数学奥林匹克高中训练题(33)及答案

高中数学奥林匹克竞赛试题及答案

1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．

x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）

其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．

2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．

【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）

但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．

3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．

【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1

因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．

4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄

【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2

对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．

5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．

【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n?10a＋1．因此b＝n2100a2?20a＋1

- 1 - 数学奥林匹克高中训练题（32）

第一试

一、选择题（本题满分36分,每小题6分）

1．(训练题32)设k为整数,则22221997199719971997(1)(1)(1)(1)kkkkkkk的值为(B)．

(A) -4或-2 (B) -2或0 (C) 0或2 (D) 2或4

2．(训练题32)ABC的三边长,,abc满足2,2bcaacb. 则ba取值范围是(C)．

(A)(0,) (B)5151(,)22 (C)1(,2)2 (D)(0,2)

3．(训练题32)正方体八个顶点的两两连线中,异面直线共有(C)对．

(A)114 (B)138 (C)174 (D)228

4．(训练题32)以椭圆22221xyab的长轴为底的内接梯形最大面积是(A)．

(A)ab433 (B)ab23 (C)263a (D)283a

5．(训练题32)集合{1,2,3,,18}S的五元子集112345{,,,,}Saaaaa中,任何两元素之差不为1．这样子集1S的个数为(D)．

(A)417C (B)415C (C)513C (D)514C

6．(训练题32)如图,从A到B（方向只能从左右或从下上或从左下右上）,不同走法路线种数为(D)．

(A)16 (B)18 (C)20 (D)22

二、填空题（本题满分54分,每小题9分）

1．(训练题32)能被9整除且商恰是各位数字平方和的三位数是 315 ．

４２　中等数学　

蒎　窕高　溯　遛（８６）　

第一试　

一、选择题（每小题６分，共３６分）　

１．已知定义在Ｒ上的函数ｆ（　）的图像　

关于点【一　３，０）成中心对称图形，且满足　

）＝一　＋号Ｊ，ｆ（一１）＝１，ｆ（Ｏ）＝一２．　

男Ｉｊ么，ｆ（１）＋ｆ（２）＋…＋ｆ（２　００６）的值是　（　）．　

（Ａ）１　（Ｂ）２　（Ｃ）一１　（Ｄ）一２　

２．已知Ｆ，、Ｆ　分别为双曲线　一　＝１　

（口＞０，ｂ＞０）的左、右焦点，Ｐ为双曲线右支　

上任一点．若　的最小值为８口，则该双　

曲线的离心率ｅ的取值范围是（　）．　

（Ａ）（１，３］　（Ｂ）（１，２］　

（Ｃ）［２，３］　（Ｄ）［３，＋∞）　３．若对任意的长方体　，都存在一个与　Ａ等高的长方体曰，使得曰与　的侧面积之　比和体积之比都等于　，则　的取值范围是　

（　）．　

（Ａ）　＞０　（Ｂ）ｏ＜　≤１　

（ｃ）ａ＞１　（Ｄ）　≥１　

４・设ｓ　＝１＋　＋—｝１　’＋　１

＋了１＋了＋　

一—１—　１—～，其中．ｊ｝　：　１　２　１　’７　Ｉ　，　ｎ　一　＋了＋　＋…＋　

（ｎＥＮ＋），记　是满足不等式Ｓｚ嘶＞Ｔ的　

最大整数　．则下列４个数中与　＇０最接近的　

是（　）．　

（Ａ）２　００６（Ｂ）２　００５（Ｃ）１　ＯＯ６（Ｄ）１　００５　５．已知　、ｙ、　∈Ｒ＋，且　＋’，＋　＝１．女日　

果　、ｙ、　中没有一个数大于另一个数的２　倍，那么，乘积ｘｙｚ的最小值是（　）．　

（Ａ）　１（Ｂ　ｌ－４（ｃ）　（Ｄ　１　

６．已知集合Ｓ＝｛１，２，３，４，５，６｝，一一映　射　：ｓ—Ｓ满足条件：对于任意的　Ｅ　Ｓ，有　

≤—　一：６—４　．　３＋２√２　

当　＝√　，即Ｘ－－－　时，　

：６—４　．　．）△舳ｃ　故原式的最大值为６—４　．　三、如图５，ａ（３，０）是抛物线与　轴正半轴的交　点．由于　

ｙ　一２ｘ一３　

＝（　一１）　一４，　所以，原抛物线的　顶点为Ｐ（１，一４），对　称轴与　轴的交点为　Ｂ（１，０）．　＜１）若原抛物线绕　Ａ（３，０）顺时针方向旋　转９０￣，设新抛物线顶　Ｊ　

数学奥林匹克高中训练题（29）

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．(训练题39)若是空集，对于一特殊集合}}{,{T来说，下列命题：⑴T，⑵T，⑶T}{，⑷ T}{中正确的个数为 (D)．

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2．(训练题39)已知函数6sincos)2111()(xbxaxfx)1,(aba为常数，且，8(lglog1000)8f，则)2lg(lgf的值是(B)．

(A)8 (B)4 (C)4 (D)与ba,的值无关

3．(训练题39)计算：kkkkC220001000100003)1( (B)．

(A)19982 (B)19992 (C)19982 (D)19992

4．(训练题39)已知90)(kkxxf，则多项式)(1999xf除以)(xf后，所的余式为(A)．

(A)0 (B)1 (C)9)(xxf (D)1)(9xxf

5．(训练题39)如图，有1999个圆分别与MON的两边都相切，而这些圆依次一个相切于另一个，如果最大圆与最小圆的半径分别为222,1998．那么，它们中的正中间的圆的半径为(C)．

(A)1110 (B)1776 (C)666 (D)不能确定

6．(训练题39)如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到

)1,0(，尔后它接着按图所示在与x轴，y轴的平行方向上来回运动，且每一

秒移动一个单位长度，那么，1999秒后，这个粒子所在位置为(D)．