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ISSN 1000-0054CN 11-2223/N 清华大学学报(自然科学版)J T singh ua Un iv (Sci &Tech ),2007年第47卷第6期2007,V o l.47,N o.634/36889-892基于Hessian 矩阵的冠状动脉中心线的跟踪算法许 燕1, 胡广书1, 商丽华2, 耿进朝2(1.清华大学生物医学工程系,北京100084;2.清华大学第一附属医院,北京100016)收稿日期:2006-06-12基金项目:裕元医学科学研究基金资助项目作者简介:许燕(1980—),女(汉),浙江,博士研究生。
通讯联系人:胡广书,教授,E -mail :hgs -d ea @ts inghu a .edu .cn摘 要:冠状动脉血管造影对医生临床诊断心血管疾病非常有帮助。
在冠状动脉造影图像上对冠脉中心线的正确提取是冠脉边缘定位和三维重建的基础。
该文提出的中心线提取方法是对经典Sun 算法的改进,此方法结合了Hessian 矩阵特征向量和Canny 算子来进行准确提取。
实验结果表明:结合Hessian 矩阵特征向量的方向,较好地解决了冠脉造影图像中冠脉曲率变化剧烈而跟踪不准确的情况;结合Can-ny 算子的半径计算,较好地解决了冠脉造影图像中冠脉重叠和交叉出现时错误跟踪的情况。
与经典Sun 算法相比,本方法有很好的鲁棒性和较高的准确性。
关键词:图像分析;冠状动脉;中心线;Hessian 矩阵;特征向量中图分类号:T N 911.73文献标识码:A文章编号:1000-0054(2007)06-0889-04Adaptive tracking extraction of vessel centerlines in coronary arteriogramsusing Hessian matrixXU Yan 1,HU G uangshu 1,SHA NG Lih ua 2,G ENG Jinzh ao 2(1.Department of Biomedical Engineering ,T s inghua University ,Beij ing 100084,China ;2.The No .1Hospital Attached to Tsinghua University ,Beij ing 100016,China )Abstract :A method for accurate ex tr action of the coronar y arter ial centerline was pres ented for au tom ated positioning of th e coronary ves sel border s and 3-D reconstruction to aid clin ical diagnoses of cardiovas cular d iseases.T he meth od is an improvement of the Sun ar ith metic.Th e m ethod implemen ts an accu rate ex traction using Hes sian matrix eigenvectors and the C ann y operator.The tes t results s how that the determination of the centerline point directions by th e Hess ian matrix eigenvector resolves tr acking inaccur acies resulting from ab rupt changes of the arterial curvatu re.T hecalculation of th e artery radiu s by th e Canny operator r esolves inter ruptions of the tr acking res ulting from the s uper pos ition and overlappin g of the coronary artery.T he m ethod has betterrobus tn es s and accu racy than the Sun algorithm.Key words :image analysis ;coronar y artery;center line;Hess ianmatrix;eigenvector冠状动脉血管造影可以辅助医生准确诊断心血管疾病。
改进SURF算法在图像汉字识别中的应用孟伟;钟娜【摘要】针对复杂背景下汉字匹配准确率较低的问题，提出一种改进的SURF算法。
该算法利用灰度分级的字符分割方法，先进行灰度分割增强图像的对比度，采用灰度分级树将图像中的所有像素处理为树的模式进行计算，根据灰度分级确定主节点，根据主节点的级别所对应的灰度值对图像进行分割。
同时，根据汉字结构的特殊性，取消了SURF算法的旋转不变性。
实验结果表明，与未使用改进的SURF 算法相比，对图像质量较差的文本图像，改进的SURF算法能有效地提高其匹配的准确率。
%Aiming at the low matching accuracy of Chinese characters, an improved algorithm of SURF is presented. The algorithm is based on gradation character segmentation. Contrast of image is enhanced by using gray level segmentation, and then with the gray level classification tree, all pixels in the image are processed to the tree model. According to the gray level classification, the main node is determined. Grey level corresponding to the main node level is used in image segmentation. According to the particularity of Chinese characters, the rotation invariance of SURF algorithm is cancelled. Experimental results show that the improved algorithm can improve the matching accuracy effectively, especially for text image of poor quality.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2015(000)012【总页数】5页(P156-160)【关键词】复杂背景;汉字匹配;快速鲁棒特征(SURF)算法;灰度分级;字符分割【作者】孟伟;钟娜【作者单位】北京林业大学信息学院，北京 100083;北京首钢自动化信息技术有限公司，北京 100043【正文语种】中文【中图分类】TP3911 引言近年来，汉字识别一直是模式识别等相关领域内长期的研究热点[1]。
Hessian矩阵【转】在数学中，海塞矩阵是⼀个⾃变量为向量的实值函数的⼆阶偏导数组成的⽅块矩阵，⼀元函数就是⼆阶导，多元函数就是⼆阶偏导组成的矩阵。
求向量函数最⼩值时可以使⽤，矩阵正定是最⼩值存在的充分条件。
经济学中常常遇到求最优的问题，⽬标函数是多元⾮线性函数的极值问题，尚⽆⼀般的求解⽅法，但判定局部极⼩值的⽅法就是⽤hessian矩阵：在x0点上，hessian矩阵是负定的，且各分量的⼀阶偏导数为0，则x0为极⼤值点。
在x0点上，hessian矩阵式正定的，且各分量的⼀阶偏导数为0，则x0为极⼩值点。
矩阵是负定的充要条件是各个特征值均为负数。
矩阵是正定的充要条件是各个特征值均为正数。
函数如下：如果f所有的⼆阶导数都存在，那么f的海塞矩阵即为：H(f)ij(x) = D i D j f(x)，即（也有⼈把海⾊定义为以上矩阵的）海赛矩阵被应⽤于⽜顿法解决的⼤规模优化问题。
性质对称性：如果函数f在D区域内⼆阶连续可导，那么f海塞矩阵H（f）在D内为对称矩阵。
原因是：如果函数f连续，则⼆阶偏导数的求导顺序没有区别，即：则对于海塞矩阵H（f）,有，所以为对称矩阵。
多元函数极值的判定如果实值多元函数⼆阶连续可导，并且在临界点M(x i)(其中i=1,2,...,n，并且X i已知)处梯度（⼀阶导数）等于0，即，则M为驻点。
仅通过⼀阶导数⽆法判断在临界点M处是极⼤值还是极⼩值。
记f在M点处的⿊塞矩阵为H(M)。
由于f在M点处连续，所以H(M)是⼀个的对称矩阵，对于H(M),由如下结论：如果H(M)是，则临界点M处是⼀个局部的极⼩值。
如果H(M)是，则临界点M处是⼀个局部的极⼤值。
如果H(M)是，则临界点M处不是极值。
海森矩阵（Hessian matrix）是一个二阶导数矩阵，用于描述函数在某一点的局部曲率。
对于一个二元函数f(x, y)，其海森矩阵计算公式为：
H(f) = ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - ∂²f/∂x∂y * ∂²f/∂y∂x
其中，∂²f/∂x² 和∂²f/∂y² 是函数在某一点的二阶偏导数，∂²f/∂x∂y 是函数在某一点的混合偏导数。
对于多元函数，海森矩阵是一个对称矩阵，行和列都对应于函数的每个自变量。
在二元函数的情况下，海森矩阵是一个2x2矩阵。
需要注意的是，海森矩阵在某些情况下可能不是唯一的，对于一个函数在不同的点可能会有不同的海森矩阵。
此外，海森矩阵也可以通过数值方法进行计算，例如有限差分法或有限元法等。
牛顿法的hessian矩阵牛顿法是一种常用的最优化算法，可以用于求解函数的极小值或者最小值。
其基本思想是通过利用函数的二阶导数信息来更新搜索方向，从而提高迭代的收敛速度。
在牛顿法中，关键的一步就是求解函数的Hessian矩阵，本文将介绍如何计算Hessian矩阵。
1. Hessian矩阵的定义Hessian矩阵是一个二阶偏导数组成的方阵，用$\mathbf{H}$表示，其元素如下所示：$$H_{i,j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$$其中，$f$是要进行优化的目标函数，$x_i$和$x_j$是函数的自变量。
2. 牛顿法中的Hessian矩阵在牛顿法中，我们希望通过Hessian矩阵来计算函数的搜索方向。
具体来说，我们会用Hessian矩阵的逆矩阵来计算搜索方向，从而使得每一次迭代的变化方向更加准确。
3. 求解Hessian矩阵的方法求解Hessian矩阵的方法有很多种，这里介绍两种常用的方法。
（1）符号计算法符号计算法是一种基于数学计算的方法，可以精确地计算函数的Hessian矩阵。
这种方法的缺点是计算复杂度比较高，适用于简单的函数，对于复杂的函数而言，其计算时间会非常长。
（2）数值计算法数值计算法是一种基于数值计算的方法，通过对函数进行数值求导，得到数值近似的Hessian矩阵。
这种方法的优点是计算速度比较快，适用于复杂的函数，缺点是精度相对较低。
4. 总结Hessian矩阵是牛顿法中非常重要的一步，其可以帮助我们更加准确地计算函数的搜索方向。
在实际应用过程中，我们可以选择符号计算法或者数值计算法来求解Hessian矩阵，具体方法要根据实际情况来选择。
找特征点的算法SIFT和SURF算法SIFT算法和SURF算法是用于图像特征点的检测与描述的两种经典算法。
它们在图像处理、计算机视觉和模式识别等领域得到广泛应用。
下面将分别介绍SIFT算法和SURF算法，并对其原理和应用进行详细阐述。
一、SIFT算法（Scale-Invariant Feature Transform）SIFT算法是由Lowe于1999年提出的一种用于图像特征点检测与描述的算法。
它通过分析图像的局部特征来提取与尺度无关的特征点，具有尺度不变性、旋转不变性和仿射不变性等优点。
1.特征点检测SIFT算法首先通过高斯差分金字塔来检测图像中的特征点。
高斯差分金字塔是由一系列模糊后再进行差分操作得到的，通过不同尺度的高斯核函数对图像进行卷积，然后对结果进行差分运算，得到图像的拉普拉斯金字塔。
在拉普拉斯金字塔上，通过寻找局部最大值和最小值来确定特征点的位置。
2.特征点描述在确定特征点的位置后，SIFT算法使用梯度直方图表示特征点的局部特征。
首先，计算特征点周围邻域内每个像素点的梯度幅值和方向，然后将邻域分为若干个子区域，并统计每个子区域内的梯度幅值和方向的分布，最后将这些统计结果组合成一个向量作为特征点的描述子。
3.特征点匹配SIFT算法通过计算特征点描述子之间的欧式距离来进行特征点的匹配。
欧式距离越小表示两个特征点越相似，因此选择距离最近的两个特征点作为匹配对。
二、SURF算法（Speeded Up Robust Features）SURF算法是由Bay等人于2024年提出的一种在SIFT算法的基础上进行改进的图像特征点检测与描述算法。
它通过加速特征点的计算速度和增强特征点的稳定性来提高算法的实时性和鲁棒性。
1.特征点检测SURF算法使用Hessian矩阵来检测图像中的特征点。
Hessian矩阵是图像的二阶导数矩阵，通过计算Hessian矩阵的行列式和迹来确定图像的局部最大值和最小值，从而找到特征点的位置。
Hessian矩阵1. Jacobian在向量分析中, 雅可⽐矩阵是⼀阶偏导数以⼀定⽅式排列成的矩阵, 其⾏列式称为雅可⽐⾏列式. 还有, 在代数⼏何中, 代数曲线的雅可⽐量表⽰雅可⽐簇：伴随该曲线的⼀个代数群, 曲线可以嵌⼊其中. 它们全部都以数学家卡尔·雅可⽐(Carl Jacob, 1804年10⽉4⽇－1851年2⽉18⽇)命名；英⽂雅可⽐量”Jacobian”可以发⾳为[ja ˈko bi ən]或者[ʤəˈko bi ən].雅可⽐矩阵雅可⽐矩阵的重要性在于它体现了⼀个可微⽅程与给出点的最优线性逼近. 因此, 雅可⽐矩阵类似于多元函数的导数.雅可⽐⾏列式如果m = n, 那么FF是从n维空间到n维空间的函数, 且它的雅可⽐矩阵是⼀个⽅块矩阵. 于是我们可以取它的⾏列式, 称为雅可⽐⾏列式.在某个给定点的雅可⽐⾏列式提供了在接近该点时的表现的重要信息. 例如, 如果连续可微函数FF在pp点的雅可⽐⾏列式不是零, 那么它在该点附近具有反函数. 这称为反函数定理. 更进⼀步, 如果pp点的雅可⽐⾏列式是正数, 则FF在pp点的取向不变；如果是负数, 则FF的取向相反.⽽从雅可⽐⾏列式的绝对值, 就可以知道函数FF在pp点的缩放因⼦；这就是为什么它出现在换元积分法中.对于取向问题可以这么理解, 例如⼀个物体在平⾯上匀速运动, 如果施加⼀个正⽅向的⼒FF, 即取向相同, 则加速运动, 类⽐于速度的导数加速度为正；如果施加⼀个反⽅向的⼒FF, 即取向相反, 则减速运动, 类⽐于速度的导数加速度为负.2. 海森Hessian矩阵在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是⼀个⾃变量为向量的实值函数的⼆阶偏导数组成的⽅块矩阵, 此函数如下：2), 最优化在最优化的问题中, 线性最优化⾄少可以使⽤单纯形法(或称不动点算法)求解, 但对于⾮线性优化问题, ⽜顿法提供了⼀种求解的办法. 假设任务是优化⼀个⽬标函数ff, 求函数ff的极⼤极⼩问题, 可以转化为求解函数ff的导数f′=0f′=0的问题, 这样求可以把优化问题看成⽅程求解问题(f′=0f′=0). 剩下的问题就和第⼀部分提到的⽜顿法求解很相似了.这次为了求解f′=0f′=0的根, 把f(x)f(x)的泰勒展开, 展开到2阶形式：。
matlab求解机器人的hessian矩阵算法如何用MATLAB求解机器人的Hessian矩阵算法引言：机器人在各个领域扮演着重要的角色，特别是在工业自动化和服务行业中。
为了使机器人能够更加智能和高效地完成任务，我们需要对其控制算法进行优化。
其中，Hessian矩阵是一种常用的工具，可以用于机器人的姿态控制和目标优化等问题。
本文将详细介绍如何用MATLAB求解机器人的Hessian矩阵算法，以帮助读者深入理解并应用该算法。
第一步：了解Hessian矩阵的基本概念和作用Hessian矩阵是多元函数的二阶偏导数构成的方阵，用于描述函数局部极值点的性质。
在机器人姿态控制中，Hessian矩阵可以用来衡量机器人在给定位置周围的姿态变化情况，从而优化控制算法，使机器人更稳定地工作。
第二步：构建机器人姿态模型在实际应用中，机器人的姿态模型通常使用欧拉角表示，即通过三个旋转（roll、pitch和yaw）来定义机器人的姿态。
假设机器人姿态表示为[x, y, theta]，其中x和y表示机器人的位置坐标，theta表示机器人的旋转角度。
我们可以通过编写MATLAB代码来构建机器人姿态模型，具体内容如下：MATLABfunction robot_pose = robot_model(x, y, theta)robot_pose = [x; y; theta];end第三步：计算Hessian矩阵的偏导数根据Hessian矩阵的定义，我们需要计算机器人姿态模型的二阶偏导数。
在MATLAB中，我们可以使用符号计算工具箱（Symbolic Math Toolbox）来计算函数的二阶偏导数。
具体步骤如下：1. 导入符号计算工具箱MATLABsyms x y theta2. 计算机器人姿态模型MATLABrobot_model = robot_model(x, y, theta);3. 计算姿态模型对x的一阶偏导数MATLABd_model_dx = diff(robot_model, x);4. 计算一阶偏导数对x的一阶偏导数MATLABd2_model_dx2 = diff(d_model_dx, x);5. 以此类推，计算其他变量（y和theta）的一阶和二阶偏导数第四步：将计算结果转换为数值进行计算由于计算的结果是符号表达式，我们需要将其转换为数值进行实际计算。
海森矩阵法
海森矩阵法（Hessian matrix method）是一种用于求解函数极值点的优化算法。
它是二阶优化方法的一种，可以通过计算函数的海森矩阵（Hessian matrix）来确定函数的极值点。
海森矩阵是函数的二阶偏导数构成的矩阵，是一个正定矩阵。
通过计算海森矩阵，可以确定函数极值点的位置和性质。
海森矩阵法可以用于求解最小化或最大化问题。
对于最小化问题，通过计算海森矩阵的特征值和特征向量，可以确定极小值点的位置和优化方向。
对于最大化问题，可以通过求解海森矩阵的负值来转化为最小化问题。
海森矩阵法的一般步骤如下：
1. 计算函数的一阶偏导数和二阶偏导数，得到海森矩阵。
2. 判断海森矩阵的正定性。
如果海森矩阵是正定矩阵，则存在极小值点；如果是负定矩阵，则存在极大值点；如果是不定矩阵，则不存在极值点。
3. 如果海森矩阵是正定矩阵，可以通过求解海森矩阵的特征值和特征向量，确定极小值点的位置和优化方向。
4. 对于最大化问题，可以求解海森矩阵的负值，转化为最小化问题。
海森矩阵法相对于一阶优化方法（如梯度下降法）具有更快的收敛速度和更高的精度。
然而，由于海森矩阵的计算量较大，对于复杂的函数，计算海森矩阵的成本较高。
因此，在实际应
用中，海森矩阵法往往用于求解简单的优化问题或者作为其他优化算法的一种改进方法。
总结来说，海森矩阵法是一种基于二阶导数的优化算法，通过计算函数的海森矩阵来确定函数的极值点。
它具有较快的收敛速度和更高的精度，但在计算复杂函数时成本较高。
非线性规划的算法研究非线性规划是指目标函数或约束条件中至少包含一个非线性项的数学优化问题。
由于非线性项的存在，非线性规划问题的求解相对较为复杂。
为了解决这类问题，研究者们提出了许多非线性规划的算法，下面将介绍其中几种典型的算法。
一、基本方法：基本方法是一类旨在找到局部最优解的算法。
其中最简单的方法是暴力，即将问题的所有可能解进行穷举，并计算它们对应的目标函数值，从中选择最优解。
虽然暴力方法可以找到全局最优解，但是由于计算量大，适用于问题规模较小的情况。
二、梯度方法：梯度方法是一类基于目标函数的梯度信息进行的方法。
最常用的是梯度下降法，它通过迭代的方式，沿着目标函数的负梯度方向逐步逼近最优解。
梯度方法有很好的收敛性质，但是可能会陷入局部最优解。
三、牛顿法和拟牛顿法：牛顿法是通过对目标函数进行泰勒展开，利用二阶导数矩阵（Hessian矩阵）信息进行的方法。
牛顿法具有快速收敛的特点，但是计算Hessian矩阵比较困难，尤其在高维问题上。
为了克服这一问题，人们提出了拟牛顿法，通过动态更新具有类似于Hessian矩阵的矩阵来近似二阶导数信息。
四、分解策略：分解策略是一种将大规模非线性规划问题分解为多个子问题进行求解的方法。
常见的分解策略包括拉格朗日乘子法、逐步规划法等。
分解策略将原问题分解为小规模子问题，降低了问题的复杂性，但是可能会降低求解的精度。
五、进化算法：进化算法是另一类常用于求解非线性规划问题的算法。
典型的进化算法包括遗传算法、粒子群优化算法等。
进化算法通过模拟自然进化过程，通过交叉、变异等操作不断解空间中的潜在解，并通过适应度函数的评估来更新解的位置。
进化算法适用于复杂的非线性规划问题，但是求解效率相对较低。
综上所述，非线性规划的算法研究涵盖了基本方法、梯度方法、牛顿法和拟牛顿法、分解策略以及进化算法等多个方向。
针对具体问题选择合适的算法可以提高非线性规划问题求解的效率和精度。
但是需要注意的是，不同算法的适用性和性能与问题的特性有关，研究者们需要结合具体问题进行算法选择和优化。
• 81•现有的图像匹配算法存在运行慢、时间复杂度高等缺点，本文在研究了图像特征和匹配算法的基础上，提出了一种改进的快速匹配算法。
该算法能有效地解决图像尺寸过大带来的匹配慢的问题，首先对于要匹配的的图像，经过线性缩小后变为易于处理的灰度图，再使用SURF 算法计算初始特征点集，经过逆变换后映射到原图像求得过滤后的点集，并且生成SURF 特征描述子，针对SURF 匹配慢的缺陷，本文采用KD 树来实现点集的匹配和查询，测试结果表明，本文算法在保证了匹配精度的条件下，有效的降低了匹配的时间复杂度。
图像匹配算法在遥感、航空航天、生物信息识别等方面应用广泛，特别是随着智能设备的普及，指纹识别、人脸识别等图像处理技术越来越受到重视和关注。
快速准确地处理与识别图像，满足用户个性化多样化的需求，是国内外理论研究的重要参考原则。
图像匹配可以采用不同的方法进行，有采用全局统计特性的匹配，还有基于局部特征的方法。
前者一般采用统计的手段，后者先计算特征点，利用特征点的特征描述子来进行图像的匹配。
由于特征点数一般比较少，所以后者的匹配速度一般比前者快，精度也高很多。
为了有效进行图像匹配，Lowe DG 提出了一种SIFT 算法，该算法匹配和识别的效率较高，但实时性较差，Bay H,Tuyte T,Gool L Van 针对SIFT 的不足提出了改进的算法SURF ，该算法具有匹配的速度比较快、在图像尺度和仿射变换下保持不变性等优点；阮芹,彭刚,李瑞利用改进后的SURF 算法，针对两幅图像的重叠部分提取局部特征点，实现了重叠部分的平滑过渡。
本文提出了一种基于KD 树的快速匹配算法，该算法能有效地解决图像尺寸过大带来的匹配慢的问题，首先该算法把要匹配的的图像缩小后变为易于处理的灰度图，再使用SURF 算法计算初始特征点集，经过逆变换后映射到原图像求得过滤后的点集，并且生成SURF 特征描述子，最后采用KD 树来实现点集的匹配和查询。
测绘技术中的图像匹配与配准方法解析近年来，随着测绘技术的快速发展，图像匹配与配准成为了测绘领域中的热门研究课题。
图像匹配与配准是指通过计算机算法将两幅或多幅图像进行比对和对齐的过程，以实现地理信息的提取和获取。
本文将从理论与方法两方面对图像匹配与配准进行解析。
一、图像匹配的理论基础图像匹配的核心思想是通过计算机算法寻找两幅图像中特征点的对应关系，从而实现图像的对齐和匹配。
在图像匹配中，特征点是最重要的概念之一。
特征点是指在图像中具有独特性和可区分性的局部区域，如角点、边缘点等。
通过寻找特征点并计算其特征描述子，可以实现图像的匹配。
在图像匹配中，主要有两种方法，分别是基于区域的匹配和基于特征点的匹配。
基于区域的匹配是指通过计算两幅图像中各个区域的相似度来判断它们是否匹配。
这种方法适用于图像内容相对简单的情况。
而基于特征点的匹配是指通过计算两幅图像中特征点的对应关系来实现图像匹配。
这种方法适用于图像内容复杂的情况。
二、图像匹配的方法与算法1. SIFT算法SIFT（Scale-Invariant Feature Transform）算法是一种经典的图像特征提取与匹配算法。
该算法通过在图像中检测关键点，并计算关键点的局部特征描述子，来实现对图像的匹配。
SIFT算法具有尺度不变性和旋转不变性的特点，适用于多种场景下的图像匹配与配准。
2. SURF算法SURF（Speeded-Up Robust Features）算法是一种高效的图像特征提取与匹配算法。
该算法通过对图像中的局部区域进行加速特征检测和描述，来实现对图像的匹配。
SURF算法利用了积分图像和快速Hessian矩阵的计算方法，具有较高的计算效率和鲁棒性。
3. 区域匹配算法区域匹配算法是一种基于图像区域相似度的匹配方法。
该算法通过计算两幅图像中各个区域的相似度，来决定它们是否匹配。
常用的区域匹配算法包括相位相关算法、灰度共生矩阵算法和小波变换算法等。
激光三维扫描图像处理改进算法摘要：针对激光三维扫描图像中噪声干扰大，光条中心提取耗时等问题，根据激光三维图像的特征，提出了激光三维扫描图像处理改进算法。
图像预处理过程中，结合不同特征采用不同的滤波方法，消除噪声干扰、增强图像特征。
考虑到激光三维扫描的实时性，为了提高激光光条中心提取的效率，文中在steger 光条中心提取算法的基础上，简化二维高斯卷积核，采用方向模板对图像进行卷积，计算图像中的各像素的各阶偏导数，进而构建hessian矩阵求得最小特征值和对应的方向向量，从而确定光条中心点，提高了光条中心提取的效率并保证了算法的鲁棒性。
实验结果表明：改进算法能够有效去除激光三维扫描图像中的噪声，对不同类型的噪声具有良好的抗干扰能力，而且处理后的激光三维扫描图像质量较高，细节丰富、信息完整。
此外，激光三维扫描图像处理的速度得到了优化提升。
关键词：激光三维扫描；图像预处理；噪声去除；光条中心提取引言激光三维扫描是一种利用激光传感器获取物体表面信息的三维扫描技术，具有非接触、高效率、高精度、自动化程度高等优点。
与传统的扫描方式相比，激光三维扫描技术可以获得高精度的表面信息，具有较大的应用潜力，因此被广泛应用于文物保护、工业检测等领域。
但是在实际应用中，由于受到光照强度和环境干扰等因素的影响，激光三维扫描图像会存在一些噪声，从而导致激光三维扫描图像的质量和效率较差。
因此，为了提高激光三维扫描图像的质量和效率，有必要对激光三维扫描图像进行预处理，去除噪声干扰，从而得到高质量的激光三维扫描图像，此外，激光扫描对实时性要求比较高，因此高效的激光三维扫描图像处理方法也是激光扫描的重要课题。
1激光三维扫描仪的基本原理激光三维扫描仪主要由激光器、光学系统、信号接收及信号处理系统、计算机以及电源等组成。
激光三维扫描仪的基本工作原理如下：当激光发射后，光斑经过透镜后被聚焦在摄像机的图像传感器上，并通过光电转换，将光斑的位置转换成电信号，再经过信号处理系统对电信号进行处理，最后通过计算机对得到的电信号进行分析，实现对物体表面形状的数字化描述。
物理快速算法在信号处理中的应用一、介绍信号处理作为物理学和工程学领域的交叉学科，涉及许多应用领域，如通信、图像处理、声音处理和生物医学等。
传统的信号处理方法一般都需要大量的计算和存储资源，而在物理学中，有一些快速算法可以有效地解决这个问题。
本文将介绍物理快速算法在信号处理中的应用。
二、快速傅里叶变换（FFT）傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法。
但是，传统的傅里叶变换需要 O(N^2) 的计算复杂度，而当信号长度 N非常大时，这将会非常耗时。
因此，快速傅里叶变换（FFT）应运而生。
FFT 是一种将傅里叶变换计算复杂度降到 O(NlogN) 的算法。
因此，FFT 在信号处理中被广泛应用。
具体来说，FFT 可以用于图像处理中的滤波和谱分析，以及音频处理中的频域特征提取和降噪等。
三、快速海森矩阵计算法在图像处理和计算机视觉中，海森矩阵是一种十分常用的工具，可以用于计算图像的梯度、角点以及边缘等特征。
然而，计算海森矩阵需要大量的计算资源和时间。
为了快速计算海森矩阵，物理学家们提出了一种名为快速海森矩阵计算法（Fast Hessian）的算法。
该算法利用图像金字塔的层次结构，快速计算出多个尺度下的海森矩阵，从而加速了海森矩阵的计算。
快速海森矩阵计算法的一个主要应用是在计算机视觉中的目标检测和跟踪。
具体来说，该算法被用于基于特征的目标检测算法中，例如 SIFT 算法和 SURF 算法。
四、快速多极子算法快速多极子算法（Fast Multipole Method，FMM）是一种用于求解 N 体问题的算法，其计算复杂度为 O(N)。
在信号处理中，快速多极子算法可以应用于强化学习和模式识别等任务。
具体来说，快速多极子算法可以用于简化神经网络的训练过程。
神经网络通常需要大量的计算资源和时间进行训练，而采用快速多极子算法可以大大减少训练时间，并且在实际应用中取得更好的性能。
五、小结本文介绍了物理快速算法在信号处理中的应用，包括快速傅里叶变换、快速海森矩阵计算法和快速多极子算法。
引用海赛(Hesse)矩阵Hessian矩阵是多维变量函数的二阶偏导数矩阵，H（i,j)=d^2(f)/(d(xi)d(xj))它是对称的。
如果是正定的的可用导数=0的变量组确定它的极小值，负定的确定它的极大值，否则无法确定极值。
1.极值（极大值或极小值）的定义设有定义在区域D Rn上的函数 y=f(x)=f(x1,...,xn) . 对于区域D的一内点x0=(x10,...,xn0)，若存在x0的一个邻域UD，使得f(x)≤f(x0) x∈U则称x0是f(x)的极大点，f(x0)称为f(x)的极大值.相反，如f(x)≥f(x0) x∈U则称x0是f(x)的极小点，f(x0)称为f(x)的极小值.2.海赛（Hessian）矩阵设函数y=f(x)=f(x1,...,xn)在点x0=(x10,...,xn0)的一个邻域内所有二阶偏导数连续，则称下列矩阵H为f(x)在x0点的海赛矩阵.显然海赛矩阵是对称的，从而它的所有特征根均为实数.3.极值存在的必要条件若x0是f(x)的极值点，如果存在，则进一步设在一个邻域内所有二阶导数连续，H为在点x0的海赛矩阵.则（1）x0是f(x)的极小点H≥0，即H 的特征根均为非负.（2）x0是f(x)的极大点H≤0，即H的特征根为非正.若在x0点有，则称x0是f(x)的临界点，f(x0)为临界值.4.极值存在的充分条件设f(x)在x0的一个邻域内所有二阶偏导数连续，且x0是f(x)的临界点（即），H为f(x)在x0点的海赛矩阵，则（1）H>0，即H为正定矩阵x0是f(x)的极小点.（2）H<0，即H为负定矩阵x0是f(x)的极大点.（3）H的特征根有正有负x0不是f(x)的极值点.（4）其余情况，则不能判定x0是或者不是f(x)的极值点.5.二元函数极值存在的充分条件作为4的特例。
观察二元函数极值存在的充分条件.设z=f(x,y)在(x0,y0)的一个邻域内所有二阶偏导数连续，且,记 .那么，海赛矩阵.（1）若A>0，detH=AC-B2>0，则H正定，从而(x0,y0)是f(x,y)的极小点.（2）若A<0，detH=AC-B2>0，则H负定，从而(x0,y0)是f(x,y)的极大点.（3）若detH=AC-B2<0，则H的特征根有正有负，从而(x0,y0)不是f(x,y)的极值点.（4）若detH=AC-B2=0，则不能判定(x0,y0)是否为f(x,y)的极值点.6.条件极值求函数 y=f(x)=f(x1,...,xn) x∈DRn （1），在约束条件：qk(x)=qk(x1,...,xn)=0，k=1,...,m，m<n （2），下的极值，称为条件极值问题.此处，假设雅可比矩阵的秩在D内处处为m，即保证m个约束条件是独立的.直接代入法从约束条件（2）中直接解出m个变量，代入到（1）中，将问题化为求n-m 个变量函数的直接极值问题.拉格朗日（Lagrange）乘数法引入拉格朗日函数：（3）其中λ1，...，λm称为拉格朗日乘子，是待定常数.条件极值问题（1）和（2）可化为求拉格朗日函数（3）的直接极值问题.（1) 若x0为(1)和(2)的条件极值点,则x0满足方程组满足上述方程组的点称为条件极值问题的临界点.显然极值点为临界点,而临界点未必一定是极值点.（2)若x0是临界点, HL为拉格朗日函数L在x0点的海赛矩阵, 则可按4中给出的极值存在的充分条件,由HL的正定、负定或不定,判断x0是极小点、极大点或不是极值点.。
二次型函数的hessian矩阵二次型函数的Hessian矩阵是一个重要的概念，在数学和优化领域有着广泛的应用。
首先，让我们来了解一下什么是二次型函数。
二次型函数是指一个关于自变量的二次多项式函数，通常表示为。
\[ f(x) = \frac{1}{2}x^T A x + b^T x + c \]其中，\( x \) 是一个 n 维列向量，\( A \) 是一个n×n 的实对称矩阵，\( b \) 是一个 n 维列向量，\( c \) 是一个实常数。
Hessian矩阵是二次型函数的二阶偏导数构成的矩阵。
对于二次型函数 \( f(x) \)，其 Hessian 矩阵记作 \( H(f) \) 或\( \nabla^2 f \)，它的元素为。
\[ H_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partialx_j} \]Hessian矩阵的性质和作用非常重要。
首先，Hessian矩阵是一个实对称矩阵，这意味着它的特征值都是实数，特征向量可以正交化，这些性质在数学和物理上有着重要的应用。
其次，通过Hessian矩阵，我们可以判断二次型函数的极值情况。
当 Hessian 矩阵在某一点的值为正定时，该点为极小值点；当 Hessian 矩阵在某一点的值为负定时，该点为极大值点；当 Hessian 矩阵在某一点的值为不定时，该点为鞍点。
在优化问题中，Hessian矩阵也扮演着重要的角色。
在求解多元函数的极值或者最小值时，Hessian矩阵可以帮助我们判断极值点的性质，从而指导优化算法的迭代方向。
总之，二次型函数的Hessian矩阵是一个重要的数学工具，它在数学理论、物理学、优化问题等领域都有着重要的应用价值。
对于理解和应用二次型函数，以及相关的优化算法都起着至关重要的作用。
文章编号:1671 1114(2009)03 0018 04快速投影Hessian 矩阵算法收稿日期:2008 03 10基金项目:天津市高校发展基金项目(20060402)作 者:汤大林(1965 ),男,高级工程师,主要从事数学建模及应用方面的研究.汤大林(天津理工大学理学院,天津300191)摘 要:分析了求解等式约束非线性规划问题的投影H essian 矩阵算法,找出了算法两步Q 超线性收敛的原因,并用BY RD 的例子说明此算法的收敛效果较差,即甚至不是线性收敛;对算法进行了合理的改进,并用改进后的算法求解BY RD 问题,得到了满意的收敛效果,即Q 超线性收敛.借助数值试验验证了改进算法的快速收敛性.关键词:等式约束非线性规划;投影H essian 矩阵算法;超线性收敛中图分类号:O 221.2 文献标识码:AQ uick projection method with H essian matrixT AN G Dalin(School of Science,T ianjin University of Techn ology,T ian jin 300191,China)Abstract:T he project ion method wit h H essian mat rix used to so lve nonlinear prog ramming w ith equality co nstr aint is analyzed and the r easo n w hy the method is superlinear conver gent by two steps is found o ut.Its bad converg ent effect at linear ity is illuminated by BYRD's example.T he method is impr ov ed and quickly super linear conver gence o f the impr ov ed metho d is illuminated using BY RD's ex ample.T he quickly co nv erg ent effect o f t he impro ved method is verified by a numerical experiment.Key words:nonlinear pr og ramming w ith equality constra int ;project ion method wit h H essian mat rix ;super linearconver gence1 投影Hessian 矩阵算法的缺点考察等式约束非线性规划问题: m in x Rnf (x ),约束c(x)=0,(1)其中,目标函数f (x ):R n !R,约束c(x):R n !R m 是二次可微函数,且m ∀n,即m 个等式约束.为叙述方便,引入如下记号:x =(x (1),x (2),#,x (n)),c(x)=(c (1)(x ),c (2)(x ),#,c (m)(x ))T, g(x)= f (x )=( f x (1), f x (2),#, f x (n))T,A(x)= c(x)=c (1)x (1)c (2)x (1)# c (m) x (1) c (1) x (2) c (2) x (2)# c (m) x (2) ! c (1) x (n)c (2) x (n)#c (m) x (n ),L (x, )=f (x )-∃mi=1(i)c (i)(x ),其中, (i)为拉格朗日乘子,i =1,2,#,m.将A(x)QR 分解为A(x)=(y(x),z(x))(R(x)O ),其中y (x),z(x)均为n 阶正交矩阵,R(x)为m 阶上三角矩阵.V ol.29N o.3Jul.2009第29卷 第3期2009年7月 天津师范大学学报(自然科学版)Jour nal of T ianjin N orma l U niver sity (N atural Science Edit ion)定理1[1] 1)x*是问题(1)的解的一阶必要条件是存在拉格朗日乘子 ,满足q(x, )= x, L(x, )=(g(x)-A(x)c(x))=0,(2)记W(x, )= 2x L(x, )= 2f(x)-∃m i=1 (i) c2(i)(x).2)x*是问题(1)的解的二阶必要条件是投影H essian阵Z T(x)W(x, )Z(x)半正定.3)x*是问题(1)的解的二阶充分条件是式(2)成立,且Z T(x)W(x, )Z(x)正定.假设x*是问题(1)的局部解,且A*=A(x*)列满秩.为求解问题(1),T.F.Colemen等设计了投影H essian矩阵修正算法[2].下面由该算法的简化推导过程说明该算法的缺点.由定理1的1)知,求解问题(1)即求式(2)的零点,可用牛顿法.为了叙述方便,在点(x k, k)处,记g k=g(x k),c k=c(x k),W k=W(x k, k),其他类似.W k-A k A T k Ox kk=-g k-A k kc k,x k+1 k+1=x kk+x kk,∀W k-A k A T k O p kk=-g kc k,x k+1=x k+x k,∀Q T k W k-A kA T k OQ k Q T kx kk+1=-Q T kg kc k,其中,x k=y k p yk +z k p zk,Q T k=(y k,z k)OO I,∀y T k W k y k y T k W k z k-R kz T k W k y k z T k W k z k OR T k O Op ykp zkk+1=-y T k g kz T k g kc k,(3)式(3)是m+n个未知数的线性方程组,由此可知R k p yk =-c k∀得出p yk,(4a)z T k W k y k p yk +z T k W k z k p zk=-z T k g k∀得出p zk,(4b)x k=y k p yk +z k p zk,x k+1=x k+x k,(4c)R k k+1=y T k g k+y T k W k x k,(4d)式(4d)为 k+1的二阶估计,也可由其一阶估计即最小二乘估计给出,即由m in%A k+1 -g k+1%2给出,k+1=R-1k+1y T k+1g k+1,(5)将式(5)代入式(4d)得z T k W k y k z T k W k z kR k Op ykp zk=-z T k g kc k,(6)由定理1的二阶必要条件知z T k W k z k为半正定阵,其计算量很大.若用一个正定矩阵B k近似z T k W k z k似乎是可行的方法,但是这样又会导致z T k W k y k无法处理,解决该问题的最简单的办法就是直接略去z T k W k y k,如此便得到投影H essian矩阵算法.算法1 投影H essian矩阵算法.Step1 1)选择精度!,置k=0.2)置初始点x0,B0,其中B0为正定近似投影阵.3)分别计算f0,g0,c0,A0,分解A0=(y0 z0)R0O.Step2 解方程组R k p yk=-c k(7)得出p yk,解方程组B k p zk=-z T k g k(8)得出p zk,置x k+1=x k+y k p yk+z k p zk.Step3 计算f k+1,g k+1,c k+1,A k+1,分解A k+1=(y k+1 z k+1)R k+1O,计算%z T k+1c k+1%2.Step4 如果%z T k+1c k+1%2<!,则结束.否则,用DFT或BFGS修正公式计算B k+1,并置k=k+1,返回Step2.本算法被证明[3 4]在适当的假设条件下两步Q 超线性收敛于问题(1)的一个局部极小值点x*,即%x k+1-x*%2%x k-x*%2!0,k!&.关于此算法能否一步Q 超线性收敛,下面通过BYRD的一个例子给出了否定的回答.例min f(x)=12x2(1)-∀x(1)x(2)+12x2(2)-(x(1)-∀)33∀,∀为常数,约束c(x)=12-x(2)-1=0.(9)由于约束相当于x(2)=1,不难看出本例的最优解为x*=(∀,1)T.∋19∋第29卷 第3期 汤大林:快速投影H essian矩阵算法现用算法1求解,取x0=(∀,1+#)T,B0为投影H essian矩阵,于是x1=(∀+∀#,1+#2)T,x2=(∀,1+#4)T,x3=(∀+∀#4,1+#8)T,#,当k为偶数时,x k=(∀,1+#2k)T,x k+1=(∀+∀#2k,1+#2k+1)T,易知%x k-x*%2=#2k,%x k+1-x*%2=#2k∀2+#2k,%x k+1-x*%2%x k-x*%2=∀2+#2k,(10)由式(10)知,只有当|#|∀1时算法才收敛,但只是局部收敛.另外当∀(0时,算法即使收敛也不是Q 超线性收敛,当∀>1时甚至不是线性收敛.2 算法的改进从上例看出算法1的收敛效果不能令人满意,这是因为算法1在式(6)中简单地去掉了z T k W k y k,这样势必导致不精确.重新考虑z T k W k y k,在式(6)中将其移到等式右边,并做近似,则式(6)变为R k p yk=-c k,z T k W k z k-p zk =-z T k g k-z T k W k y k p yk)-z T k x L(x k+y k p yk , k),(11)如此处理比直接从式(6)中简单地去掉z T k W k y k提高了一阶精度,从而得到算法1的改进算法.算法2 改进的投影H essian矩阵算法Step1 同算法1.Step2 解方程组R k p yk =-c k,得出p yk,置x∗k=x k+y k p yk.解方程组B k p zk =-z T k x L(x∗k, k),得出p zk,置x k+1=x k+y k p yk +z k p zk.Step3 同算法1.Step4 同算法1.下面用算法2来求解BYRD的例子,说明算法2的优点.易知A k=( 01(2-x(2)k)2)=0110(1(2-x(2)k)20),y k=01,z k=1.取B k=2fx2(1)k=1-2(x(1)k-∀)∀,g k=x(1)k-∀x(2)k-(x(1)k-∀)2∀-∀x(1)k+x(2)k.第一次迭代:x0=(∀,1+#)T,B0=1,R0=1(1-#)2,p y=-(R T0)-1c0=-(1-#)2(11-#-1)=#(#-1),x∗0=(∀,1+#)T+(0,1)T#(#-1)=(∀,1+#2)T,g∗0=(-∀#2,1+#2-∀2)T,p z=-B-10(1,0)(-∀#2,1+#2-∀2)T=∀#2,x1=x∗0+z0p z=(∀+∀#2,1+#2)T.第二次迭代:B1=1-2#2,R1=1(1-#2)2,c1=#21-#2,p y1=-(R T1)-1c1=-(1-#2)#2,x∗1=(∀+∀#2,1+#2)T+(0,1)T#2(#2-1)=(∀+∀#2,1+#4)T,g∗1=∀#2-2∀#4-∀(1+#2)+1+#4,p z1=-B-11z1g∗1=-∀#2,x2=x∗1+z1p z1=(∀,1+#4)T.第三、四次迭代:x3=(∀+∀#8,1+#8)T,x4=(∀,1+#16)T,#.由归纳法知:x k=(∀,1+#2k)T, k为偶数,(∀+∀#2k,1+#2k)T,k为奇数.故%x k-x*%=#2k, k为偶数,#2k∀+1,k为奇数.%x k+1-x*%2%x k-x*%2=#2k∀2+1, k为偶数,#2k∀2+1, k为奇数,k!&0.(12)式(12)表明,无论∀取何值,只要|#|<1,算法2即为一步Q 超线性收敛.3 数值试验利用BYRD的例子,应用数学软件M athematica6.0编程,分两种情形对两种算法进行数值对比试验.∋20∋天津师范大学学报(自然科学版)2009年7月情形1:取迭代初值x0=(0,1)T,∀=0.2+0.2+3,收敛精度为%x k-x*%∀max(10-9,10-8%x k%)且3f(x k)∀10-9.试验结果见表1.情形2:取迭代初值x0=(∀,1)T,∀=0.2+0.2+3,收敛精度为%x k-x*%∀max(10-9,10-8%x k%)且3f(x k)∀10-9.试验结果见表2.两种情形的对比试验结果均表明:1)同等条件下,算法2比算法1收敛速度快;2)不论∀<1或>1,算法2均收敛,而算法1只在∀<1时收敛.表1 情形1∀算法2(x0=(0,1)T)算法1(x0=(0,1)T)迭代次数x*最优值迭代次数x* 最优值0.22x(1)!0,x(2)!10.513333 5x(1)!0.07779,x(2)!0.01556 0.00594670.42x(1)!0,x(2)!10.553333 5x(1)!0.16473,x(2)!0.06589 0.02224930.62x(1)!0,x(2)!10.620000 5x(1)!0.27502,x(2)!0.16502 0.04327120.82x(1)!0,x(2)!10.713333 5x(1)!0.44287,x(2)!0.35429 0.05428281.02x(1)!0,x(2)!10.833333 23x(1)!1.00000,x(2)!1.00000 01.22x(1)!0,x(2)!10.980000 2x(1)!2.71726,10103,x(2)!8.09698,1018-5.5730120,10309 1.42x(1)!0,x(2)!11.153330 101x(1)!2.28077,10102,x(2)!1.37916,1020-2.8248700,10306 1.62x(1)!0,x(2)!11.353330 101x(1)!1.69299,10103,x(2)!9.95408,1019-1.0109318,103091.82x(1)!0,x(2)!11.580000 101x(1)!1.88499,10103,x(2)!1.10902,1020-1.2403130,103092.02x(1)!0,x(2)!11.833330 101x(1)!1.30476,10103,x(2)!-2.22676,1020-3.7019995,10308 2.22x(1)!0,x(2)!12.113330 101x(1)!1.48876,10103,x(2)!2.12286,1019-4.9995037,10308 2.42x(1)!0,x(2)!12.420000 101x(1)!1.81431,10103,x(2)!1.23266,1020-8.2947708,10308 2.62x(1)!0,x(2)!12.753330 101x(1)!5.28182,10103,x(2)!3.32167,1019-1.8891057,103102.82x(1)!0,x(2)!13.113330 101x(1)!2.77578,10103,x(2)!4.03269,1019-2.5460911,103093.02x(1)!0,x(2)!13.500000 101x(1)!3.20881,10103,x(2)!5.90223,1019-3.6710456,10309表2 情形2∀算法2(x0=(∀,1)T)算法1(x0=(∀,1)T)迭代次数x*最优值迭代次数x* 最优值0.22x(1)!0.2,x(2)!1 0.48 6x(1)!0.07779,x(2)!0.01556 0.00594670.42x(1)!0.4,x(2)!1 0.42 6x(1)!0.16473,x(2)!0.06589 0.02224930.62x(1)!0.6,x(2)!1 0.32 6x(1)!0.27502,x(2)!0.16502 0.04327120.82x(1)!0.8,x(2)!1 0.18 5x(1)!0.44287,x(2)!0.35429 0.05428281.02x(1)!1.0,x(2)!1 0 2x(1)!1.00000,x(2)!1.00000 01.22x(1)!1.2,x(2)!1-0.22 2x(1)!4.99756,10103,x(2)!-3.29194,1018-3.4671348,10310 1.42x(1)!1.4,x(2)!1-0.48 101x(1)!3.81463,10103,x(2)!-2.10787,1018-1.3216242,10310 1.62x(1)!1.6,x(2)!1-0.78 101x(1)!3.58878,10103,x(2)!3.54846,1019-9.6293836,103091.82x(1)!1.8,x(2)!1-1.12 101x(1)!3.64849,10103,x(2)!6.18958,1019-8.9938505,103092.02x(1)!2.0,x(2)!1-1.50 101x(1)!4.09807,10103,x(2)!3.84194,1019-1.1470649,10310 2.22x(1)!2.2,x(2)!1-1.92 101x(1)!3.28328,10103,x(2)!1.57167,1020-5.3626603,10309 2.42x(1)!2.4,x(2)!1-2.38 101x(1)!3.62176,10103,x(2)!1.47605,1020-6.5982074,10309 2.62x(1)!2.6,x(2)!1-2.88 101x(1)!5.14778,10103,x(2)!1.68313,1019-1.7488987,103102.82x(1)!2.8,x(2)!1-3.42 101x(1)!6.50098,10103,x(2)!1.70756,1019-3.2708260,103103.02x(1)!3.0,x(2)!1-4.00 101x(1)!2.19182,10104,x(2)!5.10395,1019-1.1699615,10312参考文献:[1] Broyden C G.T he con vergen ce of a clas s of double rank m inimiz ation algorith ms[J].J In st M ath Appl,1970,6:76 90.[2] C oleman T F,Conn A R.On the local convergence of a qu asiN ew ton m ethod for the n 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