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等比数列的前n项和(第一课时)-PPT课件

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25第1课时等比数列的前n项和精品PPT课件

25第1课时等比数列的前n项和精品PPT课件
(2) 2．一个等比数列前5项和为10，前10项和为50，前15项和为 多少？
3.在正项等比数列{an}中，若S2=7, S6=91, 则S4的值 为（ A ）.
（A）28 （B）32 （C）35 （D）49
4．在等比数列{an}中，Sn=k-(
1 2
)n，则实数k的值为（
B
）
（A）
1 2
（B）1
a1( 1 qn 1q
)
a1 anq 1q
3.五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知三求二”问题.
例求下列等比数列前8项的和:
（1）1 , 1 , 1 , ; 248
（2）a1＝27，a9＝
1 243
，q
0.
解:1因为a1
1 2
,q
1 2
,n
8，
所以S8
1 2
1
1 2
8
1 1
1 2
1-2
估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过
了7 000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
问题2答案： 230–1 (分)＝10 737 418. 23 (元) 远大于3 000元
Sn
na1 a1 (1
qn )
1 q
q 1 q 1
1.注意q=1与q≠1两种情形
2.q≠1时，
Sn
1
1
1 8
2
1
1 8 2
255 . 256
2
2
2由a1
27 , a9
1 243
,可得
1 ＝27 q8 243
,
又由q 0,可得
q 1 , 3
于是当n
8时，S8271 来自1 381

等比数列的前n项和PPT课件

等比数列的前n项和PPT课件

讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )

等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

a1 (1 q n )
当1 q 0,即q 1时,S n
.
1 q
当q 1时,Sn na1 .
a1 (1 q n )
，q 1

∴S n 1 q
na ，
q1
1
等比数列的前n项和公式：
若等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,则{an }的前n项和公式为
1 q
.
na ，
q1
q1
室
1
na1，
an am q n m .
3.等比数列{an}的重要性质：
若m n s t，则am an a s at .
特别地，若m n 2 p，则aman a 2p .
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
a1 (1 q n )
，q 1宋老

Sn 1 q
师数
na ，
q 1学精
1
品工
宋老师
∵an a1q n 1，∴上述公式还可以写成
作室
宋老师数学精品工作室
数学精
品工作
a1 an q
，q 1
室

Sn 1 q
na ，
1
q1
按1000颗麦粒的质量
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
2
2
1
宋老
(2) 若a1 27,a9
,q 0,求S8 ；
师数
243
1
31学精
(3) 若a1 8,q ,S n 品工

高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.2等比数列的前n项和》课件

高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.2等比数列的前n项和》课件
则数列{an}为等比数列，即 Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N *) ⇔数列{an}为_等__比__数__列__．
(二)基本知能小试
1．已知等比数列的公比为 2，且前 5 项和为 1，那么前 10 项和等于 ( )
A．31
B.33
C．35
D.37
解析：根据等比数列性质得S10S－5 S5＝q5，
8
C.3
D.3
()
解析：法一：因为数列{an}是等比数列，所以 S6＝S3＋q3S3，S9＝S6 ＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是SS63＝1＋Sq33S3＝3，即 1＋q3＝3，所以 q3＝2.于是SS96＝1＋1＋q3＋q3q6＝1＋1＋2＋2 4＝73.
法二：由SS63＝3，得 S6＝3S3. 因为数列{an}是等比数列，且由题意知 q≠－1，所以 S3，S6－S3，S9 －S6 也成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得 S9＝7S3，所以 SS96＝73. 答案：B
题型三 等比数列前 n 项和的实际应用 [学透用活]
[典例 3] 一个热气球在第 1 min 上升了 25 m 的高度，在以后的每 1 min 里，它上升的高度都是它在前 1 min 上升高度的 80%.这个热气球 上升的高度能达到 125 m 吗？
[解] 用 an 表示热气球在第 n min 上升的高度． 由题意，得 an＋1＝80%an＝45an. 因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列. 热气球在 n min 里上升的总高度为
[答案] 70
[方法技巧] 解决有关等比数列前 n 项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前 n 项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可 以使运算简便，同时还可以避免对公比 q 的讨论．

等比数列前n项和一章节时PPT课件

等比数列前n项和一章节时PPT课件

由
a11 2,
q111, 42 2
n8, 得
S8
1 2
1
(
1 2
)8
1 1
255 256
2
例 2 . 已 知 等 比 数 列 a n 中 ， a 3 3 2 ,S 3 4 1 2 ,求 a 1 .
解：q当 1时候a1， a2 a3,此时正好有
S3
a1a2a3
41,适合题意。 2
当q
1时，依题意有aa11q(12 q233 )
2.多角度思考问题
3.注意分类讨论
4.公式的正确使用
.
Sn
na1 a1(1
q
n
)
1 q
(q 1) (q 1)
或
Sn
na1 a1
an
q
1 q
(q 1) (q 1)
8．故事结束，首尾呼应
最后我们回到故事中的问题，我们可以计 算出国王奖赏的小麦约为1.84×10^19粒， 大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太 阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是 全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑 现不了他的承诺．
变式训练一
1 、 等 比 数 列 1 ,1 ,1 , 第 四 项 到 第 八 项 的 和 ? 248
解：
a4
a1q3
1,n5 16
S '
1 (1 16
1 25
)
31
1 1
256
2
敬请指导
.
素材和资料部分来自 网络，如有帮助请下载!
所 以 S n a 1 q (S n a n )
(1q)Sna1anq
Sn
na1 a1 anq

等比数列的前n项和ppt课件

等比数列的前n项和ppt课件

等比数列前1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
判 创设情境 类比探究 断
新知应用 归纳巩固
总结提升
是
5(1 1n )
非 555 5
0
11
n个
1 2 4 8 16
(2)n1 1 (1 22nn ) （ 2）n
1 (2)
n+1
创设情境 创类设比情探境究 新知应用 深化巩固 总结提升
求和 1+ a + a2 + a3 +
解
当a 0时，原式=1+0+0+ +0=1
当a 1时， 原式=1+1+ +1=n
当a 1时，原式= 1 1 an 1 a
+ an-1.
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
一个公式
Sn
a1
na1 (q 1)
(1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
两种方法
错位相减 分类讨论
三种数学思想
类比 分类讨论 方程
作业 课本 选做1 选做2
1, 2, 22, 23, +30 S30 1 2 22 23
等比数列的前30项和
第一天给１万，每天 比前一天多给１万元，
连续一个月(30天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
, 229 229
=?
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
等比数列前n项和（一）
学习目标
1
学习 目标
2

等比数列的前n项和PPT优秀课件1

等比数列的前n项和PPT优秀课件1
注意：在用公式时要注意对公比q进行讨论
作业
1、自己动手编题：
在等比数列﹛an﹜中
（1）已知……求Sn、 a1 （2）已知……求a1、an （3）已知……求q、n
Good bay…
2、P129 习题3.5: 1 3、思考题：
（1）用等比定理推导等比数列前n项和公式
（2）用迭加法推导等比数列前n项和公式 （3）用基本问题方法推导等比数列前n项和公式
a1 a n q 1 q ( q 1) Sn na ( q 1) 1
3.运用方程思想在a1,n,q ,an,sn五个量中知三求二
公式应用
1 1 1 例1 求等比数列 , , , 2 4 8
解:
P53例1，P54例2
的前8项的和.
注:由已知条件写出 a1,q,n,an以决定用计 算sn的哪个公式
[分析]：由于每天的钱数都是前一天的２倍，共 给３０天，每天所给的钱数依次为：
1 , 2 , 2 , 2 , , 2 .
它是以１为首项公比是２的等比数列， 王勇支出的钱为:(单位：分）
2
3
29
S 30 1 2 2 2 2 .
2 3
29
复习
1.等比数列的定义
S a a a (n 2) n 1 1 2 n 1
巩固练习
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解： a 1 , q 2 , 1
4 10 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) S 15 . S 1023 . 4 10 1 2 1 2
从第5项到第10项的和:
S S 1023 15 100 . 10 4

等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)

等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)
高中数学
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？

高中数学《等比数列前n项和公式》课件

高中数学《等比数列前n项和公式》课件

反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.

人教版高中数学5等比数列前n项和 (共45张PPT)教育课件

人教版高中数学5等比数列前n项和 (共45张PPT)教育课件

（2）
a1
27,
a9
1, 243
q
0
（1） 1 ，1 ，1，~~~
248
a1
1 2
,
q
1 2
,
n
8
S8
a1(1 q8) 1 q
1
[1
（
1
8
）]
22
1 1
255 256
（2）
a1
27,
a9
1, 243
q
0
2
a9
a1 q8
1 243
27
q8
q0
q 1 3
S8
a1(1 q8) 1 q
27[1
（
1
8
项数为奇数 S奇 a1 q S偶
S偶 q S 奇 a2n1
作业
（1）若等比数列 an 中，S n 4 • 3n2 5a 则实数a=_______
(2) 已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和
为 21 ，偶数项的和为 21 ，求这个数列的通项公式
16
32
等比数列前n•项和的性质2
成等比数列
(Y X )2 X (Z Y ) Y 2 X 2 2XY XZ XY
Y 2 XY XZ X 2 Y(Y-X)=X(Z-X)
等比数列前n项和性质4
等比数列 an 中，公比为q，前n项和为 S n 任意m、p N*
Sm p Sm qm S p
首项 a1, q 1
Sm p
练习
（1）等比数列 an 中，前n项和为 S n S10 20，S20 80 S30 260
S10 20，S20 80
S10，S20 S10 , S30 S20 成等比数列

等比数列的前n项和(1)ppt课件

等比数列的前n项和(1)ppt课件
1
等比数列的定义:
an1 an
q
(q 0)
等比数列通项公式 : an a1qn1 (a1 0, q 0)
或an am qnm
等比数列的性质 : 若an是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N)
则有am an ap aq
2
国王能否满足发明者的要求？
各个格子里的麦粒数依次 是
8
例题：
例1、求下列等比数列前8项的和：
(1) 1 , 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 16 1
(2) a1 27 , a9 243 , q 0
9
课堂练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应
等比数列 an的前n项和 Sn
( 1 ) a1 3, q 2, n 6
(2)
a1
8,
(1)- (2)得 (1 x)Sn 1 x x2 xn1 nxn
(1
x)Sn
1 (1 xn ) 1 x
nxn
又x
1, 所以
Sn
1 (1
xn x)2
nxn 1 x
14
错位相减法实际上是把一个数列求 和问题转化为等比数列求和的问题.
练习、求和：Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n. 2n
12
例2.某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总 销售量达到30000台(保留到各位)?
解: 根据题意,每年的销售量比上一年 增加的百分率相同 ,
所以从第一年起 ,每年的销售量组成一个 等比数列an,
a1 5000 q 110 % 1.1 Sn 30000

等比数列前n项和(第一课时)优质课精品课件

等比数列前n项和(第一课时)优质课精品课件

,
n
6.
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
总结归纳，提炼深化
1.等比数列的前n项和公式;
na1, (n
1 q
, (q
1).
na1, (q 1)
Sn
a1
anq
1 q
, (q 1).
已知a1,q, n时
已知a1,q, an时
2.公式的推导方法：错位相减法； 3.公式的简单应用 知三求二；
S30 1 2 22 23 229.
1 (1 230 ) 230 1 1073741823分
1 2
≈1073.74万元
S 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 n
(1)a1 3, q 2, n 6;
(2) a1
8, q
1 2
,
an
1 64
(3)a1
2.7,
q
1 3
A= a b 2
Sn
Sn=
(a1 an )n 2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
G= ab
？
张明和王勇是中学同学，张明学习成绩优异，考上了重点大学。王勇虽然 很聪明，但对学习无兴趣，中学毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后 成了大款。一天，已在读博士的张明遇到了王勇，寒暄后王勇流露出对张明清 苦的不屑。表示要资助张明，张明说：“好吧，你只要在一个月30天内，第一 天给我1分钱，第二天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱，依此 类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30天。”王勇听了，立刻答应 下来心想:这太简单了。没想到不到30天，王勇就后悔不迭，不该夸下海口。 同学们，你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗？
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2.5等比数列前n项和Sn
体验：
西游记后传
哈哈，我是 CEO了……
话说猪八戒自西天取经之后，便回到了高 家庄，成立了高家庄集团，自己也摇身一变成了 CEO，但是好景不长，他的公司因为经营不善 出现了资金短缺，于是他便想向师兄孙悟空借钱 。
2
第一天出１元入１００万元； 第二天出２元入１００万元; 第三天出4元入１０0万元；……
1 2
五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知
三求二”问题.
例1求下列等比数列前8项的和:
（1）1
1 ,
1 ,
,L
;
248
（2）a1＝27，a9＝
1 243
，q
0.
例1求下列等比数列前8项的和:
（1）1 2
,
1 4
,
1 8
,L
;
（2）a1＝27，a9＝
1 ，q 243
0.
解（：2）由a1
27 , a9
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
=? T30 100 30 S30 1 2 22 23 229
3000(万元)
每天借入100万元， 连续一个月(30天)
1，2，22，…，229
第一天返还1元， 第二天返还2元， 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
以上的数列求和就是我们本节课所要学的 等比数列前n项和Sn
②
Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-1+an
①
qSn= a2+ a3 + a4+ … +an+an+1
②
① - ②得
错位相减法
(1-q)Sn= a1-an+1
当q≠1时，
当当qq==11时时，，Sann==a?1 故 Sn =na1
生成：
1、等比数列前n项和公式
Sn
na1 a1(1
1 243
,可得
1 ＝27 q8 243
,
又由q 0,可得q 1 , 3
于是当n
8时，S8
27
1
1 3
8
1
1 3
1640 81
.
练习 课本P58练习1
S 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 n
(1)a1 3, q 2, n 6;
S6
3 (1 26 ) 1 2
则 a3a8 的值为_______.
a5 2
2.(2016•新课标全国高考丙卷)已知数列{an}的 前是n等项比和数为列S并n=求1+通λa项n，公其式中；λ(≠20)若. (1S)5证= 明3321 {,a求n}λ.
【总结】
1、公式
Sn
na1 a1(1
q
n
)
1 q
a1 qan 1 q
(q 1) (q 1)
哇，发了……
猴哥,能不能帮帮 这猴子会不…会我…又……在耍我？
No problem！我每 天给你投资100万 元， 连续一个月
(30天)，但有一个 条件：
假如你是高老庄集团企划部 的高参，请你帮八戒决策．
第一天返还1元， 第二天返还2元， 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一
天的2倍．
3
【分析】
189.
1
1
(2)a1
2.7, q
3 , an
. 90
Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
2.7 1 ( 90
1 ( 1)
1) 3
91 45
3
拓展：
1.(新课程P44学业达标 3 )
一个等比数列，它的前4项和为前2项和的 2倍，则此数列的公比为_______.
变式：
已知 Sn 是等比数列{an} 的前n项和，S4=5S2,
回顾旧知： 求等差数列的前n项和 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
质疑 (1)(2)两式左右分别相这加种，方得法叫倒序Sn相加n法(a. 12 an )
q
n
)
1 q
a1 qan 1 q
(q 1) (q 1)
注意：
1.使用公式求和时，需注意对q 1和q 1
的情况加以分类讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法等。
8
2.等比数列前n项和公式的应用
帮八戒决策：
≈10.7几
S30 1 2 22 23 229
亿元
1 (1 230 ) 1073741823(元).
是否可以类比等差求和的倒序相加 法求等比数列的前n项和呢？
体验：推导过程
等比数列求和
Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-1+an
①
由 a a q.
n
n 1
构建相同项消元
①式两边同乘q，得
qSn= a1q+ a2q + a3 q+ … +an-1q+an q
= a2+ a3 + a4+ … +an+an+1
2、方法
错位相减法
13
【课后作业】
1. 课本P61：习题2.5 A组第 1、4题；
2. 求数列 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 ,L 的前n项的和.
2 4 8 16
3. 求数列
1 , 2 , 3 , 4 ,L 2 4 8 16