高中数学(北师大版)选修4-4 同步精练：1.2.1-1.2.2极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化 含解析

第一讲 1.11．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( B )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π 解析：设P 点的坐标为(x ，y )，∵|P A |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]．即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.2．(2016·湖南高三质检)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.解析：∵x ′＝5x ，y ′＝3y ，x ′2＋y ′2＝1，∴(5x )2＋(3y )2＝1，即25x 2＋9y 2＝1.3．在平面直角坐标系上伸缩变换的表达式为⎩⎨⎧ x ′＝x sin π6，y ′＝y cos π6，正弦曲线y ＝sin x 在此变换下得到的曲线方程是y ＝ 32sin 2x . 解析：根据伸缩变换关系式⎩⎨⎧ x ′＝x sin π6，y ′＝y cos π6整理得⎩⎨⎧ x ′＝12x ，y ′＝32 y ，代入y ＝sin x 得y ′＝ 32 sin 2x ′， 也可写为y ＝ 32sin 2x . 4．简述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换．解析：y ＝tan x 的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan 2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x .设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)， 将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y .。

课时分层作业(二)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6的位置 ，可按如下规则确定( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 [解析] 当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点，故选B ．[答案] B2．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．关于过极点与极轴成π4角的直线对称[解析] 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)，由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称，故选A.[答案] A3．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π，若P 的极角满足－π<θ<π，ρ∈R ，则下列点中与点P 重合的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3 [解析] 因为－π<θ<π，故只有⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3与P 点重合．[答案] D4．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA ，OB 的夹角为( ) A.π6 B ．0 C.π3D ．5π6[解析] 如图所示，夹角为π3.[答案] C5．在极坐标系中与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，4π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 [解析] 点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3.[答案] B 二、填空题6．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________．[解析] 依题意，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.[答案] 37．已知两点的极坐标是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，π12，则AB 中点的一个极坐标是________．[解析] 3－82＝－52，∴AB 中点的极坐标可以写为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，π12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，π128．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则A ，B 两点间的距离为________．[解析] 由条件可知∠AOB ＝90°，即△AOB 为直角三角形，所以AB ＝12＋22＝ 5.[答案]5三、解答题9．在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系．(1)A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，116π；(2)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，54π，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4.[解] (1)所有点都在以极点为圆心，以2为半径的圆上．(2)所有点都在与极轴的倾斜角为π4，且过极点的直线上．10．已知A ，B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A ，B 两点间的距离和△AOB 的面积．[解] 求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)＝4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4. [能力提升练]1．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么可能是顶点C 的坐标的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4C ．(23，π)D ．(3，π)[解析] 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，∴|OC |＝23，∠AOC ＝π2，点C 的极角θ＝π4＋π2＝3π4或5π4＋π2＝7π4，即点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4.[答案] B2．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.32＋62B ．32－62C.36＋322D ．36－322[解析] A ，B 在极坐标中的位置，如图，则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π6. 在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3，所以，由余弦定理，得|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos 5π6 ＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝18＋93＝92(4＋23)，|AB |＝36＋322.[答案] C3．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为______．[解析] 如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ， 使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43π4．在极坐标系中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，74π，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．[解] 由B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π4，知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称． 所以点B ，D 关于极轴对称．设点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π4关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3.当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π4，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3π4为所求.。

考点2 极坐标与直角坐标的互化（2024·北京卷（理））在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a （a ＞0）与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________.【解析】直线的直角坐标方程为x ＋y ＝a ，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即（x －1）2＋y 2＝1，圆心C （1,0），半径r ＝1.∵直线与圆相切，∴d ＝√22＝1，∴|a －1|＝√2. 又a ＞0，∴a ＝√2＋1.【答案】√2＋1（2024·全国Ⅰ卷（理））选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解析】（1）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为（x ＋1）2＋y 2＝4.（2）由（1）知C 2是圆心为A （－1,0），半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B （0,2）且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右侧的射线为l 1，y 轴左侧的射线为l 2. 由于点B 在圆C 2的外部，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以√21＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点，满意题意．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以√21＝2，故k ＝0或k ＝43. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.【答案】见解析（2024·江苏卷）选修4－4：坐标系与参数方程−a)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(π6的弦长．【解析】因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C是圆心为（2,0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为−a)＝2，ρsin(π6，则直线l过点A（4,0），且倾斜角为π6所以A为直线l与圆C的一个交点．.设另一个交点为B，则∠OAB＝π6如图，连结OB．因为OA为直径，从而∠OBA＝π，2＝2√3.所以AB＝4cos π6因此，直线l被曲线C截得的弦长为2√3.【答案】见解析。

课时分层作业(二)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6的位置 ，可按如下规则确定( )A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 [解析] 当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点，故选B ．[答案] B2．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．关于过极点与极轴成π4角的直线对称[解析] 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)，由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称，故选A.[答案] A3．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π，若P 的极角满足－π<θ<π，ρ∈R ，则下列点中与点P 重合的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3 [解析] 因为－π<θ<π，故只有⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3与P 点重合．[答案] D4．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA ，OB 的夹角为( )A.π6 B ．0 C.π3D ．5π6[解析] 如图所示，夹角为π3.[答案] C5．在极坐标系中与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，4π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6[解析] 点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3.[答案] B 二、填空题6．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________．[解析] 依题意，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.[答案] 37．已知两点的极坐标是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，π12，则AB 中点的一个极坐标是________．[解析]3－82＝－52，∴AB 中点的极坐标可以写为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，π12. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，π128．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则A ，B 两点间的距离为________．[解析] 由条件可知∠AOB ＝90°，即△AOB 为直角三角形，所以AB ＝12＋22＝ 5. [答案]5三、解答题9．在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系．(1)A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，116π；(2)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，54π，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4.[解] (1)所有点都在以极点为圆心，以2为半径的圆上．(2)所有点都在与极轴的倾斜角为π4，且过极点的直线上．10．已知A ，B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A ，B 两点间的距离和△AOB 的面积．[解] 求两点间的距离可用如下公式：|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)＝4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4.[能力提升练]1．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么可能是顶点C 的坐标的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4C ．(23，π)D ．(3，π)[解析] 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，∴|OC |＝23，∠AOC ＝π2，点C 的极角θ＝π4＋π2＝3π4或5π4＋π2＝7π4， 即点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4.[答案] B2．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.32＋62B ．32－62C.36＋322D ．36－322[解析] A ，B 在极坐标中的位置，如图，则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π6. 在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3，所以，由余弦定理，得|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos 5π6＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝18＋93＝92(4＋23)，|AB |＝36＋322. [答案] C3．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M的距离为4的点的极坐标为______．[解析] 如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ， 使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4， |QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43π4．在极坐标系中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，74π，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．[解] 由B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π4，知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称． 所以点B ，D 关于极轴对称．设点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π4关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3.当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π4，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3π4为所求.。