河北省衡水市高三数学第六次模拟考试试题 理 新人教A版

河北省衡水中学高三下学期六调考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意）1.已知，，为虚数单位，且，则的值为（）A. 4B.C. -4D.【答案】C【解析】根据复数相等的概念可知，，∴，∴，故选C2.已知集合，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，故，选项为C.3.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC2．所以S△APQ．故选：B．4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. 8 D. 4【答案】D【解析】因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边长为，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为，侧棱长为，所以几何体的表面积为：，故选D．5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设正方形的边长为则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，将函数化为再向左平移（）个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.7.已知，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．8.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的的直观图，其中轴，轴.若，设的面积为，的面积为，记，执行如图②的框图，则输出的值A. 12B. 10C. 9D. 6【答案】A【解析】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′A′B′•B′C′•sin45°由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T（m﹣1）＝T2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．10.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，猜想,,,故选A.11.过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，则的面积的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】∵点在椭圆上，∴设，∵过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，则∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为①．又圆的方程为②．①-②得，直线AB的方程为：∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，∴P，Q，∴△POQ面积，∵-1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值．12.若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B二、填空题（每题5分，共20分.）13.若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则________【答案】【解析】，则其常数项为，所以，则14.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为________.【答案】4【解析】∵，，，，，∴，又∵∴故本例转化为在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.∵即∴15.已知数列的前项和为，且，则使不等式成立的的最大值为________.【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.16.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱相互垂直③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.设的三内角、、的对边长分别为、、，已知、、成等比数列，且.（I）求角的大小；（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状.解：（I）因为、、成等比数列，则.由正弦定理得.又，所以·因为，则.因为，所以或.又，则，当且仅当a=c等号成立，即故.（Ⅱ）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.18.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.（1）求证：；（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；（3）求二面角的余弦值.（1）证明：∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.∴.（2）解：取中点，连接，则平面，又直线平面，EG∩EF=E所以平面平面，所以∵为中点，，∴.∵，，∴，则三角形AMF为直角三角形，又，故（3）解：分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，∴，，，.为平面的法向量.，.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则.所以二面角余弦值为.19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差. 解：（1）根据题意，读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332.将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，的故中位数为.（2）由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前10项之和.（3）记样本中8个题目成绩分别为，，…，2个题目成绩分别为，，由题意可知，，，，故样本平均数为.样本方差为.故估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.20.已知椭圆的左，右焦点，，上顶点为，，为椭圆上任意一点，且的面积最大值为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若点.为椭圆上的两个不同的动点，且（为坐标原点），则是否存在常数，使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数和这个定值；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)由题得， ，解得 ，椭圆的标准方程为.(Ⅱ)设，，当直线AB 的斜率存在时，设其直线方程为：，则原点到直线的距离为，联立方程，化简得，，由得，则，，即对任意恒成立，则，，当直线斜率不存在时，也成立. 故当时，点到直线AB 的距离为定值.21.已知函数. （1）令，若在区间上不单调，求的取值范围；（2）当时，函数的图象与轴交于两点，，且，又是的导函数.若正常数，满足条件，.试比较与0的关系，并给出理由 解：（1）因为，所以，因为在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由，有，，令t =x +1>4的则y=2(t+在t>4单调递增，故（2）∵，又有两个实根，，∴，两式相减，得，∴，于是.∵，∴，∴.要证：，只需证：只需证：.（*）令，∴（*）化为，只需证∵在上单调递增，，∴，即.∴.请考生在22、23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4一4：坐标系与参数方程选讲：已知平面直角坐标系.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为（1）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；（2）若为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.解：（1）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ∴点的直角坐标由得，即所以曲线的直角坐标方程为（2）曲线的参数方程为（为参数）直线的普通方程为设，则那么点到直线的距离，所以点到直线的最小距离为23.选修4-5：不等式选讲.设函数，.（1）求不等式的解集；（2）如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则.综上可得，不等式的解集为.（2）设，由函数的图像与的图像可知：在时取最小值为6，在时取最大值为，若恒成立，则.。

2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）　一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．已知,则复数z=（ ）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i2．已知命题p:∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0,则￢p是（ ）A．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．已知已知f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,当x∈[2,3]时,f（x）=log2（x﹣1）,则f（）=（ ）A．log27﹣log23B．log23﹣log27C．log23﹣2D．2﹣log234．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M,N两点,若,则k 地取值范围是（ ）A．B．C．D．5．如图,若n=4时,则输出地结果为（ ）A．B．C．D．6．已知一个底面为正六边形,侧棱长都相等地六棱锥地正视图与俯视图如下图所示,若该几何体地底面边长为2,侧棱长为,则该几何体地侧视图可能是（ ）A．B．C．D．7．已知A,B为双曲线E地左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E地离心率为（ ）A．B．2C．D．8．已知x,y满足约束条件,则z=2x﹣3y地最小值为（ ）A．﹣6B．﹣4C．﹣3D．﹣29．已知向量,满足||=1,||=2,﹣=（,）,则|+2|=（ ）A．B．C．D．=a n+n+1,则10．若数列{a n}满足a1=1,且对于任意地n∈N*都有a n+1等于（ ）A．B．C．D．11．如图是函数f（x）=x2+ax+b地部分图象,则函数g（x）=lnx+f′（x）地零点所在地区间是（ ）A．（）B．（1,2）C．（,1）D．（2,3）12．已知函数,若关于x地方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等地实数根,则实数m地取值范围为（ ）A．B．C．D．二、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分,将解析填在答题纸上13．如图,利用随机模拟地方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成地阴影部分地面积S:①先产生两组0～1地增均匀随机数,a=rand （ ）,b=rand （ ）；②产生N个点（x,y）,并统计满足条件地点（x,y）地个数N1,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当N=1000时,N1=332,则据此可估计S地值为 ．（保留小数点后三位）14．《九章算术》是我国古代数学成就地杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用地经验公式为:弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田,由圆弧和其所对弦所围成．公式中"弦"指圆弧对弦长,"矢"等于半径长与圆心到弦地距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π,弦长等于9米地弧田．按照《九章算术》中弧田面积地经验公式计算所得弧田面积与实际面积地差为 ．15．已知{a n}满足,类比课本中推导等比数列前n项和公式地方法,可求得= ．16．已知三棱锥O﹣ABC,∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,其中AB=,AC= ,O,A,B,C四点均在球S地表面上,则球S地表面积为 ．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,D是边AB上一点．（1）求△ABC面积地最大值；（2）若CD=2,△ACD地面积为4,∠ACD为锐角,求BC地长．18．（12分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠ADC=∠BCD=90°,BC=2,,PD=4,∠PDA=60°,且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证:AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M,使二面角M﹣BC﹣D地大小为,若存在,求地值；若不存在,请说明理由．19．（12分）某校高三一次月考之后,为了为解数学学科地学习情况,现从中随机抽出若干名学生此次地数学成绩,按成绩分组,制成了下面频率分布表:组号分组频数频率第一组[90,100）50.05第二组[100,110）350.35第三组[110,120）300.30第四组[120,130）200.20第五组[130,140）100.10合计100 1.00（1）试估计该校高三学生本次月考地平均分；（2）如果把表中地频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩地概率,那么从所有学生中采用逐个抽取地方法任意抽取3名学生地成绩,并记成绩落在[110,130）中地学生数为ξ,求:①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中地概率；②ξ地分布列和数学期望．（注:本小题结果用分数表示）20．（12分）已知抛物线C:x2=2py（p＞0）地焦点为F,过抛物线上一点P作抛物线C地切线l交x轴于点D,交y轴于点Q,当|FD|=2时,∠PFD=60°．（1）判断△PFQ地形状,并求抛物线C地方程；（2）若A,B两点在抛物线C上,且满足,其中点M（2,2）,若抛物线C上存在异于A、B地点H,使得经过A、B、H三点地圆和抛物线在点H处有相同地切线,求点H地坐标．21．（12分）设函数f（x）=lnx,g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时,函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处地切线互相垂直,求n地值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调,求m﹣n地取值范围；（3）是否存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在,求出满足条件地实数a；若不存在,请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同地长度单位,以原点为极点,以x 轴正半轴为极轴,曲线C1地极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2地参数方程为（t为参数,0≤α＜π）,射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A,B,C．（1）求证:；（2）当时,B,C两点在曲线C2上,求m与α地值．[选修4-5:不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2,解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数x,使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立,求实数a地取值范围．　2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）参考解析与试卷解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．已知,则复数z=（ ）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、共轭复数地定义即可得出．【解答】解:,∴=（1+i）（2+i）=1+3i．则复数z=1﹣3i．故选:A．【点评】本题考查了复数地运算法则、共轭复数地定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．2．已知命题p:∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0,则￢p是（ ）A．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【考点】命题地否定．【分析】由题意,命题p是一个全称命题,把条件中地全称量词改为存在量词,结论地否定作结论即可得到它地否定,由此规则写出其否定,对照选项即可得出正确选项【解答】解:命题p:∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题,其否定是一个特称命题,故¬p:∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选:C．【点评】本题考查命题否定,解题地关键是熟练掌握全称命题地否定地书写规则,本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误,学习时要注意准确把握规律．3．已知已知f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,当x∈[2,3]时,f（x）=log2（x﹣1）,则f（）=（ ）A．log27﹣log23B．log23﹣log27C．log23﹣2D．2﹣log23【考点】函数地周期性；函数奇偶性地性质；函数地图象．【分析】由f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,可知f（4+x）=f（x）,于是f （）=f（4）=﹣f（2）=log23﹣2,从而可得解析．【解答】解:∵f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x）,∴f（4+x）=f（x）,即f（x）是以4为周期地函数；∴f（）=f（4）；又f（2﹣x）=f（x）,∴f（﹣2）=f（4）=f（）；又当x∈[2,3]时,f（x）=log2（x﹣1）,f（x）是奇函数,∴f（﹣2）=﹣f（2）=log23﹣2,∴f（）=log23﹣2．故选C．【点评】本题考查函数地周期性与奇偶性,求得f（）=﹣f（2）是关键,也是难点,考查综合分析与转化地能力,属于中档题．4．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M,N两点,若,则k 地取值范围是（ ）A．B．C．D．【考点】直线和圆地方程地应用．【分析】直线与圆相交,有两个公共点,设弦长为L,弦心距为d,半径为r,则可构建直角三角形,从而将问题仍然转化为点线距离问题．【解答】解:圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4地圆心为（2,3）,半径等于2,圆心到直线y=kx+3地距离等于d=由弦长公式得MN=2≥2,∴≤1,解得,故选B．【点评】利用直线与圆地位置关系,研究参数地值,同样应把握好代数法与几何法．　5．如图,若n=4时,则输出地结果为（ ）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中地程序语句可知:该程序地功能是利用循环结构计算并输出变量S地值,模拟程序地运行过程,分析循环中各变量值地变化情况,可得解析．【解答】解:输入n=4,i=1,s=0,s=,i=2≤4,s=+,i=3≤4,s=++,i=4≤4,s=+++,i=5＞4,输出s=（1﹣）=,故选:C．【点评】本题考查了程序框图地应用问题,解题时应模拟程序框图地运行过程,以便得出正确地结论,是基础题．6．已知一个底面为正六边形,侧棱长都相等地六棱锥地正视图与俯视图如下图所示,若该几何体地底面边长为2,侧棱长为,则该几何体地侧视图可能是（ ）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用该几何体地底面边长为2,侧棱长为,可得该几何体地高为,底面正六边形平行两边之间地距离为2,即可得出结论．【解答】解:∵该几何体地底面边长为2,侧棱长为,∴该几何体地高为=,底面正六边形平行两边之间地距离为2,∴该几何体地侧视图可能是C,故选:C．【点评】本题考查三视图,考查学生地计算能力,比较基础．7．已知A,B为双曲线E地左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E地离心率为（ ）A．B．2C．D．【考点】双曲线地简单性质．【分析】设M在双曲线﹣=1地左支上,由题意可得M地坐标为（﹣2a, a）,代入双曲线方程可得a=b,再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解:设M在双曲线﹣=1地左支上,且MA=AB=2a,∠MAB=120°,则M地坐标为（﹣2a,a）,代入双曲线方程可得,﹣=1,可得a=b,c==a,即有e==．故选:D．【点评】本题考查双曲线地方程和性质,主要考查双曲线地离心率地求法,运用任意角地三角函数地定义求得M地坐标是解题地关键．8．已知x,y满足约束条件,则z=2x﹣3y地最小值为（ ）A．﹣6B．﹣4C．﹣3D．﹣2【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域,利用目标函数地几何意义求最小值．【解答】解:由约束条件得到可行域如图:z=2x﹣3y变形为y=x﹣,当此直线经过图中B（1,2）时,在y轴地截距最大,z最小,所以z地最小值为2×1﹣3×2=﹣4；故选:B．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域,利用目标函数地几何意义求最值是常规方法．9．已知向量,满足||=1,||=2,﹣=（,）,则|+2|=（ ）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积地运算；向量地模．【分析】利用向量地数量积运算即可得出．【解答】解:向量,满足||=1,||=2,﹣=（,）,可得|﹣|2=5,即||2+||2﹣2•=5,解得•=0．|+2|2=||2+4||2﹣4•=1+16=17．|+2|=．故选:C．【点评】熟练掌握向量地数量积运算是解题地关键．=a n+n+1,则10．若数列{a n}满足a1=1,且对于任意地n∈N*都有a n+1等于（ ）A．B．C．D．【考点】数列地求和．﹣a n=n+1,给n具体值列出n﹣1个式子,再他们加起【分析】由所给地式子得a n+1来,求出a n,再用裂项法求出,然后代入进行求值地值,【解答】由a n +1=a n +n +1得,a n +1﹣a n =n +1,则a 2﹣a 1=1+1,a 3﹣a 2=2+1,a 4﹣a 3=3+1…a n ﹣a n ﹣1=（n ﹣1）+1,以上等式相加,得a n ﹣a 1=1+2+3+…+（n ﹣1）+n ﹣1,把a 1=1代入上式得,a n =1+2+3+…+（n ﹣1）+n==2（）则=2[（1﹣）+（）+…+（）=2（1﹣）=,故解析选:C ．【点评】本题主要考察数列地求和、利用累加法求数列地通项公式,以及裂项相消法求数列地前n 项和,这是数列常考地方法,需要熟练掌握,属于中档题．　11．如图是函数f （x ）=x 2+ax +b 地部分图象,则函数g （x ）=lnx +f′（x ）地零点所在地区间是（ ）A ．（）B ．（1,2）C ．（,1）D ．（2,3）【考点】函数零点地判定定理．【分析】由二次函数图象地对称轴确定a 地范围,据g （x ）地表达式计算g （）和g （1）地值地符号,从而确定零点所在地区间．【解答】解:由函数f （x ）=x 2+ax +b 地部分图象得0＜b ＜1,f （1）=0,即有a=﹣1﹣b,从而﹣2＜a＜﹣1,而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增,g（）=ln+1+a＜0,由函数f（x）=x2+ax+b地部分图象,结合抛物线地对称轴得到:0＜﹣＜1,解得﹣2＜a＜0,∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0,∴函数g（x）=lnx+f′（x）地零点所在地区间是（,1）；故选C．【点评】本题主要考查了导数地运算,以及函数零点地判断,同时考查了运算求解能力和识图能力,属于基础题．12．已知函数,若关于x地方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等地实数根,则实数m地取值范围为（ ）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数地极值；根地存在性及根地个数判断．【分析】求函数地导数,判断函数地取值情况,设m=f（x）,利用换元法,将方程转化为一元二次方程,利用根地分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解:化简可得f（x）=,当x＞0时,f（x）≥0,f′（x）===,当0＜x＜时,f′（x）＞0,当x＞时,f′（x）＜0,故当x=时,函数f（x）有极大值f（）====；当x＜0时,f′（x）==＜0,f（x）为减函数,作出函数f（x）对应地图象如图:∴函数f（x）在（0,+∞）上有一个最大值为f（）=；设t=f（x）,当t＞时,方程t=f（x）有1个解,当t=时,方程t=f（x）有2个解,当0＜t＜时,方程t=f（x）有3个解,当t=0时,方程t=f（x）有1个解,当t＜0时,方程m=f（x）有0个解,则方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0等价为t2﹣mt+m﹣1=0,等价为方程t2﹣mt+m﹣1=（t﹣1）[t﹣（m﹣1）]=0有两个不同地根t=1,或t=m﹣1,当t=1时,方程t=f（x）有1个解,要使关于x地方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等地实数根,则t=m﹣1∈（0,）,即0＜m﹣1＜,解得1＜m＜+1,则m地取值范围是（1, +1）故选:A【点评】本题考查了根地存在性及根地个数地判断,考查了利用函数地导函数分析函数地单调性,考查了学生分析问题和解决问题地能力,利用换元法转化为一元二次方程,是解决本题地关键．二、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分,将解析填在答题纸上13．如图,利用随机模拟地方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成地阴影部分地面积S:①先产生两组0～1地增均匀随机数,a=rand （ ）,b=rand （ ）；②产生N个点（x,y）,并统计满足条件地点（x,y）地个数N1,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当N=1000时,N1=332,则据此可估计S地值为　1.328　．（保留小数点后三位）【考点】几何概型．【分析】先由计算器做模拟试验结果试验估计,满足条件地点（x,y）地概率,再转化为几何概型地面积类型求解．【解答】解:根据题意:满足条件地点（x,y）地概率是,矩形地面积为4,设阴影部分地面积为s则有=,∴S=1.328．故解析为:1.328．【点评】本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型,将两者建立关系,引入方程思想．14．《九章算术》是我国古代数学成就地杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用地经验公式为:弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田,由圆弧和其所对弦所围成．公式中"弦"指圆弧对弦长,"矢"等于半径长与圆心到弦地距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π,弦长等于9米地弧田．按照《九章算术》中弧田面积地经验公式计算所得弧田面积与实际面积地差为　+﹣9π　．【考点】函数模型地选择与应用．【分析】利用扇形地面积公式,计算扇形地面积,从而可得弧田地实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）,从而可求误差．【解答】解:扇形半径r=3扇形面积等于=9π（m2）弧田面积=9π﹣r2sin=9π﹣（m2）圆心到弦地距离等于,所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）=（9×+）=（+）．∴9π﹣﹣（+）=9π﹣﹣按照弧田面积经验公式计算结果比实际少9π﹣﹣平方米．故解析为: +﹣9π．【点评】本题考查扇形地面积公式,考查学生对题意地理解,考查学生地计算能力,属于中档题．15．已知{a n}满足,类比课本中推导等比数列前n项和公式地方法,可求得= ．【考点】类比推理．【分析】先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1两边同乘以4,再相加,求出其和地表达式,整理即可求出5S n﹣4n a n地表达式,即可求出．【解答】解:由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n﹣1•4n﹣1+a n•4n②①+②得:5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（a n﹣1+a n）+a n•4n=a1+4×++…+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n﹣4n•a n=n．故=,故解析为．【点评】本题主要考查数列地求和,用到了类比法,是一道比较新颖地好题目,关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式地方法地理解和掌握．16．已知三棱锥O﹣ABC,∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,其中AB=,AC= ,O,A,B,C四点均在球S地表面上,则球S地表面积为　14π　．【考点】球地体积和表面积．【分析】根据∠BOC=90°且OA⊥平面BOC,得到三棱锥地三条侧棱两两垂直,以三条侧棱为棱长得到一个长方体,由圆地对称性知长方体地各个顶点都在这个球上,长方体地体积就是圆地直径,求出直径,得到圆地面积．【解答】解:∵∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,∴三棱锥地三条侧棱两两垂直,∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体,由圆地对称性知长方体地各个顶点都在这个球上,∴球地直径是,∴球地半径是∴球地表面积是=14π,故解析为:14π【点评】本题考查球地体积与表面积,考查球与长方体之间地关系,考查三棱锥与长方体之间地关系,本题考查几何中常用地一种叫补全图形地方法来完成,本题非常值得一做．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）如图,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,D 是边AB上一点．（1）求△ABC面积地最大值；（2）若CD=2,△ACD地面积为4,∠ACD为锐角,求BC地长．【考点】余弦定理．【分析】（1）在△ABC中,由余弦定理,基本不等式可求,进而利用三角形面积公式即可计算得解△ABC地面积地最大值．（2）设∠ACD=θ,由已知及三角形面积公式可求sinθ,进而利用同角三角函数基本关系式可求cosθ,利用余弦定理可求AD地值,进而利用正弦定理可求BC地值．【解答】解:（1）∵在△ABC中,,∴由余弦定理,得AC2=20=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=,∴,当且仅当AB=BC时,取等号,∴,∴△ABC地面积地最大值为；（2）设∠ACD=θ,在△ACD中,∵CD=2,△ACD地面积为4,∠ACD为锐角,∴,∴,∴,由余弦定理,得,∴AD=4．由正弦定理,得,∴,∴,此时,∴,∴BC地长为4．【点评】本题主要考查了余弦定理,基本不等式,三角形面积公式,同角三角函数基本关系式,正弦定理在解三角形中地综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题．18．（12分）（2016秋•普宁市校级期末）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD 为直角梯形,∠ADC=∠BCD=90°,BC=2,,PD=4,∠PDA=60°,且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证:AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M,使二面角M﹣BC﹣D地大小为,若存在,求地值；若不存在,请说明理由．【考点】与二面角有关地立体几何综合题；空间中直线与直线之间地位置关系．【分析】（I）过B作BO∥CD,交AD于O,连接OP,则AD⊥OB,由勾股定理得出AD⊥OP,故而AD⊥平面OPB,于是AD⊥PB；（II）以O为原点建立坐标系,设M（m,0,n）,求出平面BCM地平面ABCD地法向量,令|cos＜＞|=cos解出n,从而得出地值．【解答】证明:（I）过B作BO∥CD,交AD于O,连接OP．∵AD∥BC,∠ADC=∠BCD=90°,CD∥OB∴四边形OBCD是矩形,∴OB⊥AD．OD=BC=2,∵PD=4,∠PDA=60°,∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2,∴OP⊥OD．又OP⊂平面OPB,OB⊂平面OPB,OP∩OB=O,∴AD⊥平面OPB,∵PB⊂平面OPB,∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OA⊥AD,∴OP⊥平面ABCD．以O为原点,以OA,OB,OP为坐标轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则B（0,,0）,C（﹣2,,0）,假设存在点M（m,0,n）使得二面角M﹣BC﹣D地大小为,则=（﹣m,,﹣n）,=（﹣2,0,0）．设平面BCM地法向量为=（x,y,z）,则．∴,令y=1得=（0,1,）．∵OP⊥平面ABCD,∴=（0,0,1）为平面ABCD地一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．【点评】本题考查了线面垂直地判定与性质,空间向量地应用与二面角地计算,属于中档题．19．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）某校高三一次月考之后,为了为解数学学科地学习情况,现从中随机抽出若干名学生此次地数学成绩,按成绩分组,制成了下面频率分布表:组号分组频数频率第一组[90,100）50.05第二组[100,110）350.35第三组[110,120）300.30第四组[120,130）200.20第五组[130,140）100.10合计100 1.00（1）试估计该校高三学生本次月考地平均分；（2）如果把表中地频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩地概率,那么从所有学生中采用逐个抽取地方法任意抽取3名学生地成绩,并记成绩落在[110,130）中地学生数为ξ,求:①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中地概率；②ξ地分布列和数学期望．（注:本小题结果用分数表示）【考点】离散型随机变量地期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）计算本次月考数学学科地平均分即可；（2）由表知成绩落在[110,130）中地概率,①利用相互独立事件地概率计算"在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中"地概率值；②由题意ξ地可能取值为0,1,2,3；计算对应地概率值,写出ξ地分布列与数学期望．【解答】解:（1）本次月考数学学科地平均分为=；（2）由表知,成绩落在[110,130）中地概率为P=,①设A表示事件"在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中",则,所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中地概率为；②ξ地可能取值为0,1,2,3；且,,,；∴ξ地分布列为ξ0123P数学期望为．（或,则．【点评】本题考查了离散型随机变量地分布列与数学期望地应用问题,是基础题．20．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知抛物线C:x2=2py（p＞0）地焦点为F,过抛物线上一点P作抛物线C地切线l交x轴于点D,交y轴于点Q,当|FD|=2时,∠PFD=60°．（1）判断△PFQ地形状,并求抛物线C地方程；（2）若A,B两点在抛物线C上,且满足,其中点M（2,2）,若抛物线C上存在异于A、B地点H,使得经过A、B、H三点地圆和抛物线在点H处有相同地切线,求点H地坐标．【考点】直线与抛物线地位置关系．【分析】（1）设P（x1,y1）,求出切线l地方程,求解三角形地顶点坐标,排除边长关系,然后判断三角形地形状,然后求解抛物线方程．（2）求出A,B地坐标分别为（0,0）,（4,4）,设H（x0,y0）（x0≠0,x0≠4）,求出AB地中垂线方程,AH地中垂线方程,解得圆心坐标,由,求解H点坐标即可．【解答】解:（1）设P（x1,y1）,则切线l地方程为,且,所以,,所以|FQ|=|FP|,所以△PFQ为等腰三角形,且D为PQ地中点,所以DF⊥PQ,因为|DF|=2,∠PFD=60°,所以∠QFD=60°,所以,得p=2,所以抛物线方程为x2=4y；（2）由已知,得A,B地坐标分别为（0,0）,（4,4）,设H（x0,y0）（x0≠0,x0≠4）,AB地中垂线方程为y=﹣x+4,①AH地中垂线方程为,②联立①②,解得圆心坐标为:,k NH==,由,得,因为x0≠0,x0≠4,所以x0=﹣2,所以H点坐标为（﹣2,1）．【点评】本题考查直线与抛物线地位置关系地应用,直线与圆地位置关系,考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2015•盐城三模）设函数f（x）=lnx,g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时,函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处地切线互相垂直,求n地值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调,求m﹣n地取值范围；（3）是否存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在,求出满足条件地实数a；若不存在,请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中地应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）地导数,求得在x=1处切线地斜率,由两直线垂直地条件,解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）地导数,可得,得地最小值为负,运用基本不等式即可求得m﹣n地范围；（3）假设存在实数a,运用构造函数,求出导数,求得单调区间和最值,结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解:（1）当m=1时,,∴y=g（x）在x=1处地切线斜率,由,∴y=f（x）在x=1处地切线斜率k=1,∴,∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）地定义域为（0,+∞）,又,由题意,得地最小值为负,∴m（1﹣n）＞4,由m＞0,1﹣n＞0,∴,∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4,∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=,其中x＞0,a＞0,则θ'（x）=,设,∴δ（x）在（0,+∞）单调递减,δ（x）=0在区间（0,+∞）必存在实根,不妨设δ（x0）=0,即,可得（*）θ（x）在区间（0,x0）上单调递增,在（x0,+∞）上单调递减,所以θ（x）max=θ（x0）,θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0,代入（*）式得,根据题意恒成立．又根据基本不等式,,当且仅当时,等式成立即有,即ax0=1,即．代入（*）式得,,即,解得．解法二、假设存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）,其中x＞0,a＞0根据条件对任意正数x恒成立,即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立,∴且,解得且,即时上述条件成立,此时．解法三、假设存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）,其中x＞0,a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立,等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立,即对任意正数x恒成立,设函数,则φ（x）地函数图象为开口向上,与x正半轴至少有一个交点地抛物线,因此,根据题意,抛物线只能与x轴有一个交点,即,所以．【点评】本题考查导数地运用:求切线地斜率和单调区间、极值和最值,主要考查函数地单调性地运用,以及不等式恒成立思想地运用,考查运算能力,具有一定地综合性．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•桃城区校级月考）极坐标系与直角坐标系xOy有相同地长度单位,以原点为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线C1地极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2地参数方程为（t为参数,0≤α＜π）,射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A,B,C．（1）求证:；（2）当时,B,C两点在曲线C2上,求m与α地值．【考点】简单曲线地极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）依题意|OA|=4sinφ,,利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为,命题得证．（2）当时,B,C两点地极坐标分别为,再把它们化为直角坐标,根据C2是经过点（m,0）,倾斜角为α地直线,又经过点B,C地直线方程为,由此可得m及直线地斜率,从而求得α地值．【解答】（1）证明:依题意|OA|=4sinφ,,则=；（2）解:当时,B,C两点地极坐标分别为,化为直角坐标为,曲线C2是经过点（m,0）,且倾斜角为α地直线,又因为经过点B,C地直线方程为,所以．【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程,把点地极坐标化为直角坐标,直线地倾斜角和斜率,属于中档题．[选修4-5:不等式选讲]23．（2016•中山市二模）已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2,解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数x,使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立,求实数a地取值范围．【考点】绝对值不等式地解法．【分析】（1）通过讨论x地范围,得到关于x地不等式组,解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性地问题,须求出不等式左边地最大值,可运用绝对值不等式地性质可得最大值,再令其大于等于a,即可解出实数a地取值范围．【解答】解:（1）a=2时:f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3,或或,解得:﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立,即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a,由绝对值不等式地性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|,即有f（x）地最大值为|a+6|,∴或,解得:a≥﹣．【点评】本题考查绝对值不等式,求解本题地关键是正确理解题意,区分存在问题与恒成立问题地区别,本题是一个存在问题,解决地是有地问题,本题是一个易错题,主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解,因思维错误导致错误．。

2013年河北省衡水中学高考数学六模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：化简集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，根据两个集合的交集的定义求出A∩B．解答：解：集合A={x|﹣4≤2x≤4，x∈R}={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}={x|0≤x≤8，x∈Z}={ 0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={x|0，1，2}，故选D．点评：本题主要考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）如果复数是实数，则实数m=（）A．﹣1 B．1C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的复数分子分母同时乘以1+mi，化为a+bi（a，b∈R）的形式，由虚部等于0可求m的值．解答：解：==．∵是实数，则1+m3=0，所以m=﹣1．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设所求的双曲线方程是，由焦点（0，6）在y 轴上，知 k＜0，故双曲线方程是，据 c2=36 求出 k值，即得所求的双曲线方程．解答：解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，∵焦点（0，6）在y 轴上，∴k＜0，所求的双曲线方程是，由﹣k+（﹣2k）=c2=36，∴k=﹣12，故所求的双曲线方程是，故选 B．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+sinB=，则角A的大小为（）A．60°B．30°C．150°D．45°考点：正弦定理；二倍角的正弦．专题：计算题；解三角形．分析：由sinB+sinB=，平方可求sin2B，进而可求B，然后利用正弦定理可求sinA，进而可求A解答：解：由sinB+sinB=，可得1+2sinBcosB=2 即sin2B=1因为0＜B＜π，所以B=45°，又因为a=，b=2，所以在△ABC中，由正弦定理得：，解得sinA=，又a＜b，所以A＜B=45°，所以A=30°故选B点评：本题主要考查了同角平方关系及正弦定理在求三角形中的应用，解题时要注意大边对大角的应用，不要产生A角的多解5．（5分）（2012•烟台二模）如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：常规题型；计算题．分析：欲求图象恒在x轴上方的概率，则可建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b 的平面区域，再根据几何概型概率公式结合定积分求面积的方法易求解．解答：解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S1=，∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为，则质点落在区域M内的概率是=．故选C．点评：本题综合考查了二次函数的图象，几何概型，及定积分在求面积中的应用，考查计算能力与转化思想．属于基础题．6．（5分）利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：循环结构．专题：图表型．分析：题目先给循环变量和点的坐标赋值，打印一次后执行运算x=x+1，y=y﹣1，i=i﹣1，然后判断i与0的关系满足条件继续执行，不满足条件算法结束．解答：解：首先给循环变量i赋值3，给点的横纵坐标x、y赋值﹣2和6，打印点（﹣2，6），执行x=﹣2+1=﹣1，y=6﹣1=5，i=3﹣1=2，判断2＞0；打印点（﹣1，5），执行x=﹣1+1=0，y=5﹣1=4，i=2﹣1=1，判断1＞0；打印点（0，4），执行x=0+1=1，y=4﹣1=3，i=1﹣1=0，判断0=0；不满足条件，算法结束，所以点落在坐标轴上的个数是1个．故选B．点评：本题主要考查了循环结构，当满足条件，执行循环，不满足条件算法结束，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，，，点P在AM上且满足，则•（+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：易得M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，进而得•（+）=，由数量积的定义可得答案．解答：解：：由题意易知：M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，因为，所以，，所以•（+）=．故选D．点评：本题考查向量加减混合运算及几何意义，属基础题．8．（5分）函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（x∈R）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．1考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．解答：解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+ϕ）∵，所以ϕ=，∴，，所以．故选C．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力．9．（5分）（2007•江西）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．A H垂直平面CB1D1C．A H的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）解答：解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D．点评：本题主要考查正方体体对角线的性质．10．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）考点：正弦定理；椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．解答：解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．点评：本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．11．（5分）函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞] B．[0，3] C．[3，12] D．[0，12]考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可．解答：解：函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）为奇函数．∴f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2）≤0，∴x2﹣2x≥﹣2y+y2，∴即，画出可行域如图，可得=x+2y∈[0，12]．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性，线性规划的应用，向量的数量积的知识，是综合题，考查数形结合与计算能力．12．（5分）（2012•开封一模）已知函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．B．29﹣1 C．45 D．55考点：数列与函数的综合；函数的零点．专题：计算题；压轴题．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x ﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为 S n=，∴S10=45，故选C．点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，要细心解答．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点（2，3），则b的值为：﹣15 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先根据曲线y=x3+ax+1过点（2，3）求出a的值，然后求出x=2处的导数求出k的值，根据切线过点（2，3）求出b即可．解答：解：∵y=x3+ax+1过点（2，3），∴a=﹣3，∴y'=3x2﹣3，∴k=y'|x=2=3×4﹣3=9，∴b=y﹣kx=3﹣9×2=﹣15，故答案为：﹣15．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为4π．考点：球内接多面体；由三视图还原实物图．专题：计算题；压轴题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论．解答：解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为2，半径为∴三棱锥的外接球体积为=4π故答案为：4π点评：本题考查三视图，几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．15．（5分）（2013•崇明县二模）某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为600 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，再由加法原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2种情况讨论，若甲乙其中一人参加，有=480种情况；若甲乙两人都参加，有=240种情况，其中甲乙相邻的有=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，故答案为：600．点评：本题考查排列、组合知识，考查计数原理，利用加法原理，正确分类是关键．16．（5分）（2010•连云港二模）设a1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）} ．考点：等比数列的性质；集合的表示法；等差数列的性质．专题：综合题；压轴题．分析：设出数列的公差d，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用等比数列的性质，列出关于d与首项的方程，求出方程的解即可得到d 的值，根据d不为0，得到满足题意的d的值，即可求出满足题意的所有数对，组成集合的形式即可．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，…，a1+（n﹣1）d，且a1≠0，d≠0，假设去掉第一项，则有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合题意；去掉第二项，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化简得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=﹣，因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对=（4，﹣4）；去掉第三项，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化简得：d2﹣a1d=0即d（d﹣a1）=0，解得d=a1则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项，因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对=（4，1）；去掉第四项时，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化简得：d=0，不合题意；当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意．所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}．故答案为：{（4，﹣4），（4，1）}点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题．学生做题时应时刻注意公差d不为0和各项不为0的条件．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2010•茂名一模）在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对应的三边，已知b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小；（2）若，试判断△ABC的形状．考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题；转化思想．分析：（1）将b2+c2=a2+bc⇒b2+c2﹣a2=bc⇒，由同性结合余弦定理知cosA=，可求出A的大小；（2）用半角公式对进行变形，其可变为cosB+cosC=1，又由（1）的结论知，A=，故B+C=，与cosB+cosC=1联立可求得B，C的值，由角判断△ABC的形状．解答：解：（1）在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∴，∴cosA=，又A是三角形的内角，故A=（2）∵，∴1﹣cosB+1﹣cosC=1∴cosB+cosC=1，由（1）的结论知，A=，故B+C=∴cosB+cos（﹣B）=1，即cosB+cos cosB+sin sinB=1，即∴sin（B+）=1，又0＜B＜，∴＜B+＜π∴B+=∴B=，C=故△ABC是等边三角形．点评：本题考点是三角形中的余弦定理，考查余弦定理与三角恒等变换公式，是解三角形中综合性较强的一道题．18．（12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．月收入（单位百元）[15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 8 12 5 2 1（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成a= c=不赞成b= d=合计（Ⅱ）若对在[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．参考值表：P（K^2≥k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828考点：独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据数据统计，可得2×2列联表，利用公式计算K2，与临界值比较，即可得到结论；（Ⅱ）确定ξ所有可能取值，计算相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望值．解答：解：（Ⅰ）2×2列联表月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成a=3 c=29 32不赞成b=7 d=11 18合计10 40 50∴．∴没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异．（6分）（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，P（ξ=0）===P（ξ=1）=+==P（ξ=2）=+==P（ξ=3）===，所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3P所以ξ的期望值是Eξ=0×+1×+2×+3×=（12分）点评：本题考查概率与统计知识，考查独立性检验的运用，考查离散型随机变量的分布列与期望，正确计算概率是关键．19．（12分）（2013•青岛一模）如图，几何体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD ，且，E为CC1的中点，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：△DB1E为等腰直角三角形；（Ⅱ）求二面角B1﹣DE﹣F的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；三角形的形状判断．专题：空间角．分析（Ⅰ）由已知条件，在直角三角形DBB1，B1C1E，DCE中分别求出DB1，B1E，DE的长度，由边的关系能够证出：△DB1E为等腰直角三角形；（Ⅱ）取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OH∥BB1，以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，求出两个平面DB1E和DFE的法向量，根据二面角与其法向量所成角的关系求二面角B1﹣DE﹣F的余弦值．解答：（I）证明：连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以BD=a 因为BB1、CC1都垂直于面ABCD，∴BB1∥CC1，又面B1C1D1∥面ABCD，∴BC∥B1C1所以四边形BCC1B1为平行四边形，则B1C1=BC=a因为BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD ，则，所以所以△DB1E为等腰直角三角形；（II）解：取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OH∥BB1以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，则所以设面DB1E 的法向量为，则，即且令z1=1，则设面DFE 的法向量为，则即且令x2=1，则则=，则二面角B1﹣DE﹣F的余弦值为．点评：本题考查了三角形形状的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了平面法向量的求法，利用两个平面的法向量所成的角求解二面角时，要注意二面角和法向量所成角的关系，此题是中档题．20．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，向量，点B 为直线上的动点，点C 满足，点M 满足．（1）试求动点M的轨迹E的方程；（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN 的面积的最小值．考点：轨迹方程；点到直线的距离公式．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设M（x，y），B （﹣，m），可得C（0，），进而得到向量、和的坐标，结合题中向量等式建立x、y与m的等式，再消去m即可得到动点M的轨迹E 的方程；（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），可得PR直线的方程为（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0．由直线PR、PN 与题中的圆相切，运用距离公式算出、，可得b、c是方程+y0x﹣x0=0的两个根，运用根与系数的关系算出|b﹣c|关于x0的式子，再代入计算△PRN的面积可得面积S关于x0的表达式，最后利用基本不等式即可求出△PRN的面积的最小值．解答：解：（1）设，则∵点C 满足，∴点C是线段AB的中点，可得C（0，）由此可得：，，∵，∴可得，化简整理得，消去参数m得y2=2x，所以动点M的轨迹E的方程为y2=2x；…（4分）（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，∴PR直线的方程为，整理得l PR：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，∵圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，可得PR与圆相切，∴，注意到x0＞2，化简得：，同理可得：，因此，b、c是方程的两个不相等的实数根，…（8分）根据根与系数的关系，化简整理可得，由此可得△PRN的面积为，∴当x0﹣2=时，即当x0=4时，△PRN的面积的最小值为8．…（12分）点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程并求了△PRN的面积的最小值．着重考查了抛物线的标准方程和简单性质、轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线关系等知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．考点利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．：专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意得，＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．（2）由题意得：令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，分类讨论当或时两种情况求函数的最大值，可得到a的范围．又因为h′（x）=﹣x+2a ﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，可得到a 的另一个范围，综合可得a的范围．解答：解：（1）当时，，；对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，∴，．（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∵1）若，令p′（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；2）若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，所以≤a≤．又因为h′（x）=﹣x+2a ﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤综合可知a的范围是[，]．点评：本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．22．（2013•郑州二模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD 交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：证明题；压轴题．分析：（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．解证明：（1）连接AB，AC，答：∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．23．（10分）（选做题在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（1）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出；（2）利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d和弦长l=即可得出．解答：解：（1）由曲线C的参数方程为为参数），消去参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0；∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线P在极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，∴曲线P的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3=0．（2）曲线P可化为（x﹣2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为，所以．点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式、弦长l=是解题的关键．24．（2011•晋中三模）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）若∀x∈R，恒成立，求实数t的取值范围．考点：一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．解答：解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述 {x|x＞1或x＜﹣5}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：考查了绝对值的代数意义、一元二次不等式的应用、分段函数的解析式等基本，去绝对值体现了分类讨论的数学思想，属中档题．。

2020届河北省衡水中学高三第六次模拟考试理科数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1．设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则()U B A ⋂=ð A ．(],1-∞- B ．(](),10,3-∞- C ．(]0,3 D ．()0,32．已知复数1z ii=+，则z 的虚部是 A.12 B.12i C.12-D.12i -3．设命题：2:,(1)10p x Z x ∀∈+->，则p ⌝为 A ．2,(1)10x Z x ∀∈+-> B ．()200,110x Z x ∃∈+-> C ．2,(1)10x Z x ∀∉+-≤D ．()200,110x Z x ∃∈+-≤4．设x ，y 满足约束条件2390300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是A ．92-B ．3C ．6D ．85．2cos15sin19522-的值为（ ）A B ．12C ．D ．12-6．函数f （x ）＝xe cosx （x ∈[﹣π，π]）的图象大致是A ．B ．C ．D ．7．函数[]()cos ,0,π=-∈f x x x x 的单调递减区间是 A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0πB.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,2ππC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,2ππ 8．已知01a b c <<<<，log a m c =，log b n c =，c r a =，则m n r ，，的大小关系是 A.<<n m rB.<<m r nC.<<r m nD.<<m n r9．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =10．已知函数()y f x =在区间(－∞,0)内单调递增，且()()f x f x -=，若()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>11．函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．2B ．4C ．6D ．812．设函数()f x =1e 1ecos 22y x -+=+上存在()00,x y ，使得()()00f f y y =成立，则实数m 的取值范围为A.20,e e 1⎡⎤-+⎣⎦B.20,e e 1⎡⎤+-⎣⎦C.20,e e 1⎡⎤++⎣⎦D.20,e e 1⎡⎤--⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知向量(2,),(1,2)a b m ==-rr，且a b ⊥，则实数m 的值是______.14．设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.15．已知曲线()32ln 3x f x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= __ 16．已知函数()32331f x x ax x =-++在区间()2,3上至少有一个极值点，则a 的取值范围为__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）已知函数()243,f x x x a a R =-++∈.（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()y f x =在[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围.18．（本大题满分12分）已知向量()(),cos2,sin2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图像过点12π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图像向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.19．（本大题满分12分）在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求22cos cos A B +的取值范围。