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an a1,n 1
an1
anq,
n
N*
3.等比数列的通项公式：
思考：如何用 a1 和 q表示 an？
等差数列an an1 d , n 2
a2 a1 d
归
a3 a2 d
(a1 d ) d
纳 法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d) d
a…1
3d
…
an a1 (n 1)d
(4) a,a,a,a,......
a 0时只是等差数列， a 0时既是等差又是等比数 列
(5) lg 2, lg 4, lg 8, lg16,......
不是
2.等比数列的递推公式：
an q(n 2) an1
an a1, n 1 an an1q, n 2
an1 q(n N *) an
【例1】在等比数列 an中：
（1）a1
2,
q
1 2
,
求an
（2） a1 128, an
2, q 1 ,求n 2（三求一）（3） a4 3，a7 81，求a1，q （基本量法或通项公式变式）
题型二：等比中项
例2：已知等比数列an，a3 =20，a5 =80 , 求 a4 变式：已知等比数列an，a3 =20 ，a７ =320 , 求 a5
（q≠0）
an 0
状元随笔
(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分 母，故每一项均不为 0，因此公比也不为 0，由此可知，若数列中 有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．
(2)“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比 是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．
类比
an a1qn1 等
比
a1
a3 q a2
数 列
a4 q
…a3…
共n – 1 项
+）an an1 d
×） an q
a n 1
an a1 (n 1)d
an q n1 a1
通项公式的推广： an＝am·qn－m(m，n∈N*)
通项公式： an a1qn1
4.等比中项
与等差数列概念类似，
从第2项起,每一项与它前一项的比等于 同一个非零常数
公比 q 0
an q,n 2 an1
an a1 q n1
an amqnm n, m N *
中项 公式
G2 ab 或 G ab
若 a,G成,b等比数列，那么Ｇ叫做 与 的a等比b中项，
有：
G2 ab
G ab
注意：1）“ a,G,b 成等比数列” 是 “G2 ab ”的 充分不必要条件 2）任意两个数 a, b 都有唯一等差中项为 a b ；
2
当 ab 0 时，才有等比中项，且有两个 ab 。
当ab<0时，没有等比中项。
请问:这三个 数列有什么 共同特点?
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_2_;
1
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_2_;
对于数列，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_2_0;
共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是
同一个常数
类比“等差数列”，这样的数列可以叫做“等比数列”。
an a1 q n1
定义式 通项公式
an amqnm
通项
(n, m N * ) 变形
G2 ab 或 G ab
中项 公式
an an1 d , n 2
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
(n, m N *)
a b 2 A或A a b 2
题型一：等比数列的基本量计算
等比数列第一课时
• ① 如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1，2，4，8，16,……
• ② 庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：
1, 1 , 1 , 1 , 1 ,...... 2 4 8 16
• ③计算机病毒传播时，假设每一轮每一台 计算机都感染20台计算机，则这种病毒每 一轮感染的计算机数构成的数列是：
1，20，202，203，……
1,2,4,8,16,32,......
①
1，1，1，1，1 ，......
②
2 4 8 16
1,20,202,203,204,205,...... ③
(3)定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把 “同”字省略． 该常数不等于0
课堂互动
判定下列数列是否是等比数列？若是找出公比；不是，请说明理由。
(1) 1，4，16，32，……
不是
(2) 1，-10，100，-1000 ，10000；是,公比 q= -10
(3) 1，0，1，0，1，0，…… 不是等比数列
1.等比数列定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它
的前一项的 比 等于 同一个非，零那常么数这个数列就叫做等比数
列。
为什么要 求q≠0？
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。
其定义式：
an q(n 2) an1
判断一个数列是否为等比数列的依据
或
an1 q(n N *) an
3）在一个等比数列中，从第二项起，每一项都是它的前一项与 后一项的乘积，即 an2 an1an1, n N *
等比数列
名称
类比
从第2项起,每一项与它前一 概念
项的比等同一个非零常数
等差数列
从第2项起,每一项与它 前一项的差等同一个常数
公比 q 0
常数
公差 d R
an q, n 2 an1
题型三：等比数列的判定和证明
【例3】数列an 的通项公式为 an 23n ，求证数列 an 是等比数列。
【变式与拓展】
已知数列{an}满足 a1 ＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式．
课堂小结：
名称
等比数列
概念
常数 定义式
通项公式 通项 变式
等比数列an an1q, n 2
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
……
a a q n1
n
1
3.等比数列的通项公式：
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
累乘法 a2 q
等 a2 a1 d
差 数
a3 a2 d
列 a4 a3 d ……
