晶体的对称性

晶体的对称性

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廊坊师范学院本科生毕业论文

论文题目：晶体的对称性

论文摘要：对称性在物理研究的应用中非常广泛，从对称性的角度出发，可以研究许多物理问题。本文则主要是从几个不同的方面对晶体的对称性进行论述。首先，介绍国内外有关晶体对称性的历史发展过程；其次，从宏观对称性和微观对称性对晶体的对称性做进一步的阐述和说明。在宏观方面：简述宏观对称元素和点对称操作、限制宏观对称性的基本原理、32种空间点群以及7个晶系和14种布拉菲格子的简单证明。在微观方面：介绍微观对称元素和对称类型以及空间操作；再次，简要说明晶体的宏观对称性和微观对称性的区别与联系。最后，介绍准晶（准周期晶体）对称理论的历史及其发展概况。

关键词：晶体的对称性； 宏观对称性； 微观对称性； 对称元素； 准晶（准周期晶体）

Abstract：Nowadays, the application of symmetry in physics is very broad. From the

perspective of symmetry, we can study many physical problems. This paper was

mainly from several different aspects to discuss the symmetry of the crystal. First,

introduce the development of symmetry of crystal between domestic and foreign

history. Second, to elaborate and explanted the symmetry of crystal further

物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复。例：蝴蝶、 花冠、建筑物、面容、服饰等。

二. 晶体对称的特点

晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。

晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和划分晶体具有重要意义。

1.完全性：所有晶体都具有对称性。（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；

2.有限性：晶体的对称要素是有限的。要受到晶体对称规律的控制：不出现5次或高于6次的对称轴；

3.一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。

三。 对称操作（变换）和对称要素的概念

对称操作——指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。

如，旋转、反映、反伸、旋转反伸等。

对称要素——指在进行对称变换时所凭借的几何要素（点、线、面）。

四. 晶体宏观的对称要素

1. 对称面（P）

对称面为一假想的面，相对应的对称变换是反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。

对称面的寻找：

1）垂直并平分晶面；2）垂直并平分晶棱；3）包含晶棱并穿过角顶。

注意：a. 晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；

b 必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；

c 寻找对称面时要尽量避免转动模型，以免造成重复；

d 对称面的数目写在前面：如，9P。 2. 对称轴（Ln）

对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转。旋转一定角度后可使相同（等）部分重复。

轴次（n）——旋转一周重复的次数；

晶体对称性与空间群表 表3.1. 七个晶系 三斜 triclinic a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ

单斜 monoclinic a ≠ b ≠ c; α = γ = 90º, β ≠ 90º

正交 orthorhombic a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90º

四方 tetragonal a = b ≠ c; α = β = γ = 90º

六方 hexagonal a = b ≠ c; α = β = 90º, γ = 120º

三方 trigonal a = b = c; α = β = γ ≠ 90º

立方 cubic a = b = c; α = β = γ = 90º 注释：表中“≠”仅指不需要等于。

表3.2. 七个晶系的特征对称元素

晶系 特征对称元素 三斜 无 单斜 一个二次对称轴或对称面 正交 三个互相垂直的二次对称轴或两个互相垂直的对称面 四方 有一个四次对称轴 六方 有一个六次对称轴 三方 有一个三次对称轴 立方 四个立方体对角线上有三次轴 注：对称轴包括旋转、螺旋轴；对称面包括镜面和滑移面。

β

abc

β

abc

β

abc

abc

abcαγ

abc

abc

abc

abc

βabc

abc

abcaPmPmC

oPoCoIoF

tPtIhPhR

cPcFabc

cIβabc

图3.5. 14种Bravais晶格。aP = 三斜（triclinic）, mP = 简单单斜（monoclinic primitive）, mC = 底心单斜（monoclinic C-centered），oP = 简单正交（orthorombic primitive），oC = C底心正交（orthorombic C-centered，取轴方法不同，可以相当于A心底），oI = 体心正交（orthorombic body-centered），oF = 面心正交（orthorombic face-centered），tP = 简单四方（tetragonal primitive），tI = 体心四方（tetragonal body-centered），hP = 简单三方或六方（trigonal or hexagonal primitive），hR = 菱面体、按六方取晶胞（Rhombohedral hexagonal setting），cP = 简单立方（cubic primitive），cI = 体心立方（cubic body-centered），cF = 面心立方（cubic face-centered）。 表3.3. 重要对称元素的书写与图形记号 图示记号 对称元素类型 书写记号 垂直于纸面 在纸面内 平移向量 a, b, c 倒反中心 1 ○ ○ 2 → 3 旋转轴 4

晶体对称性与空间群表 表3.1. 七个晶系 三斜 triclinic a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ

单斜 monoclinic a ≠ b ≠ c; α = γ = 90º, β ≠ 90º

正交 orthorhombic a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90º

四方 tetragonal a = b ≠ c; α = β = γ = 90º

六方 hexagonal a = b ≠ c; α = β = 90º, γ = 120º

三方 trigonal a = b = c; α = β = γ ≠ 90º

立方 cubic a = b = c; α = β = γ = 90º 注释：表中“≠”仅指不需要等于。

表3.2. 七个晶系的特征对称元素

晶系 特征对称元素 三斜 无 单斜 一个二次对称轴或对称面 正交 三个互相垂直的二次对称轴或两个互相垂直的对称面 四方 有一个四次对称轴 六方 有一个六次对称轴 三方 有一个三次对称轴 立方 四个立方体对角线上有三次轴 注：对称轴包括旋转、螺旋轴；对称面包括镜面和滑移面。

β

abc

β

abc

β

abc

abc

abcαγ

abc

abc

abc

abc

βabc

abc

abcaPmPmC

oPoCoIoF

tPtIhPhR

cPcFabc

cIβabc

图3.5. 14种Bravais晶格。aP = 三斜（triclinic）, mP = 简单单斜（monoclinic primitive）, mC = 底心单斜（monoclinic C-centered），oP = 简单正交（orthorombic primitive），oC = C底心正交（orthorombic C-centered，取轴方法不同，可以相当于A心底），oI = 体心正交（orthorombic body-centered），oF = 面心正交（orthorombic face-centered），tP = 简单四方（tetragonal primitive），tI = 体心四方（tetragonal body-centered），hP = 简单三方或六方（trigonal or hexagonal primitive），hR = 菱面体、按六方取晶胞（Rhombohedral hexagonal setting），cP = 简单立方（cubic primitive），cI = 体心立方（cubic body-centered），cF = 面心立方（cubic face-centered）。 表3.3. 重要对称元素的书写与图形记号 图示记号 对称元素类型 书写记号 垂直于纸面 在纸面内 平移向量 a, b, c 倒反中心 1 ○ ○ 2 → 3 旋转轴 4