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19.1.2 一次函数的图象与性质一、教材分析《人教版八年级数学下册》第19章是关于一次函数的内容，本节课主要介绍了一次函数的图象与性质。
通过本节课的学习，学生将会掌握一次函数的图象特点以及对应的性质，培养学生对一次函数图象的观察和描述能力，同时提高学生解决实际问题的能力。
二、教学目标1.知识目标：–了解一次函数的定义和特点。
–掌握一次函数的图象特征。
–理解一次函数图象的斜率与函数的性质之间的关系。
2.能力目标：–能够绘制一次函数的图象。
–能够根据一次函数的图象确定相应函数的性质。
3.情感目标：–培养学生对数学的兴趣和学习的主动性。
–培养学生观察和分析问题的能力。
三、教学重点1.理解一次函数的图象特征。
2.掌握一次函数图象的斜率与函数性质的关系。
四、教学内容与步骤1. 一次函数的定义与特点（10分钟）•引入：通过一个例子引出一次函数的定义和特点。
小明去超市买东西，他购买的商品数量与总价之间存在一定的关系，我们用函数来表示这个关系。
假设每个商品的价格是5元，小明购买的商品数量用x表示，总价用y表示。
那么，这个关系可以表示为：y = 5x。
这就是一个一次函数。
•定义：一次函数（线性函数）是指函数的自变量和因变量之间存在一个一次关系的函数。
•特点：–一次函数的图象是一条直线。
–一次函数的定义域是所有实数。
–一次函数的值域也是所有实数。
2. 一次函数图象的斜率与函数性质的关系（15分钟）•引入：通过一个例子引出斜率与函数性质的关系。
小明用自行车从学校骑到家里，中间有一段上坡路和一段下坡路。
我们可以用一次函数来描述小明的行驶过程。
假设小明骑车的时间用x表示，距离用y表示。
上坡路的一次函数表示为y = 5x，下坡路的一次函数表示为y = -5x。
这两个一次函数的斜率分别为5和-5，你能猜出这两条路的特点吗？•斜率与函数性质的关系：–斜率为正数的一次函数，图象上的点由左下方向右上方倾斜，对应的函数表示一个增长函数。
19.1 函数 19.1.2 函数的图象
一课一练·基础闯关
题组函数的表示
1.(2017·东营中考)小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校.小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是( )
【解析】选C.小明先匀速步行到车站,故这段时间s随t的增大而增大,线段上升.在车站等了几分钟,这段时间s不变,线段是水平的,最后坐公交车匀速行驶一段时间,s随t的增大而增大,线段上升.
2.若每上6个台阶就升高1米,则上升高度h(米)与上的台阶数m(个)之间的函数解析式是( )
A.h=6m
B.h=6+m
C.h=m-6
D.h=
【解析】选D.由题意得,每升高1米上6个台阶,故上升h米与台阶数m的解析式是:h=.
3.观察下表:则y与x的解析式为__________.
【解析】当x=1时,y=13+1=2,
当x=2时,y=23+1=9,
当x=3时,y=33+1=28,
…
由此可得出y=x3+1.
答案:y=x3+1
【方法指导】由表格推测函数解析式的方法
1.一般情况下是把最大的一对数据代入函数关系式后通过比较得出最接近的关系式.
2.可把几组数值分别代入每个关系式加以验证.
4.(2017·太原期末)图1中的摩天轮可抽象成一个圆,圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min)之间的关系如图2所示,根据图中的信息,回答问题:
(1)根据图2补全表格:
(2)表中反映的两个变量中,自变量是__________.
(3)根据图象,摩天轮的直径为__________m,它旋转一周需要的时间为____________min.
【解析】(1)由图象可知,当x=3时,y=70,
当x=8时,y=54.
答案:70 54
(2)表中反映的两个变量中,自变量是旋转时间x.
答案:旋转时间x
(3)由图象可知,摩天轮的直径为:70-5=65m,
旋转一周需要的时间为6min.
答案:65 6
5.某商店为减少A商品的积压,采取降价销售的策略,A商品原价为520元,随着不同幅度的降价,日销量(单位:件)发生相应的变化(如表):
(1)从表中可以看出每降价10元,日销量增加多少件?
(2)估计降价之前的日销量为多少件?
(3)由表格求出日销量y(件)与降价x(元)之间的函数解析式.
(4)如果售价为440元时,日销量为多少件?
【解析】(1)从表中可以看出每降价10元,日销量增加5件.
(2)从表格中可得,原日销量为155-5=150件.
(3)y=150+0.5x.
(4)售价为440元时,y=150+0.5×(520-440)=190件.
题组用函数解决实际问题
1.(2017·聊城中考)端午节前夕,在东昌湖举行的第七届全面健身运动会龙舟比赛中,甲乙两队在500米的赛道上,所划行的路程y(m)与时间x(min)之前的函数关系式如图所示,下列说法错误的是( )
A.乙队比甲队提前0.25min到达终点
B.当乙队划行110m时,落后甲队15m
C.0.5min后,乙队比甲队每分钟快40m
D.自1.5min开始,甲队若要与乙队同时到达终点,甲队的速度需提高到255m/min
【解析】选D.由图象可知,甲2.5min到达,乙2.25min到达,所以乙队比甲队提前0.25min到达终点,故A 正确0.5min后,乙的解析式设为:y=kx+b,把A(0.5,80),B(1,200)代入求得,y=240x-40,当y=110
时,240x-40=110,x=,由图象可知,甲的速度为200m/min,当x=时,甲的路程为200×=125,125-110=15,所以当乙队划行110m时,落后甲队15m,故B正确;0.5min后,甲的速度为200m/min,乙的速度为240m/min,所以乙队比甲队每分钟快40m,故C正确;1.5min时,甲所行的路程为200×1.5=300m,甲队若要与乙队同时
到达终点,则甲要在2.25-1.5=0.75min行500-300=200m,甲队的速度需提高到200÷0.75=266m/min.故D 错误.
2.某校组织八年级同学到距学校4km的郊外春游,一部分同学步行,另一部分同学骑自行车,如图,l1,l2分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y(km)与所用时间x(min)之间的函数图象,则以下判断错误的是( )
A.骑车的同学比步行的同学晚出发15 min
B.骑车的同学用了35 min才到达目的地
C.步行的同学速度为6 km/h
D.骑车的同学从出发到追上步行的同学用了15 min
【解析】选B.当x=15时l2的函数值是0,因而骑车的同学比步行的同学晚出发15min;步行的学生40min 时路程是4km,因而步行的速度是0.1km/min,
即6km/h;骑车的同学从出发到追上步行的同学用了15min.
骑车的同学用了20min才到达目的地,
所以判断错误的是骑车的同学用了35min才到达目的地.
3.一个装有进水管和出水管的容器,从某一时刻起只打开进水管进水,经过一段时间,再打开出水管放水,至12分钟时,关停进水管.在打开进水管到关停进水管这段时间内,容器内的水量y(单位:升)与时间x(单位:分钟)之间的函数关系如图所示,关停进水管后,经过________分钟,容器中的水恰好放完.
【解析】进水管的速度为:20÷4=5(升/分),
出水管的速度为:5-(30-20)÷(12-4)=3.75(升/分),
∴关停进水管后,容器中的水恰好放完,经过的时间为:
30÷3.75=8(分钟).
答案:8
4.某市区内乘出租车的价格y(元)与路程x(km)的函数关系如图所示.
(1)根据图象写出两条信息.
(2)小明从学校出发乘出租车回家用了13元,求学校离小明家的路程.
【解析】(1)不超过2千米的路程付费5元;多于2千米的路程,每千米=1.6元.
(2)由图象知多于2千米的路程为=5千米.故学校离小明家的路程为7千米.
(2017·哈尔滨中考)周日,小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报,看了一段时间后,他按原路返回家中,小涛离家的距离y(单位:m)与他所用的时间t(单位:min)之间的函数关系如图所示,下列说法中正确的是( )
A.小涛家离报亭的距离是900m
B.小涛从家去报亭的平均速度是60m/min
C.小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min
D.小涛在报亭看报用了15min
【解析】选D.A.由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m,故A不符合题意.
B.由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m,由横坐标看出小涛去报亭用了15min,小涛从家去报亭的平均速度是80m/min,故B不符合题意.
C.返回时的解析式为y=-60x+3000,当y=1200时,x=30,由横坐标看出返回时的时间是50-30=20min,返回时的速度是1200÷20=60m/min,故C不符合题意.
D.由横坐标看出小涛在报亭看报用了30-15=15min,故D符合题意.
某旅游团上午6时从旅馆出发,乘汽车到距离210 km的某著名旅游景点游玩,该汽车离旅馆的距离S(km)与时间t(h)的关系可以用如图的折线表示.根据图象提供的有关信息,解答下列问题:
求该团去景点时的平均速度是多少?
【解析】210÷(9-6)=70(km/h)
【母题变式】
[变式一]该团在旅游景点游玩了多少小时?
【解析】由横坐标得出9时到达景点,13时离开景点,
13-9=4(小时).
答:该团在旅游景点游玩了4小时.
[变式二]求返回到旅馆的时刻是几时几分?
【解析】由右边的折线知返回时的速度是(210-110)÷(15-13)=50km/h,故返回所用的时间是210÷50=4.2(小时).
所以返回到旅馆的时刻是17时12分.。
