单独一个旋转轴的群----旋转群，也称C群。共有5个，分别为：

H.M.： 1， 2， 3， 4， 6

Sch.： C1，C2，C3，C4，C6

这5个群可统一记为：Cj（j=1，2，3，4，6），每个Cj群中有j个元素。

⑵ 含有多个旋转轴的群。

 首先考虑一个n重轴（n≥2）与和它垂直的二重轴的组合。这样的组合共有4个，如图1-8所示。图中表明，和二、三、四、六重轴（这些轴称为主轴）垂直的二重轴（称副轴）分别为2，3，4，6个。这4个群称二面体群，也称D群，符号如下：

H.M.： 222（22） 322（32） 422（42） 622（62）

Sch.： D2 D3 D4 D6

这4个群可统一记为：Dj（j=2，3，4，6），每个Dj群中有2j个元素。

 其次考虑三个正交的二重轴和四个三重轴的组合，

构成所谓的四面体群，也称 T群，如图1-9所示。

四面体群的二重轴为主轴，三重轴为副轴。

符号如下：

H.M.：23

Sch.： T

四面体群有12个操作元素。

6  最后考虑3个正交的四重轴、6个二重轴和4个三重轴组合的群，称八面体群，也称O群，如图1-10所示。O群的四重轴为主轴，其余为副轴，共有24个操作元素。

O群记为：

H.M.：432

Sch.： O

总之，与旋转轴组合相对应的群共有11个。

2．旋转轴与其它对称要素的组合群。将上述11种旋转轴的组合再与其它的对称要素组合，可构成组合中仅含单独一个旋转轴和含多个旋转轴的两种情况。

⑴ 仅含一个旋转轴。一个旋转轴与对称中心I的组合、与和该轴垂直的对称面Sh的组合、与包含该轴的对称面Sv的组合，共有15种，列于表1-5中。

表1-5 一个旋转轴与对称中心及对称面组合的群

C1 C2 C3 C4 C6

I C1i C2i C3i C4i

C6i C1i=Ci

Sh C1h

C2h C3h

C4h

C6h C1h=Cs

Sv C1v C2v C3v C4v C6v

可以证明，其中下列之群是等价的：

C1h=C1v，C2i=C2h，C4i=C4h，C6i=C6h

因此独立的群只有11个，记为：

H.M.：m 1 )2(m 2m )4(m 4m )6(m 6m 3 3m )3(m=6