第22章 专题05 几何思想之梯形必考点专练(学生版)-【考点培优尖

专题05 高分必刷题-几何图形初步重难点题型分类（原卷版） 专题简介：本份资料包含《几何图形初步》这一章除压轴题题之外的全部重要题型，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含九类题型：正方体的展开图、立体图形的三视图、直线射线线段的概念、算术方法求线段长度、方程方法求线段长度、角的概念与单位换算、折叠中的角度计算、算术方法求角度、方程方法求角度。

适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一：正方体的展开图1.（长郡）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是( )A .B .C .D .【解答】解：A 、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；B 、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；C 、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；D 、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．故选：C ．2.（长梅）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是__________.【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“的”与“害”是相对面，“了”与“厉”是相对面，“我”与“国”是相对面．3.（中雅）如图所示，是一个正方体的平面展开图，当把它折成一个正方体时，与空白面相对的字应该是__________.【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“京”与“你”相对，面“迎”与面“北”相对，“欢”与面“空白”相对．故答案为：欢．4.（西雅）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“爱”字所对应的面相对的面上标的字是( )A.我B.的C.祖D.国你迎欢京北【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“爱”与“的”是相对面；故选：B．题型二：立体图形的三视图5.（雅礼）如图所示是由一些相同的小正方体构成的立体图形从正面、左面、上面看到的形状图，那么构成这个立体图形的小正方体的个数是个。

特殊的直角梯形专题培优直角梯形是一个具有特殊属性的四边形。

它有两边是平行的且长度相等，而且还有一个直角。

本次专题培优将重点讨论特殊的直角梯形及其属性。

1. 特殊的直角梯形特殊的直角梯形指的是具有特定属性的直角梯形。

以下是两类特殊的直角梯形：1.1 等腰直角梯形等腰直角梯形是指直角梯形的两斜边相等的情况。

换句话说，它的两个锐角也是相等的。

等腰直角梯形有以下性质：- 直角梯形的两对角分别为90度和90度。

- 等腰直角梯形的两个底角相等。

- 等腰直角梯形的两边和两个底角都是相等的。

- 等腰直角梯形的高线是垂直于两个底边且通过梯形的顶点。

1.2 黄金直角梯形黄金直角梯形是指直角梯形的两斜边之比等于黄金比例（1:1.618）的情况。

黄金直角梯形有以下性质：- 直角梯形的两对角分别为90度和90度。

- 黄金直角梯形的两边之比等于黄金比例。

- 黄金直角梯形的两个底角也可以按照黄金比例划分。

2. 解题技巧解决特殊直角梯形的问题时，可以使用以下简单的解题技巧：- 根据给定的性质，确定直角梯形的类型（等腰直角梯形或黄金直角梯形）。

- 利用直角梯形的性质，推导出所需要求解的长度或角度。

- 使用已知条件和所学的几何知识，建立方程并解决问题。

3. 总结特殊的直角梯形是一个有趣和具有特殊属性的几何形状。

等腰直角梯形和黄金直角梯形是其中两个重要的类型。

通过了解它们的性质和解题技巧，我们可以更好地理解和解决与直角梯形相关的问题。

以上是关于特殊的直角梯形专题培优的内容。

希望这份文档对您有所帮助！。

内容基本要求略高要求较高要求梯形会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定.掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题.相关概念定理1．定义：四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形.AB CD ABCD AD BC ⎫⇒⎬⎭∥ 叫做梯形. C B A D底角腰底高2．等腰梯形AB CD AD BC AD BC ⎫⎪=⇒⎬⎪⎭∥峛.ABCD DAB CBA ADC BCD AC BD ∠=∠∠=∠=是等腰梯形，，，B CAD3． 直角梯形AB CD CB AB ABCD AD BC ⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭∥ 是直角梯形. CAB D4．平行线等分线段定理1234l l l l AB BC CD ⎫⇒⎬==⎭∥∥∥111111A B B C C D ==.l 4l 3l 2l1D 1C 1B 1A 1DC B A例题精讲中考要求梯形的概念、性质与判定5．中位线定理⑴ 三角形中位线定理 ABC ∆中：1122AM BM MN BC MN BC AN CN =⎫⇒=⎬=⎭∥，. BN C MA⑵ 梯形中位线定理 梯形ABCD 中：AB CD AM DM BN CN ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭∥()12MN AB CD MN AB CD =+∥∥，B NC A MD二、等腰梯形1. 等腰梯形的性质①等腰梯形同一底边上的两个角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等．③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴；2. 等腰梯形的判定①同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形． ②对角线相等的梯形是等腰梯形．一、梯形的概念【例1】在梯形中，以下结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底相等，正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【例2】梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可能是（ ）A 、4：6：2：8B 、2：4：6：8C 、4：2：8：6D 、8：4：2：6【例3】若一个四边形的四个角的比为2：4：5：7，则这个四边形是（ ）A 、平行四边形B 、梯形C 、菱形D 、一般四边形【例4】梯形上底长是4，下底长是6，则中位线夹在两条对角线之间的线段长为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4【例5】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=10，BD=6，则该梯形的面积是（ ）A 、30B 、15C 、D 、60【例6】一梯形的两条对角线长分别为5和12，且对角线互相垂直，则这个梯形的面积为（ ）A 、60B 、30C 、40D 、50【例7】下列叙述中，正确的是（ ）A 、只有一组对边平行的四边形是梯形B 、矩形可以看作是一种特殊的梯形C 、梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角D 、梯形的对角互补【例8】梯形的对角线（ ）A 、有可能被交点所平分B 、不可能被交点所平分C 、不相等D 、不可能互相垂直【例9】有两个角相等的梯形是（ ）A 、等腰梯形B 、直角梯形C 、一般梯形D 、直角梯形和等腰梯形二、特殊梯形的性质和判定【例10】已知: 如图, 在梯形ABCD 中,AD BC ∥, AB CD =, E 是底边BC 的中点, 连接AE DE ，. 求证:ADE ∆是等腰三角形.DE CAB【例11】如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，以下四个结论：①DCB ABC ∠=∠ ，②OA =OD ，③BDC BCD ∠=∠，④S AOB ∆=S DOC ∆，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②④ODCBA【例12】有一水库大坝的横截面是梯形ABCD ，AD BC ∥，EF 为水库的水面，点E 在DC 上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB 的长为12米，迎水坡上DE 的长为2米，135120BAD ADC ∠=︒∠=︒，，求水深．（精确到0.11.414 1.73=）【例13】如图，在直角ABC ∆中， 90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，2BC =，D 为AC 的中点，从D 作DE AC⊥与CB 的延长线相交于E ，以AB 、BE 为邻边作长方形ABEF ，连接DF ，则DF 的长为_________.ABC DEF【例14】如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB AD DC AC AB ==⊥∥，，，延长CB 至F ，使BF CD =.⑴求ABC ∠的度数⑵求证：CAF ∆为等腰三角形。

小升初培优专题：梯形的基本模型
一、梯形的定义：
梯形是一个有两个底边平行的四边形。

梯形的两个底边分别称为上底和下底，上底和下底之间的距离称为高。

二、梯形的性质：
1. 两组对边分别平行。

2. 邻边互相垂直。

3. 上下底角相等。

4. 对顶角相等。

三、梯形的分类：
1. 直角梯形：梯形中有一组对边垂直。

2. 等腰梯形：梯形的两边梯段长度相等。

3. 等边梯形：梯形的四边都相等。

4. 普通梯形：以上类型之外的梯形。

四、梯形的面积：
梯形的面积等于上底和下底之和乘以高再除以二，即S=1/2(上底+下底)×高。

例如，一个梯形的上底长为6cm，下底长为8cm，高为4cm，则它的面积为S=1/2(6cm+8cm)×4cm=28cm²。

五、梯形的应用：
梯形的基本模型为很多数学题目的中心，如直接求梯形面积、在梯形内划分图形求面积、根据梯形面积求高或底长等。

在小学的数学教育中，梯形也是很重要的基本图形之一。

总结：梯形是一个有两个底边平行的四边形，有很多基本性质和分类。

计算梯形的面积是应用最广泛的数学模型之一，也是小学生数学学习中必须掌握的知识点之一。

梯形（基础）知识点归纳及典型例题讲解【学习目标】1．理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念．2．掌握等腰梯形的性质和判定．3．初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化．4. 熟练运用所学的知识解决梯形问题．5. 掌握三角形，梯形的中位线定理.【要点梳理】知识点一、梯形的概念一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.知识点二、等腰梯形的定义及性质1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.（2）等腰梯形的两条对角线相等.要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.知识点三、等腰梯形的判定1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.知识点四、辅助线梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：知识点五、三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.【典型例题】类型一、梯形的计算1、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4.求∠B的度数及AC的长.【答案与解析】解：过A点作AE∥DC交BC于点E．∵ AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形．∴ AD＝EC，AE＝DC．∵ AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，∴ AE＝BE＝EC＝AB．可证△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形．∴∠BAC＝90°，∠B＝60°．在Rt△ABC中，2223=-=．AC BC AB∴ ∠B ＝60°，23=AC ．【总结升华】平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和三角形. 举一反三：【变式】如图所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ． (1)求证：△ABD ≌△ECB ；(2)若∠DBC ＝50°，求∠DCE 的度数．【答案】证明：(1)∵ AD ∥BC ， ∴ ∠ADB ＝∠EBC ． 又∵ CE ⊥BD ，∠A ＝90°， ∴ ∠A ＝∠CEB ． 在△ABD 和△ECB 中，A CEBADB EBC BD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABD ≌△ECB ．(2)∵ ∠DBC ＝50°，BC ＝BD ，∴ ∠BCD ＝65°． 又∵ ∠BEC ＝90°，∴ ∠BCE ＝40°．∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝25°．2、如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，AD＝4，BC＝10，求梯形的面积．【思路点拨】题目中有对角线互相垂直的条件，可通过平行移动对角线的方法，将两条对角线集中到一个直角三角形中，利用这个条件求出高．【答案与解析】解：如图所示，过D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E，∴四边形ACFD为平行四边形，∴ DF＝AC，CF ＝AD＝4．∵ AC⊥BD，AC∥DF，∴ ∠BDF ＝∠BOC ＝90°． ∵ ABCD 是等腰梯形 ∴ AC ＝BD ，∴ BD ＝DF ．∴ BF ＝BC ＋CF ＝14，∴ DE ＝12BF ＝7．∴ 1(410)7492ABCDS=+⨯=梯形． 【总结升华】作对角线的平行线（平移对角线），将上底平移与下底拼接在一起构造两底之和，把梯形转化成平行四边形是常见的辅助线方法． 类型二、梯形的证明3、如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 于点E 、F ，AE 、DC 的延长线交于点G ，试说明四边形AFCG 为等腰梯形．【思路点拨】先证明四边形AFCG为梯形，再通过证底角相等证明四边形AFCG为等腰梯形.【答案与解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，又AE、CF分别为∠BAD、∠BCD的平分线，∴∠1＝∠2＝∠4，又AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CF∥AG，又AF不平行于CG，∴四边形AFCG为梯形；又∠G＝∠BCD－∠3＝∠2＋∠4－∠3＝∠1，∴四边形AFCG为等腰梯形（同一底上两个角相等）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，难度适中，解题关键是熟练掌握并灵活运用等腰梯形的判定方法．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F．求证：CE＝BF．【答案】证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．∵AE、DF分别为∠BAD与∠CDA的平分线，∴∠BAE＝12∠BAD，∠CDF＝12∠CDA．∴∠BAE＝∠CDF．∴△ABE≌△DCF．（ASA）∴BE＝CF．∴BE－BC＝CF－BC．即CE＝BF．4、如图所示，在梯形ABCD中，AD ∥BC ，对角线AC ＝5，BD ＝12，两底AD 、BC 的和为13．（1）求证：AC ⊥BD ；（2）求梯形ABCD 的面积．【答案与解析】证明：（1）过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E 点，又∵ AD ∥BC ，∴ 四边形ACED 为平行四边形．∴ DE ＝AC ＝5，CE ＝AD ．在△BDE 中，BD ＝12，DE ＝5，BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋AD ＝13，且22251213+=，即DE 2＋BD 2＝BE 2，∴ △BDE 为直角三角形，∴ ∠BDE ＝90°，则DE ⊥BD ，又DE ∥AC ，∴ AC ⊥BD ．（2）111()222ABD CBD ABCD S S S BD OA BD OC BD OA OC =+=+=+g g △△梯形 115123022BD AC ==⨯⨯=g ． 【总结升华】（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长度乘积的一半．（2）通过辅助线将已知数据转化在同一个三角形内，然后由勾股定理的逆定理得到垂直关系，这是本题的关键．类型三、三角形、梯形的中位线5、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定【答案】C ；【解析】连AR ，由E 、F 分别为PA ，PR 的中点知EF 为△PAR 的中位线, 则12EF AR ，而AR 长不变，故EF 大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．6、在直角梯形ABCD 中（如图所示），已知AB∥DC，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，EF 为中位线，且BC ＝EF ＝4，那么AB ＝（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】B；【解析】解：作CG⊥AB于G点，∵∠ABC＝60°BC＝EF＝4，∴BG＝2，设AB＝x，则CD＝x－2，∵EF为中位线，∴AB+CD＝2EF，即x+x－2＝8，解得x＝5，【总结升华】此题综合运用了梯形的中位线定理、直角三角形的性质．在该图中，最关键的地方是正确的构造直角三角形．。

梯形1、〔2021•宁波〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD 于点E，且AE∥CD，那么AD的长为〔〕考点：梯形；等腰三角形的判定与性质．分析：延长AE交BC于F，根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AFB，然后求出∠BAF=∠AFB，再根据等角对等边求出AB=BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．解答：解：延长AE交BC于F，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF，∵AE∥CD，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=，BC=4，∴CF=4﹣=，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD=CF=．应选B．点评：此题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．2、〔2021•十堰〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，那么下底BC 的长为〔〕A．8B．9C．10 D．11考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．分析：首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．解答：解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，∴cos60°===，解得：BF=1.5，故EC=1.5，∴BC=1.5+1.5+5=8．应选：A．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据得出BF=EC的长是解题关键．3、〔2021•荆门〕如右图所示，等腰梯形ABCD，AD∥BC，假设动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影局部的面积为S，BP为x，那么S关于x的函数图象大致是〔〕A ．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．解解：①当直线l经过BA段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度越来越答： 快；②直线l 经过DC 段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l 经过DC 段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A 选项的图象符合． 应选A ． 点评： 此题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案．4、〔2021年广州市〕如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥==那么tan B =〔 〕A 23B 22 C114 D 554分析：先判断DA=DC ，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，由等腰三角形的性质，可得点F 是AC 中点，继而可得EF 是△CAB 的中位线，继而得出EF 、DF 的长度，在Rt △ADF 中求出AF ，然后得出AC ，tanB 的值即可计算． 解：∵CA 是∠BCD 的平分线，∴∠DCA=∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB=∠CAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴DA=DC ， 过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ， ∵AB ⊥AC ，∴DE ⊥AC 〔等腰三角形三线合一的性质〕， ∴点F 是AC 中点，∴AF=CF ，∴EF 是△CAB 的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2， 在Rt △ADF 中，AF==4，那么AC=2AF=8，tanB===2．应选B ．点评：此题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答此题的关键是作出辅助线，判断点F 是AC 中点，难度较大．5、(2021年南京)如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点P 。

中考数学梯形考点复习梯形点这里下载完整版：中考数学梯形考点复习.doc一、填空题：1.梯形中位线平行于，并且等于的一半。

2.梯形的下底比上底长4cm，中位线长是8cm，则下底的长是cm。

3.已知梯形的面积是12cm2，底边上的高线长是4cm，则该梯形的中位线长是cm..4.已知梯形ABCD中，AD∥BC，ABC=600，BD= ，AE是梯形的高线，且BE=1，则AD=。

5.直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB 的长为6，图中阴影部分的面积等于__________。

6.梯形ABCD中，AB∥DC，ADAB。

已知DC=4，AD=3DC，SABCD=78。

E是AD上的一个动点，如果以E、C、B为顶点构成的三角形是直角三角形，那么DE的长是。

7.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，A=900，对角线BD将梯形分成两个三角形，其中△BCD是周长为24的等边三角形，则梯形ABCD的面积S=。

8、在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，CD=1，则该梯形的中位线长为，若EF∥AB，且，则EF的长为.二选择题：1.等腰梯形外切于圆，它的周长等于48，则它的腰长是()(A)6(B)12(C)24(D)482.在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC和BD相交于点O，则图中全等三角形共有()对。

(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.已知梯形ABCD，AD∥BC，如果中位线EF的长为6cm，BC=2AD，那么BC的长是()(A)4cm(C)8cm(B)6cm(D)12cm4.梯形ABCD中，AD∥BC，中位线MN=4，BCAD=2，EF 是梯形AMND的中位线，则EF的长为()(A)2(B)2.5(C)3(D)3.55.若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为()(A)16cm(B)32cm(C)64cm(D)512cm6.在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O。

中考数学专题复习第二十二讲 梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形，叫做梯形。

其中，平行的两边叫做 两底间的距离叫做梯形的2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形= 12（上底+下底） X 高 【赵老师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边 外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】 二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等， 相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是 对称图形2、判定： ⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角 的梯形是等腰梯形⑶对角线 的梯形是等腰梯形【赵老师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯 形 问 题 的 基 本思 路 是 通过做辅助线将梯形转化为形式 常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质．思路分析：过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ，过点B 作BF ⊥DC 于点F ，判断出△BDE 是等腰直角三角形，求出BF ，继而利用梯形的面积公式即可求解．解答：解：过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ，过点B 作BF ⊥DC 于点F ， 则AC=BE ，DE=DC+CE=DC+AB=6，一般梯形特殊梯形 等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形 直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形又∵BD=AC且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=12DE=3，故可得梯形ABCD的面积为12（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般．对应训练A．17 B．18 C．19 D．201．考点：梯形；线段垂直平分线的性质．分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．考点二：等腰梯形的性质A．25 B．50 C．25 2D302思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= 12BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．对应训练．2．3考点：等腰梯形的性质．分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，∵AB CDABC BCD BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．故答案为：3．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．考点三：等腰梯形的判定考点：等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE于点G，易得△ABE 是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．点评：此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．对应训练．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．考点：等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例．分析：（1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为①．（2）先根据SAS证明△AMD≌△BCN，所以可得AM=BN，有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，从而知OM ONOD OC=，根据平行线分线段成比例，所以MN∥CD∥AB，且MN≠AB，即四边形ABNM是等腰梯形．解答：解：（1）可以选择①DM=CN；（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN∴△AMD≌△BCN，∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，∴OM ON OD OC=，∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB∴四边形ABNM是等腰梯形．点评：本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质、矩形的性质和平行线分线段成比例的关系．考点四：梯形的综合应用A．5个B．4个C．3个D．2个考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形中位线定理．专题：几何综合题．分析：连接DF，AC，EF，如图所示，由E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，得到EB=FB，再由一对公共角相等，利用SAS可得出△ABF与△CBE全等，由确定三角形的对应角相等得到一对角相等，再由AE=FC，对顶角相等，利用AAS可得出△AME与△CMF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到△BEM与△BFM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠ABN=∠CBN，选项①正确；由AD=AE，梯形为直角梯形，得到∠EAD为直角，可得出△AED为等腰直角三角形，可得出∠AED为45°，由∠ABC为直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN为45°，根据同位角相等可得出DE平行于BN，选项②正确；由AD=AE=12AB=12BC，且CF=12BC，得到AD=FC，又AD与FC平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADCF 为平行四边形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代换可得出DC=EC，即△DCE为等腰三角形，选项③正确；由EF为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到EF平行于AC，由两直线平行得到两对内错角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出△EFM与△ACM相似，且相似比为1：2，可得出EM：MC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，用EM+MC 表示出EC，设EB=y，根据BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，两者相等得到x与y的比值，即为EM与BE的比值，即可判断选项④正确与否；由E为AB的中点，利用等底同高得到△AME的面积与△BME的面积相等，由△BME与△BFM全等，得到面积相等，可得出三个三角形的面积相等都为△ABF面积的13，由E为AB的中点，且EP平行于BM，得到P为AM的中点，可得出△AEP的面积等于△PEM的面积，得到△PEM的面积为△ABF面积的16，由ABFD为矩形得到△ABF与△ADF全等，面积相等，由△ADF与△CFD全等得到面积相等，可得出三个三角形面积相等都为梯形面积的13，综上得到△PEM的面积为梯形面积的118，可得出选项⑤错误，综上，得到正确的个数．解答：解：连接DF，AC，EF，如图所示：∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，∴AE=EB=BF=FC，在△ABF和△CBE中，AB CBABF CBF BF BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，在△AME和△CMF中，BAF BCEAME CMF AE CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AME≌△CMF（AAS），∴EM=FM，在△BEM和△BFM中，BE BF BM BM EM FM=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∴∠AED=∠ABN=45°，∴ED∥BN，选项②正确；∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC，又AD∥FC，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AF=DC，又AF=CE，∴DC=EC，则△CED为等腰三角形，选项③正确；∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=12 AC，∴∠MEF=∠MCA ，∠EFM=∠MAC ，∴△EFM ∽△CAM ，∴EM ：MC=EF ：AC=1：2，设EM=x ，则有MC=2x ，EC=EM+MC=3x ，设EB=y ，则有BC=2y ，在Rt △EBC 中，根据勾股定理得：EC=22EB BC =5y ，∴3x=5y ，即x ：y=5：3，∴EM ：BE=5：3，选项④正确；∵E 为AB 的中点，EP ∥BM ，∴P 为AM 的中点，∴S △AEP =S △EPM =12S △AEM ， 又S △AEM =S △BEM ，且S △BEM =S △BFM ， ∴S △AEM =S △BEM =S △BFM =13S △ABF ， ∵四边形ABFD 为矩形，∴S △ABF =S △ADF ，又S △ADF =S △DFC ，∴S △ABF =S △ADF =S △DFC =13S 梯形ABCD ， ∴S △EPM =118S 梯形ABCD ，选项⑤错误． 则正确的个数有4个．故选B点评：此题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．对应训练；（2）若射线EF 经过点C ，则AE 的长是 ．4．考点：直角梯形；勾股定理；解直角三角形．专题：探究型．分析：（1）过E 点作EG ⊥DF ，由E 是AB 的中点，得出DG=3，再根据∠DEG=60°得出∠DEF=120°，由tan60°= 3GF即可求出GF 的长，进而得出结论；（2）过点B 作BH ⊥DC ，延长AB 至点M ，过点C 作CF ⊥AB 于F ，则BH=AD=3，再由锐角三角函数的定义求出CH 及BC 的长，设AE=x ，则BE=6-x ，利用勾股定理用x 表示出DE 及EF 的长，再判断出△EDF ∽△BCE ，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x 的方程，求出x 的值即可．解答：解：（1）如图1，过E 点作EG ⊥DF ，∵E 是AB 的中点，∴DG=3，∴EG=AD=3，∴∠DEG=60°，∵∠DEF=120°，∴tan60°=3GF，解得GF=3，∴DF=6；（2）如图2所示：过点B 作BH ⊥DC ，延长AB 至点M ，过点C 作CF ⊥AB 于F ，则BH=AD=3， ∵∠ABC=120°，AB ∥CD ，∴∠BCH=60°，∴CH=tan 60BH33==1，BC=sin 60BH =332=2， 设AE=x ，则BE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE=22AD AE +=222(3)3x x +=+，在Rt △EFM 中，EF=2222()(61)(3)EB BM MF x ++=-++=2(7)3x -+， ∵AB ∥CD ，∴∠EFD=∠BEC ，∵∠DEF=∠B=120°，∴△EDF ∽△BCE ，∴BC BE DE EF =，即22263(7)3x x x -=+-+，解得x=2或5．故答案为：2或5．点评：本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值等，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．【聚焦山东中考】A．4 B．5 C．6 D．不能确定考点：等腰梯形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．专题：数形结合．分析：根据题意可得OB=4，OD=3，从而利用勾股定理可求出BD，再有等腰梯形的对角线相等的性质可得出AC的值．解答：解：如图，连接BD，由题意得，OB=4，OD=3，故可得BD=5，又ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5．故选B．点评：此题考查了等腰梯形的性质及勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形对角线相等的性质，难度一般．A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD考点：等腰梯形的性质．分析：由四边形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的两条对角线相等，即可得AC=BD；易证得△ABC≌△DCB，即可得OB=OC；由∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，即可得∠ABD=∠ACD．注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：A、∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确；B、∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，在△ABC和△DCB中，∵AB ADABC DCB BC CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ACB=∠DBC，∴OB=OC，故本选项正确；C、∵无法判定BC=BD，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误；D、∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD．故本选项正确．故选C．点评：此题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．【备考真题过关】一、选择题A．22 B．24 C．26 D．281．考点：梯形；全等三角形的判定与性质．专题：数形结合．分析：先判断△AMB≌△DMC，从而得出AB=DC，然后代入数据即可求出梯形ABCD的周长．解答：解：∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，又∵MC=MB，∴∠MBC=∠MCB，∴∠AMB=∠DMC，在△AMB和△DMC中，∵AM DMAMB DMC MB MC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴可得△AMB≌△DMC，∴AB=DC，四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24．故选B．点评：此题考查了梯形、全等三角形的判定与性质，属于基础题，解答本题的关键是判断△AMB≌△DMC，得出AB=DC，难度一般．A．120°B．110°C．100°D．80°2．考点：等腰梯形的性质．专题：探究型．分析：先根据AB∥CD求出∠A的度数，再由等腰梯形的性质求出∠D的度数即可．解答：解：∵AD∥BC，∠B=80°∴∠A=180°-∠B=180°-80°=100°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠A=100°．故选C．点评：本题考查的是等腰梯形的性质，即等腰梯形同一底上的两个角相等．A．平行四边形的对边相等B．四条边都相等的四边形是菱形C．矩形的两条对角线互相垂直D．等腰梯形的两条对角线相等考点：等腰梯形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；命题与定理．分析：根据等腰梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质及菱形的判定方法做出判断即可．解答：解：A、平行四边形的两组对边平行，正确，是真命题；B、四条边都相等的四边形是菱形，正确，是真命题；C、矩形的对角线相等但不一定垂直，错误，是假命题；D、等腰梯形的两条对角线相等，正确，是真命题；故选C．点评：本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质及菱形的判定方法，属于基本定义，必须掌握．A．26 B．25 C．21 D．20考点：等腰梯形的性质；平行四边形的判定与性质．分析：由BC∥AD，DE∥AB，即可得四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得BE的长，继而求得BC的长，由等腰梯形ABCD，可求得AB的长，继而求得梯形ABCD的周长．解答：解：∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=5，∵EC=3，∴BC=BE+EC=8，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4，∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21．故选C．点评：此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质．此题比较简单，注意判定出四边形ABED是平行四边形是解此题的关键，同时注意数形结合思想的应用．二、填空题cm．5．2考点：梯形；勾股定理．分析：作DE ∥BC 于E 点，得到四边形CDEB 是平行四边形，根据∠A+∠B=90°，得到三角形ADE 是直角三角形，利用勾股定理求得AE 的长后即可求得线段CD 的长． 解答：解：作DE ∥BC 于E 点，则∠DEA=∠B∵∠A+∠B=90°∴∠A+∠DEA=90°∴ED ⊥AD∵BC=3cm ，AD=4cm ，∴EA=5∴CD=BE=AB-AE=7-5=2cm ，故答案为2．点评：本题考查了梯形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线．．6．13考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：由在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，易证得△ADE ≌△FCE ，即可得EF=AE=6，CF=AD ，又由AB ⊥AE ，AB=5，AE=6，由勾股定理即可求得BF 的长，继而可求得梯形上下底之和．解答：解：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠F=∠DAE ，∠ECF=∠D ，∵E 是CD 的中点，∴DE=CE ，在△ADE 和△FCE 中，DAE F D ECF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF=AD ，EF=AE=6，∴AF=AE+EF=12，∵AB ⊥AE ，∴∠BAF=90°，∵AB=5，∴BF=22AB AF +=13，∴AD+BC=BC+CF=BF=13．故答案为：13．点评：此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．．7．40考点：等腰梯形的性质．专题：数形结合．分析：根据等腰梯形的性质判断出AD=DC ，在RT △ABC 中解出AB ，继而可求出等腰梯形ABCD 的周长．解答：解：∵∠B=60°，DC ∥AB ，AC ⊥BC ，∴∠CAB=30°=∠ACD ，∠DAC=30°，∴AD=DC=BC=8，在RT △ABC 中，AB=cos BC B∠=16， 故可得等腰梯形ABCD 的周长=AD+DC+BC+AB=40．故答案为：40．点评：此题考查了等腰梯形的性质，属于基础题，解答本题的关键在于判断出AD=DC ，难度一般．．8．4考点：等腰梯形的性质．分析：首先作辅助线：过点A 作AE ∥CD 交BC 于点E ，根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可得AE=CD=2，AD=EC=2，易得△ABE 是等边三角形，即可求得BC 的长．解答：解：过点A 作AE ∥CD 交BC 于点E ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形，∴AE=CD=2，AD=EC=2，∵∠B=60°，∴BE=AB=AE=2，∴BC=BE+CE=2+2=4．点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质．解题的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线．．9．60°考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定与性质．分析：首先根据BD⊥AC，点E是BC的中点可知DE=BE=EC= 12BC，又知DE∥AB，AD∥BC，可知四边形ABED是菱形，于是可得到AB=DE，再根据四边形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，进而得到DC= 12BC，然后可求出∠DBC=30°，最后求出∠BCD=60°．解答：解：∵BD⊥AC，点E是BC的中点，∴DE是直角三角形BDC的中线，∴DE=BE=EC=12∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是菱形，∴AB=DE，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∴DC=12 BC，又∵三角形BDC是直角三角形，∴∠DBC=30°，∴∠BCD=60°．故答案为60．点评：此题考查了等腰梯形的性质、菱形的判定与性质．解此题的关键是熟练掌握直角三角形中，30°的角对应的直角边等于斜边的一半，此题难度一般．．10．9考点：等腰梯形的性质．专题：数形结合．分析：分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，分别利用解直角三角形的知识得出BE、CF的长，继而可得出答案．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∵AB=5，∠B=60°，∴BE=52；同理可得CF=52，故BC的长=BE+EF+FC=5+AD=9．故答案为：9．点评：此题考查了等腰梯形的性质，解答本题的关键是求出BE及CF的长度，要求我们熟练记忆等腰梯形的几个性质．三、解答题11．考点：梯形；直角三角形的性质；菱形的判定．分析：（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角对等边，即可证得DE=EC；（2）易证得AD=BE，AD∥BC，即可得四边形ABED是平行四边形，又由BE=DE，即可得四边形ABED是菱形．解答：（1）证明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，∴∠EDC=∠BDC-∠BDE=90°-∠BDE，∠C=90°-∠DBC，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC；（2）若AD=12BC，则四边形ABED是菱形．证明：∵∠BDE=∠DBC．∴BE=DE，∵DE=EC，∴BE=EC=12BC，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴▱ABED是菱形．点评：此题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质以及菱形的判定．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．考点：梯形；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条件利用SAS可判断三角形的全等；（2）根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角和定理即可得出答案．解答：（1）证明：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠ABE=∠BAD ，∠BAD=∠CDA ，∴∠ABE=∠CDA在△ABE 和△CDA 中，AB CD ABE CDABE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDA ．（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD ，AE=AC ，∴∠AEB=∠ACE ，∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°，∴∠EAC=180°-40°-40°=100°．点评：此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质，解答本题的关键是根据梯形及题意条件得出一些线段之间的关系，注意所学知识的融会贯通．考点：等腰梯形的性质；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C ，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC ，所以∠B=∠GFC ，故可得出AB ∥GF ，再由AE=GF 即可得出结论．解答：证明：∵梯形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，∴∠B=∠C ，∵GF=GC ，∴∠GFC=∠C ，∴∠GFC=∠B ，∴AB ∥GF ，又∵AE=GF ，∴四边形AEFG 是平行四边形．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的判定定理，根据题意得出AB ∥GF 是解答此题的关键．考点：等腰梯形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；正方形的判定；梯形中位线定理．专题：几何综合题．分析：（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=92，也即得出了正方形EHGF的面积．解答：证明：（1）在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，故可得：EF=12AC，同理FG=12BD，GH=12AC，HE=12BD，在梯形ABCD中，AB=DC，故AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形．设AC与EH交于点M，在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴∠EHG=∠EMC=90°，∴四边形EFGH是正方形．（2）连接EG．在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，∴EG=12（AD+BC）=3．在Rt △EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，∴EH2=92，即四边形EFGH的面积为92．点评：此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的内角和定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：利用等腰梯形的性质证明△ABE≌△DCE后，利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等．解答：证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C．∵E是BC的中点，∴BE=CE．在△ABE和△DCE中，AB DCB C BE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DCE（SAS）．∴AE=DE．点评：本题主要考查等腰梯形的性质的应用，解题的关键是根据等腰梯形的性质得到证明全等所需的条件．考点：等腰梯形的性质；一元一次方程的应用．分析：（1）首先根据AB：AD：CD=10：5：2设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，再根据等腰梯形的腰相等可得BC=AD=5xkm，再表示出外环的总长，然后求比值即可；（2）根据题意可得等量关系：在外环公路上行驶所用时间+ 110h=在市区公路上行驶所用时间，根据等量关系列出方程，解方程即可．解答：解：（1）设AB=10xkm ，则AD=5xkm ，CD=2xkm ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴BC=AD=5xkm ，∴AD+CD+CB=12xkm ，∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x ：10x=6：5；（2）由（1）可知，市区公路的长为10xkm ，外环公路的总长为12xkm ，由题意得： 1040x =1280x +110． 解这个方程得x=1．∴10x=10，答：市区公路的长为10km ．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及一元一次方程的应用，关键是理解题意，表示出外环公路与市区公路的长，此题用到的公式是：时间=路程÷速度．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：探究型．分析：（1）根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明△AED ≌△DFA 即可；（2）如图作BH ⊥AD ，CK ⊥AD ，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC 的长． 解答：（1）证明：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠BAD=∠CDA ，而在等边三角形ABE 和等边三角形DCF 中，AB=AE ，DC=DF ，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF ，∠EAD=∠FDA ，AD=DA ，∴△AED ≌△DFA （SAS ），∴AF=DE ；（2）解：如图作BH ⊥AD ，CK ⊥AD ，则有BC=HK ，)HB ，AB=a 222)22a BC a a BC =， a BC =2×3422a -． 本题综合性的考查了等腰梯形的性质、三角形的性质以及等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式，属于中档题目．。