一 曲线的参数方程 1．参数方程的概念
1．参数方程的概念
在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝f t y ＝g t
①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．参数的意义
参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B ，A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．
此类问题的关键是参数的选取．本例中由于A ，B 的滑动而引起点P 的运动，故可以
OB 的长为参数，或以角为参数，不妨取BP 与x 轴正向夹角为参数来求解．
法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于点Q .
如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )． ∵|OA |＝a 2
－t 2
， ∴|BQ |＝a 2
－t 2
.
∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝t ＋a 2－t 2，
y ＝t
(0＜t ＜a )．
法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．
取∠QBP ＝θ，
θ为参数⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2， 则∠ABO ＝π
2－θ.
在Rt △OAB 中， |OB |＝a cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫π2－θ＝a sin θ.
在Rt △QBP 中，
|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a
θ＋cos θ，
y ＝a sin θ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2.
求曲线参数方程的主要步骤
第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，
y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在
研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为π
60 rad/s ，试以
时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．
解：如图，运动开始时质点位于点A 处，
此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)，
又θ＝π
60
t ，
故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos π
60
t ，y ＝2sin π
60
t (t 为参数)．
2．选取适当的参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程． 解：选t ＝x ，则y ＝2t ＋3.
由此得直线的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ，
y ＝2t ＋3(t 为参数)．
也可选t ＝x ＋1，则y ＝2t ＋1.
参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t －1，
y ＝2t ＋1
(t 为参数).
已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，
y ＝2t 2
＋1
(t 为参数)．
(1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．
由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上．
(1)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组，得⎩⎪⎨⎪
⎧
0＝3t ，1＝2t 2
＋1.
解得t ＝0.∴点M 1在曲线C 上． 同理，可知点M 2不在曲线C 上．
(2)∵点M 3(6，a )在曲线C 上，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
6＝3t ，
a ＝2t 2
＋1.
解得t ＝2，a ＝9. ∴a ＝9.
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．
3．曲线(x －1)2
＋y 2
＝4上的点可以表示为( )
A ．(－1＋cos θ，sin θ)
B ．(1＋sin θ，cos θ)
C ．(－1＋2cos θ，2sin θ)
D ．(1＋2cos θ，2sin θ)
解析：选D 将点的坐标代入方程，使方程成立的即可．
4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2t ，y ＝at
2
(其中t 为参数，a ∈R)，点M (5,4)在
该曲线上，求常数a .
解：∵点M (5,4)在曲线C 上，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧ 5＝1＋2t ，4＝at 2
，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
t ＝2，a ＝1.
∴a 的值为1.
课时跟踪检测(七)
一、选择题
1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t 2
＋1，y ＝0；
(t 为参数) B.⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝0，y ＝3t ＋1；(t 为参数)
C.⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋sin θ，y ＝0；
(θ为参数) D.⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4t ＋1，y ＝0；
(t 为参数)
解析：选D x 轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0. 2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝6＋4cos θ，y ＝5tan θ－3(θ为参数，π≤θ<2π)，若点
Μ(14，a )在曲线C 上，则a 等于( )
A ．－3－5 3
B ．－3＋5 3
C ．－3＋5
3
3
D ．－3－5
3
3
解析：选A ∵(14，a )在曲线C 上， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
14＝6＋4cos θ， ①a ＝5tan θ－3. ②
由①，得cos θ＝1
2.又π≤θ＜2π，
∴sin θ＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝－32，
∴tan θ＝－ 3.
∴a ＝5·(－3)－3＝－3－5 3.
3．在方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝sin θ，
y ＝cos 2θ
(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )
A ．(2，－7)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12
D ．(1,0)
解析：选C 将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C 满足条件．
4．由方程x 2
＋y 2
－4tx －2ty ＋3t 2
－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A.⎩
⎪⎨
⎪⎧ x ＝2t
y ＝t
B.⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＝－2t y ＝t
C.⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2t y ＝－t
D.⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2t y ＝－t
解析：选A 设(x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2
＋y 2
－4tx －2ty ＋3t 2
－4＝0，得 (x －2t )2
＋(y －t )2
＝4＋2t 2
.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2t ，y ＝t .
二、填空题
5．已知曲线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3
(θ为参数，0≤θ＜2π)．
下列各点：A (1,3)，B (2,2)，C (－3,5)，其中在曲线上的点是________．
解析：将点A 坐标代入方程，得θ＝0或π， 将点B ，C 坐标代入方程，方程无解， 故点A 在曲线上． 答案：A (1,3)
6．下列各参数方程与方程xy ＝1表示相同曲线的是________(填序号)．
①⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t 2
，y ＝－t 2
，
②⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝sin t ，y ＝csc t ，
③⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos t ，
y ＝sec t ，
④⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝tan t ，y ＝cot t .
解析：普通方程中，x ，y 均为不等于0的实数，而①②③中x 的取值依次为：，，故①②③均不正确，而④中，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＝1，故④正确．
答案：④
7．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1,1)，则点M 的参数方程为________________________．
解析：设M (x ，y )，
则在x 轴上的位移为x ＝1＋9t ， 在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .
∴参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋9t ，
y ＝1＋12t (t 为参数)．
答案：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋9t ，
y ＝1＋12t
(t 为参数)
三、解答题
8．已知动圆x 2
＋y 2
－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．
解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2
＋y 2
－2ax cos θ－2by sin θ＝0，得
(x －a cos θ)2
＋(y －b sin θ)2
＝a 2
cos 2
θ＋b 2
sin 2
θ.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程．
解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ， 由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得
x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.
所以P 点轨迹的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2a cos 2
θ，y ＝2a tan θ，
θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2
.
10．试确定过M (0,1)作椭圆x 2
＋y 2
4＝1的弦的中点的轨迹方程．
解：设过M (0,1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1， 其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)． 设中点P (x ，y )，则有：x ＝
x 1＋x 2
2
，y ＝
y 1＋y 2
2
.
由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋1，x 2＋y 2
4＝1，
得(k 2
＋4)y 2
－8y ＋4－4k 2
＝0. ∴x 1＋x 2＝
－2k k 2
＋4，y 1＋y 2＝8
k 2＋4
. ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－k k 2＋4
，
y ＝4
k 2
＋4
(k 为参数)．
这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹方程．
2．圆的参数方程 圆的参数方程 (1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝y r ，即圆心在原 点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是： 质点做匀速圆周运动的时刻． (2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 ⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点 O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度． (3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝x 0＋R cos θ y ＝y 0＋R sin θ (0≤θ＜ 2π)． [例1] (1)在y 轴左侧的半圆(不包括y 轴上的点)； (2)在第四象限的圆弧． [解] (1)由题意，圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程为⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ∈ [0,2π))，在y 轴左侧半圆上点的横坐标小于零，即x ＝r cos θ<0，所以有π2<θ<3π 2 ，故 其参数方程为⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝r cos θ， y ＝r sin θ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2. (2)由题意，得⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝r cos θ>0， y ＝r sin θ<0，解得3π 2 <θ<2π.故在第四象限的圆弧的参数方程为
【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念参数方程的概念： 一般地，在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数 且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确认的点m（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组称作这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t称作参变数，缩写参数。相对于参数方程而言，轻易得出点的座标间关系的方程叫作普通方程． 参数方程和普通方程的互化： 在参数方程与普通方程的互化中，必须并使x，y的值域范围保持一致．否则，互化就是不等价的。 （1）参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种： ①代入法：利用解方程的技巧谋出来参数t，然后代入解出参数； ②三角法：利用三角恒等式消去参数； ③整体窭元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上解出． (2)普通方程化为参数方程需要引入参数． 例如：①直线的普通方程就是2x-y+2=0，可以化成参数方程 ②在普通方程xy=1中，令 可以化成参数方程 关于参数的几点说明： (1)参数就是联系变数x，y的桥梁，可以就是一个存有物理意义或几何意义的变数，也可以就是没显著实际意义的变数． (2)同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不同． (3)在实际问题中要确认参数的值域范围． 参数方程的几种常用方法： 方法1参数方程与普通方程的互化：将曲线的参数方程化成普通方程的方法需为题目的特点而的定，必须挑选恰当的方法消参，并必须特别注意由于消参后引发的范围管制消失而导致的增解问题．常用的消参技巧大加减消参，代人消参，平方消参等．
方法2求曲线的参数方程：求曲线的参数方程或应用曲线的参数方程，要熟记曲线参数方程的形式及参数的意义． 方法3参数方程问题的化解方法：化解参数方程的一个基本思路就是将其转变为普通方程，然后利用在直角坐标系下解决问题的方式展开解题． 方法4利用圆的渐开线的参数方程求点：利用参数方程求解点时只需将参数代入方程就可求得。 方法5求圆的摆线的参数方程：根据圆的摆线的参数方程的表达式 ，可知只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点代人参数方程求出r值再代人参数方程的表达式．
§1 参数方程的概念 1.参数方程的概念 (1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数 ???x ＝f （t ）， y ＝g （t ）， ① 并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数. 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程. (2)在参数方程中，应明确参数t 的取值范围.对于参数方程x ＝f (t )，y ＝g (t )来说，如果t 的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x ＝f (t )和y ＝g (t )这两个函数的自然定义域的交集. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 【思维导图】 【知能要点】 1.参数方程的概念. 2.求曲线的参数方程. 3.参数方程和普通方程的互化.
题型一 参数方程及其求法 1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值. 2.求曲线参数方程的主要步骤： 第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系. 第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数惟一确定. 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略. 【例1】 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s.试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程. 解 如图所示，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知???x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 又θ＝π 60t (t 的单位：S)，故参数方程为?????x ＝2cos π 60t ，y ＝2sin π 60t . 【反思感悟】 以时间t 为参数，在图形中分别寻求动点M 的坐标和t 的关系. 1.已知定直线l 和线外一定点O ，Q 为直线l 上一动点，△OQP 为正三角形(按逆时针方向转，如图所示)，求点P 的轨迹方程. 解 以O 点为原点，过点O 且与l 垂直的直线为x 轴，过点O 与l 平行的直线为y 轴建立直角坐标系.设点O 到直线l 的距离为d (为定值，且d >0)，
学习目标：1.了解曲线参数方程的有关概念.2.能进行参数方程和普通方程的互化．(重点) 1．参数方程的概念 定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝f (t ) y ＝g (t )， a ≤t ≤ b .(*) 如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，(*)式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 简单地说，若t 在a ≤t ≤b 内变动时，由(*)式确定的点M (x ，y )描出一条曲线，则称(*)式为该曲线的参数方程． 2．参数方程与普通方程互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )y ＝g (t ) 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x ，y 的取值范围保持一致． 思考1：曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？ [提示] 联系x 、y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度． 思考2：普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ [提示] 不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同． 1．将参数方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋sin 2 θ y ＝sin 2 θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x －2(2≤x ≤3) D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) [解析] 消去sin 2 θ，得x ＝2＋y ， 又0≤sin 2 θ≤1，∴2≤x ≤3.
第二节参数方程 1.曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ? ???? x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的 关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程? ???? x ＝f (t )，y ＝g (t ). 参数方程与普通方程互化的注意点 (1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同. 3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程 [熟记常用结论] 经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为???? ? x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0 ＋t sin α(t 为参数).若A ， B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参
数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0＝ t 1＋t 2 2 ； (2)|PM |＝|t 0|＝???? t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|. [小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)参数方程? ???? x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( ) (2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α????α≠π2的直线l 的参数方程为? ???? x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数). 参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( ) (3)方程????? x ＝2cos θ， y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( ) (4)已知椭圆的参数方程? ???? x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π 3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题 1.曲线? ???? x ＝－1＋cos θ， y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A.在直线y ＝2x 上 B.在直线y ＝－2x 上 C.在直线y ＝x －1上 D.在直线y ＝x ＋1上 解析：选B 由????? x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得????? cos θ＝x ＋1， sin θ＝y －2. 所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上. 2.若直线l ：????? x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：??? x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ (θ为参数)相切，则实数m 的值为( ) A.－4或6 B.－6或4
3．参数方程和普通方程的互化 参数方程和普通方程的互化 (1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． [例1] (1)(x －1)2 3＋(y －2)2 5＝1，x ＝3cos θ＋1，(θ为参数)； (2)x 2 －y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1，(t 为参数)． [解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)2 3＋(y －2)2 5 ＝1，得y ＝2＋5sin θ. ∴⎩⎨ ⎧ x ＝3cos θ＋1， y ＝5sin θ＋2 (θ为参数)． 这就是所求的参数方程． (2)将x ＝t ＋1代入x 2 －y ＋x －1＝0， 得y ＝x 2 ＋x －1＝(t ＋1)2 ＋t ＋1－1＝t 2 ＋3t ＋1， ∴⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1 (t 为参数)． 这就是所求的参数方程． 普通方程化为参数方程时的注意点 (1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x ＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ x ＝tan θ，y ＝tan 2 θ＋tan θ－1 (θ为参数)．
1.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2 －x ＝0的参数方程为______________． 解析：由题意得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，0在x 轴上， 半径为1 2 ， 则该圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12＋1 2 cos α，y ＝1 2sin α (α为参数)，注意α为圆心角，θ为 圆弧所对的圆周角，则有α＝2θ，故⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝12＋1 2 cos 2θ， y ＝1 2sin 2θ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2 θ，y ＝sin θcos θ (θ 为参数)． 答案：⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝cos 2 θ， y ＝sin θcos θ (θ为参数) [例2] (1)⎩⎨ ⎧ x ＝1－t ， y ＝1＋2t (t 为参数)； (2)⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝5cos θy ＝4sin θ－1(θ为参数)． [思路点拨] (1)可采用代入法，由x ＝1－t 解出t ，代入y 的表达式； (2)采用三角恒等变换求解． [解] (1)由x ＝1－t 得 t ＝1－x ，将其代入y ＝1＋2t 得y ＝3－2x .因为t ≥0，所以x ＝1－t ≤1， 所以参数方程化为普通方程为y ＝3－2x (x ≤1)． 方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)． (2)由⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝x 5 ①sin θ＝y ＋1 4 ②， ①2 ＋②2 得x 2 25＋(y ＋1) 2 16 ＝1(－5≤x ≤5，－5≤y ≤3)．
【综合评价】 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力． 【学习目标】 1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义.并掌握参数方程的概念. 2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程. 3.举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，更能感受参数方程的优越性. 4.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程. 5.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例(例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
【学习计划】 内容学习重点建议学习时间参数方程的概念参数方程的概念1课时 直线和圆锥曲线的参数方程 直线的参数，圆的参数方程， 椭圆的参数方程，双曲线的参 数方程 5课时 参数方程化成普通方程参数方程和普通方程的互化2课时平摆线和渐开线平摆线、渐开线2课时 1.参数方程的概念 (1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数 ⎩ ⎨ ⎧x＝f（t）， y＝g（t）， ① 并且对于t取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数. 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程. (2)在参数方程中，应明确参数t的取值范围.对于参数方程x＝f(t)，y＝g(t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x＝f(t)和y＝g(t)这两个函数的自然定义域的交集. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.
参数方程的概念 教学目标: ①掌握参数方程的概念; ②理解参数在方程中的意义; ③理解参数方程与普通方程的区别. 重点:参数方程的概念及对参数的理解. 难点:由参数方程解有关的量. 教学过程: 一.教学回顾 1、什么是曲线方程? 2、P．21．探究 如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？ 二、新课 1、由上问题引出：什么是参数方程？ 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数x=f(t),y=g(t), 并且对于t的每一个允许值,由此所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么此方程就叫做这条曲线的参数方程.t为参数. 2、参数方程与普通方程 ①参数方程有一个参变量；普通方程给出两个变量直接的关系； ②参数有一定的几何或物理意义，也可以没有；
③参数方程可以转化为普通方程。 3、变式教学 一架救援飞机以100m/s 的速度作水平直线飞行。在离灾区指定目标1000m 时投放救援物资（不计空气阻力，重力加速 g=10m/s ）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m ） 4、例题 例1: 已知曲线C 的参数方程是 （1）判断点M1（0，1），M2（5，4）与曲线C 的位置关系； （2）已知点M3（6，a ）在曲线C 上，求a 的值。 练习： （1）曲线 与x 轴交点坐标是 ； （2）方程 表示的曲线是 。 例2已知曲线C 的参数方程是 点M(5,4)在该曲线上. （1）求常数a; （2）求曲线C 的普通方程. 5、思考题： 动点M 作等速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的速度分别为5和12，运动开始时位于点P （1， 2），求点M 的轨迹参数方程。 三、小结 1、学习了参数方程，学生谈学习的意义 2、参数方程与普通方程的区别与联系 四、作业布置： 作业本P.54~P.55 23,()2 1.x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数2 1,(43x t t y t ⎧=+⎨=-⎩ 为参数）sin ,(cos x y θθθ=⎧⎨=⎩ 为参数）212, (). x t t y at =+⎧∈⎨=⎩为参数,a R
第2讲 参数方程 【2020年高考会这样考】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 【复习指导】 复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法. 基础梳理 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f t ，y ＝f t ， 并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上， 则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)． 设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P → 的数量． (2)圆的参数方程⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． 双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝a sec φ，y ＝tan φ (φ为参数)． 抛物线y 2 ＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝2pt 2 ，y ＝2pt (t 为参数)． 双基自测 1． 极坐标方程ρ＝cos θ 和参数方程⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝－1－t ， y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是 ( )．
曲线的参数方程 教学目标： 1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。 2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。 3．会进行参数方程和普通方程的互化。 教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。参数方程和普通方程的互化。 教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。参数方程和普通方程的等价互化。 教学过程 一．参数方程的概念 1．探究： （1）平抛运动： 为参数） t gt y t x (215001002⎪⎩ ⎪ ⎨⎧-== 练习：斜抛运动： 为参数） t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩ ⎪ ⎨⎧-⋅=⋅=αα 2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。 （2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1 232 t y t x (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。 ) 0,1()2 1 ,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==
A 、一个定点 B 、一个椭圆 C 、一条抛物线 D 、一条直线 二．圆的参数方程 )(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨ ⎧==ωω )(sin cos 为参数θθ θ⎩⎨ ⎧==r y r x 说明： （1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。 （2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。 例2．（教科书第24页例2） 思考：你能回答教科书第25页的思考吗？ 三．参数方程和普通方程的互化 1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值X 围保持一致。 例3．（教科书第25页例3） 例4．（教科书第26页例4） 2．你能回答教科书第26页的思考吗？ 四．课堂练习 （教科书第26页习题） 五．巩固与反思 1．本节学习的数学知识 2．本节学习的数学方法 巩固与提高 1．与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t 为参数）是（D ） A ．⎩⎨⎧==-22t y t x B ． ⎩⎨⎧==t y t x csc sin C ．⎪⎩ ⎪ ⎨⎧==t y t x 1 D ．⎩⎨⎧==t y t x cot tan 轨迹是所表示的一族圆的圆心为参数、由方程)(045243222t t ty tx y x =-+--+。半径，并化为普通方程所表示圆的圆心坐标、为参数、指出参数方程)(sin 235cos 22ααα+=-=⎩⎨⎧y x
曲线的参数方程 教学目标 1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力． 3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 教学重点与难点 曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立． 教学过程 师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线? 生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法． (师板书——⊙O:) 师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？ 生：…… 师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？
（计算机演示动画，如图３－１） 师：驱使Ｍ运动的因素是什么？ 生：旋转角θ. 师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么X围内取值就可以形成整个圆了？ 生： 师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？ 生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数） （生３叙述，师板书） 师：①式是⊙Ｏ的方程吗？ 生４：①式是⊙Ｏ的方程. 师：请说明理由. 生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知 ，显然满足方程①； （２）任取, 由①得即M（）．
第二讲 参数方程 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 参数方程的概念 如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t ). 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上， 那么方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )， y ＝g (t )叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参数． 知识点二 圆锥曲线的参数方程 (1)圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为 __⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)__． (2)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为 __⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)__． (3)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为__⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)__． (4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2， y ＝2pt (t 为参数)． 知识点三 直线的参数方程 过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为__⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)__，其 中t 表示直线上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M → 的__数量__．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M → 的方向向下；当t ＝0时，M 与M 0重合． 根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2． ①弦长l ＝|t 1－t 2|； ②M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；
第二节参_数_方_程 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求 出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f （t ）， y ＝g （t ） 就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y －y 0＝tan α(x －x 0) ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α y ＝y 0＋t sin α (t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a >b >0) ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数) 1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α. (t 为参数) 注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角． 2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． 『练一练』 1．若直线的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2t ， y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________． 『解析』∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－3 2. 『答案』－3 2
2．参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝3t 2＋2 y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为________．(填“线段”“射线”“圆弧”或“双曲 线的一支”) 『解析』化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0， 由于x ＝3t 2＋2∈『2,77』， 故曲线为线段． 『答案』线段 1．化参数方程为普通方程的方法 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法． 2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0 ＋t sin α(t 为参数)．若A ， B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0＝ t 1＋t 2 2 ； (2)|PM |＝|t 0|＝ t 1＋t 2 2 ； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. 『练一练』 1．已知P 1 ，P 2 是直线⎩⎨⎧ x ＝1＋1 2t ， y ＝－2＋3 2 t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为 t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________． 『解析』由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 2 2，P 对应的参数为t ＝0， ∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2| 2. 『答案』|t 1＋t 2| 2
第二讲 参数方程 1．参数方程的概念 一样地，在平面直角坐标系中，若是曲线上__________的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f t ， y ＝g t ， 而且 关于t 的每一个许诺值，由方程组所确信的点M (x ，y )都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称______．相关于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________． 2．几种常见曲线的参数方程 (1)直线：通过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t 为参数)． (2)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos α， y ＝r sin α. (3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情形： 椭圆x 2a 2＋ y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数． 椭圆 x 2 b 2＋y 2 a 2 ＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数． (4)抛物线：抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程是⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2， y ＝2pt .(t 为参数)． 1．(讲义习题改编)假设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2t ， y ＝2－3t (t 为参数)，那么直线的斜率为________． 2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ， y ＝5sin θ (θ为参数)的离心率为________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为核心的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 2， y ＝4t (t 为参数)上，那么|PF |＝________.
1．参数方程的概念 [对应学生用书P21] 1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变 数t (θ，φ，…)的函数：⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝f (t ) y ＝g (t ) ①，并且对于每一个t 的允 许值，方程组①所确定的点(x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．参数的意义 参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 参数方程表示的曲线上的点 [例1] 已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝t 2 ＋1， y ＝2t (t 为参 数)． (1)判断点A (1,0)，B (5,4)，E (3,2)与曲线C 的位置关系； (2)若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． [解] (1)把点A (1,0)的坐标代入方程组，解得t ＝0，所以点 A (1,0)在曲线上．把点 B (5,4)的坐标代入方程组，解得t ＝2，所 以点B (5,4)也在曲线上．把点E (3,2)的坐标代入方程组，得到
⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝t 2 ＋1，2＝2t ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝± 2， t ＝1. 故方程组无解，所以点E 不在曲 线上． (2)因为点F (10，a )在曲线C 上， 所以⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 10＝t 2 ＋1，a ＝2t ，解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ t ＝3， a ＝6或⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ t ＝－3， a ＝－6，所以a ＝ ±6. 参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的． 1．已知点M (2，－2)在曲线C ：⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝t ＋1t ， y ＝－2(t 为参数) 上，则其对应的参数t 的值为________． 解析：由t ＋1 t ＝2，解得t ＝1. 答案：1 2．已知某条曲线 C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2t ， y ＝at 2 (其中t 为参 数，a ∈R)．点M (5,4)在该曲线上，求常数a . 解：∵点M (5,4)在曲线C 上，∴⎩ ⎪⎨⎪⎧ 5＝1＋2t ， 4＝at 2 ，解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ t ＝2， a ＝1. ∴a 的值为1. 求曲线的参数方程
随堂演练巩固 1.(2011上海春招,10)若点O 和点F 分别为椭圆2 212 x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为 . 【答案】 2 【解析】 由题意可知,O(0,0),F(-1,0), 设P α,sin )α, 则|OP|2+|PF|22=cos 2α+ sin 2α+cos 21)α++sin 2α 2= cos 2α+cos 32(α+= cos 22α+, 所以当 cos α=时,|OP|2+|PF|2取得最小值2. 2.直角坐标系x O y 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B 分别在曲线 1C :3cos sin x y θθ =+⎧⎨=⎩(θ为参数)和曲线2C :1ρ=上,则|AB|的最小值为 . 【答案】 1 【解析】 曲线1C :3cos sin x y θθ =+,⎧⎨=⎩(θ为参数)的直角坐标方程是(x -3)2y +21=, 可知曲线1C 是以(3,0)为圆心,1为半径的圆,曲线2C :1ρ=的直角坐标方程是x 2y +21=, 可知2C 是以原点为圆心,1为半径的圆. 题意就是求分别在两个圆1C 和2C 上的两点A,B 的最短距离, 由圆的方程知,这两个圆相离, 所以|AB|min =d -12113r r -=-=-1-1=1. 3.已知直线l 的参数方程 12x y t ⎧=-+,⎪⎨=-, ⎪⎩ 求直线l 的倾斜角. 【解】 ∵ 12x y t ⎧=-,⎪⎨=-, ⎪⎩(t 为参数), ∴21y x -==+. ∴直线l 的倾斜角150α=. 4.设11()Q x y ,是单位圆221x y +=上的一个动点,求动点221111()P x y x y -,的轨迹方程. 【解】 由题意,可设Q(cos θ,sin )()P x y θ,,, 则 11cos sin x y θθ=,⎧⎨=, ⎩ 即 221111 x x y y x y ⎧=-,⎨=.⎩ ∴ 22221111cos2cos sin 1cos sin sin22 x x y y x y θθθθθθ⎧=-=-=,⎪⎨===.⎪⎩ 消去θ,得2241x y +=,即为动点P 的轨迹方程. 课后作业夯基