一般椭圆参数方程

对于椭圆总有一般方程

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

此方程可以变形为

A(x−x0)2+B(x−x0)(y−y0)+C(y−y0)2+f=0

令 x′=x−x0 y′=y−y0

则 Ax′2+Bx′y′+Cy′2+f=0

椭圆的标准方程

x2a2+y2b2=1

对于斜椭圆，其旋转角为-θ（为后续讨论方便，取为负值），则

x=x′cosθ−y′sinθ

y=x′′sinθ+y′′cosθ

带入标准方程，即得到旋转后的方程

（x′cosθ−y′sinθ）2a2+（x′sinθ+y′cosθ）2b2=1

经化简得到

（a2sin2θ+b2cos2θ)∙x′2+（a2cos2θ+b2sin2θ)∙y′2+2（a2−b2）sinθcosθ∙x′y′−a2b2=0

所以

A=a2sin2θ+b2cos2θ

B=2（a2−b2）sinθcosθ

C=a2cos2θ+b2sin2θ

f=−a2b2

椭圆的参数方程中参数的几何意义：

红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ)

所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。

周长

椭圆周长计算公式：L=T（r+R）

T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。

几何关系

点与椭圆

点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1；

点在圆内：x02/a2+y02/b2<1；

点在圆上：x02/a2+y02/b2=1；

点在圆外：x02/a2+y02/b2>1；

跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。

直线与椭圆

y=kx+m①

x2/a2+y2/b2=1②

由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1

相切△=0

相离△<0无交点 相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2）

求中点坐标

根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a

代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。

|AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2]

手绘法

1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。

2、：连接AC。

3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。

4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。

5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。

6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。

用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。

椭圆的极坐标参数方程

椭圆是一种特殊的圆形曲线，其在笛卡尔坐标系下的方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1，其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。

而在极坐标系下，椭圆的参数方程可以用以下形式表示：

x = a * cos(θ)

y = b * sin(θ)

在参数方程中，θ表示极角，取值范围为[0,2π]。

为了证明该参数方程确实满足椭圆的定义，我们可以将参数方程代入笛卡尔坐标系的方程中：

(x/a)^2 + (y/b)^2 = (a * cos(θ) / a)^2 + (b * sin(θ) /

b)^2

= cos^2(θ) + sin^2(θ)

=1

由此可见，参数方程(x = a * cos(θ)，y = b * sin(θ))确实满足椭圆的定义。

通过参数方程，我们可以得到椭圆上的各个点的坐标。当θ取不同的值，可以得到不同的点。其中，θ的取值范围[0,2π]保证了椭圆的闭合性，即曲线围绕着中心点旋转一周后能回到原点。

特殊情况下，当a=b时，椭圆退化为圆形。此时的参数方程可以简化为： x = a * cos(θ)

y = a * sin(θ)

这两个方程和极坐标下的圆形参数方程形式一致。所以，椭圆可以看作是圆形的一种特殊情况。

得到了椭圆的极坐标参数方程后，我们可以通过改变a和b的值来调整椭圆的形状。当a>b时，椭圆在x轴上横向拉伸；当a

椭圆在实际生活中有广泛的应用，例如天体轨道、天文学中的视差测量、地理学中的地球轨道等。掌握了椭圆的参数方程，我们可以更加深入地研究和理解这些现象，为实际问题的解决提供更好的数学工具。

总之，椭圆的极坐标参数方程为x = a * cos(θ)，y = b *

sin(θ)，其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。这个参数方程满足椭圆的定义，并且可以用于描述椭圆上的各个点的坐标。通过调整a和b的值，我们可以改变椭圆的形状。椭圆在实际应用中有广泛的用途，了解椭圆的参数方程对深入研究这些应用问题非常重要。

椭圆参数方程的应用

【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

【解】 (1)C1的普通方程为x23＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(32，12).

【总结反思】

一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.

在极坐标中，曲线C的方程为ρ2＝31＋2sin2θ，点R坐标为22，π4.

(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，点R的极坐标化为直角坐标；

(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时点P的直角坐标．

解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x23＋y2＝1.点R的直角坐标为(2,2)．

(2)设P(3cosθ，sinθ)，根据题意可得|PQ|＝2－3cosθ，|QR|＝2－sinθ，∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为32，12.