沈阳市高二上学期开学数学试卷(II)卷

2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．抛物线214y x =的焦点到准线的距离为（）A ．18B ．14C ．1D ．2【正确答案】D【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由214y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =，故选：D.2．下列式子错误的是（）A ．2577C =C B ．323544C =C +C C ．333553A =C A D ．4356A =4A 【正确答案】D【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.【详解】对于A ，B ，由组合数公式：()1*1,,,,m n m m m m n n n n n C C C C C m n m n N --+==+≤∈知，2577C =C ，323544C =C +C ，所以A 、B 正确；对于C ，因为m m n nm mA C A =得m m n n m m A C A =，所以333553A =C A ，所以C 正确.对于D ，455432120A =⨯⨯⨯=，36654120A =创=，4356A 4A ≠，所以D 不正确.故选：D.3．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．内切C ．外切D ．相交【正确答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ，圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切.故选：B4．已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．81【正确答案】A【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则11(5)(52)5522155(1)3C (1)3C r r r r rr rr rr r Txxx------+=-=-，由题意5312r-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为4153C 405-=-．故选：A ．5．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 【正确答案】B【分析】过点1A 作111A D B C ⊥，证明1A D ⊥平面11BCC B ，根据线面角的定义确定1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，解三角形求其正弦值即可.【详解】过点1A 作111A D B C ⊥，连接CD ，由已知1CC ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，所以11A D CC ⊥，因为1111B C CC C = ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1A D ⊥平面11BCC B ，所以1A CD ∠为1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，因为1A D ⊥平面11BCC B ，CD ⊂平面11BCC B ，所以1A D CD ⊥，所以1A CD △为直角三角形，由已知111A B C 为等边三角形，且112A B AB ==，所以1A D =，在11Rt A C C 中，112CC AA ==，112AC =，所以1A C =，在1Rt ACD中，1A C =，1A D =，所以111sin A D A CD A C ∠===，所以1AC 与平面11BCC B故选：B.6．已知点A 是抛物线2y x =上的动点，焦点为F ，点(1,2)B ，则||+||AB AF 的最小值为（）A ．74B ．2C ．94D ．52【正确答案】C【分析】由抛物线的定义转化后，当三点共线时取得最小值.【详解】∵2y x =，则2x y =，∴焦点1(0,4F ，准线l 方程14y =-，点(1,2)B 在抛物线上方，设过A 作l 的垂线，垂足为E ，∴由抛物线的定义知，||||AF AE =，如图所示，∴||||||||||AB AF AB AE BE +=+≥，当且仅当B 、A 、E 三点共线时取等号，当B 、A 、E 三点共线时，19||244BE =+=，故||+||AB AF 的最小值为94，故选：C.7．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种【正确答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有336A =种方法，再分配护士有422364233390C C C A A =，由分步计数原理可得：422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=，应选答案：D ．本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以33A 而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．8．设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得()220OP OF F P +=，其中O 为坐标原点，且122PF PF = ，则该双曲线的离心率为A ．3B 1CD 【正确答案】D【分析】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，可得12PF PF ⊥，利用双曲线的定义结合勾股定理解出该双曲线的离心率．【详解】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，则2OM PF ⊥，1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，设2PF m =，则12PF m =，且122PF PF a m -==，因此222(4)(2)(2)a a c +=，解得ce a==故选：D ．二、多选题9．已知双曲线22:14x C y -=，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1C ．双曲线C 的渐近线方程12y x =±D ．双曲线C 左支上的点到右焦点的最短距离为4【正确答案】ABC【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.【详解】解：双曲线22:14x C y -=中，224,1a b ==，所以2225c a b =+=，则2,1,a b c ===所以双曲线C的离心率为c aA 正确；双曲线的焦点为()到渐近线12y x =±1=，故B 正确，C 正确；双曲线C 左支上的点P 到右焦点2F的距离为22PF c a ≥++2，故D 不正确.故选：ABC.10．已知点()0,2F 为圆锥曲线C 的焦点，则C 的方程可能为（）A ．28y x=B ．218x y=C ．()221044x y m m m+=<<-D ．()221044y x m m m -=<<-【正确答案】BC分别计算四个选项中圆锥曲线的焦点，即可得正确选项.【详解】对于选项A ：28y x =中，4p =，所以22p=，可得焦点坐标为()2,0，故选项A 不正确；对于选项B ：由218x y =可得28x y =，所以4p =，所以22p =，可得焦点坐标为()0,2，故选项B正确；对于选项C ：2214x y m m+=-，因为04m <<，所以40m -<，所以原方程可化为2214y x m m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，由2a m =，24b m =-，所以22244c a b m m =+=+-=，所以焦点坐标为()0,2±，所以()0,2F 为圆锥曲线()221044x y m m m+=<<-的焦点，故选项C 正确；对于选项D ：2214y x m m -=-中，因为04m <<，所以40m -<，原方程可化为：2214y x m m+=-，当4m m =-即2m =时，22122y x +=表示圆，没有焦点当4m m >-即m>2时，2214y x m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，2a m =，24b m =-，()222424c a b m m m =-=--=-，焦点为(0,，不符合题意，当4m m <-即02m <<时，2214y x m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，24a m =-，2b m =，()222442c a b m m m =-=--=-，焦点为()，不符合题意，故选项D 不正确；故选：BC.11．已知圆C 的方程为()()22114x y -+-=，直线l 的方程为20x my m +--=，下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过定点()2,1B ．直线与圆相交C ．直线被圆所截最短弦长为D ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C 【正确答案】ABC【分析】化简直线l 的方程为2(1)0x m y -+-=，结合方程组的解，可判定A 正确；求得圆心到定点()2,1的距离，得到点P 在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B 正确；根据圆的性质，得到当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C 正确；将圆心坐标代入直线l 的方程，可判定D 不正确.【详解】对于A 项：由直线l 的方程20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，联立方程组2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，即直线l 恒经过定点()2,1P ，所以A 正确；对于B 项：由圆C 的方程()()22114x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，半径2r =，又由12PC r =<=，可得()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以B 正确；对于C 项：由1PC =，根据圆的性质，可得当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为==C 正确；对于D 项：将圆心(1,1)C 代入直线l 的方程20x my m +--=，可得1210m m +--=-≠，所以不存在一个实数m ，使得直线l 过圆心C ，所以D 不正确.故选：ABC.12．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b .双曲线2C 和椭圆1C 焦点相同，且双曲线2C 的离心率为2e ，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，若123F MF π∠=，则下列说法正确的是（）A ．21e e =B ．1234e e =C ．22122e e +=D ．221232e e -=【正确答案】AC设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，由12PF F △的面积为2b ，可得b c =，可求得1e ，设12,MF m MF n ==，利用定义可得，12,2m n a m n a +=-=，则22221()()4m n m n mn a a +--==-，在12MF F △中，由余弦定理可得222242cos ()33c m n mn m n mn π=+-=+-，代入化简，利用离心率公式可求出2e 【详解】解：设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，因为椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b 。

辽宁省沈阳市东北育学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列可使a，b，c构成空间的一个基底的条件是（）A ．a mb nc =+B ．a ，b ，c 两两垂直C ．||||||1a b c === D ．0a b c ++= 2．已知直线1l ：230ax y ++=，直线2l ：210x ay a +++=，则命题p ：12//l l 是命题q ：2a =-的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知双曲线22:19x y C m-=m 的值为（）A ．18B ．C ．27D ．4．若方程22230x y mx y ++-+=表示圆，则m 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．((),-∞-⋃+∞C ．(,-∞D ．((),-∞-⋃+∞5．已知椭圆22:1204x y C +=的两焦点分别为12,,F F P 为椭圆C 上一点且12PF PF ⊥，则12PF PF -=（）A ．B ．C ．D ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA 与OB 关于y 轴对称，若向量(1,0)a =满足20OA a AB +⋅=，记A 的轨迹为E ，则（）A ．E 是一条垂直于x 轴的直线B ．E 是两条平行直线C ．E 是一个半径为1的圆D ．E 是椭圆7．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，则（）A ．GE =B ．点C 的坐标为(2,2,-C ．O ，E ，F ，A 四点共面D ．直线CE 与直线DG 8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，若21225MNF MF F S S = 且2121F F N F NF ∠∠=，则椭圆C 的离心率为（）A ．35B C ．13D 二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．若空间向量()1,0,1a = ，()0,1,1b =- ，则a 在b 上的投影向量为110,,22⎛⎫- ⎝⎭B ．若空间向量a ，b满足0a b ⋅> ，则a 与b 夹角为锐角C ．若对空间中任意一点O ，有211362OP OA OB OC =-+，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若直线l 的方向向量为()2,4,2m =- ，平面α的一个法向量为()1,2,1n =--，则l α⊥10．已知点P 是左、右焦点为1F ，2F 的椭圆C ：22184x y+=上的动点，则（）A ．若1290F PF ∠=︒，则12F PF 的面积为B ．使12F PF 为直角三角形的点P 有6个C ．122PF PF -的最大值为6-D ．若11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1PF PM +的最大、最小值分别为11．四叶草又称“幸运草”，有一种说法是：第一片叶子代表希望､第二片叶子表示信心､第三片叶子表示爱情､第四片叶子表示幸运.在平面直角坐标系中，“四叶草形”曲线Γ的方程为()3222224(0)xy a x y a +=>，则下列关于曲线Γ的描述正确的有（）A ．其图象是中心对称图形B ．其图象只有2条对称轴C ．其图象绕坐标原点旋转90 可以重合D ．其图象上任意两点的距离的最大值为4a三、填空题12．已知()1,2,0A -，()1,2,0B ，()2,1,3C -，点(),0,P x z ，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为．13．已知直线():2l y k x =-与圆22:20M x y x m +++=相交于,A B 两点，当AMB 的面积取得最大值时，直线l 的斜率为m =.14．已知椭圆22Γ:14x y +=，过椭圆右焦点F 作互相垂直的两条弦AB ，CD ，则4AB CD+的最小值为．四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点分别是()5,1A ，()7,3B -，()8,2C -.(1)求BC 边上的高所在的直线方程；(2)若直线l 过点A ，且与直线10x y ++=平行，求直线l 的方程；(3)求BC 边上的中线所在的直线方程.16．已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线:3450m x y ++=相切.(1)求圆A 的方程;(2)过点()0,1B -的直线l 与圆A 相交与,M N 两点，当MN =时，求直线l 方程；(3)已知实数,x y 满足圆A 的方程，求()()2²2²x y -++的最小值.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，6AC =，8BC =，10AB =，18AA =，点D 是AB 的中点，1CC ⊥平面ABC .(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求1AA 与平面1CDB 所成角的正弦值.18．设常数0m >且1m ≠，椭圆Γ：2221x y m+=，点P 是Γ上的动点．(1)若点P 的坐标为()2,0，求Γ的焦点坐标；(2)设3m =，若定点A 的坐标为()2,0，求PA 的最大值与最小值；(3)设12m =，若Γ上的另一动点Q 满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点），求证：O 到直线PQ 的距离是定值．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12经过点1F 且倾斜角为π02θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），且2ABF △的周长为8．将平面xOy 沿x 轴向上折叠，使二面角12A F F B --为直二面角，如图所示，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A '，B '．(1)当π3θ=时，①求证：2A O B F ''⊥；②求平面12'A F F 和平面2''A B F 所成角的余弦值；(2)是否存在π02θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，使得折叠后2A B F '' 的周长为152？若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由．。

辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1-B ．13．若32nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中存在常数项，则正整数A ．5B ．64．已知直线()1y k x =-与双曲线（）A ．33±B ．±5．2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（A ．1800B ．10806．已知直线l ：20x y ++=与和2l ：420my x m --+=交于点A ．10B ．5A．23二、多选题9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的是（）A．轨道Ⅱ的焦距为R r-B．轨道Ⅱ的长轴长为R r+C．若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小D．若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大10．将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中.下列说法正确的是（）=种放法A．共有44A24A ．1D C 与EF 所成角为B ．平面EFG 截正方体所得截面的面积为C ．1//AD 平面EFGD ．若APD FPC ∠∠=12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y +=结论，其中结论正确的有（A ．曲线C 围成的图形的面积是B ．曲线C 围成的图形的周长是C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过D ．若(,)P m n 是曲线C 三、填空题13．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 的中点，则平面AMN 与平面14．已知椭圆22122:x y C a b +=直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段15．现有7名志愿者，其中只会俄语的有人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，种不同的选法．16．已知椭圆2222:x y C a b+点，12AF F △的内切圆的圆心为为.四、解答题17．如图，一个正方形花圃被分成（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法（2）若向这5个部分放入的放法?18．已知抛物线2:2C y px =B 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)如果4OA OB ⋅=-，直线试说明理由．19．如图，在四棱锥(1)证明：平面PBC ⊥平面(2)求直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值；20．已知,m n 是正整数，(1(1)当展开式中2x 的系数最小时，求出此时(2)已知12122m n x +-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数的最大值为(1)求证：FG 平面111A B C ；(2)若平面ABC ⊥平面11BCC B ，点Q 为BC 的中点，2AB AC BC ===，则在线段是否存在一点M ，使得二面角11M B Q C --为60 ，若存在，求1AMMC 的值；若不存在，说明理由.22．动点(),M x y 与定点()3,0F的距离和M 到定直线:23l x =的距离之比是常数。

辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．12B ．148．已知60,ACB P ∠=︒为平面ABC 为2，则P 到面ABC 的距离（A ．33B ．233二、多选题9．给出下列命题，其中正确的命题是（A ．若直线l 的方向向量为(e =B ．若对空间中任意一点O ，有C ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则D ．=a b a b -+ 是,a b 共线的充要条件10．下列说法错误的是（）A ．直线30x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是B ．若三条直线0,x y x y +=-合为{}1,1-C ．经过点()1,2且在x 轴和y 10x y -+=D ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为11．在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为A ．AO =111222AB AC AA '++uu ur uuu r uuu r C ．三棱锥A BB O '-的体积为四、解答题17．已知直线()12:310,:2210l mx y l x m y m ++=+++-=．(1)若1l 与2l 垂直，求实数m 的值；(2)若直线2l 在两个坐标轴上的截距的绝对值相等，求实数m 的值．18．在棱长为2的正四面体ABCD 中，BM MC = ．(1)设AB a = ，AM b = ，(2)若AN AD λ= ，且AM 19．已知直线:2l x y -+(1)求2222m n m n +-+的最小值：(2)求PB PA -的最大值，以及最大值时点20．如图，在正四棱锥P 中点，12BE EP =.(1)求证：DM 平面EAC ；(2)求：（i ）直线DM 到平面EAC 的距离；（ii ）求直线MA 与平面EAC 所成角的正弦值21．在ABC 中，已知()3,2A -，B (1)求直线CD 的一般式方程；(2)若点C 在x 轴上方，ACD 的面积为求直线l 的方程.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PB ⊥(1)求点A到平面PBC的距离；(2)E为线段PC上一点，若直线AE 与平面ABCD夹角的余弦值．。

沈阳市第二十中学2024-2025学年度（上）高二年级阶段验收数学试卷考试时间：120分钟考试分数：150分第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线的倾斜角是，则（ ）A ．B ．C．D ．2．已知空间向量，则在上的投影是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知点与关于直线对称，则（ ）A ．B ．C ．0D ．34．已知某圆的方程为，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．C ．D ．5．如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且，若P 是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）ABCD6．已知，则异面直线与之间的距离是（ ）AB ．CD ．27．直线与直线相交于点P ，对任意实数m ，直线:3410l x y +-=αsin α=45-35-3545(1,1,1),(2,0,0)a b == a b (1,0,0)11,1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0,0)222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0)A (0,4)B 0ax y b ++=a b +=4-2-2210x y mx y ++++=(,)-∞+∞ (,)-∞+∞ [1111ABCD A B C D -ABCD 11A ADD 1120,2A AB AB ∠=︒=1C D 1CD AP DC (0,1,0),(2,1,0),(1,0,0),(0,1,1)A B C D --AB CD 121(1):220l x m y m ++--=2:(1)220l m x y m +---=分别恒过定点，则的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．48．如图，在棱长为1的正方体中，点M 是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．过），且在x 轴与y 轴上的截距都相等的直线有（ ）A ．B ．C ．D ．10．在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）．A ．若点P 在直线上，则B ．若点P 在直线上，则C ．若点P 在平面内，则D ．若点P 在平面内，则11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且．则下列结论中正确的有（ ）A ．三棱锥的体积为定值B ．当E 向运动时，二面角的大小不变C ．二面角的最小值为12,l l ,A B ||||PA PB+1111ABCD A B C D -11ADD A 11BC BM ⋅= 1BC BM 75︒30︒45︒60︒(1,2)A 1x =2y x =10x y -+=30x y +-=111ABCD A B C D -1,,AB a AD b AA c === AP xa yb zc =++ 1A D 1x y +=1AC x y z ==1A BD 1x y z ++=11B BDD 1x y +=1111ABCD A B C D -11B D ,EF EF =A BEF -1D A EFB --E ABC --45︒D ．当E 向运动时，总成立第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，若，则_______．13．平面上有四条直线，它们的方程分别是．则由这四条直线围成四边形的面积是_______．14．将由一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的多面体放在空间直角坐标系中，使得A 为坐标原点，如图所示．已知，且该多面体所有的顶点都在球上，令球在坐标平面内正射影的边缘为圆，则圆在平面坐标系内的标准方程为_______，令正四棱锥的内切球在坐标平面内正射影的边缘为圆，则圆在平面坐标系内的标准方程为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）（1）求过三点的圆的一般方程；（2）求过两点和，且圆心在x 轴上的圆的标准方程．16．（本题15分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．（1）证明：平面；1D AE CF ⊥()2(1,,),,,32a m n b m n == //a b mn =21,4250,1,40y x x y y x x y =+-+==-++-=1111ABCD A B C D -1111P A B C D -A xyz -12,1AB AA ==1O 1O A xy -1O '1O 'A xy -1111P A B C D -2O A xz -2O '2O 'A xz -(1,0),(0,1),(2,3)A B C (1,2)C-(1,D 111ABC A B C -1,2,,,BA BC BA BC BB D E F ⊥===111,,AA B C AB //EF 11ACC A（2）求直线与平面所成角的正弦值．17．（本题15分）如图，在以P的圆锥中，底面圆O 的直径长为是圆O 所在平面内一点，且是圆O 的切线，连接交圆O 于点D ，连接．（1）求证：平面平面；（2）若E 是的中点，连接，当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．18．（本题17分）已知直线．（1）若当时，，当时，，求的值；（2）经过的定点记为关于的对称点记为N ．①求点N 的坐标；②在上是否存在点P ，使得的面积为2，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由．19．（本题17分）如图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点E 是棱上的动点（不含端点B ）．（1）求二面角平面角余弦的最小值；（2）当E 为棱的中点时，在平面内的射影是F ，求点F 到平面的距离．CE DEF AB 2,C AC BC ,PD PC PBC ⊥PAC PC ,OE ED 120BOD ∠=︒PAC DOE 12:(1)20,:35l x y l y x λλλ++++==+1λλ=12//l l 2λλ=12l l ⊥12λλ+1l ,M M 2l 2l PMN V 111ABC A B C -ABC V 11124,2AB A B CC ===1CC ⊥ABC 1BB C AE B --1BB 1A ACE ABC高二期初月考数学参考答案及评分标准1．C2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．D 8．D 9．BD 10．BCD 11．ABC 12．1613．14．15．解：（1）设圆的一般方程为，……1分由题将三点代入得：……4分解得，所以所求圆的一般方程为；……6分（2）由题，设圆心为，，……7分，即，……10分，……12分∴圆的标准方程为．……13分（若用其他方法，适当给分）16．解：（1）证明：取的中点G ，连接，因为分别为的中点，所以，……2分又E 为的中点，，所以，……4分所以四边形是平行四边形，所以，……5分32229(1)(1)4x y -+-=22(1)(3x z -+=-220x y Dx Ey F ++++=101049230DF E F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩332D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩223320x y xy +--+=(,0)M a ||||MC MD = 2222(1)(02)(1)(0a a ∴++-=-+-222142112a a a a +++=-++2,||a r MC ∴===22(2)13x y -+=AC 1,FG GC ,F G ,AB AC 1//,2FG BC FG BC =11B C 1111//,BC B C BC B C =11//,FG EC FG EC =1EFGC 1//EF GC又平面平面，所以平面……6分（2）在直三棱柱中，平面，又平面平面，所以，又，故以B 为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，……8分则，所以，设平面的法向量为，则令得，所以平面的一个法向量为，……12分设直线与平面所成的角为，则，……14分即直线与平面15分17．解：（1）证明：因为是圆O 的直径，与圆O 切于点A ，所以，又底面圆底面圆，EF ⊂/111,ACC A GC ⊂11ACC A //EF 11ACC A 111ABC A B C -1BB ⊥ABC BA ⊂,ABC BC ⊂ABC 11,BB BA BB BC ⊥⊥BA BC ⊥1,,BA BC BB ,,x y z (0,2,0),(2,0,1),(0,1,2),(1,0,0)C D E F (1,1,2),(1,0,1),(0,1,2)FE FD CE =-==- DEF (,,)m x y z =200m FE x y z m FD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =3,1y z ==-DEF (1,3,1)m =- CE DEF θ||sin |cos ,|||||m CE m CE m CE θ⋅=〈〉=== CE DEF AB AC AC AB ⊥PO ⊥,O AC ⊂,O PO AC ∴⊥平面，平面平面，……2分在中，，则，……4分因为平面，所以平面．又平面，所以平面平面……6分（2）底面圆O ，如图以O 为原点，在底面圆O 内过点作的垂线为x 轴，分别为轴建立空间直角坐标系，……7分得，，由（1）知，为平面的一个法向量，……9分设平面的一个法向量为，，，即，令，所以平面的一个法向量为，……13分，……14分所以平面与平面．……15分,,PO AB O PO AB =⊂ PAB AC ∴⊥,PAB PB ⊂,PAB AC PB ∴⊥PAB V 2PA PB AB ===222,PA PB AB PA PB +=∴⊥,,PA AC A PA AC =⊂ PAC PB ⊥PAC PB ⊂PBC PBC ⊥PAC PO ⊥ AB ,OB OP ,y z 1(0,1,0),(0,1,0),,0,1,02A B D C ⎫⎫---⎪⎪⎪⎪⎭⎭11(0,0,1),,22P E ⎫-⎪⎪⎭(0,1,1)m BP ==- PAC ODE (,,)n x y z =111,,,0222OE OD ⎫⎫=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭00n OE n OD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 11022102x y z x y -+=-=x =3,1y z ==ODE n = cos ,||||m n m n m n ⋅∴===⋅ PAC ODE18．解：（1）依题有，……4分解得，所以；……6分（2）①因为，所以，即，所以，……8分令，由对称性知，解得，，所以……10分②由上知，……11分直线方程为，……12分令，则P 到的距离13分而三角形的面积为2，所以有，即， (4)于是，解得或，……16分()1112212315310λλλλλ++⎧=≠⎪-⎨⎪-+=⎩123412λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1214λλ+=-(1)20x y y λ++++=1020x y y ++=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=-⎩(1,2)M -(,)N x y 2135222113y x y x -+⎧=⨯+⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩50x y =-⎧⎨=⎩(5,0)N -||MN ==MN 350x y ++=()00,35P x x +MN d PMN 122d =⨯d =05101x +=095x =-115-从而在直线上，存在点或……17分19．（1）取棱的中点D ，有，又平面平面，所以，在平面中，过点C 作，所以，，……2分以C 为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，因为是等边三角形，，所以，因为，所以．设，所以，……4分所以．设平面的一个法向量为，又，所以，即，令，得的一个法向量为，……6分设平面的法向量为，又，所以，即，令，得，2l 92,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭118,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭AB CD AB ⊥1CC ⊥,ABC AB ⊂ABC 1CC AB ⊥ABC //CF AB 1,CC CF CD CF ⊥⊥1CCCD ⊥1,,CD CF CC ,,x y z ABC V 11124,2AB A B CC ===12,0),2,0),(0,0,2)A B C-1112C B CB = 12)B 1((0,1])BE BB λλ=∈ 1(,,2)BE BB λλλ==- ,2,2)E λλ-ABE ()1111,,n x y z =(0,4,0),(,4,2)AB AE λλ==- 1100AB n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 111140(4)20y x y z λλ=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩12x =110,y z ==ABE 1n = ACE ()2222,,n x y z = (2,0)AC =- 2200AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2222320(4)20y x y z λλ⎧-+=⎪⎨+-+=⎪⎩21x =2y z ==所以平面的一个法向量为，……8分设平面与平面的夹角为，所以设，因为，所以，所以，所以，所以当时，平面与平面的夹角的余弦值最小，最小值为；……10分（2）因为E为点，由（1）知，平面的一个法向量是，因F 在平面内，所以令，所以，……12分所以，ACE 2n ⎛= ⎝ ABE ACEθ121212coscos ,n n n n n n θ⋅===⋅ 3(2)625t λλλ-=+=-(0,1]λ∈(,1]t ∈-∞-1[1,0)t ∈-cos θ===11t=-ABE ACE 173,12E ⎫⎪⎪⎭ACE n =-ACE CF CA CE λμ=+ 32,0),12CF λμ⎫=-+⎪⎪⎭3,2,2F μλμμ⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭又，所以，……14分因平面，所以，，……15分即，解得，……16分这样点F 的竖坐标为，也就是说，F 到平面的距离是……17分11,2)A -1321,22A F λμμ⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭ 1A F ⊥ACE 1//A F n==83412112λμλμ+=⎧⎨-=⎩831μ=831ABC 831。

2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学（答案在最后）（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．椭圆22169x y +=的短轴长为（）A ．B ．C ．3D ．62．5(1)x -的展开式中含2x 的项是（）A ．25x-B ．25xC ．210x -D ．210x3．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,3,5,0,2,2,2,,1A B C t ----，若,,A B C 三点共线，则t 的值为（）A ．2-B ．7-C ．10D ．134．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画时，可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，则可配成的不同颜色种数为（）A ．3256种B ．27种C ．3255种D ．6种5．若双曲线221412x y -=上一点P 到其右焦点的距离是8，则点P 到其左焦点的距离是（）A ．4B ．10C ．2或10D ．4或126．已知(61a -=+,a b 均为有理数），则a 的值为（）A ．90B ．91C ．98D ．997．已知抛物线2:4E y x =，圆22:2C x y x +=，过圆心C 作斜率为k 的直线l 与抛物线E 和圆C 交于四点，自上而下依次为,,,A M N B ，若2AM NB MN +=，则k 的值为（）A ．B ．C ．2±D ．28．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（）A ．90种B ．120种C ．160种D ．190种二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知直线:2210l x y ++=，则（）A ．()1,1m =-是直线l 的法向量B ．直线l 的倾斜角为135︒C ．直线1:0l x y n --+=与直线l 平行的充要条件是12n ≠D ．直线l 在两坐标轴上的截距相等10．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,0,0,1,1,2,2,3,1A B C -，则（）A ．5AB BC ⋅=-B ．AC =C ．异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为1530D ．OB 在BC 上的投影的数量为1411．已知()62370123732(1)x x a a x a x a x a x -+=+++++ ，则下列结论正确的是（）A ．02a =-B ．385a =C ．2370123722222916a a a a a +++++= D ．135732a a a a +++=12．离心率为512-的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆22121222:1(0),,,,x y C a b A A B B a b+=>>为顶点，12,F F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A ．长轴长为4，短轴长为52-B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21PO A B ∥D ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆221:(2)(1)4O x y +++=和圆222:(1)(3)9O x y -+-=的位置关系是______．14．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．15．如图，在正六边形ABCDEF 中，以,F C 为焦点，且经过点,,,A E B D 的双曲线的离心率e =______．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是过顶点11,,,B D D B 的圆上的一点，Q 为1CC 的中点．当直线PQ 与平面ABCD 所成的角最大时，点P 的坐标为______；直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）已知()3266C C 1m m m -=≠，计算：1236678C C C C m m m m ++++++；（2）解方程：72343C 5A x x x ---=．18．（12分）如图，,M N 分别是四面体O ABC -的棱,OA BC 的中点，,P Q 是MN 的三等分点（点P 靠近点N ），记,,AO a AB b AC c ===．（1）以{},,a b c为基底表示OQ ；（2）若1,2,,32a b c OAB OAC CAB ππ===∠=∠=∠= ，求OQ ．19．（12分）圆22:8O x y +=内有一点()01,2P ，过点0P 的直线交圆O 于,A B 两点．（1）当0P 为弦AB 的中点时，求直线AB 的一般式方程；（2）若圆O 与圆22:(1)(1)9C x y +++=相交于,E F 两点，求EF 的长度．20．（12分）已知2nx x ⎛+ ⎝的展开式的所有二项式系数之和为64．（1）求该二项式及其展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项．21．（12分）如图，AD BC ∥且2,,AD BC AD CD EG AD =⊥∥且,EG AD CD FG =∥且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；（2）求二面角E BC F --的平面角的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．22．（12分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)6,0F，其渐近线与抛物线2C ：22y px =交于点(2．（1）求双曲线1C 及抛物线2C 的标准方程；（2）设A是双曲线1C与抛物线2C在第一象限的交点，作直线l与双曲线1C的两支分别交于点,M N，使得 ．求证：直线MN过定点．AM AN2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学参考答案及评分标准一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B 【解析】在椭圆22169x y +=中，b =，所以短轴长为2b =．2．C【解析】5(1)x -的展开式的通项公式为515C (1)k kk k T x-+=⋅⋅-，所以含2x 的项是323245(1)10T C x x =⋅⋅-=-．3．B 【解析】因为()()2,5,3,4,3,6AB AC t =--=-- ，且,,A B C 三点共线，所以352t -=-⨯，解得7t =-．4．A【解析】分3步取色，第一、第二、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成3256256256256⨯⨯=（种）不同的颜色．5．D 【解析】由双曲线的方程可得224,12a b ==，所以22,41216a c ==+=，可得4c =．设右焦点为F ，左焦点为F '．当点P 在左支上时，则6PF a c ≥+=，所以28224PF PF a =-=-⨯='；当点P在右支上时，282212PF PF a =+=+⨯='．6．D【解析】因为(61-的展开式的通项公式为616C (,(1kk k T a +=⋅-=+，所以(((2462466666C C C C 99a =+⨯+⨯+⨯=．7．A 【解析】如图，圆22:(1)1C x y -+=的圆心为()1,0C ，半径1r=，且(1,0)C 为抛物线2:4E y x=的焦点，抛物线E的准线方程为1x =-．设()()1212,,,A y B x y x ，则1212112AB AC BC x x x x =+=+++=++．因为24AM NB MN +==，所以6AB =，则124x x +=．设直线l 的方程为()1y k x =-，显然0k ≠，由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，所以2122244k x x k++==，解得k =．8．B 【解析】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，则三个盒子内每个至少再放入1个球．将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中即可，不同的放法共有216C 120=（种）．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．BD 【解析】A ：直线:2210l x y ++=的一个法向量为()2,2，但()1,1m =-与向量()2,2不共线，A错误；B ：直线:2210l x y ++=的斜率为1-，故倾斜角为135︒，B 正确；C ：把直线1:0l x y n --+=的方程改写为2220x y n +-=，则直线1l ，l 平行的充要条件是21n -≠，即12n ≠-，C 错误；D ：直线:2210l x y ++=在,x y 轴上的截距分别是11,22--，D 正确．故选：BD ．10．AC 【解析】A ：()()1,1,2,1,2,3AB BC =--= ，所以1265AB BC ⋅=-+-=-，A 正确；B ：()0,3,1AC = ，所以09110AC =++=B 错误；C ：()1,1,2OB =- ，所以1146OB =++=，所以异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为03215cos ,30610OB AC OB AC OB AC⋅==⨯⋅，C 正确；D ：14914BC =++= ，所以OB 在BC 上的投影的数量为1263141414OB BC BC⋅==-，D 错误．故选：AC ．11．ACD【解析】A ：令0x =，得()0212a =-⨯=-，A 正确；B ：6(1)x +的展开式的通项为()16C 0,1,2,,6k kk T x k +== ，所以233415,20T x T x ==，所以()632(1)x x -+的展开式中3x 项的系数()33152205a =⨯+-⨯=，B 错误；C ：令2x =，得()2376012372222322(12)2916a a a a a +++++=⨯-⨯+= ，C 正确；D ：令1x =，得()60127312(11)64a a a a ++++=⨯-⨯+= ．令1x =-，得01270a a a a -+--= ．两式相减，得()1357264a a a a +++=，所以135732a a a a +++=，D 正确．故选：ACD ．12．BD【解析】A ：当长轴长为4，短轴长为2-时，512,12a b a b e a-==-⇒==≠，A 不符合题意；B：当11290F B A ∠=︒时，2111211121tan tan OB OFB A A F B O b ac OA OB ∠==∠=⇒=，即222510102a ac c e e e ---=⇒--=⇒=，B 符合题意；C：当1PF x⊥轴，且21PO A B ∥时，21b PF a ==，且11121121tan tan OB PF B A A FOP b c a OA OF ∠==∠=⇒=⇒=，则25122c e a -==≠，C 不符合题意；D ：当四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 时，点O 到直线22A B 的距离为c ，此时42221sin 310cB A A e e e a∠===⇒=⇒-+=，解得2352e =．又2310122e e e --<<⇒=⇒=，D 符合题意．故选：BD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．外切【解析】根据两圆的方程可知()()1212,1,1,3,2O O r --=，23r =，所以12125O O r r ===+，所以两圆外切．14．216【解析】最左端排甲，共有55120A =（种）；最左端排乙，最右端不能排甲，有1444C A 96=（种），所以不同的排法共有12096216+=（种）．151+【解析】设正六边形ABCDEF 的半径为r ，如图，连接,FC DF ，则,2DC r FC r ==．又90CDF ∠=︒，所以DF =．依题意，双曲线的实轴长)21a DF DC r =-=-，焦距22c FC r ==，所以该双曲线的离心率212c e a ===．16．1)+150,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】过点O 作11B D 的垂线并延长，交 11B D 于点E ，易得()()0,2,1,1,1,1OE Q E =，所以(1,QE =-．由图可知当点P 在点E 的位置时，直线PQ 与平面ABCD所成的角最大．易得平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =．设直线QE 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin cos ,5QE nQE n QE nθ⋅===⋅，即直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值为155．当PQ ∥平面ABCD 时，直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值最小，为0，所以直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是150,5⎡⎢⎣⎦．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）因为()3266C C 1m m m -=≠，所以326m m +-=，解得2m =，所以1231236678778C C C C C C C mm m m m m m +++++++++=++2388C C m m ++=+39C m +=59C =126=．（2）由72343C 5A x x x ---=，得()()()()33!54!7!4!6!x x x x --=--，即()()33654!x x --=，所以()()3640x x --=，解得1211,2x x ==-（舍去），所以原方程的解为11x =．18．解：（1）OQ OM MQ =+()1123AO MA AB BN=-+++()11112322a a b c b ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦211366a b c =-++ ．（2）2222411221936369918OQ a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅41121211112093699292=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+14=，所以12OQ = ．19．解：（1）直线AB 的斜率显然存在．因为0P 为弦AB 的中点，由垂径定理得0OP AB ⊥．又因为020210OP k -==-，所以12AB k =-，故直线AB 的方程为()1212y x -=--，整理，得直线AB 的一般式方程为250x y +-=．（2）228x y +=与22(1)(1)9x y +++=相减，得2210x y ++=，所以直线EF 的方程为2210x y ++=．圆心()0,0O 到直线EF的距离24d ==．由垂径定理得EF的长度为2==．20．解：（1）由题意，得264n =，解得6n =，所以该二项式为62x ⎛+ ⎝，则通项公式为：36662166C (2)C 2k k k k k k k T x x ---+==．令3602k -=，解得4k =，所以该二项式的展开式中的常数项为42416C 260T +==．（2）设第1k +项的系数最大，则6176661566C 2C 2,C 2C 2,k k k k k k k k ----+-⎧≥⎨≥⎩解得4733k ≤≤，则2k =，所以展开式中系数最大的项为2433216C 2240T x x +==．21．解：（1）法一：如图1，取DG 的中点为Q ，连接,NQ MQ ．又因为,M N 分别为,CF EG 的中点，所以,MQ CD NQ DE ∥∥．因为,CD DE ⊂平面,,CDE MQ NQ ⊄平面CDE ，所以MQ ∥平面,CDE NQ ∥平面CDE ．又因为,,MQ NQ Q MQ NQ =⊂ 平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面CDE ．因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面CDE．图1图2法二：以D 为坐标原点，建立如图2的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,2,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0,2D A B C E ，()()()30,1,2,0,0,2,1,0,2,0,,12F G N M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．()()0,2,0,2,0,2DC DE == ．设平面CDE 的法向量为()0000,,n x y z = ，则0000020,220,n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令01z =-，得()01,0,1n =- ．31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则00MN n ⋅= ，即0MN n ⊥ ．又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（2）()()()1,0,0,1,2,2,0,1,2BC BE CF =-=-=- ．设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，则0,220,n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1z =，得()0,1,1n = ．设平面BCF 的法向量为(),,m a b c = ，则0,20,m BC a m CF b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1c =，得()0,2,1m = ．设二面角E BC F --的平面角为θ，显然θ为锐角，所以二面角E BC F --的平面角的余弦值为310cos 10m n m n θ⋅===，则二面角E BC F --的平面角的正弦值为sin 10θ==．（3）设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()1,2,BP t =-- ．平面ADGE 的一个法向量为()10,1,0n = ．因为直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，所以12cos ,2n BP ==，解得t =．则(DP = ．由（1）知平面CDE 的一个法向量为()01,0,1n =- ，所以点P 到平面CDE的距离002n DPd n ⋅== ．22．解：（1）双曲线1C 的渐近线方程为b y x a =±．因为)F ，双曲线1C的渐近线过点(，所以226,b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩则双曲线1C 的标准方程为22124x y -=．由抛物线2C过点(，得22p =，则抛物线2C 的标准方程为22y x =．（2）由题意知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+．联立221,24,x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()2222240k x kmx m ----=，则()()()222222Δ44248420k m k m m k =--+=+->，212122224,22km m x x x x k k --+==--，所以()12122422m y y k x x m k+=++=-，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++22222224222m k m k m k k --=⋅++--222242m k k-=-．联立2222,24,y x x y ⎧=⎨-=⎩解得2,2,x y =⎧⎨=±⎩所以()()()11222,2,2,2,2,2A AM x y AN x y =--=-- ．由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅= ，即()()()()12122222AM AN x x y y ⋅=--+-- ()()12121212228x x y y x x y y =+-+-++222222242448802222m m k km m k k k k---=+--+=----．整理，得221248120k km m m +-+-=，即()()22660k m k m +--+=．显然()2,2A 不在直线MN 上，即220k m +-≠，所以660k m -+=，满足Δ0>，所以直线MN 的方程为()6666y kx k k x =++=++，。

辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1717B ．227．若点(,)A m n 在圆222C x y +-:A ．350,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．400,9⎡⎢⎣8．若正方形ABCD 的边长为a ，A ．22B ．34C ．36二、多选题9．在下列四个命题中，正确的是（）A ．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0B ．任意直线都有倾斜角α，且当90 α≠时，斜率为tanC ．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD ．直线的倾斜角越大，则其斜率越大10．已知直线l ：()2330ax a y +--=与n ：()2a x ay ++-（）A ．当2a =时，//l nB ．当13a =时，l n⊥C ．若//l n ，则l ，n 间的距离为102D ．原点到l 的距离的最大值为511．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0，1)，且被y 轴分成两段，弧长之比为圆C 的方程为（）A ．x 2＋3()3y +2＝43B ．x 2＋(y -C ．3()3x +2＋y 2＝43D ．3()3x -12．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，A ．存在点P ，使1ACB ．存在点P ，使PEC ．四面体11EPCD 的体积为定值D ．二面角1P DE C --三、填空题13．过点()1,2P 引一直线14．点()2,3在圆22x y +15．已知直线13l y kx =+：两坐标轴围成一个凸四边形，则此四边形面积的取值范围是16．如图，已知ABCD 和531AB DC EF ===，，，M ，N 分别为AE ，BC 的中点，直线四、解答题17．已知直线1:(2)80l m x my ++-=与直线2:40,R l mx y m +-=∈．(1)若12l l //，求m 的值，并求出两平行线间的距离；(2)若点(1,)P m 在直线2l 上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线M N的坐标(用k表示)及直线MN的斜率（1）求点,的面积为S，试求出S的取值范围（2）令AMN22．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，、E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB CD腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG得到了一个“刍甍”(如图2)。

2022-202310一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l经过点和点，则直线l的斜率为()A. B.5 C. D.3= 2.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则()A.4B.3C.2D.13.直线与直线间的距离为()A.1B.2C.3D.44.已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是()A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则m//n5.已知某圆锥的底面圆半径为5，它的高与母线长的和为，则该圆锥的侧面积为()A. B. C. D.65π6.已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，N 是PD的中点，向量，则()A.，B.，C.，D.，w=7.在平行六面体中，，，，，,则的长为()A.3B.C.D.58.已知EF 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M 在正方体表面上运动，则的最小值为()A.B.C.D.0二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，则的可能取值为()A.0B.C.D.10.已知向量，，，则() A. B.C.D.与的夹角为11.在正方体中，下列结论正确的是()A.直线BD 与所成的角为45°C.二面角的正弦值为B.异面直线BD 与所成的角为60。

D.二面角的正弦值为12.已知正三棱柱的所有棱长都为2，N 为棱的中点，点M 在线段BC 上运动包含端点，下列说法正确的是()A.当点M 与点B 重合时，三棱锥的体积最大B.线段BC 上存在唯一一点M ，使得为直角三角形C.有最小值，且最小值为D.设直线NM 与平面所成的角为，则的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若直线与直线关于x轴对称，则.__________14.已知，则.__________15.已知，，，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积是.16.如图，圆锥的母线长是4，底面圆半径是2，S为顶点，O为底面中心，M为线段SO上的一点，动点P在圆锥底面内包括圆周若，点P运动形成的轨迹长度为，则.四、解答题：本题共6小题，共70分。

2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知向量()1,1,0a =r ，则与a同向共线的单位向量e = （）A ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．()0,1,0C ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,1,0--【正确答案】C【分析】先求得a 的模，再根据与a同向共线的单位向量求解.【详解】因为向量(1,1,0)a =，所以a =所以与a 同向共线的单位向量为：a e a== ，故选：C.2．设随机变量1~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)D X =（）A ．10B ．30C ．15D ．5【正确答案】A【分析】根据二项分布的方差公式进行计算即可.【详解】由随机变量满足二项分布1~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()1110151339D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以210(3)3()9109D X D X ==⨯=.故选：A.3．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（）A ．1y =B ．4350x y --=C ．1y =或3450x y --=D ．1y =或4350x y --=【正确答案】D【分析】设切线l 的方程为1(2)y k x -=-，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求得结论．【详解】解：由题意可设切线l 的方程为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，∴圆心到直线l 的距离1d ==，2340k k ∴-=，0k ∴=或43k =，∴切线l 的方程为1y =或4350x y --=．故选：D4．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（）A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种【正确答案】D【分析】考虑3，1，1和2，2，1两种情况，计算甲乙同去一个基地共有36种结果，再排除丙丁在同一组的情况，得到答案.【详解】3，1，1阵型：1333C A 18=；2，2，1阵型.233318C A =甲乙同去一个基地共有36种结果，丙丁在同一组共有33A 6=个结果，36630-=.故选：D.5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅等于（）A B ．28a C ．24D ．24a 【正确答案】D【分析】根据给定条件探求出EF FG ⊥，再借助向量积计算作答.【详解】因空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，则60CAB CAD ∠=∠= ，22()cos 60cos 600AC BD AC AD AB AC AD AC AB a a ⋅=⋅-=⋅-⋅=-= ，即AC BD ⊥uuu r uu u r ，因E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则有//,//EF BD AC GF ，即有EF FG ⊥，EF FG ⊥，而2a EF FG ==，则45EGF ∠=，22cos 45||4a GE GF GE GF GF ⋅=== ，所以GE GF ⋅ 等于24a .故选：D6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，AB BC =，2AC =，12AA =点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC =，则异面直线BE 与1C F所成角的余弦值为（）A ．32B ．12-C ．32D ．12【正确答案】D【分析】以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据111cos ,BE C FBE C F BE C F⋅=⋅即可求出答案.【详解】在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，所以以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由AB BC =，22AC =12AA =，得2AB BC ==，所以(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，12)A ，1(2,02)C ，2)E ．由14CF BC = ，得11(2,0,0),0,042CF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11C F C C CF =+= 11(0,0,2),0,0,0,222⎛⎫⎛+= ⎪ ⎝⎭⎝，2)BE =，所以异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为111132122cos ,321424BE C FBE C F BE C F-⋅===⋅⨯+．故选：D ．7．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A ．0.0688B ．0.0198C ．0.049D ．0.05【正确答案】A【分析】根据分患者患病和不患病的前提下分别计算概率，两类概率求和即可.【详解】由题意可知，当被检验者患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为0.02⨯99%0.0198=，当被检验者未患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为0.98⨯5%0.049=，随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.01980.0490.0688+=，故选:A.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F l '与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则||||=NQ QF （）AB C ．3D ．2【正确答案】D【分析】设出直线MF ，与抛物线联立，可求出M 点坐标，在利用抛物线的定义可得2M pMN NF MF x ∴===+，再利用抛物线的对称性求出FQ ，则||||NQ QF 可求.【详解】如图：相关交点如图所示，由抛物线2:2(0)C y px p =>，得(,0)2pF ，则:)2p MF y x =-，与抛物线22y px =联立得22122030x px p -+=，即()()6230x p x p --=，解得3,26M A p p x x ==,60MN l MFx ︒⊥∠=60NMF ︒=∴∠，又MN MF=则NMF 为等边三角形22M pMN NF MF x p ∴===+=，60OFA NFO ︒=∠=∠，由抛物线的对称性可得6Q A p x x ==，24,,6233p p p p QF NQ NF QF ∴=+=∴=-=||2||NQ QF ∴=故选：D.二、多选题9．已知双曲线两渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（）A ．2BC ．3D 【正确答案】AD【分析】设双曲线的方程为22221x y a b-=得渐近线方程为b y x a =±，根据双曲线的对称性可得b y x a =的倾斜角为6π或3π，即可得b a 的值，由公式c e a ==.【详解】设双曲线的方程为22221x y a b-=，渐近线方程为：b y x a =±，根据双曲线的对称性可知：by x a =的倾斜角为6π或3π当b y x a =的倾斜角为6π时，可得tan 6b a π==，所以3c e a ==，当by x a =的倾斜角为3π，可得tan 3b a π=所以2c e a ===，所以离心率为2故选：AD.10．在二项式()814x -的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第5项的二项式系数最大B ．所有项的系数和为83C ．所有奇数项的二项式系数和为72-D ．所有偶数项的二项式系数和为72【正确答案】ABD【分析】由二项式系数的性质可判断A ；令1x =，可得所有项的系数和，可判断B ；所有奇数项的二项式系数和、所有偶数项的二项式系数和都为81722-=，可判断C ，D【详解】选项A ：二项式()814x -展开式式共有9项，有二项式系数的性质可知第5项的二项式系数最大，故A 正确；选项B ：令1x =，可得所有项的系数和为88(431)-=，可知B 正确；选项C ：所有奇数项的二项式系数和为81722-=，C 错误；选项D ：所有偶数项的二项式系数和为81722-=，D 正确.故选：ABD11．若圆221:(1)2C x y ++=与圆222:(1)(1)1C x y -+-=相交于M ，N ，则下列说法正确的是（）A ．MN 所在直线的方程为210x y +-=B ．MN 的中垂线的方程为210x y -+=C ．||MN =D ．过M ，N 两点的所有圆中面积最小的圆是2C 【正确答案】AB【分析】两圆方程相减得直线MN 的方程判断A ，两圆连心线为弦MN 中垂线，求出其方程，判断B ，由圆的性质求出弦MN 的长判断CD ．【详解】由题意两圆方程相减得210x y +-=，此为直线MN 的方程，A 正确；1(1,0)C -，2(1,1)C ，121011(1)2C C k -==--，12C C 方程是1(1)2y x =+，即210x y -+=，此为MN的中垂线的方程，B 正确；2C 到直线MN 的距离为d =MN =C 错；过M ，N 两点的所有圆中面积最小的圆是以线段MN 为直径的圆，而12MN <，D 错．故选：AB ．12．在平面直角坐标系xOy 中，方程22x y +=对应的曲线为E ，则（）A ．曲线E 是封闭图形，其围成的面积大于B ．曲线E 关于原点中心对称C ．曲线ED ．曲线E 上的点到直线4x y +=距离的最小值为8【正确答案】ABD【分析】对于选项A ，作出曲线E2y +=的图象即可判断；对于选项B结合中心对称的概念即可判断；对于选项C ，设曲线E 上任意一点为(),x y ，结合两点间的距离公式化简整理即可判断；对于选项D ，结合点到直线的距离公式即可判断.【详解】对于选项A ，作出曲线E2y +=的图象，由图可知曲线E2y +=2y +=与x 轴正半轴的交点坐标为)，与y 轴正半轴的交点坐标为()0,2，所以围成的面积为1422⨯=A 正确；对于选项B ，因为点(),x y -，点(),x y -均满足方程，则可得到曲线E 关于原点中心对称，所以选项B 正确；对于选项C ，设曲线E 上任意一点为(),x y ，则其到原点的距离的平方为22xy +，且2222217722244x y y y y y y ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，即曲线E上的点到原点距离的最小值为，故选项C 错误；对于选项D ，曲线E 上任意一点为(),x y ，则其到直线4x y +=距离为221724x d ⎛⎫-+ ⎪=≥D 正确；故选：ABD三、填空题13．抛物线24x y =-的准线方程为______________.【正确答案】1y =根据抛物线的性质得结论．【详解】由抛物线方程得2p =，焦点为(0,1)-，准线方程为1y =．故1y =．14．设随机变量()~15,3,2X H ，则()1P X ==______（结果写成分数形式）．【正确答案】1235【分析】根据超几何分布的分布列计算公式求解.【详解】因为()~15,3,2X H ，所以()12213315131221221115141335321P X ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯⨯C C C ，故答案为:1235.15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用(),m n A 表示三角形数阵中的第m 行第n 个数，则()101,3A =______（结果用数字作答）．【正确答案】4950【分析】由二项式展开系数可知，第a 行第b 个数为11C b a --，从而求解即可.【详解】由二项式展开系数可知，第a 行第b 个数为11C b a --，故()311011101,310099C 495021A --⨯===⨯，故4950.16．圆锥曲线（英语：conic section ），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于12,F F ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________.【正确答案】2作出轴截面图，利用图形的几何性质，直线与圆相切的性质，以及三角函数的定义，求得椭圆的半焦距，长半轴，即可求得离心率.【详解】作出几何体的轴截面图，如图所示，点,M N 是圆柱内两个内切球的球心，12,F F 是椭圆的两个焦点，其中O 是12O O 与12F F 的交点，12PQ O O ⊥，根据圆的切线的性质，可得21,MF AB NF AB ⊥⊥，由题意可知：1221216,2OO OO MF MO NO NF ======，所以4OM ON ==，所以2212223OF OF OM MF ==-=，即23c =，所以在2OMF △中，221sin 42MOF ∠==，显然230MOF ∠= ，所以60AOQ ∠= ，所以241cos 2OQ OA AOQ ===∠，即4a =，所以椭圆的离心率为23342c e a ===.故答案为.32求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题17．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【正确答案】（1）310；（2）12.【分析】（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出()P A 与()P AB ；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.【详解】解：（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，则()131535C P A C ==，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为()11321154310C C P AB C C ==.（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()()()3110325P AB P B A P A ===.18．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，E 为1CC 的中点，12AA =．(1)证明：平面BDE ⊥平面11A B E ；(2)求1A 到平面BDE 的距离．【正确答案】(1)证明见解析【分析】(1)证明1B E BE ⊥以及11A B BE ⊥即可得到面面垂直；(2)先计算平面BDE 的法向量，再结合空间中点到面的距离的向量求法求解即可.【详解】（1）当12AA =时，1B E =BE ，所以22211B E BE BB +=，所以1B E BE ⊥．又11A B ⊥平面11BCC B ，BE ⊂平面11BCC B ，则11A B BE ⊥．因为1111A B B E B ⋂=，111,A B B E ⊂面11A B E ，所以BE ⊥平面11A B E ，又BE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面11A B E ．（2）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()11,0,2A ，()0,1,1E ，所以()1,1,0DB =，()0,1,1DE = ，()11,0,2DA = ，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即00x y y z +=⎧⎨+=⎩不妨令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，得()1,1,1n =-．故1A 到平面BDE的距离1n DA d n⋅== 19．相距6千米的两个观察站A ，B 先后听到远处传来的爆炸声，已知A 站听到的时间比B 站早4秒，该爆炸声速是1千米/秒，现以A ，B 所在直线为x 轴，A ，B 中点为原点（如图）建立直角坐标系.（1）判断爆炸点分布在何曲线上，并求出该曲线C 的方程；（2）求直线3333y x =+与曲线C 的交点坐标．【正确答案】（1）双曲线的右支，()221245x y x -=≥；（2）(8,53.【分析】（1）设爆炸点为P ，由已知得4PB PA -=，又64AB =>，利用双曲线定义可得解；（2）联立直线与双曲线方程，化简整理得：211562560x x --=，求解即可.【详解】（1）设爆炸点为P ，由已知得4PB PA -=，又64AB =>所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 的那一支上，即P 点在双曲线的右支上，由24a =，26c =，得2a =，3c =，2225b c a =-=故双曲线C 的方程为：()221245x y x -=≥；（2）联立()22124537333x y x y ⎧-=≥⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化简整理得：211562560x x --=解得：8x =或3211x =-（舍去），当8x =时，3y =故直线与曲线的交点坐标为(8,53.方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法：（1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程；20．如图所示，四面体ABCD 中，已知平面BCD ⊥平面ABC ，BD DC ⊥，6BC =，43AB =30ABC ∠= ．(1)求证：AC BD ⊥．(2)若二面角B AC D --为45 ，求直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值．【正确答案】(1)证明过程见解析64【分析】（1）利用余弦定理求出23AC =AC ⊥BC ，进而利用面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）先利用题干中条件得到∠BCD 即为二面角B AC D --的平面角，进而得到△BCD 为等腰直角三角形，32BD =BAD 为直线AB 与平面ACD 所成的角，利用求出的线段长度，求出直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值.【详解】（1）因为6BC =，43AB =30ABC ∠= ，所以由余弦定理得：222cos 48367223AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=+-=222CB AC AB +=，所以AC ⊥BC ，因为平面BCD ⊥平面ABC ，交线为BC ，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面BCD ，因为BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，证毕.（2）由（1）知，AC ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，又AC ⊥BC ，故∠BCD 即为二面角B AC D --的平面角，所以∠BCD =45°，又因为BD DC ⊥，所以△BCD 为等腰直角三角形，因为BC =6，所以πsin 324BD BC =⋅=BD DC ⊥，AC BD ⊥，DCAC C =，所以BD ⊥平面ACD ，AD 为AB 在平面ACD 上的投影，所以∠BAD 即为直线AB 与平面ACD 所成的角，设为θ，π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则326sin 443BD AB θ==.21．棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．(1)设A 类服装单件销售价格为ξ元，B 类服装单件销售价格为η元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率均为13．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中B 类服装的件数，若()0.5(N)P X n n ≤≤∈，求n 的所有可能取值．【正确答案】(1)分布列见解析，B 类服装单件收益的期望大；(2)n 可取的值为0，1，2．【分析】（1）根据给定的信息，求出ξ，η的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）求出购买了服装的顾客中购买B 类服装的概率，借助二项分布求出n 的各个值对应的概率，再比较判断作答.【详解】（1）依题意，ξ的可能值为200，170，120，(200)0.3,(170)0.5,(120)0.2P P P ξξξ======，ξ的分布列为：ξ200170120P0.30.50.2ξ的期望()2000.31700.51200.2169E ξ=⨯+⨯+⨯=，η的可能值为300，255，180，(300)0.2,(255)0.4,(180)0.4P P P ηηη======，η的分布列为：η300255180P0.20.40.4η的期望()3000.22550.41800.4234E η=⨯+⨯+⨯=，设A 类服装、B 类服装的单件收益分别为1X 元，2X 元，则1120X ξ=-，2160X η=-，()1()12049E X E ξ=-=（元），()2()16074E X E η=-=（元），()()12E X E X <，所以B 类服装单件收益的期望大.（2）依题意，X 的可能值为0，1，2，3，4，5，显然2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，511(0)3243P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()141521101C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，23252140(2)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32352180(3)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，41452180(4)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，555232(5)C 3243P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，因为1104017(2)0.524381P X ++≤==<，1104080131(3)0.5243243P X +++≤==>，所以当()0.5(N)P X n n ≤≤∈时，n 可取的值为0，1，2．22．已知点F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆于M ，N两点．当直线l 过C 的下顶点时，ll 垂直于C 的长轴时，OMN 的面积为32．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当2MF FN =时，求直线l 的方程；(3)若直线l 上存在点P 满足2PM PN PF ⋅=，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上，并求出该直线的方程．【正确答案】(1)22143x y +=；20y ±=；(3)证明见解析，点P 在定直线52x =上．【分析】（1）根据给定条件，利用直线斜率及三角形面积列出方程组，求解作答.（2）验证直线垂直于y 轴的情况，当直线不垂直于y 轴时，设出直线方程，与椭圆方程联立求解作答.（3）按直线是否垂直于y 轴探讨，利用（2）中信息结合已知等式求解作答.【详解】（1）令点(c,0)F ，当直线l 垂直于x 轴时，由222222x c b x a y a b=⎧⎨+=⎩得2||b y a =，弦MN 长为22b a，由OMN 的面积为32得：2123··22b c a =，又b c =a =2，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）当直线l 与x 轴重合时，3MF FN =，不合题意，即直线l 与x 轴不重合，设直线l 的方程为x =ty ＋1，()11,M x y ，()22,N x y ，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()2234690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，由2MF FN =，得122y y =-，消去12,y y 得()22227293434t t t --=++，解得t =，所以直线l 20y ±=.（3）设00(,)P x y ，当直线l 与x 轴重合时，点P 在椭圆外，即02x +，02x -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()()2000221x x x +-=-，解得052x =，当直线l 与x 轴不重合时，由（2）知122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，而10PM y =-，20PN y =-，0PF =，由点P 在椭圆外，得10y y -，20y y -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()210200y y y y y --=，整理得()120120y y y y y -+=，即02296·03434ty t t ---=++，解得032y t =，代入直线l 方程x =ty ＋1，得052x =，所以点P 在定直线52x =上．。