湖北省荆门市2014-2015学年下学期期末考试高二理科数学试题

绝密★启用前2015-2016学年湖北省荆门市高二上学期期末理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：142分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间Y 统计结果如下： 办理业务所需的时间Y/分 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.4 0.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时，据上表估计第三个顾客等待不超过4分钟就开始办理业务的概率为（）A．0.22 B．0.24 C．0.30 D．0.312、已知直线y=kx+m（m≠0）与圆x2+y2=169有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条 B．66条 C．72条 D．78条3、设P，Q分别为圆x2+（y﹣3）2=5和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．2 B．+ C．4+ D．34、椭圆的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．5、方程（x2+y2﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是（）A．一条直线B．一条射线C．一条直线和一个圆D．一条射线和一个圆6、下列命题中正确的个数为（）①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；④“每个正方形都是平行四边形”的否定；⑤设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分不必要条件．A ．1B ．2C ．3D ．47、如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x 值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．08、工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为=50+80x ，下列判断不正确的是（ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资约为130元B ．工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系C ．劳动生产率提高1000元时，则工资约提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率约为2000元9、把38化为二进制数为（ ）A ．101010（2）B ．100110（2）C ．110100（2）D ．110010（2）10、若命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，2x 2﹣1＜0 B ．∀x ∈R ，2x 2﹣1≤0 C ．∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0 D ．∃x ∈R ，2x 2﹣1＞011、已知直线ax+2y ﹣1=0与直线（a ﹣4）x ﹣ay+1=0垂直，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．﹣4或2 C ．0或6 D ．﹣412、某校高二年级有10个班，若每个班有50名同学，均随机编号1，2，…50，为了了解他们对体育运动的兴趣，要求每班第15号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．系统抽样C ．随机数表法D ．有放问抽法第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为．14、若（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，则a2+a4+…+a2014+a2016等于．15、某班有50名学生，一次考试的成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，102）．已知P（90≤ξ≤100）=0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为．16、点P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标为．三、解答题（题型注释）17、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率一次为k1、k2，满足4k=k1+k2．（i）当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ii ）求△OPQ 面积的取值范围．18、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．19、（Ⅰ）从{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax 2+bx+c 的系数，问能组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？（Ⅱ）已知（+2x ）n ，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．20、为了研究“数学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．甲班：87、83、90、70、66、71、82、72、67、57、67、72、57、58、68、74、87、78、69、58乙班：71、80、81、82、90、65、57、73、85、86、91、95、86、67、68、75、96、88、89、69（Ⅰ）作出甲、乙两班学生成绩茎叶图；并求甲班数学成绩的中位数和乙班学生数学成绩的众数；（Ⅱ）学校规定：成绩不低于80分的为优秀，请写出下面的2×2联列表，并判断有多大把握认为“成绩游戏与教学方式有关”．下面临界值表供参考：（参考公式：K 2=）21、已知一圆经过点A （3，1），B （﹣1，3），且它的圆心在直线3x ﹣y ﹣2=0上． （1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点C （3，0），求线段CD 的中点M 的轨迹方程．22、已知p ：2x 2﹣3x+1≤0，q ：x 2﹣（2a+1）x+a （a+1）≤0 （1）若a=，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围． （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．参考答案1、D2、A3、D4、C5、A6、B7、C8、C9、B10、C11、C12、B13、．14、﹣22015．15、1016、（﹣5，﹣2）17、（Ⅰ）+y2=1．（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．（ii）S△OPQ∈（0，1）．Eξ=3×0.2=0.6，Dξ=3×0.2×0.8=0.48．19、（Ⅰ）24（种）；（Ⅱ）3432．20、（Ⅰ）86；（Ⅱ）有97.5%以上的把握认为成绩优秀与教学方式有关．21、（1）（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（2）（x﹣）2+（y﹣2）2=22、（1）；（2）．【解析】1、试题分析：第三个顾客等待不超过4分钟包括：①第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，②第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，③第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时3分钟，④第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，⑤第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，⑥第一个顾客办理业务用时3分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，且这此时事件彼此是互斥的，分别计算各个事件的概率，利用互斥事件概率加法公式，可得答案．解：第三个顾客等待不超过4分钟包括：①第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，②第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，③第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时3分钟，④第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，⑤第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，⑥第一个顾客办理业务用时3分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，且这此时事件彼此是互斥的，故第三个顾客等待不超过4分钟的概率P=0.1×0.1+0.1×0.4+0.1×0.3+0.4×0.1+0.4×0.4+0.3×0.1=0.31，故选：D考点：互斥事件的概率加法公式．2、试题分析：直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答．解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=169上的整数点共有12个，分别为（5，±12），（﹣5，±12），（12，±5），（﹣12，±5），（±13，0），（0，±13），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故选：A．考点：直线与圆的位置关系．3、试题分析：先求出椭圆上的点与圆心的距离，P，Q两点间的最大距离是椭圆上的点与圆心的距离加上圆的半径．解：∵设P，Q分别为圆x2+（y﹣3）2=5和椭圆+y2=1上的点，∴圆心C（0，3），圆半径r=，设椭圆上的点为（x，y），则椭圆上的点与圆心的距离为：d===≤2，∴P，Q两点间的最大距离是2+=3．故选：D．考点：椭圆的简单性质．4、试题分析：根据题意，设出直线AB的方程，利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，可得原点到直线AB的距离等于半焦距，从而可求椭圆的离心率．解：由题意，不妨设点A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为：即bx+ay﹣ab=0∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点∴原点到直线AB的距离为∴a2b2=c2（a2+b2）∴a2（a2﹣c2）=c2（2a2﹣c2）∴a4﹣3a2c2+c4=0∴e4﹣3e2+1=0∴∵0＜e＜1∴故选C．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．5、试题分析：将方程等价变形，即可得出结论．解：由题意（x2+y2﹣1）（﹣1）=0可化为﹣1=0或x2+y2﹣1=0（x﹣3≥0）∵x2+y2﹣1=0（x﹣3≥0）不成立，∴x﹣4=0，∴方程（x2+y2﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是一条直线．故选：A．考点：曲线与方程．6、试题分析：根据四种命题之间的关系分别求出对应的命题，然后进行判断即可．解：①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题为：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0，错误，当末位数字是5也满足条件．，故①错误，②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的逆命题为：若“一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等”，正确此时三角形为等腰三角形，根据逆否命题的等价性知原命题的否命题正确，故②正确；③“奇函数的图象关于原点对称”正确，则根据逆否命题的等价性知命题的逆否命题正确；故③正确，④“每个正方形都是平行四边形”，正确，则“每个正方形都是平行四边形”的否定错误；故④错误，⑤设f（x）=x|x|=，则函数f（x）为增函数，则当a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分必要条件．故⑤错误，故正确的个数是2，故选：B考点：命题的真假判断与应用．7、试题分析：由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y==|x|的值，进而得到答案．解：由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y==|x|的值，若输出结果为2，则|x|=2，则x=2或x=﹣2，故选：C考点：程序框图．8、试题分析：根据线性回归方程=50+80x的意义，对选项中的命题进行分析、判断即可．解：根据线性回归方程为=50+80x，得；劳动生产率为1000元时，工资约为50+80×1=130元，A正确；∵=80＞0，∴工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系，B正确；劳动生产率提高1000元时，工资约提高=80元，C错误；当月工资为210元时，210=50+80x，解得x=2，此时劳动生产率约为2000元，D正确．故选：C．考点：线性回归方程．9、试题分析：可以做出四个选项中的二进制数字对应的十进制数字，结果验证到第二个就得到结果，注意两个进位制的转化．解：可以验证所给的四个选项，在A中，2+8+32=42，在B中，2+4+32=38经过验证知道，B中的二进制表示的数字换成十进制以后得到38，故选B．考点：算法的概念．10、试题分析：根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定；解：命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则其否命题为：∃x∈R，2x2﹣1≤0，故选C；考点：命题的否定．11、试题分析：根据两直线垂直的性质，两直线垂直时，它们的斜率之积等于﹣1，解方程求得a的值．解：直线ax+2y﹣1=0与直线（a﹣4）x﹣ay+1=0垂直，a≠0时，它们的斜率之积等于﹣1，可得﹣×=﹣1，a=0时，直线y=和x=垂直，适合题意，故选：C．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．12、试题分析：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．解：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．故选：B．考点：系统抽样方法．13、试题分析：由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率．解：设实数x∈[1，9]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥55，得x≥6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为==．故答案为：．考点：循环结构．14、试题分析：（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，可得：当x=﹣1时，0=a0﹣a1+a2+…﹣a2015+a2016，当x=1时，2=a0+a1+a2+…+a2015+a2016，当x=0时，22015=a0．即可得出．解：∵（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，∴当x=﹣1时，0=a0﹣a1+a2+…﹣a2015+a2016，当x=1时，2=a0+a1+a2+…+a2015+a2016，当x=0时，22015=a0．∴a2+a4+…+a2014+a2016=﹣22015．故答案为：﹣22015．考点：二项式定理的应用．15、试题分析：根据考试的成绩ξ服从正态分布N（100，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=100对称，根据P（90≤ξ≤100）=0.3，得到P（100≤ξ≤110）=0.3，从而得到P（110≤ξ）=0.2，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（100，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（90≤ξ≤100）=0.3，∴P（100≤ξ≤110）=0.3，∴P（110≤ξ）=0.2，∴该班数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10故答案为：10．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．16、试题分析：设出点（2，5）关于直线x+y=0对称的点的坐标，根据中点在对称直线上和垂直直线的斜率之积为﹣1，列出方程组，解方程组可得对称点的坐标．解：设点P（2，5）关于直线x+y=0对称的点的坐标为（x，y），则⇒，故答案为：（﹣5，﹣2）．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．17、试题分析：（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，利用待定系数法能求出椭圆方程．（Ⅱ）（i）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、斜率性质，结合已知条件推导出当k变化时，m2是定值．（ii）利用椭圆弦长公式，结合已知条件能求出△OPQ面积的取值范围．解：（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，∴椭圆方程为+=1，把点（，）代入，得k2=1，∴椭圆方程为+y2=1．（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．证明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，∴4k=k1+k2==，∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得m2=，验证△＞0成立．∴当k变化时，m2是定值．（ii）S△OPQ=|x1﹣x2|•|m|=，令=t＞1，得S△OPQ==＜1，∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．考点：椭圆的简单性质．18、试题分析：（Ⅰ）根据频率和为1，求解得a=0.03；（Ⅱ）由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，根据平均数值公式求解即可．（Ⅲ）ξ～B（3，0.2），根据二项分布求解概率列出分布列，求解数学期望及方差即可．解：（Ⅰ）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；（Ⅱ）由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（Ⅲ）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的频率为0.2；则ξ～B（3，0.2），ξ=0，1，2，3；P（ξ=0）=C30×0.23=；P（ξ=1）=C31×0.82×0.2=；P（ξ=2）=C32×0.8×0.22=；P（ξ=3）=C33×0.23=，∴ξ的分布列为：Eξ=3×0.2=0.6，Dξ=3×0.2×0.8=0.48．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．19、试题分析：（Ⅰ）根据顶点在第一象限和顶点在第三象限两种情况分类讨论，求出结果．（Ⅱ）第k+1项的二项式系数为C n k，由题意可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．解：（Ⅰ）抛物线经过原点，得c=0，当顶点在第一象限时，a＜0，﹣＞0，即，则有3×4=12（种）；当顶点在第三象限时，a＞0，﹣＜0，即a＞0，b＞0，则有4×3=12（种）；共计有12+12=24（种）．（Ⅱ）∵C n4+C n6=2C n5，∴n2﹣21n+98=0，∴n=7或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，∴T4的系数=C73（）423=，T5的系数=C74（）324=70．当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．∴T8的系数=C147（）727=3432．考点：二项式定理的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．20、试题分析：（Ⅰ）根据所给数据，作出甲、乙两班学生成绩茎叶图，从而求出甲班数学成绩的中位数和乙班学生数学成绩的众数；（Ⅱ）根据茎叶图分别求出甲、乙班优秀的人数与不优秀的人数，列出列联表，利用相关指数公式计算K2的观测值，比较与临界值的大小，判断成绩优秀与教学方式有关的可靠性程度．解：（Ⅰ）甲、乙两班学生成绩茎叶图如图所示：甲班数学成绩的中位数=70.5；乙班学生数学成绩的众数86（Ⅱ）2×2列联表为：∴K2==6.4＞5.024，有97.5%以上的把握认为成绩优秀与教学方式有关．考点：独立性检验的应用．21、试题分析：（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．解：（1）由已知可设圆心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有=，解得：a=2．于是圆N的圆心N（2，4），半径r=．所以，圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（2）设M（x，y），又点D是圆N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上任意一点，可设D（2+cosα，4+sinα）．∵C（3，0），点M是线段CD的中点，∴有x=，y=，消去参数α得：（x﹣）2+（y﹣2）2=．故所求的轨迹方程为：（x﹣）2+（y﹣2）2=考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系．22、试题分析：（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以a=时，p：．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．解：p：，q：a≤x≤a+1；∴（1）若a=，则q：；∵p∧q为真，∴p，q都为真；∴，∴；∴实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；∴，∴；∴实数a的取值范围为．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．。

湖北省部分重点中学2013—2014学年度下学期高二期末考试数学理科试卷参考答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABBDBBBCBC二．填空题11．(1,10)；12．72 ;13．35； 14．2； 15．5, 230 三．解答题 16．解：（1）由2cos(B －C)-1＝4cosBcosC ，得 2(cosBcosC ＋sinBsinC)-1＝4cosBcosC ， 即2(cosBcosC-sinBsinC)＝-1，亦即2cos(B ＋C)＝-1， ∴21cos =A3,0ππ=∴<<A A(2) a ＝7，A ＝π3， 由面积公式，得12bc sin π3＝332，即bc ＝6.①由余弦定理，得b 2＋c 2－2c b cos π3＝7，c 2＋b 2－bc ＝7.②由②变形得(b ＋c )2-3bc=7, (b ＋c )2＝25，故b ＋c ＝5.17．(1)“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A ，则222246352182()9C C C C P A C +++==． ………………………………（5分） (2)ξ的所有可能取值为0，1，2．∵21421891(0)153C P C ξ===，1141421856(1)153C C P C ξ===，242186(2)153C P C ξ===，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 P91153561536153∴915664()0121531531539E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………（12分） 18 (1)解：由()211122,1+=+-=-且a d a d a 得 40==或d d ,又数列{}n a 递增,所以4=d 45∴=-n a n ………………………………（3分） 当n ≥2时, n b =T n -T n-1=b n-1-b n ，211=-n n b b ∴数列{}n b 是首项为1,公比为21的等比数列.∴nn b ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21………………………………（5分）452n nn c -=………………………………（6分） （2）由题意，知311223122222--=+++++L n n n n na a a a a S ．所以231137494522222----=+++++L n n nn n S ， ① 234111374945 222222+---=+++++L n n n n n S ． ② ①-②，得132254)212121(42121+--++++-=n n n n S 11254211)211(41421+-----⨯+-=n n n 123423++-=n n ，所以nn n S 2343+-=． ………………………………………………………12分 19解：（Ⅰ）∵DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AC ，∵ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ， ∴AC ⊥平面BDE ．……………………………………………………………（4分） （Ⅱ）∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD=60°．∴EDDB=3．由AD=3，得DE=36，AF=36． 如图，分别以DA ，DC ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系D-xyz ．则A （3，0，0），F （3，0，6），E （0，0，36），B（3，3，0），C （0，3，0），∴→BF=（0，-3，6），→EF=（3，0，-26）， 设平面BEF 的一个法向量为n =（x ，y ，z ），则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·→BF=0，n ·→EF=0。

2014-2015学年度 11月月考卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1等于A.iB.i -i i 【答案】A 【解析】 试题分析：()()()()()()i i ii i ii ii i ==++=+-++=-+44433133331331.考点：复数的运算.2．要完成下列2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况. 应采用的抽样方法是A.①用随机抽样法 ②用系统抽样法B.①用分层抽样法 ②用随机抽样法C.①用系统抽样法 ②用分层抽样法D.①、②都用分层抽样法 【答案】B 【解析】试题分析：由①的特点可知应选用分层抽样；由②的特点可知应选用随机抽样. 考点：简单随机抽样.3．若OA u u r 、OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为60°，则OA OB OC ++=u u r u u u r u u u r【答案】D【解析】试题分析：ΘOA u u r 、OB u u u r 、OC uuu r三个单位向量两两之间夹角为60°222222232cos602cos602cos60a b c a b c ab bc ac a b b c a c ∴++=+++++=+++o oor r r r r r r r r r r r r r r r r r 6=6a b c ∴++=r r r考点:向量的数量积.4．已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数()f x 的单调递减区间为A.[1,)-+∞B.(,2]-∞C.(,1),(1,2)-∞-D.[2,)+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，所以()()()2'12+-=x x x f ，所以当2<x 时，()()()0122'<+-=x x x f 所以该函数()f x 的单调递减区间为(,2]-∞.考点：导函数的应用.5．如图，程序框图所进行的求和运算是A.11123+++…110+B.11135+++…119+C.111246+++...120+ D.23111222+++ (1012)+ 【答案】C 【解析】 试题分析： 开始0=sn=2 i=1考点：程序框图.6．命题“对任意的2,310x R x x ∈-+≤”的否定是A.不存在2000,310x R x x ∈-+≤ B.存在2000,310x R x x ∈-+≤ C.存在2000,310x R x x ∈-+>D.对任意的2,310x R x x ∈-+>【答案】C 【解析】试题分析：全称命题的否定需要把全称量词改为特称量词，然后结论否定；所以命题“对任意的2,310x R x x ∈-+≤”的否定是存在2000,310x R x x ∈-+> .考点：命题的否定.7．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n N *∈），则称{}n a 为“等方比数列”. 甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：若数列{}n a 是等比数列则22211q a aq a a nn n n =⇒=++所以数列{}n a 是等方比数列；若数列{}n a 是等方比数列则q a a q a a nn nn ±=⇒=++1221所以数列{}n a 不一定是是等比数列；所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.考点：充要条件. 8．若122322()log ,(),(),()f x x R f S f T f a b a b ab====++，a ，b 为正实数，则,,R S T 的大小关系为A.T R S ≥≥B.R T S ≥≥C.S T R ≥≥D.T S R ≥≥【答案】A 【解析】试题分析：因为0,>b a ，所以abb a ab b a 122≤+⇒≥+，b a b a b a b a +≤+⇒⎪⎭⎫⎝⎛+≥+22222222，所以abb a b a 12222≤+≤+；由因为()x x f 31log =在()+∞,0上为减函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ab f b a f b a f 12222即T R S ≥≥.考点：比较大小.9．已知P 是正四面体S ABC -的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆 【答案】C 【解析】试题分析：设正四面体S ABC -的侧面与底面所成角为α，则31cos =α，∴322sin =α， 过p 作BC PE ⊥，垂足为E ，连接OE ，则BC OE ⊥，∴sin ∠OPE 322=，设义知动点P的轨迹所在的曲线是椭圆. 考点：椭圆的性质 .第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）10．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次.若2人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是A.1425B.1225C.34D.35【答案】A【解析】试题分析：因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以()()10754==乙，甲PP；所以他们都中靶的概率是251410754=⨯.考点：独立事件的概率.11．已知二次函数()y f x=的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为 . 【答案】43【解析】试题分析：由二次函数的图像可得：函数解析式为()12+-=xxf，所以它与x轴所围图形的面积为()341112=+-=⎰-dxxS.考点：定积分的应用.12．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 .（以数字作答）【答案】288【解析】试题分析：英语排列的方法有13C种情况，则英语排课的情况有14C种情况,剩下的进行全排列即可所以共有44A种情况所以不同的排法种数有13C14C44A288=.考点：排列组合.13．有一系列椭圆2222:1(1,2,3,kk kx yC ka b+==…,)n.所有这些椭圆都以1x=为准线，离心率1()(1,2,3,2k k e k ==…,)n .则这些椭圆长轴的和为 .【答案】1122n --【解析】试题分析：因为椭圆都以1x =为准线，离心率kk e ⎪⎭⎫⎝⎛=21,所以2242242421k k k kk k k k k k b a a b a a c a c a -=⇒-===，2222222222221212121k k kk kk k k kk k kk k k b a a a b a a c a c e -=⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛==，所以由以上两式可得：kk a ⎪⎭⎫⎝⎛=21，所以椭圆的长轴和为132212212121212--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n nΛ.考点：椭圆的性质及等比数列定义的应用. 14．若第一象限内的动点(,)P x y 满足1131,22R xy x y xy++==，则以P 为圆心，R 为半径且面积最小的圆的方程为__ ___. 【答案】22381(3)()24x y -+-= 【解析】试题分析：∵0,>y x ，仅当32==y x 时取等号.圆的方程为：22381(3)()24x y -+-=. 考点：不等式的应用.15．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点” .某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，解答以下问题：（1）函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为 ；（2）计算123()()()201320132013f f f +++ (2012)()2013f += . 【答案】（1）1(,1)2， （2）2012【解析】试题分析：()1253213123-+-=x x x x f Θ，()()12,3''2'-=+-=∴x x f x x x f 令()21012''=⇒=-=x x x f ，因为1125213212121312123=-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，所以函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为1(,1)2；因为函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为1(,1)2，所以()()21=-+x f x f ，所以123()()()201320132013f f f +++…2012()2013f +=201210062=⨯.考点：函数的性质及应用.三、解答题（题型注释）16．在二项式n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中各项的系数和.【答案】（1）5358T = （2）1256【解析】试题解析：展开式的通项为2311()(0,1,22n rr r r n T C x r -+=-=,…,)n由已知：00122111()()()222n n nC C C -,,成等差数列， ∴ 121121824n n C C n ⨯=+∴=,（1）5358T =（2）令1x =，各项系数和为1256考点：二项式项的系数问题.17．已知()12f x x x =-++. （1）解不等式()5f x ≥；（2）若关于x 的不等式2()2f x a a >-对任意的x R ∈恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）(,3][2,)-∞-+∞U ；（2(1,3)-. 【解析】试题分析：（1）理解绝对值的几何意义，x 表示的是数轴的上点x 到原点离.（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立（3）b a b a b a +≤+≤-的应用.（4）掌握一般不等式的解法： （1）()0x a a x a x a ≥>⇔≥≤-或，（2）()0x a a a x a ≤>⇔-≤≤. 试题解析：（1）当2x <-时()(1)(2)21f x x x x =---+=--由()5f x ≥解得3x -≤ 当21x -<≤时，()(1)(2)35f x x x =--++=≥不成立 当1x ≥时，()(1)2215f x x x x =-++=+≥解得2x ≥ 综上有()5f x ≥的解集是(,3][2,)-∞-+∞U（2）因为12(1)(2)3x x x x -++--+=≥，所以()f x 的最小值为3 要使得关于x 的不等式2()2f x a a >-对任意的x R ∈恒成立，只需223a a -<解得13a -<<,故a 的取值范围是(1,3)-考点：（1）考察绝对值不等式的意义；（2）绝对值不等式的应用.18．如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 是梯形,90EFA FAB ∠=∠=o ，1EF FA AD ===， 点M 是DF 的中点，322CM =.（1）求证：BF ∥平面AMC ；（2）求二面角B AC E --的余弦值.【答案】（1）见解析 （2）6.6.【解析】 试题分析：（1）利用已知的线面平行关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量平行；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备. 试题解析：（1）证明：连结BD ，交AC 于点G ，∴点G 是BD 的中点. ∵点M 是DF 的中点，∴MG 是△BDF 的中位线. ∴//.BF MG ∵MG ⊂平面AMC ，BF ⊄平面AMC ，∴//BF 平面AMC （2）Θ四边形ABEF 是梯形，90EFA FAB ∠=∠=︒，AB AF ∴⊥ 又四边形ABCD 是矩形，AD AB ∴⊥， 又AD AF A =I ，AB ADF ∴⊥面又//BC AD ，CD ADF ∴⊥面CD DF ∴⊥，在Rt △CDM 中，1222DM DF ==，322CM = 由222CD DM CM +=可求得2AB CD ==… 7分 以A 为原点，以AF 、AB 、AD 分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，∴0,0,0()A ，0,2,1()C ，1,1,0()E ，1,0,0()F ， ∴0,2,1()AC =u u u r ，1,1,0()AE =u u u r ，1,0,0()AF =u u u r. 设平面ACE 的法向量,,()x y z n =r，∴0n AC ⋅=r u u u r ，0n AE ⋅=r u u u r.∴ 20,0.y z x y +=+=⎧⎨⎩令1x =，则1y =-，2z =.∴()1,1,2n =-r. 又AF uu u r是平面ACB 的法向量，∴cos ,n AF n AF n AF⋅=⋅r u u u rr u u u rr u u ur 6==如图所示，二面角B AC E --为锐角.∴二面角B AC E --的余弦值是6考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.19．在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植A ，B ，C ，D 四棵风景树，受本地地理环境的影响，A ，B 两棵树成活的概率均为12，C ，D 两棵树成活的概率为()10<<a a ,用ξ表示最终成活的树的数量.（1）若A ，B 两棵树有且只有一棵成活的概率与C ，D 两棵树都成活的概率相等，求a 的值； （2）求ξ的分布列（用a 表示）； （3）若A ，B ，C ，D 四棵树中恰有两棵树成活的概率最大，求a 的范围. 【答案】（1（3）2,22[【解析】数a .（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4.分别求出()()()()(),4,3,2,1,0=====ξξξξξP P P P P 由此能求出ξ的分布列.（3）由(10<<a 概率最大时的a 的取值范围.试题解析：（1）由题意有：21122(1)222a a ⨯⨯-=∴=（2）ξ的可能取值有0，1，2，3，4.020222211(0)(1)(1)(1)24P C C a a ξ==--=-1020212222111(1)(1)(1)(1)(1)(1)222P C C a C C a a a ξ==--+--=-22211022222222211111(2)()(1)(1)(1)(1)(122)22224P C a C C a a C C a a a ξ==-+--+-=+-2211222222111(3)()(1)(1)2222a P C C a a C C a ξ==-+-=22222221(4)()24a P C C a ξ===所以ξ的分布列为ξ 0 1 234 P 21(1)4a -1(1)2a -21(122)4a a +-2a24a（3）由0<a<1,所以2211(1)(1),4242a aa a -<-<， 所以有()()(2 10,2 3(0))P P P P ξξξω=-==-=⎧⎨⎩≥≥ 得a 的取值范围是222,22[]- 考点：（1）离散型随机变量及其分布列；（2）互斥事件的概率加法公式；（3）相互独立事件的概率乘法公式.20．已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满足121222,||2F F NF F F ==u u u u r u u u r u u u u r .设A 、B 是上半椭圆上满足NA NB λ=u u u r u u u r的两点，其中11[,]53λ∈.（1）求此椭圆的方程；（2）求直线AB 的斜率k 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）1]62. 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出22,b a 的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1）由于121122,2,F F NF F F ==u u u u r u u u r u u u u u r 12212222||2,1||1, c F F aNF ca b c ⎧==⎪⎪∴-==⎨⎪⎪=+⎩u u u u r u u u r解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 从而所求椭圆的方程是2212x y +=（2）NA NB A B N λ=∴u u u r u u u rQ ,,,三点共线，而点N 的坐标为(2,0)-， 设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+>由22(2),12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得221(2)22y y k -+=，即22221420k y y k k +-+= 根据条件可知222421()80,k k k+∆=-⋅>解得0k << 设1122(,),(,)A x y B x y ，则根据韦达定理得212122242;2121k k y y y y k k +==++ 又由1122,(2,)(2,)NA NB x y x y λλ=+=+u u u r u u u r 得 ,)2(22121⎩⎨⎧=+=+∴y y x x λλ 从而2222224(1)21221k y k k y k λλ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩消去222(1)821y k λλ+=+得 令2222111)21()(],31,51[,)1()(λλλλλλϕλλλλϕ-=-='++='∈+=则由于11,53λ≤≤所以()0ϕλ'<.11()[,]53ϕλ∴在区间上是减函数.从而111636()()(),()3535ϕϕλϕϕλ≤≤即≤≤2168363215k ∴+≤≤，解得162k ≤≤，而10262k k <<≤，因此直线AB 的斜率的取值范围是1]62考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的综合问题.21．已知函数2()ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围；（3）证明:对任意的正整数n ,不等式34249+++ (21)ln(1)n n n ++>+都成立. 【答案】（1）1a =（2）1ln31ln 22b -<+≤；（3）见解析【解析】试题分析：（1）函数2()ln()f x x a x x =+--，对其进行求导，在0x =处取得极值，可得()00'=f ，求得a 值；（2）关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，将问题转化为()0=x φ，在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，对()x φ对进行求导，从而求出b 的范围；（3）()()x x x x f --+=21ln 的定义域为{}1|->x x ，利用导数研究其单调性，可等式进行放缩证明； 试题解析：（1）1()21f x x x a'=--+ ， 0x =Q 时, ()f x 取得极值, (0)0f '∴= 故120100a-⨯-=+，解得1a = 经检验1a =符合题意.（2）由1a =知2()ln(1)f x x x x =+-- 由5()2f x x b =-+,得23ln(1)02x x x b +-+-= 令23()ln(1)2x x x x b ϕ=+-+-则5()2f x x b =-+在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根.13(45)(1)()2122(1)x x x x x x ϕ-+-'=-+=++ 当[0,1]x ∈时, ()0x ϕ'>,于是()x ϕ在[0,1]上单调递增; 当(1,2]x ∈时, ()0x ϕ'<,于是()x ϕ在(1,2]上单调递减.依题意有(0)0,3(1)ln(11)10,2(2)ln(12)430b b b ϕϕϕ=-⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-⎪⎩≤≤ 解得1ln31ln 22b -<+≤（3） 2()ln(1)f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-,由（1）知(23)()(1)x x f x x -+'=+,令()0f x '=得,0x =或32x =- （舍去）, ∴当10x -<<时, ()0f x '>,()f x 单调递增;当0x >时, ()0f x '<,()f x 单调递减.(0)f 为()f x 在(1,)-+∞上的最大值.()(0)f x f ∴≤,故2ln(1)0x x x +--≤ （当且仅当0x =时,等号成立）对任意正整数n ,取10x n =>得, 2111ln(1)n n n +<+, 211ln()n n n n++∴< 故34249+++…2134ln 2ln ln 23n n ++>+++…1ln ln(1)n n n++=+（方法二）数学归纳法证明：当1n =时，左边21121+==，右边ln(11)ln 2=+=，显然2ln2>，不等式成立. 假设(,1)n k k N k *∈≥≥时，34249+++ (21)k k ++>ln(1)k +成立，则1n k =+时，有34249+++…222122ln(1)(1)(1)k k k k k k k +++++>++++.作差比较： 222222111ln(2)ln(1)ln ln(1)((1)1(1)11(1)k k k k k k k k k k k ++++-+-=-=+-+++++++构建函数2()ln(1)((0,1))F x x x x x =+--∈，则(23)()01x x F x x -+'=<+，()F x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0F x F ∴<=. 取1(1,)1x k k N k *=∈+≥，2111ln(1)()(0)011(1)F k k k +-+<=+++ 即22222ln(2)ln(1)ln 0(1)1(1)k k k k k k k k ++++-+-=-<+++，亦即22ln(1)ln(2)(1)k k k k +++>++，故1n k =+时，有34249+++ (222)122ln(1)ln(2)(1)(1)k k k k k k k k +++++>++>+++， 不等式成立.综上可知，对任意的正整数n ,不等式34249+++ (21)n n ++>ln(1)n +都成立考点：（1）利用导数研究函数的极值（2）利用导数研究函数的单调性.。

荆门市2013-2014学年度下学期期末质量检测高 二 数 学〔文〕须知事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、某某号填在答题卡上。

2. 选择题每一小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题(本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 1.等于A.iB.i -ii2. 某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 A ．15，5，25 B ．15，15，15C ．10，5，30D ．15，10，203. 设{}{}(,)0,0,(,)0,0M x y x y xy T x y x y =+>>=>>如此M 与T 的关系是 A.M T ⊃ B.M T = C .M T ⊂ D.M T ⊄且T M ⊄4. 命题“对任意的2,310x R x x ∈-+≤〞的否认是A.不存在2000,310x R x x ∈-+≤ B.存在2000,310x R x x ∈-+≤C.存在2000,310x R x x ∈-+>D.对任意的2,310x R x x ∈-+>5. 如图，程序框图所进展的求和运算是A. 11123+++…110+B.11135+++…119+C.23111222+++...1012+ D.111246+++ (120)+ 6. 如下结论正确的答案是第5题图A.当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x +≥ B.当0x >2 C.当2x ≥时，1x x +的最小值为2 D.当02x <≤时，1x x-无最大值 7. 设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，如此OA 为A.2B.214pC.6p D.1336p8.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查 了该校100名高三学生的视力情况，得到频率 分布直方图，由于不慎将局部数据丢失，但知 道后5组的频数成等比数列，设视力在4.6到4.9之间的学生数为,a 最大频率为b ，如此a ,b 的值分别为 A. 77, 0.53 B. 70, 0.32 C. 77,5.3 D. 70, 3.29.设函数21(0),()0)x x f x x -⎧-⎪=>≤假设0()1f x >，如此0x 的取值范围是A.(1,1)-B.(1,)-+∞C.(,1)(1,)-∞-+∞D.(,2)(0,)-∞-+∞10. 如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，假设p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，如此称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标〞．对于给定的常数00p q ≥，≥，给出如下命题： ①假设0p q ==，如此“距离坐标〞为(0,0)的点有且仅有1个； ②假设0pq =，且0p q +≠，如此“距离坐标〞为(,)p q 的点有 且仅有2个；M (p,q )O l 2l 1第10题图 第8题图③假设0pq ≠，如此“距离坐标〞为(,)p q 的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3二、填空题(本大题共7小题，每一小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) 11.函数22log (617)y x x =-+的值域是▲．12.假设不等式43x x a -+-<的解集是空集，如此实数a 的取值范围是▲.13. 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，如此点落入E 中的概率是▲．14. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果△PQF 是直角三角形，如此双曲线的离心率e =▲． 15. x 、y 的取值如下表所示x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，如此a =▲． 16.考察如下一组不等式：332244335511222222252525252525252525+>⋅+⋅+>⋅+⋅+>⋅+⋅……将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，如此推广的不等式为▲．17.1()sin cos f x x x =+，记2132()(),()()f x f x f x f x ''==,…,1()()n n f x f x -'=(,2)n N n *∈≥，如此12ππ()()22f f ++…2014π()2f +=▲．三、解答题(本大题共6小题，共65分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18．〔此题总分为12分〕221:12:210(0)3x p q x x m m ---+->≤,≤，假设¬p 是¬q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.19.〔此题总分为12分〕为了比拟注射A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的实验结果.〔疱疹面积单位：2mm 〕表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60,65)[65,70)[70,75)[75,80)频数30402010表2：注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表〔1〕完成下面频率分布直方图，并比拟注射两种药物后疱疹面积的中位数大小； 〔2〕完成下面22⨯列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异〞. 疱疹面积 [60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)频数1025203015疱疹面积小于270mm疱疹面积不小于270mm合计注射药物A a =b =注射药物B c =d =合计n =附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 2()p K k ≥0.1000.0500.025 0.01 0.001 k2.7063.8415.0246.63510.82820.〔此题总分为13分〕定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数.〔1〕求,a b 的值；〔2〕假设对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．21.〔此题总分为14分〕：]0,()(23-∞+++=在d cx bx x x f 上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程()0f x =有三个实根，它们分别为2αβ, , . 〔1〕求c 的值；〔2〕求证：(1)2f ≥； 〔3〕求αβ-的取值范围.22.〔此题总分为14分〕如图，某椭圆的焦点是12(4,0),(4,0)F F -，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1210F B F B +=，椭圆上不同的两点1122(,),(,)A x y C x y 满足条件：2F A 、2F B 、2F C 成等差数列. 〔1〕求该椭圆的方程； 〔2〕求弦AC 中点的横坐标；〔3〕设弦AC 的垂直平分线的方程为y kx m =+，求m 的取值范围.荆门市2013-2014学年度下学期期末质量检测高二数学〔文〕参考答案与评分说明一、选择题ADBCD BABCD二、填空题 11.[3,)+∞12. (,1]-∞13.π1615. 2.6 16.(,0,,,0)m n m n m n n m a b a b a b a b a b m n +++>+>≠>第22题图或252525(,0)m n m n m n n m m n +++>⋅+⋅>17. 0三、解答题18.由22210(0)x x m m -+->≤，得11(0)m x m m -+>≤≤，∴¬q 即A =)}0(11|{>+>-<m m x m x x ，或； ………………………………………3分由1|1|23x --≤，得210x -≤≤，∴¬p 即B ={|210}x x x <->，或…………………6分 ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，且m >0,∴AB ………………………………………9分故121100m m m --+>⎧⎪⎨⎪⎩≤≥，，，且不等式组中的第一、二两个不等式不能同时取等号， 解得m ≥9为所求 …………………………………………………………………………………12分 19. 〔1〕……………………………………………………………………………………3分可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数.……………………………………………………………………………6分 〔2〕表3图1注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布直方图 图2注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布直方图⊂ ≠……………………………………………………………………………………9分22200(70653530)24.5610010010595K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,由于210.828K >，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异〞………………………12分 20.〔1〕因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即111201,()22x x b b f x a a +--=⇒=∴=++…3分又由(1)(1)f f =--知11122 2.41a a a --=-⇒=++……………………………………………6分〔2〕由〔1〕知11211()22221x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数,又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-…………………………………………10分因()f x 为减函数，由上式推得：2222t t k t ->-.即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<- (13)分 21.〔1〕(0)0f '=0c ∴=……………………………………………………3分〔2〕(2)0,f =4(2)d b ∴=-+2()320f x x bx '=+=的根分别为1220,3bx x ==-和………………………………………5分]2,0[)(在x f 上是减函数， 222,3bx ∴=-≥3b ∴-≤ (1)114(2) 2.f b d b b =++=+-+≥…………………………………………………8分第22题图〔3〕,2,αβ为()0f x =的三个根32()()(2)()(2)(22)2f x x x x x x x αβαβαβαβαβ∴=---=--++++- (2),2b d αβαβ=--+⎧∴⎨=-⎩………………………………………………………………11分(2),12 4.2b d b αβαβ+=-+⎧⎪∴⎨=-=+⎪⎩||4 3.αβαβ∴-=-=………14分 22.(1)由椭圆定义与条件知，12210a F B F B =+=,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3. 故椭圆方程为92522y x +=1. ………………………………………………………………………4分 (2) 由点(4,)B B y 在椭圆上，得295B F B y ==.因为椭圆右准线方程为254x =,离心率为45，根据椭圆定义，有2122425425(),()5454F A x F C x =-=-， ……………………………7分由2F A 、2F B 、2F C 成等差数列，得124254259()()254545x x -+-=⨯,由此得出：128x x +=. 设弦AC 的中点为00(,)P x y ,如此12042x x x +==. ……………………………………………9分 (3)：由1122(,),(,)A x y C x y 在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即912121212()25()()22x x y y y y x x ++-+-=0(x 1≠2将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0)代入上式， 得019425()0(0)y k k ⨯+-=≠ 即02536k y =(当k =0时也成立).……………………12分 ①由点0(4,)P y 在弦AC 的垂直平分线上，得04y k m =+, 所以00002516499m y k y y y =-=-=-. 由点0(4,)P y 在线段BB '(B '与B 关于x 轴对称)的内部，得09955y -<<,所以 161655m -<<………………………………………………………………………………14分。

2014-2015学年湖北省荆门市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）+=（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（5分）甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f （x2），则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）A．0B．C．D．5．（5分）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．37．（5分）袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个8．（5分）在如图的程序框图表示的算法中，输入三个实数a，b，c，要求输出的x是这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入（）A．x＞c B．c＞x C．c＞b D．c＞a9．（5分）椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于顶点的任一点，则直线PA2与直线PA1的斜率之积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．（5分）如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为（）A．1B．C．2D．211．（5分）若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15B．16C．28D．2512．（5分）过曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长FM交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若点M为线段FN的中点，则曲线C1的离心率为（）A．B．C．+1D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）若（x+a）10的二项展开式中含x7的项的系数为15，则实数a的值是．14．（5分）已知数列{a n}满足对n∈N*，有a n+1=，若a1=，则a2015=．15．（5分）猎人在距离90米射击一野兔，其命中率为．如果第一次射击未命中，则猎人进行第二次射击但距离为120米．已知猎人命中概率与距离平方成反比，则猎人两次射击内能命中野兔的概率为．16．（5分）已知圆O：x2+y2=8，点A（2，0），动点M在圆上，则∠OMA的最大值为．三、解答题（本大题6小题，第17-21题各12分，第22题10分，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．18．（12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X的分布列和均值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．20．（12分）已知点A为圆C：x2+y2=9上一动点，AM⊥x轴，垂足为M．动点N 满足，设动点N轨迹为曲线C1．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）斜率为﹣2的直线l与曲线C1交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（Ⅲ）对任意的0＜m＜n，证明：﹣1＜＜﹣1．22．（10分）设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．2014-2015学年湖北省荆门市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）+=（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【解答】解：∵+=故选：D．2．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．3．（5分）甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f （x2），则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是R上的单调递增函数，则∀x1＜x2，f（x1）＜f（x2），成立，∴命题乙成立．若：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）A．0B．C．D．【解答】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；故选：C．5．（5分）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意得f′（x）≥则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选：B．6．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．3【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选：A．7．（5分）袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个【解答】解：选项A，“至少有一个白球“说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是白球“说明两个全为白球，这两个事件可以同时发生，故A是不是互斥的；选项B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球“与“至少有一个红球“均发生，故不互斥；选项C，“恰有一个白球“，表明黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球“不互斥选项D，“至少一个白球“发生时，“红，黑球各一个“不会发生，故B互斥，当然不对立；解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；至少有一个白球，没有白球互斥且对立；至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，故选：D．8．（5分）在如图的程序框图表示的算法中，输入三个实数a，b，c，要求输出的x是这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入（）A．x＞c B．c＞x C．c＞b D．c＞a【解答】解：则流程图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，第一个判断框是判断x与b的大小∴第二个判断框一定是判断最大值x与c的大小，并将最大数赋给变量x故第二个判断框应填入：c＞x故选：B．9．（5分）椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于顶点的任一点，则直线PA2与直线PA1的斜率之积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：记直线PA2的斜率为k2，直线PA1的斜率为k1，椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1（﹣4，0），A2（4，0），设P（x0，y0），则k1k2===﹣，故选：B．10．（5分）如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为（）A．1B．C．2D．2【解答】解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于；故选：D．11．（5分）若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15B．16C．28D．25【解答】解：具有伙伴关系的元素组有﹣1，1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，由组合数公式可得其个数依次为C41+C42+C43+C44=15故选：A．12．（5分）过曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长FM交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若点M为线段FN的中点，则曲线C1的离心率为（）A．B．C．+1D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2=4cx因为O为FF'的中点，M为FN的中点，所以OM为△NFF'的中位线，所以OM∥PF'因为|OM|=a，所以|NF'|=2a又NF'⊥NF，|FF'|=2c 所以|NF|=2b设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，∴x=2a﹣c过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1=0，∴e=．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）若（x+a）10的二项展开式中含x7的项的系数为15，则实数a的值是．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=C10r•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•C103=120a3=15，∴a=．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}满足对n∈N*，有a n+1=，若a1=，则a2015=2．=，a1=，∴a2=2，a3=﹣1，a4=，…，【解答】解：∵a n+1∴a n=a n．+3∴a2015=a3×671+2=a2=2．故答案为：2．15．（5分）猎人在距离90米射击一野兔，其命中率为．如果第一次射击未命中，则猎人进行第二次射击但距离为120米．已知猎人命中概率与距离平方成反比，则猎人两次射击内能命中野兔的概率为．【解答】解：记猎人第一、二、射击命中目标分别为事件A、B、猎人两次射击内能命中野兔为事件C，则P（A）=，设射手甲在xm处击中目标的概率为P（x）=，由x=90m时，P（A）=，则=，解得k=2700，∴P（x）=，∴P（B）=P（120）==，由P（C）=P（A）+P（B）=+×=，故答案为：．16．（5分）已知圆O：x2+y2=8，点A（2，0），动点M在圆上，则∠OMA的最大值为．【解答】解：设|MA|=a，则|OM|=2，|OA|=2由余弦定理知cos∠OMA===•（+a）≥•2=，当且仅当a=2时等号成立；∴∠OMA≤．即∠OMA的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题6小题，第17-21题各12分，第22题10分，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆心为P（a，b），半径为R，∵圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2，∴由题意知R2﹣b2=2，R2﹣a2=3，∴b2﹣a2=1，∴圆心P的轨迹方程为为y2﹣x2=1．（Ⅱ）由题意知，解得a=0，b=1，R=或a=0，b=﹣1，R=，∴满足条件的圆P有两个：x2+（y﹣1）2=3或x2+（y+1）2=3．18．（12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X的分布列和均值．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知：=（7+9+11+13+13+16+23+28）=15，甲=（7+8+10+15+17+19+21+23）=15，乙S2甲=[（﹣8）2+（﹣6）2+（﹣4）2+（﹣2）2+（﹣2）2+12+82+132]=44.75，S2乙=[（﹣8）2+（﹣7）2+（﹣5）2+02+22+42+62+82]=32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）．…（4分）（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1=，p2=，两人得分均超过15分的概率分别为p1p2=，依题意，X～B（2，），P（X=k）=（）k（）2﹣k，k=0，1，2，…（7分）∴X的分布列为X的均值E（X）=2×=．…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．【解答】（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），设（0＜λ＜1），则，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，（9分）∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，∴=，解得，此时．（12分）20．（12分）已知点A为圆C：x2+y2=9上一动点，AM⊥x轴，垂足为M．动点N 满足，设动点N轨迹为曲线C1．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）斜率为﹣2的直线l与曲线C1交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．【解答】（Ⅰ）设动点N（x，y），A（x0，y0），∵AM⊥x轴∴M（x0，0）∴，，…（2分）∵=+（1﹣）∴，∴…（4分）∵，∴x2+3y2=9∴N点的轨迹方程为；…（6分）（Ⅱ）由题意可设直线l的方程2x+y+m=0（m≠0）得13x2+12mx+3m2﹣9=0∵直线和曲线C1交于相异两点，∴△=144m2﹣4×13×（3m2﹣9）＞0⇒m2＜39…（8分）∴又∵O点到直线l的距离为∴…（10分）∵（当且仅当时取等号）∴，∴△OBD面积的最大值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（Ⅲ）对任意的0＜m＜n，证明：﹣1＜＜﹣1．【解答】解：（1），当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）减区间为（0，+∞），当a＞0时，由f'（x）＞0得0＜x＜a，由f'（x）＜0得x＞a；∴f（x）递增区间为（0，a），递减区间为（a，+∞）．（2）由（1）知：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减区间，而f（1）=0，∴在（0，1）上函数f（x）＞0，∴f（x）≤0在区间x∈（0，+∞）上不可能恒成立；当a＞0时，f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）上递减，f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，令g（a）=alna﹣a+1，依题意有g（a）≤0，而g'（a）=lna，且a＞0∴g（a）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴g（a）min=g（1）=0，故a=1（3）由（2）知：a=1时，f（x）=lnx﹣x+1且f（x）≤0恒成立即lnx≤x﹣1恒成立则又由lnx≤x﹣1知﹣lnx≥1﹣x在（0，+∞）上恒成立∴综上所述：对任意的0＜m＜n ，证明：22．（10分）设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．【解答】解（1），由图象可得f（x）≤2的解集为﹣（5分）（2）函数y=ax﹣1，的图象是经过点（0，﹣1）的直线，由图象可得﹣﹣﹣﹣﹣（10分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2014-2015学年湖北省荆门市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1}B．{y|y≥1}C．{y|y＞0}D．{y|y≥0}2．（5分）如果a＞b，则下列各式正确的是（）A．a•lgx＞b•lgx（x＞0）B．ax2＞bx2C．a2＞b2D．a•2x＞b•2x3．（5分）方程lgx=8﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）若角α的终边过点（﹣1，2），则cos2α的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣5．（5分）设f（x）=a x，g（x）=x，h（x）=log a x，且a满足log a（1﹣a2）＞0，那么当x＞1时必有（）A．h（x）＜g（x）＜f（x）B．h（x）＜f（x）＜g（x） C．f（x）＜g（x）＜h （x）D．f（x）＜h（x）＜g（x）6．（5分）一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83 B．108 C．75 D．637．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则α⊥βD．若α∥β，m⊥n，则m⊥α8．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．129．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A． B．C．D．10．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．1811．（5分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间t h间的关系为．若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的时间约为（）小时．（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）A．26 B．33 C．36 D．4212．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=n+，若对任意n∈N+，都有a n≥a3，则实数c的取值范围是（）A．[6，12] B．（6，12）C．[5，12] D．（5，12）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）不等式2x2﹣x＜0的解集为．14．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，数列{a n}的前n项和最大．15．（5分）已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，且=，体积分别为V 1，V2，若它们的侧面积相等，则=．16．（5分）在△ABC中，∠A=，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨|2=，则∠B=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量，，，α为锐角．（Ⅰ）求向量，的夹角；（Ⅱ）若，求α．18．（12分）备受瞩目的巴西世界杯正在如火如荼的进行，为确保总决赛的顺利进行，组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72m2（如图所示）．要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m．设该矩形区域的长为x（单位：m），租用铁栏杆的总费用为y（单位：元）（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小最小费用．19．（12分）已知数列{a n}的前n和为S n，且S n满足：S n=n2+n，n∈N+．等比数列{b n}满足：log2b n+=0．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和T n．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA丄平面ABC，AC丄AB，PA=AB=2，AC=1．（Ⅰ）证明：PC丄AB；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的正弦值；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ABC外接球的体积．21．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．22．（12分）已知函数f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈[﹣2，a]，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年湖北省荆门市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1}B．{y|y≥1}C．{y|y＞0}D．{y|y≥0}【解答】解：∵M={y|y=2﹣x}={y|y＞0}，P={y|y=}={y|y≥0}，∴M∩P={y|y＞0}，故选：C．2．（5分）如果a＞b，则下列各式正确的是（）A．a•lgx＞b•lgx（x＞0）B．ax2＞bx2C．a2＞b2D．a•2x＞b•2x【解答】解：A、两边相乘的数lgx不一定恒为正，错误；B、不等式两边都乘以x2，它可能为0，错误；C、若a=﹣1，b=﹣2，不等式a2＞b2不成立，错误；D、不等式两边都乘2x＞0，不等号的方向不变，正确；故选：D．3．（5分）方程lgx=8﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：令f（x）=lgx+2x﹣8则可知函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且函数在（0，+∞）连续∵f（1）=﹣6＜0，f（2）=lg2﹣4＜0，f（3）=lg3﹣2＜0，f（4）=lg4＞0∴f（3）f（4）＜0由函数的零点判定定理可得，函数的零点区间（3，4）∴k=3故选：B．4．（5分）若角α的终边过点（﹣1，2），则cos2α的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵角α的终边过点（﹣1，2），∴cosα==﹣，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故选：B．5．（5分）设f（x）=a x，g（x）=x，h（x）=log a x，且a满足log a（1﹣a2）＞0，那么当x＞1时必有（）A．h（x）＜g（x）＜f（x）B．h（x）＜f（x）＜g（x） C．f（x）＜g（x）＜h （x）D．f（x）＜h（x）＜g（x）【解答】解：∵a满足log a（1﹣a2）＞0=log a1，0＜1﹣a2＜1，∴0＜a＜1，∴当x＞1时，log a x＜0，0＜a x＜1，x＞1．∴h（x）＜f（x）＜g（x）．故选：B．6．（5分）一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83 B．108 C．75 D．63【解答】解：等比数列的第一个n项的和为：48，第二个n项的和为60﹣48=12∴第三个n项的和为：12×=3∴前3n项的和为60+3=63故选：D．7．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则α⊥βD．若α∥β，m⊥n，则m⊥α【解答】解：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，知：若m∥n，m⊂α，则α与β相交或平行，故A错误；若α∥β，m⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；若m∥n，m⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若α∥β，m⊥n，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：C．8．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选：B．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A． B．C．D．【解答】解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．==，解得．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选：B．10．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．18【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A．11．（5分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间t h间的关系为．若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的时间约为（）小时．（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）A．26 B．33 C．36 D．42【解答】解：由题意，前5个小时消除了l0%的污染物，∵P=P0e﹣kt，∴（1﹣10%）P0=P0e﹣5k，∴k=﹣ln0.9；（2）由（1）得P=P0e当P=50%P0时，有50%P0=P0e∴ln0.9=ln0.5∴t=≈33即污染物减少50%需要花33h．故选：B．12．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=n+，若对任意n∈N+，都有a n≥a3，则实数c的取值范围是（）A．[6，12] B．（6，12）C．[5，12] D．（5，12）【解答】解：由题意可得c＞0，∵对所有n∈N*不等式a n≥a3恒成立，∴，∴，∴6≤c≤12，经验证，数列在（1，2）上递减，（3，+∞）上递增，或在（1，3）上递减，（4，+∞）上递增，符合题意，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）不等式2x2﹣x＜0的解集为0＜x＜．【解答】解：由2x2﹣x＜0，得x（2x﹣1）＜0．即对应方程x（2x﹣1）=0的两个根分别为x=0或x=，所以不等式2x2﹣x＜0的解为0＜x＜．故答案为：{x|0＜x＜}．14．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，数列{a n}的前n项和最大．【解答】解：由等差数列的性质得，a7+a8+a9=3a8＞0，a7+a10=a8+a9＜0，∴a 8＞0、a9＜0，且|a8|＜|a9|，∴等差数列{a n}的前八项都大于零，从第九项开始都小于零，则当n=8时，数列{a n}的前n项和最大，故答案为：8．15．（5分）已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，且=，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，则=．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，=1∴=，∴==（）2•=．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，∠A=，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨|2=，则∠B=．【解答】解：做高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p ﹣x，BE=p+q﹣x，则AD2=AE2+DE2=h2+（p﹣x）2，AB2=AE2+BE2=h2+（p+q﹣x）2，AB2﹣AD2=（p+q﹣x）2﹣（p﹣x）2=q（q+2p﹣2x），即pq=BD•CD=q（q+2p﹣2x），q≠0，所以p=q+2p﹣2x，x==，即E为BC中点，于是ABC为等腰三角形．顶角为，则底角B=故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量，，，α为锐角．（Ⅰ）求向量，的夹角；（Ⅱ）若，求α．【解答】解：（Ⅰ）由已知得到cos＜＞=…（3分）∵＜，＞∈[0，π]∴向量，的夹角；…（5分）（Ⅱ）由知，即…（7分）∴，∴…（9分）又α为锐角，∴．…（10分）18．（12分）备受瞩目的巴西世界杯正在如火如荼的进行，为确保总决赛的顺利进行，组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72m2（如图所示）．要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m．设该矩形区域的长为x（单位：m），租用铁栏杆的总费用为y（单位：元）（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小最小费用．【解答】解：（Ⅰ）依题意有：y=100（+x﹣2），其中x＞2；（Ⅱ）由均值不等式可得：y=100（+x﹣2）=100（+x﹣2）≥100（2﹣2）=2200，当且仅当=x，即x=12时取“=”综上：当x=12时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元．19．（12分）已知数列{a n}的前n和为S n，且S n满足：S n=n2+n，n∈N+．等比数列{b n}满足：log2b n+=0．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，S1=2，即a1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n，又a1=2=2×1，∴a n=2n；由得：；（Ⅱ）∵a n=2n，，∴，∴...， (1)...， (2)（1）﹣（2）得：…，∴．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA丄平面ABC，AC丄AB，PA=AB=2，AC=1．（Ⅰ）证明：PC丄AB；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的正弦值；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】（Ⅰ）证明：；…（4分）（Ⅱ）解：过A作AM⊥PC交PC于点M，连接BM，则∠AMB为所求角；…（6分）在三角形AMB中，…（8分）（Ⅲ）解：求三棱锥P﹣ABC外接球即为以AP，AB，AC为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径，…（10分）．…（12分）21．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．（12分）已知函数f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈[﹣2，a]，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+2x的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣1，∴当﹣2＜a≤﹣1时，f（x）在[﹣2，a]上是减函数，，∴此时f（x）的值域为：[a2+2a，0]；当﹣1＜a≤0时，f（x）在[﹣2，a]上先减后增，f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（﹣1）=﹣1，∴此时f（x）的值域为：[﹣1，0]；当a＞0时，f（x）在[﹣2，a]上先减后增，，∴此时f（x）的值域为：[﹣1，a2+2a]．（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，即（x+t）2+2（x+t）≤3x，∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0；设u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，其中x∈[1，m]∵u（x）的图象是抛物线，开口向上，∴u（x）max=max{u（1），u（m）}；由u（x）≤0恒成立知；化简得；v令g（t）=t2+2（1+m）t+m2﹣m，则原题转化为存在t∈[﹣4，0]，使得g（t）≤0；即当t∈[﹣4，0]时，g（t）min≤0；∵m＞1时，g（t）的对称轴是t=﹣1﹣m＜﹣2，①当﹣1﹣m＜﹣4，即m＞3时，g（t）min=g（﹣4），∴，解得3＜m≤8；②当﹣4≤﹣1﹣m＜﹣2，即1＜m≤3时，g（t）min=g（﹣1﹣m）=﹣1﹣3m，∴，解得1＜m≤3；综上，m的取值范围是（1，8]．解法二，由，∴m≤，即=8，1＜m≤8；即得m的取值范围（1，8]．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

湖北省荆门市2013-2013学年高二数学下学期期末考试试题理（扫描版）新人教A版荆门市2012—2013学年度期末质量检测考试高二数学（理）参考答案及评分标准审题：市教研室一、选择题 1～10 ADBAB BDCAC二、填空题 11. 平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形12. 07； 13. 240； 14. 3443或(对一个给3分)； 15．2e .三、解答题16.（Ⅰ）由25525x a a x a --+≤得≤≤ ………………………………………3分∴5456a a -=-+=且， ……………………………………………5分 ∴1a =． ···························· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()21()()()f x x h x f x f x =-=+-，令,则存在实数x 使()m h x ≥成立， …………………………………………………7分14,()211()21212,()2214,()2x x h x x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=-++=-<⎨⎪⎪>⎪⎩≤≤ ……………………………9分∴)(x h 的最小值为2， …………………………………………………………11分 故实数m 的取值范围是[)2,+∞． ················ 12分17. （I ）（i ）设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0123)i A i =，，，，则 2132322531()5C C P A C C =⋅= …………………………………………………………3分（ii ）设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =，又()221113222222222535312C C C C C P A C C C C =⋅+⋅=， 且23A A 、互斥，所以23117()()()2510P B P A P A =+=+=. …………………6分 （II ）由题意可知X 的所有可能取值为012、、. 279(0)(1)10100P X ==-=，127721(1)(1)101052P X C ==-=，2749(2)()10100P X ===. 所以X 的分布列是所以X 的数学期望921497()012100501005E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………12分 18.（Ⅰ）证明：连结PC ，交DE 与N ，连结MN ，在△PAC 中，M ,N 分别为两腰,PA PC 的中点， …………………………2分 ∴MN ∥AC ，MN ⊂面MDE ，又AC ⊄面MDE ，…………………………5分∴AC ∥平面MDE ………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(00)(0)(020)P B a a C a ，，，，，，，(2)(0)PB a a a BC a a =-=-，，，，， ……8分 设平面PAD 的单位法向量为1n ，则可设1(01n =，，设面PBC 的法向量2(1)n x y =，，，应有 22(1)()0,(1)(0)0n PB x y a a n BC x y a a ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩，，，，，，，，， 即：0,0ax ay ax ay ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以22(1)n = ，…………………………………10分∴121212cos 21n n n n θ⋅===⨯⋅ ，所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°. …12分解法二：延长CB 、DA 相交于G ，连接PG ，过点D 作DH ⊥PG ， 垂足为H ，连结HC ，………………………………7分 ∵矩形PDCE 中PD ⊥DC ，而AD ⊥DC ，PD ∩AD =D ， ∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PG ，又CD ∩DH =D ， ∴PG ⊥平面CDH ，从而PG ⊥HC ，∴∠DHC 为平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的平面角，……………………9分 在Rt △PDG 中，22,DG AD a PD ==，可以计算DH ， 在Rt △CDH 中，2tan 2CD aDHC DH ∠===， 所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°.…………………………………………12分 19.(Ⅰ) 容易求得：3411710a a ==，，故可以猜测231-=n a n ……………………2分 G HE PDCBA下面用数学归纳法证明：显然当1234n =，，，时，结论成立. …………………3分 假设当(4),(1)n k k k =≥也可以≥，结论成立，即231-=k a k当1+=k n 时，2)1(311231)1(21-+=---=--=+k k k k a k a k a k k k ……………………5分即当1+=k n 时，结论也成立,综合可得231-=n a n 成立. …………………………6分(Ⅱ)13n b == …………………………………8分12b b ∴++…11)3n b +=++…11)3+=只需证明11)3<1+……………………………10分即证3131n n +<+ 即证032>n （显然成立）即证. ………………12分 20. （Ⅰ）由24y x =的准线为1x =-，2512A AF x ∴=+=，故记3(2A ………3分 又1(1,0)F -，所以12752622a AF AF =+=+=，故椭圆为22198x y +=．………6分 （Ⅱ）设过2F 的直线为1(0)x my m =+≠，()()()()M M N N G G H H M x y N x y G x y H x y ，、，、，、，联立221198x my x y=++=⎧⎪⎨⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=，则2216896489M H M H m y y m y y m -+=+-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩联立214x my y x=+=⎧⎨⎩，得2440y my --=，则44N G N G y y my y +=⎧⎨=-⎩…………………………9分由M N G H P P '、、、、、共线，所以2222N GM H MH N Gy y MH PF y y y y NGP F y y +-⋅=⋅+'-代入韦达定理整理得，222431689MH PF m m NGP F m ⋅=⋅='+…13分21. （Ⅰ） ()xf x e a '=-，由已知，得(ln 2)21f a '=-=∴a ＝1． …………………2分此时()1x f x e x =--，()1xf x e '=-，……………………………………………3分 ∴当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>． …………………………4分 ∴当x ＝0时，f (x )取得极小值，该极小值即为最小值，∴f (x )min ＝f (0)＝0．……6分（Ⅱ）记2()1xg x e x mx =---，()12xg x e mx '=--,……………………………7分 设()()12,()2,xxh x g x e mx h x e m ='=--'=-则 …………………………………8分 ①当12m ≤时，()0 (0)h x x '≥≥，()(0)0h x h =≥，()0 g x ∴'≥，()(0)0g x g ∴=≥，12m ∴≤时满足题意；……………………10分②当12m >时，()=0h x '令，得ln 20x m =>,当[0,ln 2]x m ∈，()0h x '<，()h x 在此区间上是减函数，()(0)0h x h =≤, ∴()g x 在此区间上递减， (ln 2)(0)0g m g ∴=≤不合题意. …………………13分综合得m 的取值范围为1(,]2-∞. …………………………………………………14分。

荆门市2013-2014学年度期末质量检测考试高 二 数 学（理）(含答案)★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题(每小题5分，共50分,在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 给出命题：“若220x y +=，则0x y ==”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．已知命题p ：122121,,[()()]()0x x R f x f x x x ∀∈--≥，则命题p 的否定是A ．122121,,[()()]()0x x R f x f x x x ∃∈--≤B ．122121,,[()()]()0x x R f x f x x x ∀∈--≤C ．122121,,[()()]()0x x R f x f x x x ∃∈--<D ．122121,,[()()]()0x x R f x f x x x ∀∈--<3．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的 中心为(4,5)，则回归直线方程为A .ˆ 1.234yx =+ B .ˆ 1.235y x =+ C .ˆ 1.230.08y x =+ D .ˆ0.08 1.23y x =+4．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图， P 表示估计结果，则图中空白框内应填入A ．P ＝N 1000B ．P ＝4N1000C ．P ＝M 1000D ．P ＝4M10005．在20的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项6. 某运动会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人参加，则不同的派给方案共有 A ．150种 B ．180种 C ．240种 D ．360种 7．甲乙两组统计数据用茎叶图表示，设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则A . x 甲＜x 乙，m 甲＞m 乙B . x 甲<x 乙， m 甲<m 乙C . x 甲>x 乙， m 甲>m 乙D . x 甲>x 乙， m 甲<m 乙第4题图乙甲3 18 0 07 5 28 8 4 0 08 6 52 3 81 2 4 4 80 2 3 3 70 2 801 2 3 4 第7题图8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y ,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 A .221927x y -= B .22136108x y -= C .22110836x y -= D .221279x y -=9．△ABC 中，角,,A B C 成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件10. 设,,a b m 为整数(0)m >，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对m 同余记为(mod )a b m ≡，已知12322020201C C 2C 2a =++++ (2019)20C 2+, (mod10)a b ≡，则b 的值可以是A ．2013B ．2012C ．2011D ．2010二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)11．如果随机变量X ～N (-1,σ2)，且P (-3≤X ≤-1)＝0.4，则P (X ≥1)＝________．12. 某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2，若该校取一个容量为n 的样本，则n = ．13．多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A 、B 、C 、D 四个选项中选出所有正确的答案.在一次考试中有5道多选题，某同学一道都不会，他随机的猜测，则他答对题数的期望值为 ．14．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴整体不出边界．．．．．．．．），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm 的球）正好落入孔中的概率是 (不作近似计算) ．15．设12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使1OP OF =（O 为原点），且12|||PF PF ，则双曲线的离心率 为 ．三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（本小题满分12分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2-a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2-a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．17.（本小题满分12分）为考查某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下丢失数据的列联表:设从没服用药的动物中任取两只,未患病数为X;从服用药物的动物中任取两只,未患病数为Y,工作人员曾计算过38(0)(0)9P X P Y==⋅=.（1）求出列联表中数据,,,x y M N的值；（2）能够以99%的把握认为药物有效吗? 参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++；①当K2≥3.841时有95%的把握认为ξ、η有关联；②当K2≥6.635时有99%的把握认为ξ、η有关联.18.（本小题满分12分）某市准备从7名报名者（其中男4人，女3人）中选3人到三个局任副局长.（1）设所选3人中女副局长人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）若选派三个副局长依次到A、B、C三个局上任，求A局是男副局长的情况下，B局为女副局长的概率.19.（本小题满分12分）从某校高二年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在155cm到195cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195)，如下右图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第六组、第七组和第八组的人数依次成等差数列．频率分布表如下：频率分布直方图如下：（1）求频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图； （2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生，记他们的身高分别为,x y ,求满足:||5x y -≤的事件的概率．20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy 中，动点(,)(0)P x y x ≥满足：点P 到定点1(,0)2F 与到y 轴的距离之差为12.记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两点，过点A 和原点O 的直线交直线12x =-于点D ，求证：直线DB 平行于x 轴.21.(本小题满分14分)已知△ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于(0)m m ≠．（1）求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 为何种圆锥曲线；（2）当12m =-时，过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M Q 、不重合)， 试问：直线MQ 与x 轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.荆门市2013-2014学年度期末质量检测考试高二数学（理）参考答案及评分说明命题：龙泉中学 刘灵力 审题：市教研室 方延伟 龙泉中学 李学功一、选择题：二、填空题：11．0.1； 12.360； 13．13； 14．64361π； 151.三、解答题：16.由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题．p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1，所以命题p ：a ≤1；…………………………………………………………………………………4分 q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f (x 0)＝0， 只需∆＝4a 2－4(2－a )≥0， 即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2，所以命题q ：a ≥1或a ≤－2. ……………………………………………………………………8分由1,12a a a ⎧⎨-⎩≤≥或≤得a ＝1或a ≤－2故实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2. ……………………………………………………12分17．（1）2220225050(0),(0),x C C P X P Y C C ====222022505038,10,9xC C x C C ∴=⨯∴=40,30,70.y M N ∴=∴==……………………………………………………………………6分（2）22100(800300) 4.76.30705050K ⨯-=≈⨯⨯⨯故不能够有99%的把握认为药物有效………………………………………………………12分18.（1）X 可取0,1,2,3,（2分）1233443377418(0),(1)3535C C C P X P X C C ======,2133433377121(2),(3)3535C C C P X P X C C ======，………………………………………………6分 故X 的分布列为(2)记D=“A 局是男副局长”，E=“B 局为女副局长”，则351(|).652P E D ⨯==⨯ ………………………………………………………………………12分19.(1) 由频率分布直方图得前五组的频率是0.0080.0160.040.040.0650.82++++⨯=（），第8组的频率是0.04，所以第6,7组的频率是10.860.14-=，所以样本中第6,7组的总人数为7人．由已知得：7x m +=……①,,2x m 成等差数列， 22x m ∴=-……②由①②得：3,4m x==，所以0.08,0.06,0.016,0.012y n z p ====，…………… 4分 频率分布直方图如下图所示：……………………………………………6分97EX ∴=频率(cm)（2）由（1）知，身高在[180,185)内的有4人，设为,,,a b c d ，身高在[190,195)内的有2 人，设为,A B若,[180,185)x y ∈，则有,,,,,ab ac ad bc bd cd 共6种情况； ……………………… 8分 若,[190,195)x y ∈，则有AB 共1种情况；若[190,195)x ∈，[180,185)y ∈或[180,185)x ∈，[190,195)y ∈，则有,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 共8种情况 ……………………………………………… 10分 ∴基本事件总数为61815++=，而事件 “||5x y -≤”所包含的基本事件数为 617+=,故7(||5)15P x y -=≤ ……………………………………………………………12分 20. （1）依题意：12PF x -= ………………………………………………………………2分12x =+ 22211()()22x y x ∴-+=+……………………4分 22y x ∴=……………………………………………………………………………………6分注：或直接用定义求解.（2）法Ⅰ：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为12x ty =+由2122x ty y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2210y ty --= …………………………………………………8分 121y y ∴=-直线AO 的方程为11y y x x = ∴点D 的坐标为111(,)22y x --……………………10分112211112y y y x y y ∴-=-=-=∴直线DB 平行于x 轴. ……………………………………………………………………13分法Ⅱ：设A 的坐标为200(,)2y y ，则OA 的方程为002(0)y x y y =≠∴点D 的纵坐标为01y y =-， ……………………………………………………………8分1(,0)2F ∴直线AF 的方程为200201()(1)1222y y x y y =-≠- ∴点B 的纵坐标为01y y =-.……………………………………………………………11分BD x ∴∥轴；当201y =时，结论也成立，∴直线DB 平行于x 轴. …………………………………………………………………13分21.（1）由题知：11y y m x x-+⋅= 化简得：221(0)mx y x -+=≠ ……………………………………………………………2分当1m <-时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当1m =-时 轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是１的圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当10m -<<时 轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当0m >时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去(0,1),(0,1)-两点；…6分 （2）设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠依题直线l 的斜率存在且不为零，则可设l :1x ty =+，代入221(0)2x y x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-= 12222t y y t -+=+，12212y y t -=+，………………………………………………………9分 又因为M Q 、不重合，则1212,x x y y ≠≠-Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =，得1211211211121212()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++故直线MQ 过定点(2,0). ………………………………………………………………14分 解二：设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠依题直线l 的斜率存在且不为零，可设l :(1)y k x =-代入221(0)2x y x +=≠整理得：2222(12)4220k x k x k +-+-= 2122412k x x k+=+,21222212k x x k -=+，………………………………………………… 9分 Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =，得121121121211121212()(1)()2()2(2)2y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+-直线MQ过定点(2,0)………………………………………………………………14分。

荆门市2014-2015学年度期末质量检测高 一 数 学注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若集合{}2x M y y -==，{N y y ==，则M N =IA ．{}1y y >B ．{}1y y ≥C ．{}0y y >D ．{}0y y ≥2.如果b a >，则下列各式正确的是A . x b x a lg lg ⋅>⋅B . 22bx ax >C . 22b a >D . x x b a 22⋅>⋅3.方程lg 82x x =-的根(,1)x k k ∈+，k Z ∈，则k = A ．2 B ．3C ．4D ．54.若角α的终边过点(1,2)-，则cos 2α的值为 A ．35-B ．35C． D5.设()xf x a =，13()g x x =，()log a h x x =，且a 满足2log (1)0a a ->，那么当1x >时必有A ．()()()h x g x f x <<B ．()()()h x f x g x <<C ．()()()f x g x h x <<D ．()()()f x h x g x <<6.一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 A ．108B ．83C ．75D ．637.已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，且n β⊂，则下列叙述正确的是 A ．若m ∥n ,m α⊂,则α∥β B ．若α∥β,m α⊂,则m ∥n C ．若m ∥n ,m α⊥，则αβ⊥D ．若α∥β,m n ⊥,则m α⊥8.已知实数,x y 满足约束条件2,2,6x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，则24z x y =+的最大值为A ．24B ．20C ．16D ．129.已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -体积为94，.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A ．π6B ．π4C ．π3D ．π210.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A．21+B．18 C ．21 D ．1811.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg /L 与时间t h 间的关系为0kt P P e -= ．若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的时间约为( )小时．(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771) A ．26B ．33C ．36D ．4212.已知数列{}n a 的通项公式为n ca n n=+，若对任意n N +∈，都有3n a a ≥，则实数c 的取值范围是 A ．[]6,12B ．()6,12C ．[]5,12D ．()5,12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) 13.不等式220x x -<的解集为 ▲ .14．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = ▲ 时，数列{}n a 的前n 项和最大.15.已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，且1294S S =,体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，则12V V = ▲ ． 16. 在△ABC 中，π6A =，D 是BC 边上一点（D 与B 、C 不重合），且22AB AD BD DC =+⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ，第10题图 111111111111侧视图俯视图正视图第9题图 D C 1B 1A 1PC B A则B ∠等于 ▲ ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知向量a =r，b =r ，(1cos ,sin )c αα=--r，α为锐角.（Ⅰ）求向量a r，b r的夹角；（Ⅱ）若b c ⊥r r，求α.18.（本小题满分12分）某体育赛事组委会为确保观众顺利进场，决定在体育场外临时围建一个矩形观众候场区,总面积为272m （如图所示）.要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m 的入口.现已知铁栏杆的租用费用为100元m /.设该矩形区域的长为x （单位：m ），租用铁栏杆的总费用为y （单位：元） （Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小费用.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足:2,n S n n n N +=+∈.等比数列{}n b 满足：021log 2=+n n a b .(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；(Ⅱ)设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项的和n T .20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA 丄平面ABC ， AC 丄AB ，2PA AB ==，1AC =. (Ⅰ) 证明：PC 丄AB ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的正弦值； (Ⅲ) 求三棱锥P ABC -外接球的体积.体育场外墙入口第18题图第20题图CAP21.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，90ABC ∠=o,1AB BC ==,P 为△ABC 内一点，90BPC ∠=o .(Ⅰ)若12PB =,求PA ； （Ⅱ）若150APB ∠=o ,求tan PBA ∠.22.（本小题满分12分）已知函数x x x f 2)(2+=． (Ⅰ)若],2[a x -∈，求)(x f 的值域；（Ⅱ）若存在实数t ，当],1[m x ∈，()3f x t x +≤恒成立，求实数m 的取值范围．荆门市2014-2015学年度期末质量检测高一数学参考答案及评分说明命题：钟祥一中 董若冰 胡雷 审题：市教研室 方延伟 龙泉中学 李学功 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)CDBAB DCBCA BA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭14.8 15.32 16.5π12 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.（本小题满分10分）（Ⅰ）cos ,a b a b a b⋅===r r r r r r …………………………………………………………3分 [],0,πa b ∈r r Q π,6a b ∴=r r ……………………………………………………………5分第21题图PC（Ⅱ）由b c ⊥rr知0b c ⋅=r r，即1cos 0αα--+= …………………………………7分 π 2sin()16α∴-=， π1sin()62α∴-= ……………………………………………9分 又α为锐角，π=3α∴. …………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）依题意有：72100(22)y x x=⨯+-，其中2x >. ……………………………………5分 （Ⅱ）由均值不等式可得：72144100(22)100(2)y x x x x=⨯+-=+-2)2200-=≥ ……………………………………8分当且仅当144x x=即12x =时取“=” ………………………………10分 综上：当12x =时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元 …12分 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）当1n =时，12S =即12a =，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，………………2分 又1221a ==⨯，2n a n ∴=…………………………………………………………………4分由21log 02n n b a +=得1()2n n b = …………………………………………………………6分 （Ⅱ）11()2n n n n c a b n -==0121111()2()3()222n T =⨯+⨯+⨯+ (2111)(1)()()22n n n n --+-⨯+⨯ (1)121111()2()222n T =⨯+⨯+ (111)(1)()()22n n n n -+-⨯+⨯ ……（2）…8分 (1)(2)-得121111()()222n T =+++…111()1112()()()122212nn n n n n --+-⨯=-⨯- …10分114()(2)2n n T n -∴=-+……………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分） （Ⅰ）AB AC AB PAC AB PC AB PA ⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⊥⎭平面 …………………………………………4分MP（Ⅱ）过A 作AM PC ⊥交PC 于点M ，连接BM ，则AMB ∠为所求角 …6分在三角形AMB 中，sin AB AMB BM ∠==8分 (Ⅲ)求三棱锥P ABC -外接球即为以,,AP AB AC 为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径…………10分23)2(912222222=⇒==++=R R l 334439ππ()π3322V R ==⨯= ……………………………………12分21. （本小题满分12分）（Ⅰ）由已知得，60PBC ∠=o ，所以30PBA ∠=o ；………………………………………2分在△PBA 中,由余弦定理得21173cos30424PA =+-=o ，……………………5分故PA =. ………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=， ………………………………………………8分在△PBA 中, sin sin(30)αα=-o ，………………………………10分4sin αα=；所以tan α=，即tan PBA ∠= …………………………………………………12分 22. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意得， 当21a -<-≤时，0)2()(max =-=f x f ，a a a f x f 2)()(2min +==， ∴此时)(x f 的值域为]0,2[2a a + …………………………………………………2分 当10a -<≤时，0)2()(max =-=f x f ，1)1()(min -=-=f x f ， ∴此时)(x f 的值域为]0,1[-当0>a 时，a a x f 2)(2max +=，1)1()(min -=-=f x f ，∴此时)(x f 的值域为]2,1[2a a +- ……………………………………………………4分 （Ⅱ）由()3f x t x +≤恒成立得22(21)20x t x t t +-++≤恒成立令t t x t x x u 2)12()(22++-+=，],1[m x ∈，因为抛物线的开口向上，所以)}(),1(max{)(max m u u x u = …………………………………………………6分由()0u x ≤恒成立知(1)0()0u u m ⎧⎨⎩≤≤，化简得22402(1)0t t m t m m -⎧⎨+++-⎩≤≤≤ 令m m t m t t g -+++=22)1(2)(，则原题可转化为：存在]0,4[-∈t ，使得()0g t ≤即当]0,4[-∈t 时，min ()0g t ≤. …………………………………………………8分 1,()m g t >∴Q 的对称轴为12t m =--<-，① 当14m --<-，即3m >时，min ()(4)g t g =-，解得38m <≤② 当412m ---<-≤，即13m <≤时，min ()(1)13g t g m m =--=--解得13m <≤ …………………………………………………11分综上，m 的取值范围为(1,8]. ………………………………………………12分23,168(1)0m m m m >⎧∴⎨-++-⎩≤13130m m <⎧∴⎨--⎩≤≤。