03相似三角形题型之三线段比值问题
- 格式：doc
- 大小：1.28 MB
- 文档页数：22
相似三角形线段比值问题
例1 a：b=c：d型，常通过相似比、平行线分线段成比例定理，三角形内角、外角平分线分线段成比例定理来实现。
如图2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．
分析 设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件．
证明：过B引BE∥AC，且与AD的延长线交于E．因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因为BE∥AC，所以
∠2=∠3．
从而∠1=∠3，AB=BE．显然
△BDE∽△CDA，
所以 BE∶AC=BD∶DC，
所以 AB∶AC=BD∶DC．
说明 这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证．
例2：cba111型，常通过比例法和通分法来实现
（1） 比例法：将原等式变形为cabba1、cbaba，故构造以a＋b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形；
（2） 通分法：先将原等式变形为1bcac。利用相关定理将两个比通分，即证出dmac1、dmbc2，且dmm21，则原式成立。
①如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．
即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．
注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．
证明：延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC．
设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则
∠A+∠B+∠C=7α=180°．
由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以
∠ACE=180°-4α＝3α，
所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．
从而
∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE． 又由作图
AE=AC，AE=BD，
所以 BE=BD，
△BDE是等腰三角形，所以
∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，
所以 △ABC∽△DAE，
所以
②如图2-67所示． ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：
分析 与上例类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．
证 延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以
在△OED与△OBH中，
∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，
所以 △OED≌△OBH(AAS)．
从而
DE=BH=AI，
例3. efcdab型，常用以下方法：
（1） 利用提公因式或平方差公式，将原式转化为等积式，再利用三角形相似加以证明；
（2）要证efcdab，可在线段b所在的直线上取一点，则21bbb，则efcdbba)(21，再证cdab1、efab2即可。
①如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG2=CFBF
②在△ABC中，∠ACB＝2∠ABC。
求证：BCACACAB22。
（按图示辅助线以两种方法证明）
例4 a2+b2，a2：b2型，常用勾股定理、射影定理、比例中项、线段的等量代换、比例相乘等途径来实现
①如图2-80所示．P，Q分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM．求证：
PB2＋QC2=PM2＋QM2．
分析与证明 若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并连接PQ，则
PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．
于是求证式等价于
PB2+QC2=PA2+QA2， ①
等价于 PB2-PA2=QA2-QC2． ②
因为M是BC中点，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分别是AB，AC的中点，即有
AD=BD，AE=CE，
②等价于
(AD＋PD)2-(AD-PD)2
=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2， ③
③等价于
AD·PD=AE·EQ． ④
因为ADME是矩形，所以
AD=ME，AE=MD，
故④等价于
ME·PD=MD·EQ． ⑤
为此，只要证明△MPD∽△MEQ即可．
下面我们来证明这一点．
事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可．由于ADME为矩形，所以
∠DME=90°=∠PMQ(已知)． ⑥
在⑥的两边都减去一个公共角∠PME，所得差角相等，即
∠PMD=∠QME． ⑦
由⑥，⑦，所以
△MPD∽△MEQ．
由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，从而①成立，则原命题获证．
②如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC边于D，求证： ．
分析：可过C作CE⊥AD于E，可得AC2=AE•AD，又有平分线可得CE=EF，再过E作EG∥BC交AB于G，得出对应线段成比例，进而通过化简转化即可得出结论．解答：证明：过C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于F，AC2=AE•AD，由∠CAD=∠FAE，AE⊥CF，得CE=EF，过E作EG∥BC交AB于G，则BC=2EG。
例5 比例连乘型与比例连加型，常用梅氏定理、塞瓦定理或相似比的积与和的形式实现。
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
①一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求
分析 设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证．
证明一：过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线截线段成比例性质知
证明二：过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
证明三：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，
所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'
所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
证明四：连接BF。
（AD：DB）•（BE：EC）•（CF:FA)
=（S△ADF：S△BDF）•（S△BEF：S△CEF）•（S△BCF：S△BAF）
=（S△ADF：S△BDF）•（S△BDF：S△CDF）•（S△CDF：S△ADF） =1
此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。
第一角元形式的梅涅劳斯定理
如图：若E，F，D三点共线，则 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积，该形式的梅涅劳斯定理也很实用。
第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)
②塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》塞瓦定理是塞瓦重新发现。
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
塞瓦定理的应用：
A：利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
