三角形的相似比与比例线段

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------------------华夏教育资源库 直角三角形中成比例线段（二）

一、教学目的和要求

1. 使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。

2. 使学生会解直角三角形中，已知两个条件（至少一边）的题。

二、教学重点和难点

掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。

三、教学过程

（一）复习、引入

直角三角形有哪些性质？——由学生回答再归纳。

（1）两锐角互余

（2）勾股定理

（3）斜边中线等于斜边一半

（4）30角所对的直角边等于斜边的一半

（5）斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似

（6）根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。

（二）新课

今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。

我们知道ABC中，90ACB，ABCD于D，这里可以得到三对相似三角形，分别写出它们对应边的比例式。（见图1）

BDAC

图1

CDADCBCDCBACCBDACDBDBCCDACBCABCBDABCCDBCADACACABACDABC,~)3(,~)2(,~)1(

在上面提到的三对相似三角形中都有一条公共边，但它们不会是对应边，将含有公共边的比例式改写成等积式是(1)中：

ABBDBCABADAC22)2(中ADBDCD2)3(中这三个关系式在以前的课本上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这个结论在以后“圆”中运用较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题，（但注意不可直接使用）。这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系 ------------------华夏教育资源库

2016

1 / 27 01相似三角形题型之一比例与比例线段

比例与比例线段

教学目标：

1.了解比例中项的概念。

2.会求已知线段的比例中项。 3.通过实例了解黄金分割。

4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点：

教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。

教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。

1．知识点与方法概述

A：比例的性质：

基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.

合比性质：

等比性质：如果

，那么.

B：比例线段：

比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简

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2 / 27 称比例线段.

设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.

C：黄金分割：

如图，把线段AB分成两条线段AC和BC，所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截

得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况:

中考专题20 相似三角形问题

一、比例

1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcba(或a：b=c：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbba或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。

2．黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

二、相似、相似三角形及其基本的理论

1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。

2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。

3．三角形相似的判定方法

(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。

(3)两个三角形相似的判定定理

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

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初三数学组 比例线段、三角形一边的平行线

（时间90分钟，满分150分）

一、选择题（每小题4分，共24分）

1.已知线段a=4cm，b=6mm，那么ba的值为（ ）

A. 320 B. 32 C. 151 D. 203

2.下列各组线段，能组成比例线段的是（ ）

A.3厘米，6厘米，7厘米，9厘米

B.0.1厘米，0.2厘米，0.3厘米，0.4厘米

C.3厘米，9厘米，1.8分米，6厘米

D.3厘米，12厘米，4分米，9分米

3.如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，且DE//AB，下列比例式中，不成立的是（ ）

A.CEDCBEAD B. ABDEACAD

C. DCACDEAB D. ACADBCBE

4.如图，已知下列条件：

①CEDCBEAD ②ABDEACAD

③DCACDEAB ④ACADBCBE

其中能判定DE//AB的是（ ）

A.①、② B.①、③ C.①、④ D.②、③

5.如图，下列判断正确的是（ ）

A.若EFDEBCAB，那么321////lll

B.若321////lll，则DFDEACAB

C. 若321////lll，那么FCBEBEAD

D. 若321////lll，则DEEFACBC

6.已知线段a、b、c，求作线段x，使cabx，则下列图形正确的是（ ）

A. B. C.

D.

二、填空题（每小题4分，共48分）

7.如果两地相距500km，那么，在1∶10000000的地图上表示这两地的点相距是 cm.