线段的比例和相似三角形

相似判定定理

相似三角形有四个判定定理，分别是：

1、平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。

2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。

4、如果两个三角形的两个角分别对应相等，则有两个三角形相似。

相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）。

相似三角形的性质：

相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

相似三角形的周长比等于相似比。

相似三角形的面积比等于相似比的平方。

郭氏数学 内部资料

1 图形相似与比例线段

学习目标：

1、认识图形的放大与缩小，并能在方格纸上准确的画出。

2、理解相似形的概念和特征。

3、理解比例线段的意义，并能解决比例线段的有关问题。

4、了解黄金分割的意义，知道黄金分割的准确值与近似值，并会判断一条直线的黄金分割点的确定位置。

5、会利用比例线段及其性质解决一些实际问题。

6、会运用“同高（或等高）的两个三角形的面积比等于对应底边的比”进行三角形的面积比与线段比的转化；在比例线段性质的证明与运用过程中，体会方程思想的作用。

主要概念：

1、图形的放缩运动：图形的放大或缩小。

2、相似形：一般来说，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形，说成是相似的图形，通常也说是相似形。（形状相同，大小不一定相等）

3、相似多边形的特征：如果两个多边形是相似图形，那么这两个多边形的对应角相等，各对应边的长度成比例（或各对应边长度的比值是相等的）。如果两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值是1。

4、相似多边形的对应角、对应边：相似多边形在进行放缩运动时所得到的每一对点都称为对应定点；以对应定点为角的顶点的两个内角称为相似多边形的对应角；以相邻的对应顶点为端点的两条线段称为相似多边形的对应边。

5、比例的基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc。反之也成立。

,,,abcd四个量中，如果::abcd，那么就说,,,abcd成比例，即表示两个比相等的式子叫做比例。其中,,,abcd分别叫做第一、二、三、四比例项，第一比例项a和第四比例项d叫做比例外项，第二比例项b和第三比例项c叫做比例内项。

一般地，如果三个数a、b、c满足比例式ab ＝bc （或a:b＝b: c，b2＝ac），则b叫做a，c的比例中项.

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1 / 27 01相似三角形题型之一比例与比例线段

比例与比例线段

教学目标：

1.了解比例中项的概念。

2.会求已知线段的比例中项。 3.通过实例了解黄金分割。

4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点：

教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。

教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。

1．知识点与方法概述

A：比例的性质：

基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.

合比性质：

等比性质：如果

，那么.

B：比例线段：

比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简

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2 / 27 称比例线段.

设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.

C：黄金分割：

如图，把线段AB分成两条线段AC和BC，所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截

得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况:

1 / 6 【知识点讲解】

一、比例线段

1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成 ,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。

2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．

4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或 ，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．

二、比例的性质：

(1)比例的基本性质：

(2)反比性质：

(3)更比性质: 或

(4)合比性质:

(5)等比性质: 且

１、判断下列四条线段是否成比例

① a=2，b=5,c=15，d=32；

② a=2，b=3, c=2，d=3；

③ a=4，b=6, c=5，d=10；

④ a=12，b=8, c=15，d=10

2、已知：ad=bc

（1） 将其改写成比例式；

（2） 写出所有以a，d为内项的比例式；

（3） 写出使b作为第四项比例项的比例式；

（4）若dbca；写出以c作第四比例项的比例式；

3 、计算.

(1)已知：x∶y=5∶4，y∶z=3∶7.求x∶y∶z.

(2)已知：a，b，c为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.文档收集自网络，仅用于个人学习 2 / 6

4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m，同时，高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么，古塔的高是多么米?文档收集自网络，仅用于个人学习

5、EFBEADAB，AB=10cm，AD=2cm，BC=7.2cm，E为BC中点.求EF，BF的长.