高中数学人教A版2019课标版必修二公开课教案空间点、直线、平面之间的位置关系

【教学目标】知识与技能：掌握空间点、直线、平面之间的位置关系。

过程与方法：学生通过练习，能够灵活运用知识，解决实际问题。

情感态度价值观：培养学生认真思考问题的态度，使其能够尊重知识，发扬创新精神。

【教学重点】掌握空间点、直线、平面之间的位置关系。

【教学难点】培养学生的立体空间想象能力。

【教学过程】Step 1 自主探究1.请同学们画出以下图形：①A、B、C三点不共线，D点在线上AC上；②P、Q两点在直线l上，R点在平面α上，S点在平面β上。

2.请同学们结合纸片模型和实物模型，逐步探究点、直线、平面之间的位置关系，并记录成下表：空间元素|位置关系-|-点与直线|1.点在直线上；2.点在直线外。

直线与平面|1.直线在平面上；2.直线与平面相交；3.直线与平面平行。

点与平面|1.点在平面上；2.点在平面外。

Step 2 巩固练习请同学们用所学知识回答以下问题：1.如图，在四棱锥P-ABCD中，球心O在平面A,BC,D中的一个，B点与C点的连线与平面A,BCD的交点为E，则OE与PA的位置关系是（）。

A.相交B.相邻并分离C.相邻而不相交D.平面夹角为90°2.如图，四面体ABCD的体积为4/3。

如果点O在四面体内部，且凸四边形ABCD的对角线CE过点O，则（）。

A.OC=OEB.OE×OC=1C.OE+OC=2D.2OE+OC=3答案：1.C 2.DStep 3 总结讲评通过本节课的学习和探究，我们了解到了空间点、直线、平面之间的位置关系，并且掌握了一些操作技巧。

同时，我们也明确了在实际问题中所应用的方法。

8．2立体图形的直观图【最新课程标准】能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图．【学科核心素养】1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤．(数学抽象)2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(直观想象)引入新课：前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。

为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习直观图的有关知识。

课堂引入：一、直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。

画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。

因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同，在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。

要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。

立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法．MNOyxAB CDEFO 'x 'y （1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于o 点．画直观图时把它画成对应的x ′轴y ′轴，使它确定的平面表示水平平面。

（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段．（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．课堂典例１.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.画法：(1)在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为x 轴，对称轴MN 所在直线为y 轴，两轴交于点O ．画对应的x ′，y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠ x ′o y ′=45°. (2)以O ′为中心，在x ′上取A ′D ′=AD ，在y 轴上取M’N’=1/2MN 以点N ′为中心，画B ′C ′∥x ′轴，并等于BC ，再以M ′为中心，画E ′F ′∥x ′轴，并等于EF.（3）连接A’B’C’D’E’F’并擦去辅助线x ′轴和y ′轴，便获得正六边形ABCDEF 水平放置的直观图.【方法归纳】画平面图形的直观图的技巧1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段因为平行性不变，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．跟踪训练1 画水平放置的边长为1 cm 的正三角形的直观图．二、正等测画法----圆CDA 'C 'D 'B '思考：水平放置的圆给我们的视觉效果是什么？生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，立体几何中，我们常用正等测画法画水平放置的圆，在实际画水平放置的圆的直观图时常用下图所示的椭圆模板。

必修二2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系一、课程标准中的相关内容1．了解空间中点、线、面的基本性质及位置关系。

2．通过学生亲自动手实验，体验空间中直线和平面的位置关系，学会用数学符号描述空间中直线与平面的位置关系，为今后学习立体几何打好基础。

二、教学目标1．知识与技能学生通过动手操作模型或观察实例，直观的认识空间中直线与平面的位置关系，培养学生的观察能力、空间想象能力。

2．过程与方法使学生通过动手操作模型或观察实例，能正确画图表示出直线与平面的位置关系，培养学生的基本作图能力体验用数学刻画自然界事物之间关系的方法。

3．情感态度与价值观培养学生积极参与、合作交流的主体意识和勇于探索的科学态度三、学生分析在学习立体几何之前，学生已经学习了大量的平面几何知识，本章知识是立体几何的基础，在整个几何学中占有非常重要的地位，起着承前启后的作用。

再则本章知识在现实生活中应用非常广泛，学生对和现实生活联系紧密的知识具有天生的兴趣，充分培育和利用好学生的这些兴趣，将使教学更轻松。

课程的开展一方面是让学生对立体几何有基本的认识，另一方面也是为接下来的学习打下基础。

让学生从“知其然”到“知其所以然”。

四、教材分析1.本节的作用和地位本节内容在前两节的基础上现实生活中的实例为载体，使同学们在直观感知的基础上，认识空间中直线与平面的位置关系，进而进一步了解平行、垂直关系的基本性质及判定方法，发展推理论证能力，培养逻辑思维能力。

它既是前一章的深入，又是今后学习立体几何的基础，在整个几何学中占有非常重要的地位，起着承前启后的作用。

2．本节主要内容高中数学新课程对于学生认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、应用价值、文化价值、提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。

本课首先通过实例演示，是同学们对空间中直线和平面的位置关系有初步的了解，进而通过理论分析，是同学们从理论上理解并掌握空间中直线和平面的位置关系的内涵，为今后学生学习立体几何打下坚实的基础。

【教学目标】1. 了解空间点、直线、平面之间的位置关系。

2. 掌握点到直线、点到平面的距离公式及其应用。

3. 能够灵活运用所学的知识，解决实际问题。

【教学重点】掌握点到直线、点到平面的距离公式及其应用。

【教学难点】运用所学知识解决实际问题。

【教学过程】Step 1 导入（15分钟）1. 引入本节课的主题：空间点、直线、平面之间的位置关系。

2. 通过举例子引导学生思考：在真实的生活中，点、直线、平面之间有什么关系？如何判断它们之间的位置关系？3. 通过引进一些概念和术语，如点、直线、平面、向量、向量的内积与外积等，为后续内容做好铺垫。

Step 2 学习（60分钟）1. 点到直线的距离公式通过向量法推导点到直线的距离公式，即：$$ d = \frac{\left|\overrightarrow{PA} \times\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|} $$其中，$A$、$B$ 为直线上任意两点，$P$ 为离直线最近的点，$\overrightarrow{PA}$ 和$\overrightarrow{PB}$ 分别为向量 $\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PB}$ 的向量积，$\left|\overrightarrow{AB}\right|$ 是向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模长。

2. 点到平面的距离公式通过向量法推导点到平面的距离公式，即：$$ d = \frac{\left|Ax+By+Cz+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$其中，$Ax+By+Cz+D=0$ 是平面的一般式，$P(x_0,y_0,z_0)$ 是点 $P$ 的坐标，$\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ 是向量 $(A,B,C)$ 的模长。

3. 点、直线、平面之间的位置关系及判定方法（1）点在直线上的判定：设空间中一点 $P$ 在直线 $l$ 上的充分必要条件是$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}, \lambda\in R$。

ab 两直线平行a b两直线相交P∥a ba∩b=P两直线异面AA D BB 1C 1D 18.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系学情分析上一节课我们认识了点、线、面的位置关系及符号语言的书写，三个基本事实和三个推论，本节通过对生活中实例的观察，从而引出点、线、面的位置关系研究.学习目标1、了解空间两条直线间的位置关系、空间直线与平面的位置关系、空间平面与平面的位置关系.2、借助几何模型辅助，培养直观想象的核心素养.教学重难点重点：1、了解直线与平面的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示 2、理解异面直线的定义，会判断异面直线，会用平面衬托来画异面直线3、几何模型思想的运用与强化，借助几何模型辅助. 难点：理解异面直线的定义，会判断异面直线，会用平面衬托来画异面直线.教学过程一、空间中直线与直线的位置关系问题1 两支笔所在的直线具有哪些位置关系？设计意图：抛砖引玉，通过让学生思考两支笔所在的直线具有哪些位置关系，初步感受异面直线，其次让学生观察生活及周围的实物，在现实生活中寻找异面直线的例子，更加真实、直观地感受异面直线.思考1 两条异面直线具有什么特征？设计意图：有了生活实例的支撑，可以让学生自己总结异面直线的特征，再次深入感知异面直线.判断1 异面直线是指“空间中两条没有公共点的直线”设计意图：可能会有学生从公共点角度入手，设计判断1是让学生判断2 异面直线是指“不在同一平面内的两条直线”设计意图：判断1学生应该能举出反例，判断2学生估计会遇到难题，多数学生应该认为是对的，对此我设计了一个环节，准备了一个例子，是长方体模型，探究直线AC 和直线11A C 的位置关系. 借助这个例子让学生意识到“不在同一平面内”和“不同在任何一个平面”是不一样的.AA DB B 111AA D BB 1C 1D 1DB 1αβb aDBαab DBC 1αaA 1DB B 111思考2 如何理解“不同在任何一个平面内”？设计意图：“不同在任何一个平面”即“不具备确定平面的条件”，而我们又知道“两条平行直线、两条相交直线可以确定唯一平面”，那么异面直线就是 “两条既不相交，也不平行的直线”. 思考3 如何判断两条直线是异面直线？设计意图：举了一个例子，在正方体1111ABCD A B C D -中，寻找与1A A 异面的直线，想通过这个例子让学生归纳出判断异面直线的方法，定义法应该没问题，不过用定义法判断比较困难，不易操作，那么就引导学生给出第二种方法“排除法”，排除法也有不足之处. 思考4 如何画两条异面直线？设计意图：通过之前的3个思考学生应该对异面直线有个更深的感知，设计思考4有2个目的，①学生通过画异面直线感受如何将三维的图形在二维平面作出，再次感知异面直线的本质.②给出判断异面直线的其他方法.例子2 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，判断下列直线的位置关系：（1）直线BC 与直线1D D ；（2）直线AC 与直线1A D ；（3）直线BD 与直线11D C 设计意图：设计例子2是为了给出异面直线的画法，通过借助长方体模型给出三种画法.例题1 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，判断下列直线的位置关系：（1）直线1A B 与直线11B D ；（2）直线1A B 与直线1B C ；（3）直线1A B 与直线1C D . 设计意图：学生通过探究异面直线的画法归纳出判断异面直线的第三种方法，利用该方法可以很快地给出异面直线的判断.练习1 若直线a ，b 是异面直线，直线b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系是什么？设计意图：学生在完成练习1的时候，刚开始凭空间想象应该会很抽象的，此时老师提示可以借助几何模型，学生的思路应该会打开. 在此也让学生更加深刻地意识到几何模型思想的重要性.几何模型思想：无论在探究异面直线的特征、归纳异面直线的判断、总结异面直线的画法，还是在例题讲解和练习巩固，都用到了模型思想，以此将模型思想渗透在课堂，进而在学生的思维中形成沉淀.A DB B 1C 1D 1ααα思考5可以从哪些角度刻画空间中两条直线的位置关系？设计意图：想让学生从不同的角度刻画空间中两条直线的位置关系.二、空间中直线与平面的位置关系问题2 一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系？设计意图：借助生活中的实例让学生感知直线与平面的位置关系，可以让学生上黑板演示.文字语言图形语言符号语言设计意图：分别从文字语言、图形语言、符号语言认识空中直线与平面的位置关系.思考6 可以从哪些角度刻画直线与平面的位置关系？设计意图：想让学生从不同的角度刻画空间中直线与平面的位置关系. 可以从三个方面：平行关系、交点个数、是否在平面内.例题2 若直线a 上有一点P 在平面α外，则下列结论正确的是( ) A. 直线上所有的点都在平面外 B. 直线上有无数多个点都在平面外 C. 直线上有无数多个点都在平面内 D. 直线上至少有一个点在平面内设计意图：直线在平面外，学生可能会理解为直线与平面平行，直线在平面外包含两种情形：直线与平面平行和直线与平面相交.练习2 下列命题中，正确的是( )A. 如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行B. 如果a ，b 是两条平行直线，那么a 平行于b 所在的任何一个平面C. 如果直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥bD. 如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b 在α外，那么b ∥α设计意图：借助几何模型，练习2就变得游刃有余，以此让学生体会几何模型思想的重要性.利用几何模型，可以通过特例排除错误选项.A DBB 1C 1D 1三、空间中平面与平面的位置关系问题3 将一本书随意上下、左右移动和翻转，书本所在平面和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？ 设计意图：借助生活中的实例让学生感知空间中平面与平面的位置关系，可以让学生上黑板演示. 然后利用三种语言进行归纳.文字语言图形语言符号语言例题3 如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是什么？设计意图：借助几何模型，学生很快会找到思路，以此让学生体会几何模型思想的重要性.练习3 已知平面α，β满足α∥β，且,a b ⊂α⊂β，判断直线a ，b 的位置关系，并说明理由. 设计意图：借助几何模型即可解答，其次想借助练习3为之后的课堂小结做铺垫.课堂小结（1）这节课我们运用到了哪些数学思想和方法？ 设计意图：分类讨论、数形结合、几何模型（2）这节课我们分别研究了“线线”“线面”“面面”的位置关系，那么这三者之间是否有联系呢？设计意图：让学生明白一点线线、线面、面面三者是一个整体，学习立体几何，应该具备一种整体观念，以此打开数学的格局.αβlαβ。

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。

一、教学目标：1. 理解空间点、直线、平面之间的位置关系。

2. 掌握判断空间点、直线、平面之间的位置关系的方法和技巧。

3. 利用所学知识解决实际问题。

二、教学重难点：1. 空间点、直线、平面之间的位置关系及其特征。

2. 判断空间点、直线、平面之间的位置关系的方法和技巧。

三、教学内容：1. 点、直线、平面的定义。

2. 点与直线、点与平面、直线与平面之间的位置关系。

四、教学过程：1. 导入教师用三维图形向学生介绍空间点、直线、平面，并提出空间点、直线、平面之间的位置关系。

2. 学习新知识（1）点、直线、平面的定义教师给出空间点、直线、平面的定义，并介绍它们的符号表示法。

（2）点与直线的位置关系教师向学生介绍点与直线的位置关系，如点在直线上、点不在直线上等，并告诉学生如何判断一个点是否在直线上。

（3）点与平面的位置关系教师向学生介绍点与平面的位置关系，如点在平面上、点在平面下方或上方等，并告诉学生如何判断一个点是否在平面上。

（4）直线与平面的位置关系教师向学生介绍直线与平面的位置关系，如直线与平面相交、平行或垂直等，并告诉学生如何判断一条直线是否与一个平面相交、平行或垂直。

3. 练习教师出题目，让学生运用所学知识解决问题。

4. 总结回顾本节课所学知识，对学生在本节课中表现突出的同学进行表扬。

同时，强调课后学习的重要性，鼓励学生利用空余时间加强巩固。

五、板书设计：1. 点、直线、平面的定义和符号表示法2. 点、直线、平面之间的位置关系及其特征3. 判断点、直线、平面之间位置关系的方法和技巧六、教学反思：通过本节课的讲解和练习，学生对空间点、直线、平面之间的位置关系有了更深入的理解，并掌握了判断它们之间位置关系的方法和技巧。

教师在讲解时，注重引导学生，多让学生举例和画图，让学生通过实际操作来理解知识点。

在练习环节中，教师注重培养学生的观察能力和运用数学知识解决实际问题的能力，可以让学生更好地掌握所学知识。