平方根,立方根补

For personal use only in study and research; not for commercial use6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。

即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。

即有a x ±=，（0≥a ）。

（2）平方根的性质：（3）注意事项： a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。

（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。

它与平方互为逆运算。

3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。

即有a x ±=，（0≥a ）。

其中a x =叫做a 的算术平方根。

（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。

4.几种重要的运算： ① b a ab ∙=()0,0>>b a , ab b a =∙()0,0>>b a② b a b a =)0,0(>≥b a , b a ba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()b a b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。

即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。

即有3a x =。

（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。

6.几个重要公式：③ 333b a ab ∙= , 333ab b a =∙ 333b a b a = )0(≠b , 333b a b a = )0(≠b ④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（ 第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。

第12章数的开方§12.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。

2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。

它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。

二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。

2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a≥0。

三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a）即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。

其中a叫做被开方数。

∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。

四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。

其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。

五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。

（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。

2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正； （2）一个负数的立方根为负； （3）零的立方根是零。

3、立方根的记号：3a （读作：三次根号a ），a 称为被开方数，“3”称为根指数。

3a 中的被开方数a 的取值范围是：a 为全体实数。

六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。

七、注意事项：1、“±a ”、“a ”、“3a ”的实质意义：“±a ”→问：哪个数的平方是a ； “a ”→问：哪个非负数的平方是a ； “3a ”→问：哪个数的立方是a 。

2、注意a 和3a 中的a 的取值范围的应用。

如：若3-x 有意义，则x 取值范围是 。

平方根立方根计算题50道计算题一、平方根计算题（25道）1. √(4)- 解析：因为2^2 = 4，所以√(4)=2。

2. √(9)- 解析：由于3^2 = 9，所以√(9)=3。

3. √(16)- 解析：4^2 = 16，则√(16)=4。

4. √(25)- 解析：因为5^2 = 25，所以√(25)=5。

5. √(36)- 解析：6^2 = 36，故√(36)=6。

6. √(49)- 解析：7^2 = 49，所以√(49)=7。

7. √(64)- 解析：8^2 = 64，则√(64)=8。

8. √(81)- 解析：9^2 = 81，所以√(81)=9。

9. √(100)- 解析：10^2 = 100，故√(100)=10。

10. √(121)- 解析：11^2 = 121，所以√(121)=11。

11. √(144)- 解析：12^2 = 144，则√(144)=12。

12. √(169)- 解析：13^2 = 169，所以√(169)=13。

13. √(196)- 解析：14^2 = 196，故√(196)=14。

14. √(225)- 解析：15^2 = 225，所以√(225)=15。

15. √(0.04)- 解析：0.2^2 = 0.04，所以√(0.04)=0.2。

16. √(0.09)- 解析：0.3^2 = 0.09，则√(0.09)=0.3。

17. √(0.16)- 解析：0.4^2 = 0.16，所以√(0.16)=0.4。

18. √(0.25)- 解析：0.5^2 = 0.25，故√(0.25)=0.5。

19. √(1frac{9){16}}- 解析：先将带分数化为假分数，1(9)/(16)=(25)/(16)，因为((5)/(4))^2=(25)/(16)，所以√(1frac{9){16}}=(5)/(4)。

20. √(2frac{1){4}}- 解析：把带分数化为假分数，2(1)/(4)=(9)/(4)，由于((3)/(2))^2=(9)/(4)，所以√(2frac{1){4}}=(3)/(2)。

实数立方根知识讲解一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.补充：一个数aa是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.补充：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.三、立方根的性质==a=；3a补充：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6，660.五、平方根与立方根的联系典例讲解例1、下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1D=【答案】D ；【解析】64的立方根是4；12-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1. 课堂巩固1.下列说法正确的是（ ）A ．一个数的立方根有两个B ．一个非零数与它的立方根同号C ．若一个数有立方根，则它就有平方根D ．一个数的立方根是非负数 【答案】B ；提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.2.下列说法正确的是（ ） A ．﹣4的立方是64 B ． 0.1的立方根是0.001 C ． 4的算术平方根是16 D ．9的平方根是±3【答案】D.例2．（1）下列运算中错误的有（）＝4±4=4=-4=；⑤4=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【详解】44=4=，④不符合题意，⑤2=±，⑤符合题意，（2）64的立方根是（） A ．4 B ．8C ．8±D ．2【答案】A【详解】∵4的立方是64，∴64的立方根是4课堂巩固1.求下列各式的值： （1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案】解：（1） （2（3）43===91=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）=331=1-++（5）3=21247=1=33÷++ 2的平方根为_____． 【答案】±2【详解】∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．4的平方根是±2，故答案为±2．例3比计较下列各数的大小（1（2）与-3.4 （343【答案】（12）<-3.4 （3<43【详解】（1）32=82<=>>（2）342 3.476 3.4, 3.4≈><-（3）()3334646442=2=,2,327273⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 课堂巩固1.估算31的立方根在两个整数之间. 【答案】4和52.比较22<<3.比较【答案】< 【答案】例4求下列各式中x 的值（1）()318x -=（2）8(x －1)3＝－1258（3）33388x -= ．【答案】（1）3x =； （2）x ＝－14；（2）x=3.【详解】（1）()318x -=；12x -=；3x =；（2）()3125164x -=-；514x -=-；514x =-；14x =- （3）x3﹣24＝3；x3＝27；∴x ＝3 课堂巩固1．求满足下列条件的x 的值：（1）()3231250x -+=（2）32(1)540x --=(3)(x ﹣1)3=﹣125.（4）2（x ﹣1）3+16＝0 （5）327640x +=（6）12（x+3）3＝4【答案】（1）1x =-；（2）x=4；（3）x=﹣4；（4）x ＝﹣1；（5）43x =-；（6）x ＝﹣1．【详解】 （1）∵()3231250x -+=，∴()323125x -=-，∴235x -=-；解得：x ＝−1．（2）32(1)540x --=；32(1)=54x -；3(1)=27x -；1=3x -；=4x ．（3）x ﹣1=﹣5，x=﹣4．（4）2（x ﹣1）3+16＝0；则（x ﹣1）3＝﹣8；故x ﹣1＝﹣2；解得：x ＝﹣1．（5）327640x +=；32764x =-；364x =-；36427x =-；43x =- （6）方程的两边都乘以2，得（x+3）3＝8，∴x+3＝2．∴x ＝﹣1．例5 1.已知x+122x+y﹣6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【答案】（1）x=1，y=12；（2）±6．【详解】（1）∵x+122x+y﹣6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y﹣6=23=8，∴x=1，y=12（2）解：当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6．2.已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－9的立方根是2，c整数部分，求a＋b＋c的平方根．【答案】±3【详解】解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又∵2＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根为±3．点睛：此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．课堂巩固12的平方根是a ，﹣125的立方根是b ，则a ﹣b 的值是（ ） A ．0或10 B ．0或﹣10 C ．±10 D ．0【答案】A【详解】2＝25，∴25的平方根是±5，﹣125的立方根是﹣5，∴a ＝±5，b ＝﹣5，当a ＝5时，原式＝5﹣（﹣5）＝10，当a ＝﹣5时，原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0， 20=，则m+n=________． 【答案】10+=；∴37340m-+n +=；∴1m+n= 【点睛】立方根的值互为相反数，被开方数互为相反数．3．若x y +是4的平方根，x y -的立方根是2-，则22x y -=___________ 【答案】16或16-【详解】x y +是4的平方根，2x y ∴+=或2,x y +=-x y -的立方根是2-，∴8,x y -=-当2,8x y x y +=⎧⎨-=-⎩22()()16,x y x y x y ∴-=+-=-当2,8x y x y +=-⎧⎨-=-⎩22()()16,x y x y x y ∴-=+-=综上：2216.x y -=±故答案为：16或16-．4．已知一个数的平方根是3a+1和a+11，求这个数的立方根是______． 【答案】4【详解】由已知得，3a+1+a+11=0，解得a=-3，所以3a+1=-8，a+11=8，所以，这个数是64，它的立方根是4．故答案是：4. 5．已知某正数的两个平方根分别是a+3和5﹣3a，（1）求这个正数；（2）若b的立方根是2，求b﹣a的算术平方根．【答案】（1）49；（2）2．【详解】（1）根据题意知a+3+5﹣3a＝0，解得：a＝4，所以这个数为（a+3）2＝72＝49；（2）根据题意知b＝8＝2．例6据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由33==__________位数；101000,1001000000（2）由19683 个位数是3________________；（3）如果划去19683 后面的三位数683 得到数19 ，而33==___________；28,327（4）用上述方法确定110592 的立方根是_______________．【答案】两7248【分析】（1）由19683大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是2位数；（2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；，即可确定答案；（3）运用数立方的计算方法计算即可；（4）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然再确定十位数即可解答．【详解】解：（1）∵1000<19683<1000000，∴是两位数；故答案为：两；（2）∵一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数7；故答案为7；（3）∵8<19<27，∴的十位上的数是2，故答案为2；（4）∵观察发现：只有8的立方的个位数为2为8又∵64＜110＜1254；故答案为48．【点睛】当被开方数的小数点向右或向左每移动3位，立方根的小数点就向右或向左移动一位课堂巩固1________．【答案】7.94=10×0.794=7.94.故答案为：7.94.2≈≈≈________________1.507【答案】0.06993≈≈≈0.06993，1.507故答案为：0.06993．3．观察下列计算过程，猜想立方根.31=1 32=8 33=27 34=64 35=125 36=216 37=343 38=512 39=729（1）小明是这样试求出19683的立方根的，先估计19683的立方根的个位数, 猜想它的个位数为, 又由320<19000< 330，猜想19683的立方根十位数为，验证得19683的立方根是 . （2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：= = .【答案】（1）7，2，27；（2）49，-72，0.81【详解】（1）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27（2）①估计117649的立方根的个位数为9，又由403＜117649＜503=49；②估计373248的立方根的个位数为2，又由603＜373248＜703；③估计0.531441的立方根的个位数为，又由0.83＜0.531441＜0.93=0.81 .4．阅读下列材料：33=331059319100,<<39729,<<，则3594==________．39【答案】54【详解】33=33<<3464,10157464100,=，故答案为54.51576<<54课后提升一、单选题1．下列说法：①负数和0没有平方根；②所有的实数都存在立方根；③正数的绝对值等于它本身；④相反数等于本身的数有无数个．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】①0有平方根，故错误；②所有的实数都存在立方根，故正确；③正数的绝对值等于它本身，故正确；④相反数等于本身的数有1个，故错误；2．下列结论正确的是（）A ．1535-÷=B ．3=±C 2=-D ．()()2233-=+ 【答案】D3．下列说法错误的是（ ）A ．2±B ．64的算术平方根是4CD 0≥，则x ＝1【答案】B二、填空题4．计算()03π-=__________． 【答案】2-5．若x ＜0____________．【答案】0【详解】∵x ＜00x x =-+=，故答案为：0．635.12=0.3512=-，则x =_____________．【答案】－0.0433【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－” ∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”7．已知368.8=4.098，，则______________.【答案】19.028 1.463≈ 4.626≈0.5981≈.289≈，若46.26≈，则x =_______ 5.981≈-，则y =_______．【答案】2140-214三、解答题9．已知2a －1的平方根是±3，b －1的立方根是2，求a-b 的值．【答案】4a b -=-．【详解】因为9的平方根是3±，8的立方根是2所以21918a b -=⎧⎨-=⎩；解得59a b =⎧⎨=⎩；则594a b -=-=-． 10．已知 2a ﹣1 的平方根是±3，b ﹣3 的立方根是 2的值．【答案】6．【详解】解：∵2a ﹣1的平方根是±3，∴2a ﹣1=9，∴a=5，∵b ﹣3的立方根是2，∴b ﹣3=8，∴b=11．故答案为：6．11．已知2a －1的算术平方根是3，3a ＋b ＋4的立方根是2，求a －b 的平方根．【答案】a －b 的平方根是±4.【详解】∵2a －1的算术平方根是3，3a ＋b ＋4的立方根是2，∴2a －1＝9，3a ＋b ＋4＝8，解得a ＝5，b ＝－11，∴a －b ＝16，∴a －b 的平方根是±4.12．解方程（1）2（x-1）2= 128 （2）(x-4)3 = -216（3）225640-=x ；（4）3343(3)270x ++=（5）24810x -=（6）()3164x -= 【答案】（1）x=9或x=-7; ( 2 ) x= -2；（3）85x =±;（4）337x =-；（5）92x =或92x =-；（6）5x = 【详解】(1)22(1)1?28x -=，2(1)64x -=，18x -=±， 18x -=或18x -=-，9x =或7x =-；(2)3(4)? 216x -=-， 4? 6x -=-， 2x =-． （3）225640-=x ;解:225=64x ,264=25x ,85x =±; （4）3343(3)270x ++=．解: 3343(3)27x +=-,327(3)343x -+=,337x +=-,337x =-. （5）解：2481x =；2814x =；解得92x =或92x =- （6）解：()3164x -=；14x -=；解得5x = 13a b的值. 【答案】32＝0，2a －1＝3b －1， 2a ＝3b ，∴a b =32. 14是48的立方根，求1mn +的平方根．【答案】±4【详解】由题意得24228n m m -+=⎧⎨+=⎩解得：35m n =⎧⎨=⎩∴1mn +=3×5+1=16 ∴1mn +的平方根是±4；故答案为：±415．（1）已知，图1正方体的棱长为a ，体积是50，求正方体的棱长a ；（2）已知，图2是由16个边长为1的小正方形组成的大正方形，图中阴影部分也是一个正方形，求阴影部分正方形的边长b ．【答案】（1（2【详解】解：（1）350a =，a ∴=（2）由題意可知，大正方形的面积是由阴影部分的面积和四个真角三角形的面积组成的，4416S =⨯=大正方形，133122S =⨯⨯=小三角形， ∴=4S S S -阴影大正方形小三角形23=16410=2b -⨯=，b ∴= 16．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．（1）求出这个魔方的棱长．（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD ，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD 放到数轴上，如图2，使得A 与1-重合，点E 与1重合，点F 与点D 关于E 点对称，那么D 在数轴上表示的数为__________；点F 在数轴上表示的数为__________．【答案】（1）4；（2）8，（3）1--，3+．【详解】（14=，∴这个魔方棱长为4．（2）∵魔方棱长为4，∴小立方体棱长为2，∴阴影部分面积为：1⨯⨯⨯==8，边长是22482（3）D在数轴上表示的数是1--F表示为++=+123。

1.3.1．平方根与立方根〇. 第六种数学运算——开方一级运算: 加法与减法互为逆运算二级运算: 乘法与除法互为逆运算三级运算: 乘方与开方互为逆运算例 x 2=16,x =? 面积为5的正方形边长是几？∵42=(-4)2=16, ∴x =±4. 不再唯一.y 2=5,y =? 引进符号,是字母r(根号的开头字母)的变形,y =±5. 一. 平方根与算术平方根1. 定义例 区分平方根与算术平方根:16的平方根是 ±4 ,16的算术平方根是 2 .2. 性质例 下列结论正确的是( A ). A.6)6(2-=-- B.9)3(2=- C.16)16(2±=- D.25)25(2=--3. 算术平方根的求法例 直接写出结果：2≈ 1.414 (计算器),1691201= 1317 (观察心算) 300在整数 17与18 之间. (估算)5．4的平方根是;x2的算术平方根是.6. 如果一个数的绝对值和平方根都是本身,则这个数是 .7．a的两个平方根是方程 3x+2y＝2的一组解,则a3的算术平方根是.8. 若x2=(-3)2,y3=(-3)3,则x-y的算术平方根是.9. 30的平方根在两个连续整数a和a+1之间,那么a＝.10. 一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是.二. 有关算术平方根的问题1. 小数位置例若a=1.23,，则a10000+a.0= 123.123 .01规律: 被开方数的小数点每移动两位,所得的算术平方根的小数点相应地移动一位.2. 最小整数例a2000是个整数,那么最小的正整数a是 5 .3. 整数部分[a]: a-1<[a]≤a. 小数部分{a}: {a}= a-[a] ={a+整数}例若4+7的小数部分是a,4-7的小数部分是b，则a b=a+b 的值是 1 .解：7≈2.646,[4+7]=6,[4-7]=1.1. 已知34.12＝a,4.123＝b.则0001234.0＝ .1310234.1⨯＝ .2. 已知:a 2＝72.27,b 2＝7.227,则用a,b 表示72270000＝ ;0007227.0＝ .3. a 1962是整数,正整数a 的最小值是 .4. 若5+1的小数部分为a,5-1的小数部分为b,则a+b ＝ .5. 如果x 与y 为正整数,分别用a,b 表示x+y 与 x-y 的小数部分,求a+b 的值.三. 立方根1. 定义 33a x a x =⇔=. 33a a -=-.非负数的非负立方根叫做算术立方根.2. 性质 任何数有且只有一个立方根.例 -0.125的平方的立方根是 0.25 ;0.25的立方的平方根是 ±0.125 .3. 求法 ① 观察法，② 计算器法.例 计算: 3833= 23 ;3728.1= 1.2 ;31683-= 25- ;3333543++= 6 .1. -3.375的立方根是 ; 31331-3343= ; 332717-= . 2. 若x 3+0.064=0,则x = ;若2x 3+54=0,则x = .若(3x+2)3-64=0,则x = ;若3(2-x)3=81,则x = .3. 已知x 是30的算术平方根的整数部分,则(x-1)2(x-5)+27的立方根是 . 已知x 是30的平方根的整数部分,则(x-1)2(x-5)+27的立方根是4. 若5是2a+b 的一个平方根,3是a+2b+1的立方根,求与a+b 的立方根最接近的整数.5. 利用计算器可求2≈1.414,32≈1.260,根据这一结果填空:200≈ ,02.0≈ ;32000≈ , 3002.0≈ . 你发现小数点的移动有什么规律了吗?6. 观察下列等式:33722722⋅=, 3326332633⋅=, 3363446344⋅=,…,写出一般规律.四*. n 次方根1. 奇次方根 任何数(正数、零、负数)有且只有一个奇次方根: 12-k a (k 为正整数).2. 偶次方根① 正数的偶次方根有两个,它们互为相反数: k k a x a a x 22)0(±=⇔>=(k 为正整数).② 零的偶次方根是零;③ 负数没有偶次方根;3. 算术根 非负数的非负n 次方根叫做算术根.(双重非负数) 例 判断: 正数a 的n 次方根叫a 的n 次算术根.( × )n a 表示a 的n 次方根.( × )4. 开方运算① 开方运算是乘方运算的逆运算;② 任何实数开奇次方,结果唯一;③ 只有非负数才能开偶次方,结果不唯一.例 1024的的5次方根是 4 ,1024的10次方根是 ±2 ;55)2(-= -2 ; 1010)2(-= 2 .若(x-1)6-729=0,则x = 4或-2 .1. 判断:① 16的4次方根是2. ( ) ② 16的4次算术根是2. ( ) ③ 2是16的4次方根. ( ) ④ -243的5次算术根是3.( )2．下列命题中真命题是( ).A. 任何实数可以开n 次方B. a n 的n 次方根就是aC. n a 表示a 的n 次方根D. 非负数的非负n 次方根叫做算术根.3. (-4)4 的4次方根是 . 1024·(-2)14的6次算术根是 .4. 已知M =n m m -+2是m+2的立方根,N =n m n +-2是n-2的9次方根,则M-N 的值是 .5. 求x: ①16154=-x ,x = . ② 01024.0)1(5=-x ,x = . 6*．设997x 3＝998y 3＝999z 3＞0,且3333222999998997999998997++=++z y x ,求x,y,z 的倒数和.。

6.1 平方根、立方根（一）平方根一、教材分析本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。

这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。

二、学情分析上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。

三、教学目标1、掌握平方根及算术平方根的概念。

2、能及时通过平方运算求一个非负数的平方根及算术平方根。

3、培养学生观察问题和概括问题的能力。

四、教学重点、难点1、教学重点：平方根和算术平方根的概念和性质。

2、教学难点：平方根与算术平方根的区别与联系。

五、教法设计根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。

六、教学过程㈠创设情境，导入新课洋洋在玩“七巧板”时，不小心把“七巧板”里面的正方形丢了，爸爸决定自己做一个和原来一样的正方形．但现在只知道正方形的面积是25平方厘米，问爸爸能否完成这个任务?(学生探讨，回答问题)㈡观察概括由正方形的面积容易得到其边长为5厘米，故爸爸要完成任务只需做一个边长为5厘米的正方形即可．由此引入平方根的意义。

1、平方根：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根。

问题：25的平方根只有一个吗?(学生回答问题，引导发现一个正数的平方根有2个，且互为相反数)2、 试一试：(1) 144的平方根是多少?(2) 0的平方根是多少? (3) 254的平方根是多少? (4) －4有没有平方根?为什么?(请学生自己也编3道题目，同桌交换解答，你发现了什么?)通过“试一试”让学生自己发现结论，教师再加以总结。

概括：（1） 一个正数有两个平方根，且互为相反数；（2） 零只有一个平方根；（3） 负数没有平方根。

七年级数学下册实数--平方根【知识点总结】1.乘方:“n a ”.乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次方或a 的n 次幂.2.平方:“2a ”，读作a 的平方或a 的二次方.3.平方的性质:任何数的平方都是；算术平方根概念：一般地，如果等于a ，那么这个数叫做a 的，也就是说，如果x 2=a ，（x>0）那么x 叫做a 的算术平方根.则a x =算术平方根性质：(1)非负性:(2)个数性质：的算术平方根据都只有一个;(3)还原性质：当0≥a 时，2)(a =，即非负数算术平方根的平方等于该非负数完全平方数：能够完全开方开的尽的数。

如1,4,9,16，...平方根概念：一般地,如果等于a ，那么这个数叫做a 的，也就是说，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根.则=x 开平方：求一个数．．．a 的平方根的运算．．．．．．．叫做开平方.即求a ±的运算叫开平方. 表示方法：一个正数a 的平方根表示为a ±；若x 2=a (a >0)则x=a ±。

平方根的性质：(1)个数性质：(2)还原性质：（由定义得出）当a ≥0时(a ±)2=,即：非负数的平方根的平方等于该数【经典例题】【例1】计算：12=；22=；32=；42=；52=；62=；72=；82=；92=；112=；122=；132=；142=；152=；162=；172=；182=；192=；2≈；3≈；5≈；6≈；7≈；10≈【例2】求下列各式的值：（1）144（2）-36121（3）±00001.（4）214116+ 【例3】判断下列语句是否正确，正确的打“√”，错误的画“×”，并将错误改正。

（1）7是()-72的算术平方根；（）（2）-25的平方根是±5；（） （3）36等于±6；（）（4）16的平方根是±2；（）（5）6是()-62的平方根；（）（6）10是10的一个平方根；（）（7）正数的平方比它的算术平方根大。