代数式最值的求法

代数式求值方法介绍：1、直接带入法例1 当12,2x y ==时，求代数式22112x xy y +++的值。

例2 已知x 是最大的负整数，y 是绝对值最小的有理数，求代数式322325315x x y xy y +--的值。

例3．已知3613211⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯÷-=x ，求代数式1199719981999+++++x x x x 的值。

2、整体带入法例1 当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值. 例2 已知25a b a b -=+，求代数式()()2232a b a b a b a b-+++-的值。

例3 当7x =时，代数式53-+bx ax 的值为7；当7x =-时，代数式35ax bx ++的值为多少？例4 当1=x 时，代数式13++qx px 的值为2005，则当1-=x 时，代数式13++qx px 的值为___________ 例5 已知当5=x 时，代数式52-+bx ax 的值是10，求5=x 时，代数式52++bx ax 的值。

3、利用新定义例1 用“★”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝b 2+1.例如，7★4＝42+1＝17，那么5★3＝＿＿＿；当m 为实数时，m ★(m ★2)＝＿＿＿.4、利用数形结合的思想方法例1 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：试试代数式│a +b │－│b －1│－│a －c │－│1－c │的值.5、利用非负数的性质例1 已知(a －3)2+│－b +5│+│c －2│＝0.计算2a +b +c 的值.6、利用分类讨论方法例1 已知x ＝7，y ＝12，求代数式x +y 的值. 例2 已知1x =，2y =，求代数式223x xy y -+的值。

A 类 巩固练习 1．当17a =，13b =时，求22a ab b ++的值。

2.已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，3m =，求代数式213()2263a b cd m m +++-的值。

求代数式的值成都市龙泉中学 吕仕富一、常用方法1.直接代入法直接代入法就是将所给出的每一个字母的值代入到代数式中进行计算。

2．整体代入法整体代入法即在未明确给定或者不能求出单个字母的取值的情况下，借助整体代入求值的方法。

3．间接代入法间接代入法即没有给出字母的值，也没有给出具体的某个代数式的值。

而是以比例的形式出现，只能用间接的方式，假设该比例为某一个未知数，把这些字母转化成都含有该未知数的形式，从而代入计算都出结果的方法。

4．化简代入法化简代入法即巧用运算律先简化代数式，再把所给字母的值代入代数式求值的方法。

二、典例示范：例1求值：,5)84(21342222222xy y x xy y x xyy x y x -⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----其中31,211-=-=y x 。

例2.已知：3y -6,5223=+=xyy x x ,求代数式3232322410267253x xy y y x x xy y x -++++-+-的值。

例3.若,432z y x ==且,20523-=+-z y x 则?3=-+z y x例4．如果代数式532-++cx bx ax ,当2-=x 时，值为7，求当2=x 时，532-++cx bx ax 的值。

例5.若0123=+++x x x ，求103210x x x x ++++ 的值为多少。

作业：1。

已知：y x m ,,满足如下条件①02)2(212=++m x ，②13--y b a 与3225a b 是同类项。

求⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++--+y x xy x xy y x x m y x 32323235.4)125.283(8145525.0 2．,213z y x==且99=++zx yz xy ，试求222992z y x ++的值 3．已知：211=-x y ，求y xy x yxy x ++---373的值4．当31<<-x 时，化简：242331++--+x x x。

求 ＂代数式的值＂的方法探求代数式的值是整式的一个重要考点，＂值＂是如何求得的呢，今天就和同学们交流一下．1．直接代入求值例１ 若x=-1，则代数式3x -2x +4的值为 ．分析： 掌握代入计算是关键.直接将x=-1代入计算即可．解： 当ｘ＝－1时，3x -2x +4＝23)1()1(---＋4＝－1－1＋4＝2. 点评： 求代数式值的步骤有二：一是代入，二是计算。

注意当代入的数是分数或负数时，一定要添加括号，否则会出现符号错误和运算错误．2．根据给定的程序，先确定代数式，后代入求值例2 按照下图所示的操作步骤，若输入ｘ的值为5，则输出的值为_______________；分析： 正确读懂程序的意义，后用数学的符号语言描述得到正确的代数式是解题的关键．解： 根据程序得代数式：3)5(2-+x ，当ｘ＝５时，原式＝3)55(2-+＝100－3＝97.点评： 弄清楚图表给出的计算程序是解题的关机基础．在符号化程序时，同学们要学会适当添加括号，以确保所列代数式与程序意义的一致性．3．根据已知分别代入，生成代数式，后整体代入求值例3 已知当x=1时，2a 2x +bx 的值为3，则当x=2时，a 2x +bx 的值为________． 分析： 将字母的值分别代入，得到相应的代数式，后仔细观察代数式之间的关系，选择整体代入求解．解： 当x=1时，2a 2x +bx 的值为3，所以2a ＋b ＝3. 当x=2时，a 2x +bx ＝4a ＋2b ＝2（2a ＋b ），因为2a ＋b ＝3，所以2（2a ＋b ）＝2×3＝6.点评： 正确代入，正确变形是解题的关键.灵活选择方法也是解题效率提高的有效手段．4．变形已知条件，后整体代入求值例4 已知y ＝x －1，则)()(2x y y x -+-＋1的值为___________.分析：将y ＝x －1做好两种变形得：x －y ＝1，y －x ＝－1，这样就可以整体代入求值了． 解：因为y ＝x －1，所以x －y ＝1，y －x ＝－1．所以)()(2x y y x -+-＋1＝21＋（－1）＋1＝1．点评： 将已知条件利用所学知识进行科学合理的变形，变形出自己解题需要的形式也是同学们应该具有的基本数学能力．在平时的数学学习过程中，要自觉加以培养和锻炼．。

第八讲代数式的值一、知识要点求代数式的值的主要方法：1、利用特殊值；2、先化简代数式，后代入求值；3、化简条件后代入代数式求值；4、同时化简代数式和条件式再代入求值；5、整体代入法；6、换元法。

二、例题示范例1、已知a为有理数，且a3+a2+a+1=0,求1+a+a2+a3+…+a2007的值。

提示：整体代入法。

例2已知a-b=5，ab=-1，求(2a+3b-2ab) -(a+4b+ab) -(3ab+2b-2a)的值。

提示：先化简，再求值。

例3、已知a+b+c=0,求(a+b)(b+c)(c+a)+abc的值。

提示：将条件式变形后代入化简。

例4、已知x2+4x=1,求代数式x5+6x4+7x3-4x2-8x+1的值。

提示：利用多项式除法及x2+4x-1=0。

例5、已知A=3x2n-8x n+ax n+1-bx n-1，B=2x n+1-ax n-3x2n+2bx n-1，A-B中x n+1项的系数为3，x n-1项的系数为-12，求3A-2B。

例6、化简：x-2x+3x-4x+5x-…+2001x-2002x。

例7、5个数-1, -2, -3,1,2中，设其各个数之和为n1，任选两数之积的和为n2，任选三个数之积的和为n3，任选四个数之积的和为n4，5个数之积为n5，求n1+n2+n3+n4+n5的值。

例8、已知y=ax5+bx3+cx+d，当x=0时，y=-3；当x=-5时,y=9。

当x=5时，求y的值。

提示：整体求值法，利用一个数的奇、偶次方幂的性质。

例9、若a,c,d是整数，b是正整数，且a+b=c,b+c=d,c+d=a，求a+b+c+d的最大值。

例10 若求x+y+z的值.提示令例11（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=______, b+c+d+e=_____.。

代数式求值方法运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要内容之一。

它除了按常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。

下面举数例介绍常用的几种方法和技巧。

一、常值代换求值法常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算或化简，求得代数式的值。

例1 已知ab=1，求221111b a +++的值 [解] 把ab=1代入，得221111b a +++ =22b ab aba ab ab +++ =ba ab a b +++ =1[评注] 将待求的代数式中的常数1，用a ·b 代入是解决该问题的技巧。

而运用分式的基本性质及运用法则，对代入后所得的代数式进行化简是解决该问题的保证。

二、运用“非负数的性质”求值法该法是指运用“若几个非负数的和为零，则每一个非负数应为零”来确定代数式中的字母的值，从而达到求代数式的值的一种方法。

例2 若实数a 、b 满足a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=0，求baa b +之值。

[解] ∵a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=(a 2b 2-2ab+1)(a 2-2ab+b 2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0∴⎩⎨⎧==-.1,0ab b a解得⎩⎨⎧==;1,1b a⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，b aa b +=1+1=2 当a=-1，b=-1时，baa b +=1+1=2[评注] 根据已知条件提供的有价信息，对其进行恰当的分组分解，达到变形为几个非负数的和为零，这一新的“式结构”是解决本题的有效策略，解决本题要注意分类讨论的方法的运用。

三、整体代入求值法整体代入法是将已条件不作任何变换变形，把它作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法。

例3 若x 2+x+1=0，试求x 4+2003x 2+2002x+2004的值。

专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（原卷版） 专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。

恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。

通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。

第一部分 典例剖析+变式训练类型一 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例1 （大城县校级四模）设m ＞n ＞0，m 2+n 2＝4mn ，则m 2−n 2mn 的值等于（ ） A ．2√3B ．√3C ．√6D ．3 变式训练1．（达州中考）已知：m 2﹣2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0且mn ≠1，则mn+n+1n 的值为 ．2．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a ﹣3b +1＝0，则代数式6a ﹣9b +1＝ ．3．（2022秋•吉县期中）请阅读下面解题过程：已知实数a 、b 满足a +b ＝8，ab ＝15，且a ＞b ，求a ﹣b 的值．解：因为a +b ＝8，ab ＝15，所以：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2＝a 2+2ab +b 2﹣4ab ＝（a +b ）2﹣4ab ＝82﹣4×15＝4因为a ＞b ，所以a ﹣b ＞0，所以a ﹣b ＝2．请利用上面的解法，解答下面的问题．已知实数x 满足x −1x =√8，且x ＜0，求x +1x的值．类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例2 （2021秋•下城区期中）已知实数m ，n 满足m ﹣n 2＝1，则代数式m 2+2n 2+4m ﹣2的最小值等于 ． 变式训练1．（2022•蓝山县校级开学）若m ，n 是方程x 2﹣2ax +1＝0且a ≥1的两个实数根，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是 ．2．（2022秋•海淀区校级月考）阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式x 2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x +1，可设x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ；则x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ＝x 2+ax +x +b ＝x 2+（a +1）x +a +b ．∵对于任意上述等式成立，∴{a +1=−1a +b =3解得：{a =−2b =5． ∴x 2−x+3x+1=(x+1)(x−2)+5x+1=x ﹣2+5x+1． 这样，分式x 2−x+3x+1就拆分成一个整式x ﹣2与一个分式5x+1的和的形式． （1）将分式x 2+5x−4x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；（2）已知整数使分式2x 2−x−12x−3的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．类型三 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围典例3（2021•杭州三模）已知2a ﹣3x +1＝0，3b ﹣2x ﹣16＝0（1）用含x 的代数式分别表示a ，b ；（2）当a ≤4＜b 时，求x 的取值范围．变式训练4．平面直角坐标系中，已知点（a ，b ）在双曲线(0)k yk x 上，且满足22a b m ，22b a m ，a b ，求k 的取值范围。

高中数学如何进行代数式求值在高中数学中，代数式求值是一个非常重要的知识点。

它不仅需要我们掌握数学的基本运算法则，还要学会运用代数公式和等式进行计算，同时还要注意代数式的化简和变形。

下面我们将从几个方面介绍如何进行代数式求值。

一、加减乘除四则运算在进行代数式的四则运算时，需要遵循相同项的原则和基本的加减乘除法则。

比如，若有一个代数式a+b+c-d，要求求出它的值，在进行化简前，我们需要先合并同类项，得到a+b+c-d=a+b+(c-d)，再进行运算，即可求出代数式的值。

当进行乘除运算时，需要注意相乘和相除中的某些因式是否可以约掉，以此来简化式子。

同时，在进行除法运算时，需要判断分母是否为0，若为0，则式子无解。

二、代数公式的运用在进行代数式求值时，还需要借助代数公式。

代数公式是数学中一个非常重要的概念，对于我们化简和计算代数式有非常重要的帮助。

比如，在计算(x+y)^2时，我们需要使用到平方公式(x+y)^2=x^2+2xy+y^2，在化简后即可求出该代数式的值。

再比如，当我们计算a^2-b^2时，需要使用到差平方公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)，再根据已知的数值进行代入，即可计算出式子的值。

三、等式的应用在进行代数式求值时，还需要掌握等式的应用。

等式是代数中不可或缺的一部分，它们具有非常重要的作用。

比如，在计算2x+3y=5z时，我们需要根据等式推算出其中某一项，进而求得其他项的值。

又比如，在进行代数式的变形和化简时，我们经常需要利用等式进行代换。

比如，当我们需要将5a-3ab+4a^2-6b^2化简时，可以将4a^2-6b^2用(a+b)(a-b)来表示，再将其代入原式，便可化简得到5a-3ab+2(a+b)(a-b)。

通过这种方法，我们可以更快更准确地求出代数式的值。

总之，在进行代数式求值时，我们需要充分运用四则运算、代数公式和等式等知识点，灵活运用不同方法，化繁为简，从而快速求得代数式的值。

求代数式值的方法代数式是由数字、字母和运算符组成的表达式。

它们在数学中具有非常重要的作用，因为它们可以用来求解各种数学问题，如方程、不等式等。

但是，代数式的价值如何确定是一个常见的问题。

本文将介绍如何求代数式的值，以及在不同情况下的常见计算方法。

首先，我们需要了解代数式中的常见符号和运算。

代数式使用加减乘除等运算符号，常见的数学符号包括圆括号、方括号、花括号、冒号等，其中圆括号是最常用的括号，它们用于组合和区分数学表达式中的不同部分。

在代数式中，一个字母或数字被称为变量，它可以用来表示一个数或者一个未知数。

接下来，我们来看看如何计算代数式的值。

假设我们有一个简单的代数式x + 2，其中x的值为3。

为了计算这个代数式的值，我们只需要将x的值代入式子中，然后进行相应的计算，公式如下：x + 2 = 3 + 2 = 5在这个例子中，我们将x的值代入方程式中，然后使用加法运算符将x和2相加，得到代数式的值为5。

这个计算方法适用于代数式中只有一个未知数的情况，比如x + 2、3x - 4等。

然而，当代数式中有多个未知数时，我们需要使用不同的方法进行计算。

比如，在代数式2x + 3y中，我们需要知道x和y的值才能计算该代数式的值。

此时，我们可以采用以下两种方法：方法一：代入值并计算这种方法和上面的单变量情况一样，我们把每一个变量的值都代入到方程中，然后进行相应的计算。

例如，如果x = 2，y = 3，则有：2x + 3y = (2 ×2) + (3 ×3) = 4 + 9 = 13在这个例子中，我们首先将x的值替换为2，将y的值替换为3，然后将这两个式子相加。

最后，我们得到了代数式的值为13。

方法二：因式分解和合并同类项在这种方法中，我们将代数式转换为一组因式的乘积，并将相同类型的项合并在一起，然后计算得到总和。

例如，对于2x + 3y，我们可以将代数式转换为：2x + 3y = 2 ×x + 3 ×y现在，对于每个乘积项都相同的部分，我们可以将其合并在一起，然后计算总和。