2.2.1对数与对数运算
共三课时
教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．
2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．
3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．
4．对数的初步应用.
教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则
教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导
教学方法：学导式
教学过程设计
第二课时
师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．
生：m n m n
a a a+
⋅= (m,n∈Z)；()m n mn
a a
= (m,n∈Z)；()n n n
ab a b
=⋅ (n∈Z)，
师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）
（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即
log
a （MN）=log
a
M+log
a
N．
（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）
师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式．
师：（板书）设log
a M=p，log
a
N=q，由对数的定义可以写成M=a p，N=a q．所以
M·N=a p·a q=a p+q，
所以log
a （M·N）=p+q=log
a
M+log
a
N．
即log
a （MN）=log
a
M+log
a
N．
师：这个法则的适用条件是什么？
生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．师：非常好．例如，（板书）log
2
（32×64）=？
生：log
2（32×64）=log
2
32+log
2
64=5+6=11．
师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．
师：（板书）log
62+log
6
3=？
生：log
62+log
6
3=log
6
（2×3）=1．
师：正确．由此例我们又得到什么启示？
生：这是法则从右往左的使用．是升级运算．
师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！
师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．
师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．
（给学生三分钟讨论时间．）
生：（板书）设log
a M=p，log
a
N=q．根据对数的定义可以写成M=a p，N=a q．所
以
师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？
生：（板书）
师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难
为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．
师：法则（2）的适用条件是什么？
生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．
师：（板书）lg20-lg2=？
师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．师：（板书）
例1 计算：
（学生上黑板解，由学生判对错，并说明理由．）：
（1）log
93+log
9
27=log
9
3×27=log
9
81=2；
（3）log
2（4+4）=log
2
4+log
2
4=4；
生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）
生：第（3）题错！法则（1）的内容是：
生：第（4）题错！法则（2）的内容是：
师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？
生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）．
师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即
log
a （N）n=n·log
a
N．
师：请同学们自己证明（给几分钟时间）师：法则（3）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
师：观察式子结构特点并加以记忆．生：从左往右仍然是降级运算．
师：例如，（板书）log
332=log
5
25=5log
5
2．练习计算（log
2
32）3．
（找一好一差两名学生板书．）
错解：（log
232）3=log
2
（25）3=log
2
215=15．
正确解：（log
232）3=（log
2
25）3=（5log
2
2）3=53=125．
（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）
师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即
