二进位制与多进位制(含答案)-

中国古代的伟大发明：二进位制
中国古代的伟大发明：二进位制
相传在公元前3000年伏羲发明了二进位制。

《周易》就是五经之一的《易经》，它是我国最古老的经典之一。

《周易》相传是由约公元前3000年的伏羲画卦、周文王重卦、周公作爻(yao)辞，并经过孔丘修订而成为《易经》。

当代的电子计算机用的不是十进制而是二进制。

二进制是谁发明的？《周易》中的“易数”用的就是二进制。

换句话说就是伏羲发明了二进制，伏羲就是神农。

传说神农尝百草才有五谷，我国才有原始农业。

伏羲对我国社会的进步可谓大矣！我国北京的先农坛就是为了祭奠神农而建造的，这里表达炎黄子孙对他的敬佩之情。

中国人的一百项发明中国人的一百项发明1、鼓：公元前2世纪中国人发明了定音鼓。

2、二进位制：相传在公元前3000年伏羲发明了二进位制3、绳索：公元前2800年，中国人已经掌握了创造麻绳的技术。

4、指南针：相传公元前2700年中国的轩辕黄帝发明了指南针。

5、养鱼法：公元前2500年中国人已经懂得养鱼。

6、赤道式天文仪：公元前2400年，中国人发明了赤道式天文仪。

7、十进计数制：中国人于公元前14世纪，发明了十进计数制。

8、印刷术：公元前1324年，中国人已会雕刻印章，用墨水印在文件上。

1040年代中国刻字工人毕升在北京历年间发明了活字印刷术。

1107年，中国人还发明了彩色印刷术。

9、漆――世界第一种塑料：中国人最迟在公元前13世纪已经发明使用了漆。

10、铜镜：约公元前12世纪中国人发明了铜镜。

11、伞：公元前1100年，中国人已经使用伞。

也有人说，公元4世纪三国时期中国人才发明了伞。

12、风筝：公元前1000年，中国人最先放风筝。

风筝飞上天空为飞机飞上天空提供了原理和灵感。

13、米酒：公元前1000年，中国人发明了米酒。

14、弓箭：中国人于公元前8世纪发明了弓箭。

而欧洲的意大利在公元10世纪才使用弓，比我国晚了一千二百年。

15、古代机器人：公元前770年至公元前256年东周时期，中国人就已发明了古代机器人。

16、分行栽培与精细耕地法：公元前6世纪，中国人发明了分行栽培与精细耕地法；欧洲人到1731年才使用此项技术，比中国晚了二千四百年左右。

17、铁犁：公元前6世纪，中国人发明了铁犁。

欧洲人到17世纪才使用铁犁，比中国晚了二千三百年左右。

18、大定音钟：中国人于公元前6世纪发明了大定音钟；欧洲人到公元1000年才有定音钟，比中国晚了一千六百年左右。

19、长明灯：大约在公元前589年，中国人发明了长明灯。

灯蕊为石棉；灯油为海豹油或鲸油。

20、算盘：公元前550年中国人发明了算盘，用于计算。

21、地毯：公元前五百年地毯已在中国应用。

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。

二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。

它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。

二进制数（binaries）是逢2进位的进位制，0、1是基本算符；计算机运算基础采用二进制。

电脑的基础是二进制。

在早期设计的常用的进制主要是十进制（因为我们有十个手指，所以十进制是比较合理的选择，用手指可以表示十个数字，0的概念直到很久以后才出现，所以是1－10而不是0－9）。

电子计算机出现以后，使用电子管来表示十种状态过于复杂，所以所有的电子计算机中只有两种基本的状态，开和关。

也就是说，电子管的两种状态决定了以电子管为基础的电子计算机采用二进制来表示数字和数据。

常用的进制还有8进制和16进制，在电脑科学中，经常会用到16进制，而十进制的使用非常少，这是因为16进制和二进制有天然的联系：4个二进制位可以表示从0到15的数字，这刚好是1个16进制位可以表示的数据，也就是说，将二进制转换成16进制只要每4位进行转换就可以了。

二进制的“00101000”直接可以转换成16进制的“28”。

字节是电脑中的基本存储单位，根据计算机字长的不同，字具有不同的位数，现代电脑的字长一般是32位的，也就是说，一个字的位数是32。

字节是8位的数据单元，一个字节可以表示0－255的十进制数据。

对于32位字长的现代电脑，一个字等于4个字节，对于早期的16位的电脑，一个字等于2个字节。

例子：如十进制10 变二进制10/2 = 5 余05/2 = 2 余12 /2 =1 余01/2 = 0 余1计算结束，把余数从后向前写出：1010，即十制10 变为二进制后是1010；二进制计算与十进制计算类似，只不过是逢二进。

以加法为例：0 + 0 = 00+1 =11+0 = 01+1= 10//如二进制100 + 101计算1 0 0+ 1 0 1----------1 0 0 1相当于十进制4+5 = 9特性编辑1、如果一个二进制数（整型）数的第零位的值是1，那么这个数就是奇数；而如果该位是0，那么这个数就是偶数。

数字进位制一、十进制（Decimal System）十进制是我们日常生活中最常用的进位制。

它由0-9这10个数字组成。

每一位的权值都是10的幂次方，从右往左依次为10^0、10^1、10^2...以此类推。

在十进制中，数字的数值大小由高位到低位依次递增，方便人们理解和计算。

二、二进制（Binary System）二进制是计算机系统中最基础的进位制。

它只由0和1这两个数字组成。

每一位的权值都是2的幂次方，从右往左依次为2^0、2^1、2^2...以此类推。

二进制中的数值大小由高位到低位递增，与十进制不同的是，每一位只能是0或1，所以运算更加简单高效。

三、八进制（Octal System）八进制是一种较为少见的进位制，它由0-7这8个数字组成。

每一位的权值都是8的幂次方，从右往左依次为8^0、8^1、8^2...以此类推。

八进制在计算机领域中用得较少，但在Unix系统中经常使用，例如文件权限的表示就是用八进制。

四、十六进制（Hexadecimal System）十六进制是计算机系统中常见的进位制之一。

它由0-9和A-F这16个数字组成，其中A-F分别表示10-15。

每一位的权值都是16的幂次方，从右往左依次为16^0、16^1、16^2...以此类推。

十六进制在计算机领域中广泛应用，例如表示颜色、内存地址等。

五、三进制（Ternary System）三进制是一种基于3的进位制。

它由0-2这3个数字组成。

每一位的权值都是3的幂次方，从右往左依次为3^0、3^1、3^2...以此类推。

三进制在现实生活中较少使用，但在某些领域如电子工程中有一定应用，例如存储器中的三值逻辑。

六、五进制（Quinary System）五进制是一种基于5的进位制。

它由0-4这5个数字组成。

每一位的权值都是5的幂次方，从右往左依次为5^0、5^1、5^2...以此类推。

五进制在现实生活中较少使用，但在某些领域如音乐理论中有一定应用，例如五线谱的音符表示就是用五进制。

综合与实践——进位制的认识与探究教学目标1．认识进位制．2．理解不同进位制的数之间的转换，以及二进制数的加法运算．教学重点不同进位制的数之间的转换，二进制数的加法运算．教学难点进制数的加法运算及应用．教学过程知识回顾1．有理数的加法法则：同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加得0 ．一个数与0 相加，仍得这个数．2．有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．3．有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．任何数与0相乘，都得0 ．4．乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．5．正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0 ．6．有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．7．科学记数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 是正整数.8．近似数与准确数的接近程度，可以用 精确度 表示． 新知探究一、新知导入【问题】掰手指算数的方式，与目前使用最广泛的“十进制记数法”密切相关，而计算机使用的是“二进制记数法”．两种不同进位制的意义分别是什么？为什么会有不同的进位制？不同进位制的数之间能否互相转换？如何转换？二进制数之间能否进行运算？如何运算？是否还有其他进位制？【师生活动】教师引导学生思考进位制的相关问题．【设计意图】通过实际例子，自然地引出本节课要解决的问题，给出常用的两种进位制，为下面的教学做好准备，提高学生的学习积极性．二、探究学习【活动一】认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．3 721＝3×103＋7×102＋2×101＋1×100．十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一．【设计意图】从学生熟悉的十进制记数法入手，引入新知．【新知】一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．【任务1】二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数1 011表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数．说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．十进制数一般不标注基数．【答案】11【任务2】把89转换为二进制数和八进制数．【答案】(1 011 001)2 (131)8【任务3】把二进制数111 001转换为八进制数．【答案】(71)8【师生活动】教师给予说明和提示，学生先独立完成，再全班交流，教师讲解．【设计意图】让学生认识进位制，知道不同进位制的数之间的转换方法．【活动二】探究进位制的加法运算二进制只用0和1两个数字，这正好与电路的断和通两种状态相对应，因此计算机内部都使用二进制．计算机在进行数（十进制）的运算时，先把接收到的数转换为二进制数进行运算，再把运算结果转换为十进制数，并输出结果．【任务1】查阅资料，分析计算机运算选择二进制的原因，从多个角度分析选择二进制的优越性．【答案】原因：（1）二进制数在物理上最容易实现；（2）二进制数用来表示的二进制数的编码、计数、加减运算规则简单；（3）二进制数的两个符号“1”和“0”正好与逻辑命题的两个值“是”和“否”或称“真”和“假”相对应，为计算机实现逻辑运算和程序中的逻辑判断提供了便利的条件．优越性：（1）易于物理实现；（2）运算简单；（3）机器可靠性高；（4）通用性强．【任务2】小组合作，研究二进制的加法运算法则，并填写如下表的活动记录单．（1）根据上面的加法运算法则，计算(10 010)2＋(111)2，并交流一下计算方法．（2）①计算45＋23；②把45，23分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数；③比较①②的计算结果是否相同．【答案】（1）25．（2）①68；②45＝25＋23＋22＋20＝(101 101)2，23＝24＋22＋21＋20＝(10 111)2，(101 101)2＋(10 111)2＝(1 000 100)2＝68．③相同．【任务3】计算机的存储容量是指存储器能存放二进制代码的总位数，用于计量存储容量的基本单位是字节．请研究手机、计算机等电子存储设备的容量以及它们存储的一些电子文件的大小，它们通常以什么单位表示？这些单位之间有什么关系？【答案】它们通常以KB，MB，GB，TB表示．1KB＝1024B1MB＝1024KB１GB＝1024MB1TB＝1024GB【任务4】古人在研究天文、历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期七天、一年12个月、一小时60分钟的记时方法．结合角度、时间等实际问题，分小组讨论一下六十进制的加法运算法则．【师生活动】学生归纳、交流，教师在适当的时候提供帮助．【设计意图】让学生探究得到进位制的加法运算方法．【活动三】任选下列主题之一进行研究1．国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届．ICBM-14于2021年在上海举办，大会标识（上图）中蕴含着很多数学文化元素，其中八卦符号（下图）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法．提示：八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组合而成．把八卦符号看作表示二进制数时，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0.大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为八进制数得到一个四位数；将这个四位数看作一个八进制数，在将这个八进制数转换为十进制数．【答案】这个符号所表示的数是2 021．2．除了十进制、二进制、八进制等记数法，日常生活中还经常使用其他进位制，如十二进位制、六十进位制等．结合上述学习，写一篇与进位制有关的文章，包括进位制的意义及其计算，不同进位制的特点、适用范围及互相转换等．【师生活动】教师给予提示，学生在小组内进行讨论探究．【设计意图】进一步巩固学生对进位制及其运算法则的理解，体现数学的应用价值．课堂小结板书设计一、认识进位制，探究不同进制数的数之间的转换二、探究进制数的加法运算三、主题研究教学反思_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________。

⼩学奥数之进制的计算（含详细解析）1. 了解进制；2. 会将⼗进制数转换成多进制；3. 会将多进制转换成⼗进制；4. 会多进制的混合计算；5. 能够判断进制.⼀、数的进制1.⼗进制：我们常⽤的进制为⼗进制，特点是“逢⼗进⼀”。

在实际⽣活中，除了⼗进制计数法外，还有其他的⼤于1的⾃然数进位制。

⽐如⼆进制，⼋进制，⼗六进制等。

2.⼆进制：在计算机中，所采⽤的计数法是⼆进制，即“逢⼆进⼀”。

因此，⼆进制中只⽤两个数字0和1。

⼆进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，⼆进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在⼆进制中表⽰为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

⼆进制的运算法则：“满⼆进⼀”、“借⼀当⼆”，乘法⼝诀是：零零得零，⼀零得零，零⼀得零，⼀⼀得⼀。

注意：对于任意⾃然数n ,我们有n 0=1。

3.k 进制：⼀般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进⼀”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如⼆进位制的计数单位是02，12，22，，⼋进位制的计数单位是08，18，28，．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=?+?++?+（）⼗进制表⽰形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；⼆进制表⽰形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下⽅写上k ，表⽰是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表⽰⼋进位制，⼆进位制，⼗⼆进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和⼗进制⼀样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

第九节二进位制与多进位制内容讲解十进位制的数有十个数字0、1、2、…、9，进位的规则是“逢十进一”．十进制数的一般形式为a1×10n-1+a2×10n-2+…＋a n×100（a n取0、1、2、…、9，n取正整数，100=1）．二进位制的数只有两个数字0、1，它的进位规则是“逢二进一”，2•是二进位制的进位单位．同十进位制的数一样，二进位制的数可以比较大小，它可以进行加、减、乘、除四则运算．由于计算机的计算与记忆元件．只有“开”和“关”两种状态，因此，计算机上通用的是二进位制．二进位制的数一般形式为：a1×2n-1+a2×a n-2+…+a n×20（a取0，1，n取正整数）．将十进制的数化为二进制的数，只要不断地用2去除，直到商为0为止．得到的余个余数，就是二进制的数字，把它们依次排出，就得到与十进制数相等的二进制数．例如：将二进制的数化为十进制的数，只要将二进制数的每个数字，依次乘以2•的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数．例如：1012=1×22+0×21+1×20=4+1=5；110102=1×24+1×24+1×23+0×22+1×21+0×20=18+8+2=26．用类似的方法，可以将多种进位制的数，化为与其相等的十进制数，k•进位制的数（k 取2≤k≤9的整数）的一般形式为：a1k n-1+a2k n-2+…＋a n k0（a取0≤a n≤k的所有整数，n取正整数）．这种表示法可以把任意一个k进制数，化为与其相等的十进制数．•要将十进制数化为与其相等的k进位制数，可用k去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．例如：3217=3×72+2×71+1×70=147+14+1=162；而例题剖析例1计算（1）110112+100102；（2）11012×1102．分析：利用下面的加法与乘法表，用竖式计算．表中第一行与第一列的数字相加（乘），其和（积）为行列交叉处的数．加法表与乘法表如下所示：解：用竖式进行计算：∴110112+100102=1011012；11012×1102=10011102．评注：二进制的四则运算十分简便，计算中要注意进位规则为“满二进一”．例2 计算（1）100112-10102；（2）1011012÷1012．分析：仿十进制数做减法与除法，用竖式进行计算．∴100112-10102=10012； 1011012÷1012=10012．评注：二进制数的减法借位规则为“借一为二”，与十进制数竖式除法相类似，不够商时，用0占位．例3 某商店将61件分成6箱事先装好，便于顾客购买时，不管买几件商品都不需要打开包装，就能满足顾客要求，问每箱应事先放几件商品？分析：问题是如何在1～61之间选6个数，使其和为61，且又能通过求和，表示出1～61之间的各个数．将6位的二进制数（由于每箱都不能空，所以每位上数字都是1），化为十进制数，可得到各箱应装的商品数．解：∵1111112=25+24+23+22+21+20=32+16+8+4+2+1=6310．注意到63>61，∴第6箱内不装入32件，而装32-（63-61）=30（件）．答：各箱中应放入的商品数，分别是1件、2件、4件、8件、16件、32件．评注：如果需要的商品数小于30W 年，可以从前面5个盒子中，挑选若干个盒子就可满足；如果需要的商品数大于或等于30件，可先取第6个盒子，其余的由前5个盒子中，挑选若干个盒子来补足．例4 利用二进制数，证明（232-1）一定能被15整除．分析：先把232-1与3、5三个数，分别用二进制数表示，然后证明232-1能被3、5整除即得．证明：∵310=112，510=1012．232-1=2321111个．用竖式做除法，如下所示：被除数中，（1）每两位数都能被112除尽，（2）每四位数能被1012除尽．因为32是2的倍数，也是4的倍数，所以232-1既能被3除尽，也能被5除尽，此数一定能被15整除．评注：此证明就是借助二进制数做除法，比较容易判断能否整除的优势来做的．例5 比较7249，2102123，58810，10010011112的大小．分析：相比较的4个数中，分别是九进制数、三进制数、十进制数和二进制数，•先把它们化为十进制数，再比较大小．解：7249=7×92+2×91+4×90=58910，2102123=2×35+1×34+0×33+2×32+1×31+2×30=59010．10010011112=29+26+23+22+21+20=512+64+8+4+2+1=59110．∵591>590>589>588，则10010011112>2102123>7249>58810．评注：不同进位制的数比较大小，只需化为相同进位制的数，就可以比较，•通常都化为十进制的数进行比较．巩固练习1．选择题：（1）10010112化为十进制数，得（）（A）77 （B）75 （C）76 （D）78（2）将十进制数163化为二进制数，得（）（A）101000112（B）101000102（C）100100112（D）100100012（3）将四进制数30214化为二进制数，得（）（A）100110012（B）110010102（C）110010012（D）10110012（4）将八进制数5128化为十进制数，得（）（A）334 （B）330 （C）332 （D）3282．填空题：（1）计算1100102+1011102=________；（2）计算1010112+10012-1000012=_________；（3）计算110102×10112=________；（4）计算111111112÷1012=_______．3．将29个小木球装在5个袋子里，不管要拿多少个木球（29个内），都只拿袋子，而不用从袋子中将木球取出，问这5个袋子应各装多少个木球．4．把1056化为与其相等的二进制数与三进制数．5．比较5148，1010011012，33410的大小．6．比较10023，1105，457，111112的大小．7．利用二进制数，证明210+1不能被27-1整除．答案:1．（1）B；（2）A；（3）C；（4）B．2．（1）11000002；（2）100112；（3）1010111102；（4）1100112．3．1个，2个，4个，8个，14个．4．1010112，11213．5．5148<1010011012<33410．6．∵29<30<31<33，∴10023<1105<111112<457．7．∵210+1=1200019个0，27-1=21117个1，而11……12不能整除100……012，∴210+1不能被27-1整除．。

数制进位计数制数制是人类计数的一种方式，它是指用一组数字符号来表示数的方法。

常见的数制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。

不同的数制在计算机科学、数学、物理学等领域中具有不同的应用。

本文将介绍数制的进位计数制及其相关参考内容。

1. 十进制数制:十进制数制是我们日常生活中最常用的计数方法。

它使用0-9这10个数字作为符号，每个数字的位权是逐位增加的。

例如123的十进制表示为1×10^2 + 2×10^1 + 3×10^0。

2. 二进制数制:二进制数制是计算机科学中最重要的数制之一，也是计算机内部使用的主要数制。

它使用0和1作为符号，每一位的位权是逐位增加的，位权是2的幂次。

例如101的二进制表示为1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0。

3. 八进制数制:八进制数制使用0-7这8个数字作为符号，每一位的位权是逐位增加的，位权是8的幂次。

八进制在计算机科学中有时用于表示存储器中的地址。

例如12的八进制表示为1×8^1 + 2×8^0。

4. 十六进制数制:十六进制数制使用0-9和A-F这16个数字作为符号，A-F分别表示10-15。

每一位的位权是逐位增加的，位权是16的幂次。

十六进制经常用于计算机科学中表示存储器中的地址、颜色值等。

例如1A的十六进制表示为1×16^1 + 10×16^0。

除了上述常见的数制外，还有其他一些特殊的数制，如二十四进制、六十进制等。

二十四进制主要用于音乐理论中的调式表示，六十进制则主要用于时间表示，将一个小时划分为60分钟和60秒。

各种进位计数制在不同领域有着广泛的应用，特别是在计算机科学中。

学习数制有助于我们理解进位计数的原理以及转换不同数制之间的方法。

在学习数制时，可以参考以下内容：1. 教科书或教材：数学、计算机科学相关的教科书或教材中通常会有关于数制的章节，其中会有详细的说明和例子，帮助读者理解各种数制的原理和转换方法。