第五章弹性体的能量原理
§5-1 差分公式的推导
目录
§5-2 应力函数的差分解
§53应力分量差分解的实例§5-3 应力分量差分解的实例
§5-4弹性体的形变能和外力势能
§5-5位移变形方程
§56§5-6
位移变分法§5-7位移变分法的例题
变分法简介简介¾函数的变分
y y x =()dy d y δδ⎛⎞=⎜⎟()dx dx
⎝⎠¾泛函的变分
()I I y x =⎡⎤⎣⎦
()',,b
a I f x y y dx =∫()
b b
a a I f dx f dx δδδ==∫∫¾泛函的极值问题
I y x =⎣=()I ⎡⎤⎦()0y y x 0
I δ=
5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势
¾变分法：研究泛函及其极值的求解方法。
：研究泛函及其极值的求解方法
¾泛函：是以函数为自变量的一类函数，即函数的函数弹性力学中的变分法又称为能量法
形变势能密度：单位体积中的形变势能
1
σε
单拉伸缩
单向拉伸或压缩
2x x
1
剪切载荷作用
τγ
2xy xy
5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势根据能量守恒原理形变势能与弹性体受力的次序无¾根据能量守恒原理，形变势能与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力及形变的最终大小。因此，考虑弹性体的6个应力分量和6个形变分量可以得到弹虑弹性体的6个应力分量和6个形变分量，可以得到弹性体全部形变势能密度1()12
x x y y z z xy xy yz yz zx zx U σεσεσετγτγτγ=+++++0==0,
0yz zx ττ在平面问题中平面应力
z σ=平面应变0
z ε=1()12x x y y xy xy U σεσετγ=++
5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势在平面问题中各应力分量和形变分量都是坐标x和y ¾在平面问题中，各应力分量和形变分量都是坐标x和y 的函数，因此形变势能密度一般也是坐标的函数。整个弹性体（平面区域A 内）的形变势能U 可以表示为
1U U dxdy dxdy σεσετ==++−()12x x y y xy xy A A
y y γ∫∫∫∫也可以采用形变分量来表示()2221212221x y x y xy E U μεεμεεγμ⎡⎤=+++⎢⎥−⎣⎦
∂111,,x y xy x y xy U U U σστεεγ∂∂===∂∂∂弹性体每单位体积中的形变势能对于任形变分量的改变弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，就等于相应的应力分量。
5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势另外形变势能还可以用位移分量来表示
¾另外，形变势能还可以用位移分量来表示2221E u v u v v u μ⎡⎤⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂−∂∂⎛⎞=⎜()122221U x y x y x y μμ++++⎢⎥⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂−⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦由此可见，形变势能是形变分量或位移分量的二次泛函。因此叠加原理不再适用。
()()()
1212U u u U u U u +≠+外力功
W d d d ()()A x y x y s f u f v dxdy f u f v ds =+++∫∫∫外力势能
d d d ()()
A x y x y s V f u f v dxdy f u f v ds =−+−+∫∫∫
5-5 位移变分方程位移虚位移：假设位移分量发生在位移边界条件所容许的微¾小改变
''
,u u u v v v
δδ=+=+由位移变分引起的外力功的变分和外力势能的变分分别为()()
x y x y A s W f u f v dxdy f u f v ds δδδδδ=+++∫∫∫位移的变分引起应变的变分
()()()(),,x xy u v v u δεδδεδδγδδ∂∂∂∂===+∂∂y y x y x y
∂∂
5-5 位移变分方程位移¾引起的形变势能的变分为
U dxdy δσδεσδετδγ=++注意系数变化
()x x y y xy xy A y γ∫∫假定弹性体在虚位移过程中没有温度和速度的改变，即热能和动能恒定。按照能量守恒定理，形变势能的增加应当等于外力势能的减少，即外力所做的功，于是可以得到()()
x y x y A s U W f u f v dxdy f u f v ds δδδδδδ==+++∫∫∫位移变分方程：在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分等于外力功的变分。引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。
5-5 位移变分方程
位移由此还可以导出弹性力学中的极小势能原理
()0
U V δ+=在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能的变分为零。
极小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在一组位移应使总势能称为极值。
如果考虑阶变分总是大于或等于零就可如果考虑二阶变分总是大于或等于零，就可以证明：对于稳定平衡状态，这个极值就是极小值。
()20U V δ+≥
5-5 位移变分方程位移
¾弹性力学的虚功方程
(x
x
xy xy dxdy σδεσδετδγ++−)()()
y
y
y
y
A
x
y
x
y
A
s
f u f v dxdy f u f
v ds δδδδ+++=∫∫
∫∫∫如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么，在
虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在，虚应变上做的虚功。
位移变分方程，极小势能原理和虚功原理在本质上都是一位移变分方程，极小势能原理和虚功原理在本质上都是样的，它们都是从实际平衡状态发生虚位移时，能量守恒定理的具体应用，只是表达方式有所不同而已。
