平方根与立方根

平方根与立方根在数学中，平方根和立方根是两个常见的运算符号。

它们分别表示一个数的平方和立方的根。

平方根表示一个数的二次方根，而立方根则表示一个数的三次方根。

平方根和立方根的概念在解决数学问题和实际应用中都有着广泛的应用。

一、平方根平方根是指一个数的二次方根，通常用符号√来表示。

对于一个非负数x，其平方根为正的实数y，满足y^2 = x。

平方根可以通过计算或者近似的方法来求解。

1.计算方法计算平方根的方法有很多种，其中最常见的方法有以下几种。

（1）二分法：该方法通过猜测一个数的平方根，然后逐步逼近最终结果。

首先确定一个上下界，然后根据猜测的平方根和实际值的大小关系进行二分查找，最终得到较为准确的结果。

（2）牛顿法：牛顿法是一种迭代的方法，利用函数的斜率来逐步逼近平方根的值。

首先选择一个初始值，然后通过迭代计算来逼近平方根。

（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解平方根。

例如对于完全平方数，它的平方根就是这个数的整数解。

2.近似值除了精确计算平方根，我们还可以使用近似值来表示平方根。

例如在科学计算中，经常使用的近似值是保留2位小数的平方根。

例如，√2的近似值为1.41，√3的近似值为1.73。

二、立方根立方根是指一个数的三次方根，通常用符号∛来表示。

对于一个实数x，其立方根为实数y，满足y^3 = x。

立方根和平方根类似，可以通过计算或者近似的方法来求解。

1.计算方法计算立方根的方法与计算平方根类似，有多种常见的方法可以使用。

（1）二分法：通过猜测一个数的立方根，然后利用二分查找来逼近最终结果。

（2）牛顿法：利用函数的导数和斜率来迭代逼近立方根的值。

（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解立方根。

2.近似值立方根的近似值也可以使用在实际计算中。

例如在物理学中，常用的近似值是保留3位小数的立方根。

例如，∛2的近似值为1.26，∛3的近似值为1.44。

总结：平方根和立方根是数学中常见的运算符号，它们表示一个数的二次方根和三次方根。

平方根和立方根的计算和性质平方根和立方根是数学中的重要概念，它们的计算方法和性质对于数学运算和实际问题解决都具有重要意义。

本文将介绍平方根和立方根的计算方法，探讨它们的数学性质，并通过例题说明它们在实际应用中的作用。

一、平方根的计算和性质平方根是指一个数的二次方等于该数的非负实数。

平方根的计算可以通过开平方的方法得出。

在计算一个数的平方根时，可以利用求解方程的方法来进行计算。

设要求解的数为x，那么它的平方根即为满足方程x^2 = a的解。

根据方程的性质，我们可以得到平方根的计算公式：x = √a其中，√a表示a的平方根。

具体计算时，可以借助计算器等工具，或者利用牛顿迭代法逼近求解。

平方根具有一些重要的性质。

首先，平方根的值永远是非负的。

也就是说，对于任意的正数a，它的平方根√a总是大于等于0的。

而对于负数，其平方根则不存在于实数范围内。

其次，平方根满足数学上的运算规律。

如果a和b分别是两个非负实数，那么它们的平方根满足以下运算性质：（1）√(a*b) = √a * √b（2）√(a/b) = √a / √b （b ≠ 0）这些性质在实际问题的计算中十分有用，可以简化运算步骤，提高计算效率。

二、立方根的计算和性质立方根是指一个数的三次方等于该数的实数。

与平方根类似，立方根的计算也可以通过开立方的方法得出。

计算一个数的立方根时，可以利用求解方程的方法进行计算。

设要求解的数为x，那么它的立方根即为满足方程x^3 = a的解。

根据方程的性质，我们可以得到立方根的计算公式：x = ∛a其中，∛a表示a的立方根。

类似地，具体计算时可以借助工具或者迭代法进行逼近求解。

立方根也具有一些重要的性质。

与平方根类似，立方根的值可以为正数或者负数。

而在实际应用中，通常我们只考虑实数范围内的立方根。

此外，立方根满足一些运算规律。

如果a和b分别是两个实数，那么它们的立方根满足以下运算性质：（1）∛(a*b) = ∛a * ∛b（2）∛(a/b) = ∛a / ∛b （b ≠ 0）同样地，这些性质可以简化计算步骤，提高计算效率。

平方根和立方根平方根和立方根是数学中常见的运算方法，用于求得一个数的平方根和立方根。

在代数学中，平方根表示一个数的二次方根，即一个数的平方根记作√x，其中x是被开方的数。

同样地，在代数学中，立方根表示一个数的三次方根，即一个数的立方根记作∛x，其中x是被求立方根的数。

平方根平方根是数学中常见的运算，用于求一个数的二次方根。

对于正实数x，其平方根可以通过不断逼近得到。

实际上，平方根也可以是复数。

数学上有多种方法来求得一个数的平方根。

其中，常见的方法有牛顿迭代法、试位法和二分法等。

例如，我们可以使用牛顿迭代法来求平方根，具体步骤如下：1. 设初始猜测值x0。

2. 根据公式xn+1 = xn - (f(xn) / f'(xn))，依次迭代求得下一个近似值。

3. 当所得近似值与前一个值之差小于给定误差时，迭代结束。

对于一些简单的数，我们可以使用手算的方法来求平方根。

例如，对于完全平方数，其平方根是一个整数。

而对于非完全平方数，可以通过列竖式的方式逼近求解。

立方根立方根是数学中常见的运算，用于求一个数的三次方根。

对于正实数x，其立方根可以通过不断逼近得到。

求一个数的立方根可以使用牛顿迭代法、二分法等数值计算方法。

与求平方根类似，我们可以使用牛顿迭代法来求立方根，具体步骤如下：1. 设初始猜测值x0。

2. 根据公式xn+1 = xn - (f(xn) / f'(xn))，依次迭代求得下一个近似值。

3. 当所得近似值与前一个值之差小于给定误差时，迭代结束。

与求平方根类似，对于一些简单的数，我们可以使用手算的方法来求立方根。

例如，对于完全立方数，其立方根是一个整数。

而对于非完全立方数，可以通过列竖式的方式逼近求解。

总结平方根和立方根是常见的数学运算方法，用于求得一个数的平方根和立方根。

在实际应用中，我们可以利用数值计算方法来求解，如牛顿迭代法、二分法等。

同时，我们也可以使用手算的方法来逼近求解，特别是对于一些特殊的数。

平方根与立方根之间的区别与联系平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误，为此，笔者将其区别与联系小结如下。

一、两者的区别1、定义不同平方根：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根立方根：如果a x =3 ，那么x 叫做a 的立方根2、表示方法不同正数a 的平方根记为a ±，数a 的立方根记为3a 。

表示平方根时，根指数2一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了。

3、读法不同正数a 的平方根记为a ± ，读作“正、负根号 a ”。

3a 读作“ 三次根号a 或a的立方根”。

4、被开方数的取值范围不同 在平方根a ±中，被开方数a 是非负数，即 0≥a 。

但在3a 中，a 可以是任意的数。

5、根的个数不同一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。

任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0。

二、二者的联系求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算。

三、应用举例例1、 求下列各式的值（1）1211- （2） 16.0± （3） 32764- （4）3216125 解：（1）1111211,1211)111(2-=-∴= （2）4.016.0,16.0)4.0(2=±∴=±（3）342764,2764)34(33-=-∴-=- （4）65216125,216125)65(33=∴= 例2、 求下列各式中的x（1）48)43)(43(=-+x x（2）343)35(3=-x解：（1）481692=-x 即9642=x 38964±=±=∴x （2）734335,343)35(33==-∴=-x x 即2,105=∴=x x。

第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。

2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。

②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。

③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。

④写法不同。

在( a) 2中，指数 2 在根号的外面；而在a2中，⑤运算结果不同：(a)2＝a(a≥0) ； a ＝| a|＝a，a≥0，－a，a<0.（2） 联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算。

②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有 （ a ）2＝ a 2 。

3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42． （2014 。

东营 ） 的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港） 计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。

厦门） 4 的算术平方根是（ A ． 16 B ．5．下列计算中，正确的是（ 典型题精选）C ．的结果是（±9 C ． C ． D ．D ．9﹣9 D ． ﹣2 D ． ±2 3 2 6 A.a · a =a B. ( π -3.14 )o =1 C. (13)1) 2C ．( ab ) 3 D. 93 6.（2014 年湖北荆门 ）下列运算正确的是 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 7. 下列说法错误的是（ ） A ．5是 25 的算术平方根 C ．（－4）2 的平方根是－ 4 8．如果 x 是 0.01的算术平方根，则 A ． 0.000 1 C ．0.1 9.下 列说法中，正确的是（ ） A. 一个有理数的平 方根有两个，B. 一个有理数的 立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－ 10. 下列各式中，无意义的是（ ） x ＝（ B ． D ． 36 =a b D ．a 6 2 ÷a =a A. 32 B ．1 是 1 的一个平方根D ．0 的平方根与算术平方根都是 ）±0.000 1±0.1 它们互为相反数 1， 0，1 B. 3 ( 3)3 C. ( 3)2 D. 10 3 绝对值与算术平方根的非负性）11. 若 a,b 为实数，且满足 |a －2|+ b 2 =0，则 b －a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．－ 2D ．以上都不对平方与算术平方根的非负性）12.（2014·福州） 若（m-1）2+ n 2 ＝0，则 m ＋ n 的值是（ A ．－ 1 B ． 0 C ．1 13. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的D ．2x 错误！未找到引用源。

【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。

（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，=50。

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

平方根和立方根专题(比较难) 平方根和立方根知识归纳】1.平方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术平方根，记为$\sqrt{x}$。

规定，$\sqrt{1}=1$。

2）一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；只有1个平方根，它是本身；负数没有实数平方根。

3）两个公式：a）$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；b）$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。

2.立方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术立方根，记为$\sqrt[3]{x}$。

2）一个正数的立方根有1个，负数有1个立方根。

3）立方根的性质：a）$\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$；b）$a^3=(\sqrt[3]{a})^3$。

4.已知某数有两个平方根分别是$a+3$与$2a-15$，求这个数。

设这个数为$x$，则有$(a+3)^2=x$，$2a-15$也是$x$的平方根，因此$(2a-15)^2=x$。

解得$a=7$，$x=64$。

5.已知：$2m+2$的平方根是$\pm4$，$3m+n+1$的平方根是$\pm5$，求$m+2n$的值。

由题意可列出方程组：begin{cases}sqrt{2m+2}=4\\sqrt{3m+n+1}=5end{cases}$解得$m=6$，$n=13$，因此$m+2n=32$。

6.已知$a<0$，$b<0$，求$4a^2+12ab+9b^2$的算术平方根。

4a^2+12ab+9b^2=(2a+3b)^2$，因此算术平方根为$|2a+3b|$。

7.甲乙二人计算$a+1-2a+a^2$的值，当$a=3$的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：$a+1-2a+a^2=a+(1-a)^2=a+1-a=1$。

乙的解答：$a+1-2a+a^2=a+(a-1)^2=a+a-1=2a-1=5$。

哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？乙的解答是正确的。

数学知识点平方根与立方根的计算平方根和立方根是数学中经常使用的概念，它们在计算和解决实际问题中起着重要的作用。

本文将介绍平方根和立方根的计算方法及其应用。

一、平方根的计算平方根是指一个数的平方等于该数的非负数根。

平方根的计算可以通过手动计算或使用计算器来完成。

1. 手动计算手动计算平方根可以使用牛顿迭代法、二分法等方法，但在实际应用中，最常用的是开方公式。

对于给定的非负实数x，它的平方根可表示为√x。

若x的平方根为a，则有a^2 = x。

因此，求平方根可以转化为求解方程a^2 - x = 0。

根据求解一元二次方程的公式，平方根可以表示为：a = ±√x其中，±表示两个相反的解，正数根和负数根。

在实际应用中，通常我们只考虑正数根。

2. 使用计算器对于较复杂的平方根计算，我们可以使用计算器来得到准确的结果。

大多数科学计算器和计算机的计算软件都提供了平方根计算的功能。

只需输入待计算的数值，并按下平方根按钮，即可得到结果。

二、立方根的计算立方根是指一个数的立方等于该数的非负数根。

立方根的计算可以通过手动计算或使用计算器来完成。

1. 手动计算手动计算立方根可以使用牛顿迭代法、二分法等方法，但在实际应用中，最常用的是开方公式。

对于给定的实数x，它的立方根可表示为³√x。

若x的立方根为a，则有a^3 = x。

因此，求立方根可以转化为求解方程a^3 - x = 0。

根据求解一元三次方程的公式，立方根可以表示为：a = x^(1/3)其中，^(1/3)表示计算x的1/3次方，并得到结果。

2. 使用计算器对于较复杂的立方根计算，我们可以使用计算器来得到准确的结果。

大多数科学计算器和计算机的计算软件都提供了立方根计算的功能。

只需输入待计算的数值，并按下立方根按钮，即可得到结果。

三、平方根与立方根的应用平方根和立方根的应用非常广泛，在数学、物理学、工程学等领域都有重要的作用。

1. 几何学中的应用平方根和立方根在几何学中经常用于计算长度、面积和体积。

平方根和立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

注意：这样的数常常有两个。

2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。

(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。

3.平方根的表示方法: 正数a的平方根表示为―±‖4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。

记作。

0的平方根0,也叫做0的算术平方根。

5.≥0（当a<0时, 无意义）。

到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。

6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。

二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2.表示的正数a的算术平方根。

蕴含条件a≥0。

三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121(2)0.0049(3)(4)4(5)|a|2解: (1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即±=±11, =11。

(2)∵(±0.07)2=0.0049∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。

(3)∵(±)2=∴的平方根是±,算术平方根是,即±=±,=。

(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(±)2=∴4的平方根为±，算术平方根为。

即,±。

(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。

∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。

说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。

例2. 求下列各式的值:解: (1)3=3×=(2)±=±(3)=8(4)±=±(5)-(带分数要先化成假分数)(6)3×=3×7=21(7)(8)×0.6+×0.9=0.3+0.3=0.6(9)(a<b)=∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。