椭圆的参数方程

椭圆参数方程的应用

【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

【解】 (1)C1的普通方程为x23＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(32，12).

【总结反思】

一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.

在极坐标中，曲线C的方程为ρ2＝31＋2sin2θ，点R坐标为22，π4.

(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，点R的极坐标化为直角坐标；

(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时点P的直角坐标．

解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x23＋y2＝1.点R的直角坐标为(2,2)．

(2)设P(3cosθ，sinθ)，根据题意可得|PQ|＝2－3cosθ，|QR|＝2－sinθ，∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为32，12.

1 椭圆的参数方程

教学目标：

1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；

2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分

析问题和解决问题的能力。

3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：椭圆的参数方程。

教学难点：椭圆参数方程中参数的理解.

教学方式：讲练结合，引导探究。

教学过程：

一、复习

焦点在x轴上的椭圆的标准方程：22221(0)xyabab

焦点在y轴上的椭圆的标准方程：22221(0)yxabab

二、椭圆参数方程的推导

1. 焦点在x轴上的椭圆的参数方程

因为22()()1xyab，又22cossin1

设cos,sinxyab，即acosybsinx，这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。

2.参数的几何意义

问题、如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆。设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B。过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.

设以Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐

2 标是(x, y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角的终边上，由三角函数的定义有

||coscosxOAa，

||sincosyOBb。

当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是

acosybsinx

这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。

在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为[0,2)。

思考：椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程rcosyrsinx

中参数的意义类似吗？

由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角。参数是半径OM的旋转角。

椭圆的参数方程表示

椭圆是一种常见的二次曲线，其方程可以表示为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。除此之外，我们还可以使用参数方程来描述椭圆。

椭圆的参数方程为：

x = a cos(t)

y = b sin(t)

其中t为参数，0 <= t <= 2π。

这个参数方程的意义是，我们可以通过让参数t从0到2π取遍所有可能的值，从而得到整个椭圆上的所有点的坐标。具体来说，当t=0时，x=a，y=0，这个点位于椭圆的右端点。当t=π/2时，x=0，y=b，这个点位于椭圆的上端点。当t=π时，x=-a，y=0，这个点位于椭圆的左端点。当t=3π/2时，x=0，y=-b，这个点位于椭圆的下端点。当t=2π时，x=a，y=0，这个点又回到了椭圆的右端点。

通过这个参数方程，我们可以很容易地看出椭圆的形状和大小。当a=b时，椭圆变成了一个圆，此时参数方程化简为：

x = r cos(t)

y = r sin(t)

其中r为圆的半径，t为参数。

椭圆在数学中有着广泛的应用，如在几何学中描述椭圆形的轨迹、在物理学中描述行星轨道、在工程学中描述电子轨道等等。椭圆方程的参数方程是一种简单而直观的表示方式，方便我们对椭圆进行研究和应用。

椭圆的参数方程的表达式

椭圆是一种非常常见的几何形状，它是由两条曲线相交而成的，它的精确的参数方程是：$$\frac{x^2}{a^2} +

\frac{y^2}{b^2} = 1

$$其中，$a$和$b$是椭圆的两个半径，$a$是椭圆的横轴，也称为长轴，$b$是纵轴，也称为短轴。

椭圆是一种广泛应用的几何形状，它可以用来描述很多自然界里的现象，比如圆周运动。圆周运动是指一个物体绕着椭圆轨道运动，比如行星围绕恒星运行。

在几何学中，椭圆也有很多用途，比如用来绘制几何图形，比如椭圆形，橄榄形等等。椭圆也可以用来求出某些特定的几何问题，比如求两个点之间的最短距离。

此外，椭圆在很多领域中都有应用，比如机械设计中，椭圆是用来设计齿轮的；在地理学上，椭圆也被用来描述地球的形状；在金融学中，椭圆也被用来描述投资组合的风险程度。

总之，椭圆是一种非常常见的几何形状，它的参数方程是$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，它有着广泛的应用，在机械设计、地理学、金融学等领域都有应用。