安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学(理)试卷(含答案)

安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题（理）考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U ＝R ，集合{}3A x x =≤， {}6B x x =≤，则集合()U A B =C ( )A ．{}36x x <≤B ．}36x x <<C ．{}36x x ≤<D ．{}36x x ≤≤2．某工厂生产的A ，B ，C 三种不同型号的产品数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A ，B ，C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产品有10件，则n 的值为( )A ．15B ．25C ．50D ．60 3．若复数z 满足zi ＝1＋i ，则z 的共轭复数是( )A ．－1－iB ．1＋iC ．－1＋iD ．1－i 4．若sin()4πα-=cos()4πα+的值为( )A ．5 B．5- C．5 D．5-5．设0.2141312,,log 65a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则( )A ． a b c <<B ． c b a <<C ． c a b <<D ．b a c <<6．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为98π，则它的表面积是( )A ．92πB ．9πC ．454πD ．544π7．若执行如图所示的程序框图，输入1231,2,3,2x x x x ====，则输出的数等于（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．28．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A1 B ．2 C．．1 9．已知函数2()32sin cos (0)f x x x x ωωωω=+->在区间(),2ππ内没有极值点，则ω的取值范围为（ ） A ．511,1224⎛⎤⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．55110,,241224⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．51110,,12242⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭10．某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种 A ．222 B ．253 C ．276 D ．28411．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)1213,1,()log (1),0,1x x f x x x ⎧--∈+∞⎪=⎨+∈⎪⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ） A ．12a- B ．0 C ．22a- D ．112a⎛⎫- ⎪⎝⎭12．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，则下列命题正确的是（ ） （1）若222a b c +<，则2C π>； （2） 若2ab c >，则3C π>；（3）若333a b c +=，则2C π<； （4） 若2()ab a b c >+，则2C π>；（5）若()222222a b c a b +<，则3C π<.A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）（5）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（3）（5）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a ＝(2，m )，b ＝(－1，2)，若a ⊥b ，则b 在向量=-c a b 上的投影为________．14．若实数x ，y 满足约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z ＝ln y －ln x 的最小值是________． 15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，直线MN 过2F ，且与双曲线右支交于M N 、两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，1112F M F N =，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为 和 .16．三棱锥P ABC -中，底面ABC 满足BA BC =，2ABC π∠=，点P 在底面ABC 的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为196，当其外接球的表面积最小时，P 到底面ABC 的距离为 .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．(本小题满分12分) 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1232+=32a a a a -=,，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且34516b S ==,. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系中，有点11(,0)P a 、22(,0)P a ……(,0)n n P a 、11(,0)n n P a ++,111(,)Q a b 、222(,)Q a b ……(,)n n n Q a b ，若记1n n n P Q P +∆的面积为n c ,求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱ABC -A ′B ′C ′的侧棱长为4，AB BC ，且AB ＝BC ＝4，点D ，E 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AD ＝BE .（Ⅰ）求证：无论D 在何处，总有B ′C ⊥C ′D ； （Ⅱ）当三棱锥B -DB ′E 的体积取最大值时，求二面角D-B ′E-A ′的余弦值．19. （本小题满分12分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：. （Ⅰ）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；（Ⅱ）记X 为三人中使用支付宝支付的人数，求X 的分布列及数学期望.20．(本小题满分12分) 已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，直线l ：2y x =与椭圆交于,M N ，四边形12MF NF 的面积为3.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）作与l 平行的直线与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为P ，若12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.21．(本小题满分12分) 已知函数2()(1)x f x x e x =--，2()210()x g x ae ax a a R =-+-∈. （Ⅰ）求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）当0x >时，()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()2f x x m x n =++-，(),0,m n ∈+∞. （Ⅰ）若()1f x ≥恒成立，求2m n +的最小值； （Ⅱ）若2,3m n ==，求不等式()5f x >的解集.安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题答案（理）1D13. 14. －ln 3 15. 2,33ππ三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.解：(1)设数列公比为,由已知,由题意得：得，又，解得，则 ………3分设数列的公差为，由题意得：解得，则 ………6分(2)由(1)有=，，故………8分+○1○2 ○1-○2得- =故 ………12分18.根据题意，以B 为原点，以BC ，BA ，BB ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0，0，0)，A (0，4，0)，A ′(0，4，4)，C (4，0，0)，C ′(4，0，4)，B ′(0，0，4)． (1)证明：设D (0，a ，0)，则E (4－a ，0，0)，得B ′C →＝(4，0，－4)，＝(－4，a ，－4)， 故B ′C →·＝0，有B ′C →⊥，即总有B ′C ⊥C ′D . ………4分(2)当且仅当a ＝2时，取等号，此时D (0，2，0)，E (2，0，0) ………6分则,设面DB ′E 的法向量为, 由可取同理可得面A ′B ′E 的一个法向量 ………10分由易得二面角D-B ′E-A ′的余弦值为。

………12分19.解：(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为，设Y 为三人中使用微信支付的人数，Z 为使用现金支付的人数，事件A 为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数”，则P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0) ==………6分………10分E(X)= ………12分20. 解：由（1）222221y x x y a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222244a b y a b=+ 2c e a ==，222212a b e a -==,ac b ∴==………2分23c=33=1b a =⎧⎪⎨=⎪⎩2212x y += ………5分 （2）设直线AB 的方程为2(0)y x m m =+≠由22212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2298220x mx m ++-=226436(22)0m m ∆=-->，得29m <，()()3,00,3m ∴∈- ………7分设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则21212822,99m x x m x x -+=-=0004,299mx m y x m =-=+=200001222000281118116y y x y m k k x x x m +=+==+---288116m =-（0m ≠） ………10分 ()128,0,7k k ⎛⎫∴+∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ………12分21. 解：(1) ()()12x xf x e x e x '=+--, (1)2f e '=-(1)1f =-,所求切线方程为()21y e x e =-+- ………4分(2)令22()()()(1)210(0)xh x f x g x x a e x ax a x =-=---+-+>()(1)22()(2)x x x h x e x a e x a x a e '=+---+=--① 当0a ≤时，0x a ->，0ln 2x <<时，()0h x '<；ln 2x >时，()0h x '>()h x ∴在()0,ln 2上是减函数，在()ln 2,+∞上是增函数，22()(ln 2)(2ln 22)ln 22ln 280h x h a a ∴≥=-+--++>(ln 22)(ln 24)0a a ∴---+<，即ln 240a -<≤ ………7分② 当0ln 2a <<时，()h x 在()0,a 上是增函数，在(),ln 2a 上是减函数，在()ln 2,+∞上是增函数，要使()0h x >，则(ln 2)0(0)0h h >⎧⎨≥⎩，解得0ln 2a << ………9分③ 当ln 2a =时，()0h x '≥，()h x 在()0,+∞上是增函数，2(0)9ln 2ln 20h =-->，成立 ………10分④ 当ln 2a >时，()h x 在()0,ln 2上是增函数，在()ln 2,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数，要使()0h x >，则()0(0)0h a h >⎧⎨≥⎩，解得ln 2ln10a <<综上，实数a 的取值范围为()ln 24,ln10- ………12分22. 解：(1)由32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩，消去α，得()()22314x y -+-=将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 6ρρθρθ--+ ………5分 (2) 由1sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即210x y -+=圆心()3,1C 到直线210x y -+=的距离d ==所以C 上点到直线的最大距离为2d r += ………10分 23.（1）222222n n n n n x m x n x m x x x m x m m ++-=++-+-≥++-≥+=+ 1,222nm m n ∴+≥+≥，2m n +的最小值为2 ………5分 （2）①当2x ≤-时，2235x x ---+>，得43x <-，2x ∴≤-②当322x -<<时，2235x x +-+>,得0x <，20x ∴-<<③当32x ≥时，2235x x ++->，得2x >，2x ∴>综上，不等式解集为()(),02,-∞+∞ ………10分。