对数与对数函数 对数与对数运算
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§2.2.1 对数与对数运算(一)¤知识要点:1. 定义:一般地,如果x a N =(0,1)a a >≠,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数(logarithm ).记作 log a x N =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm ),并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义,得到对数与指数间的互化关系:当0,1a a >≠时,log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数;log 10a =, log 1a a = ,log a a N N = ¤例题精讲:【例1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:(1)712128-=; (2)327a =; (3)1100.1-=; (4)12log 325=-; (5)lg0.0013=-; (6)ln100=4.606.【例2】计算下列各式的值:(1)lg0.001; (2)4log 8; (3).第14练 §2.2.1 对数与对数运算(一)※基础达标1.log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是( ). A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ). A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与 C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3.设lg 525x =,则x 的值等于( ).A. 10B. 0.01C. 100D. 10004.设13log 82x=,则底数x 的值等于( ). A. 2 B. 12 C. 4 D. 145.已知432log [log (log )]0x =,那么12x -等于( ).A.13 B. C. D. 6.若21log 3x =,则x = ; 若log 32x =-,则x = .7.计算:= ; 6lg 0.1= .※能力提高8.求下列各式的值:(1)8; (2)9log9.求下列各式中x 的取值范围:(1)1log (3)x x -+; (2)12log (32)x x -+.※探究创新10.(1)设log 2a m =,log 3a n =,求2m n a +的值.(2)设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =,且A B =,求a 的值.第15讲 §2.2.1 对数与对数运算(二)¤知识要点:1. 对数的运算法则:log ()log log a a a M N M N =+,log log log aa a MM N N=-,log log n a a M n M =,其中0,1a a >≠且,0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具,能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ,则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样,也可以推导出一些对数恒等式,如log log n n a a N N =,log log m n a a nN N m=,log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲:【例2】若2510a b ==,则11a b+= .【例4】(1)化简:532111log 7log 7log 7++; (2)设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=,求实数m 的值.第15练 §2.2.1 对数与对数运算(二)※基础达标 1.). A. 1B. -1C. 2D. -2 2.25log ()a -(a ≠0)化简得结果是( ).A. -aB. a 2C. |a |D. a3.化简3log 1的结果是( ). A.12B. 1C. 24.已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于( ). A. 1 B. 2 C. 8 D. 125.化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 ( ).A .1 B.32C. 2D.3 6.计算2(lg5)lg 2lg50+⋅= .7.若3a =2,则log 38-2log 36= .第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质(一)¤知识要点:1. 定义:一般地,当a >0且a ≠1时,函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ; 函数的定义域是(0,+∞).2. 由2log y x =与12log y x =的图象,可以归纳出对数函数的性质:定义域为(0,)+∞,值域为R ;当1x =时,0y =,即图象过定点(1,0);当01a <<时,在(0,)+∞上递减,当1a >时,在(0,)+∞上递增.¤例题精讲:【例1】比较大小:(1)0.9log 0.8,0.9log 0.7,0.8log 0.9; (2)3log 2,2log 3,41log 3.【例2】求下列函数的定义域:(1)y =(2)y =【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.第16练 §2.2.2 对数函数及其性质(一)※基础达标1.下列各式错误的是( ).A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2.当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是( ).AC3.下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数( )A.log (0,1)a xy aa a =>≠ B. y =2x xC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y4.函数y ).A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2] 5.若log 9log 90m n <<,那么,m n 满足的条件是( ).A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<<6.函数y = . (用区间表示)7.比较两个对数值的大小:ln7 ln12 ; 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高8.求下列函数的定义域:(1) ()()3log 1f x x =++; (2)y =9.已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈,22()()[()]g x f x f x =-,求: (1)()f x 的值域; (2)()g x 的最大值及相应x 的值.第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质(二)¤知识要点:1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function ). 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究,口诀是“同增异减”,即两个函数同增或同减,复合后结果为增函数;若两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是:(i )求定义域;(ii )拆分函数;(iii )分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性;(iv )按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲:【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例2】(05年山东卷.文2)下列大小关系正确的是( ). A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<第17练 §2.2.2 对数函数及其性质(二)※基础达标 1.函数1lg1xy x+=-的图象关于( ). A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称D. 直线y =x 对称2.函数212log (617)y x x =-+的值域是( ).A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3.(07年全国卷.文理8)设1a >,函数()log a f x x =在区间[]2a a ,上的最大值与最小值之差为12,则a =( ).A.2B. 2C. 22D. 44.图中的曲线是log a y x =的图象,已知a 的值为2,43,310,15,则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为( ).A.2,43,15,310 B. 2,43,310,15 C. 15,310,43,2 D. 43,2,310,155.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ). A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6. 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. (填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)7.函数x y a =的反函数的图象过点(9,2),则a 的值为 . ※能力提高8.已知6()log ,(0,1)a f x a a x b=>≠-,讨论()f x 的单调性.0 x C 1C 2C 4C 3 1y第18讲 §2.3 幂函数¤学习目标:通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像,了解它们的变化情况.知识要点:1. 幂函数的基本形式是y x α=,其中x 是自变量,α是常数. 要求掌握y x =,2y x =,3y x =,1/2y x =,1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性,总结如下:(1)当0α>时,图象过定点(0,0),(1,1);在(0,)+∞上是增函数.(2)当0α<时,图象过定点(1,1);在(0,)+∞上是减函数;在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象,在第一象限内,直线1x =的右侧,图象由下至上,指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间,图象由上至下,指数α由小到大.¤例题精讲:【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3),试讨论其单调性.解:设y x α=,代入点(27,3),得327α=,解得13α=,所以13y x =,在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点,且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称,求m 的值.解:∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点,∴{6020m m -<-<,解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称, ∴ 2m -为偶数,即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示,则( ). A .101n m -<<<< B .1,01n m <-<< C .10,1n m -<<> D .1,1n m <->解:由幂函数图象在第一象限内的分布规律,观察第一象限内直线1x =的右侧,图象由下至上,依次是n y x =,1y x -=,0y x =,m y x =,1y x =,所以有101n m <-<<<. 选B.点评:观察第一象限内直线1x =的右侧,结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程,近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡(“平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅平屋面改建成坡屋顶,并对外墙面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为),且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时,所用时间需10年. 已知到今年为止,平改坡剩余面积为原来的22. (1)求每年平改坡的百分比;(2)问到今年为止,该平改坡工程已进行了多少年? (3)若通过技术创新,至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年? 解:(1)设每年平改坡的百分比为(01)x x <<,则101(1)2a x a -=,即11011()2x -=,解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.(2)设到今年为止,该工程已经进行了n 年,则2(1)2na x a -=,即110211()()22n=,解得n =5.所以,到今年为止,该工程已经进行了5年.(3)设今后最多还需平改坡m 年,则 51(1)4m a x a +-=,即521011()()22m +=,解得m =15. 所以,今后最多还需平改坡15年.点评:以房屋改造为背景,从中抽象出函数模型,结合两组改造数据及要求,通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第18练 §2.3 幂函数※基础达标1.如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2,则(4)f 的值等于( ). A. 16 B. 2 C. 116 D. 122.下列函数在区间(0,3)上是增函数的是( ).A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3.设120.7a =,120.8b =,c 3log 0.7=,则( ).A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4.如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±,12±四个值,与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为( ).A .112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22--D. 112,,,222--5.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( ).A.12y x =B. 4y x =C. 2y x -=D.13y x = 6.幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2,则(8)f 的值为 . 7.比较下列各组数的大小: 32(2)a + 32a ; 223(5)a -+ 235-; 0.50.4 0.40.5.※能力提高8.幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数,且在(0,)+∞上为增函数,求函数解析式.9.1992年底世界人口达到54.8亿,若人口的平均增长率为x %,2008年底世界人口数为y (亿).(1)写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数; (2)求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内?※探究创新4251c 4c 3c 2c 110.请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =; ② 2y x -=;③ 12y x =; ④ 1y x -=; ⑤ 13y x =;⑥ 43y x =;⑦ 12y x -=;⑧ 53y x =. 第19讲 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习¤学习目标:理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究,加深对函数概念的理解.¤例题精讲:【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且,则1212()()()22x x f x f x f ++≤. 证明:121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a++++-=-0==≥. ∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. (注:此性质为函数的凹凸性) 【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.(1)判断()f x 的奇偶性; (2)若3211(1),log (4)log 422f a b =-=,求a ,b 的值.解:(1)()f x 定义域为R ,2()()1bxf x f x ax --==-+,故()f x 是奇函数.(2)由1(1)12b f a ==+,则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1,即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1,b =1.【例3】(01天津卷.19)设a >0, ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数.(1)求a 的值; (2)证明()f x 在(0,)+∞上是增函数.解:(1)∵ ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数,∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a ---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a-=⇒--=.e x -e -x 不可能恒为“0”, ∴ 当1a-a =0时等式恒成立, ∴a =1.(2)在(0,)+∞上任取x 1<x 2,1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =--∵ e >1,x 1<x 2, ∴ 121x x e e >>, ∴12x x e e >1,121212()(1)x x x x x x e e e e e e --<0,∴ 12()()0f x f x -<, ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数.点评:本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识.此题中的函数,也可以看成指数函数xy a =与x a y a x =+的复合,可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.(1)若人口的平均增长率为1.2%,写出经过t 年后的世界人口数y (亿)与t 的函数解析式;(2)若人口的平均增长率为x %,写出2010年底世界人口数为y (亿)与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内?解:(1)经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.(2)2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%. 由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8, 解得1866.8100(1) 1.154.8x ≤⨯-≈. 所以,人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评:解应用题应先建立数学模型,再用数学知识解决,然后回到实际问题,给出答案. 此题由增长率的知识,可以得到指数型或幂型函数,并得到关于增长率的简单不等式,解决实际中增长率控制问题.第19练 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习※基础达标 1.(06年全国卷II.文2理1)已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>,则M N =( ).A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x << 2.(08年北京卷.文2)若372log πlog 6log 0.8a b c ===,,,则( ).A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>3.(05年福建卷)函数()x b f x a -=的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是( ). A. 1,0a b >< B. 1,0a b >> C. 01,0a b <<> D. 01,0a b <<<4.(06年广东卷)函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是( ).A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞-5.(06年陕西卷)设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a b +等于( ).A. 3B. 4C. 5D. 66.(06年辽宁卷.文14理13)设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩,则1(())2g g = .7.如图所示,曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象,已知α分别取11,1,,22-四个值,则相应图象依次为 .※能力提高8.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数. 求,a b 的值.9.已知函数y =24log log 42x x(2≤x ≤4). (1)求输入x =234时对应的y 值; (2)令2log t x =,求y 关于t 的函数关系式及t 的范围.※探究创新10.设121()log 1axf x x -=-为奇函数,a 为常数. (1)求a 的值; (2)证明()f x 在区间(1,+∞)内单调递增;(3)若对于区间[3,4]上的每一个x 值,不等式()f x >1()2x m +恒成立,求实数m 的取值范围.。
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作 ,其中a 叫做对数的 ,N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化:log ba aN b N =⇔=2.常用对数:通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数,记作lg N 。
自然对数:通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数,记作ln N 。
3.对数的运算性质:如果0a >,且1,0,0a M N ≠>>,那么:⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+;(积的对数等于对数的和) 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-;(商的对数等于对数的差) ⑶log log (R)a a M M ααα=∈,则log a = 。
⑷log a N a N =2.换底公式:log log log a b a NN b=(,0,,1,0a b a b N >≠>) 换底公式的意义:把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数,以达到计算、化简或证明的目的. 推广:⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =, ⑶1log log n a a M M n =,则log na m M = 。
特别地:log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
(1)2log (5)x +(2)1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式。
(1) 1642= (2) 9132=- (3) 481log 3=(4) 6125log -=a (5)lg0.0013=-; (6)ln100=4.606【例3】 计算(1)lg 4lg 25+ (2)22log 24log 6-(3)531log ()3(4) 001.0lg (5)e1ln (6)1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】). A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅= .知识要点【例4】 (1)(2 。
学习内容一、对数概念二、对数的运算三、对数函数性质内容一:知识清单讲解一、对数概念1. 定义:一般地,如果x a N=(0,1)a a>≠,那么数x叫做以a为底N的对数,记作log(0)ax N N=>,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数,并把常用对数10log N简记为lg N,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,并把自然对数logeN简记作ln N。
3. 根据对数的定义,得到对数与指数间的互化关系:当0,1a a>≠时,log baN b a N=⇔=。
4. 负数与零没有对数;log10a=,log1aa=。
二、对数的运算对数的运算法则:其中0,1a a>≠且,0,0,M N n R>>∈,以下七条法则是有力的解题工具,能化简与求解复杂对数式的值;log()log loga a aM N M N∙=+log log loga a aMM NN=-log logna aM n M=log logbNaaNM Mb=换底公式:logloglogbabNNa=如果令b=N,得:1loglogabba=log a ba b=推论:log log log1a b cb c a∙∙=二、对数函数性质1.对数函数的概念:一般地,函数log(01)ay x a a=>≠且叫做对数函数,其中x表示自变量,定义域是(0,+∞),思考题:(1)为什么函数的定义域是(0,+∞)?(2)对数函数log(01)ay x a a=>≠且与指数函数(01)xy a a a=>≠且的定义域,值域之间有什么关系?结论:指数函数与对数函数互为反函数,它们的图像关于直线y x=对称,它们具有相同的单调性。
2. 对数函数的图像的基本性质:其中性质(3)可用两句话概括:对数函数都必过(1,0);其它部分都遵循“底真同范围函数值为正,底真异范围函数值为负”。
第二节对数与对数函数复习目标学法指导1.对数与对数运算(1)对数的概念.(2)常用对数与自然对数.(3)对数的运算性质.(4)对数的换底公式.2.对数函数及其性质(1)对数函数的概念.(2)对数函数的图象.(3)对数函数的性质.(4)指数函数与对数函数的关系. 会求一些与对数函数有关的简单的复合函数的定义域、值域、单调性.(发展要求) 1.通过对数的概念,明确对数来源于指数,利用指数的知识理解与掌握对数.2.在同底的条件下,对数只能进行加、减运算,注意应用的顺序.3.掌握对数函数的图象与性质,一定要坚持分类讨论的思想.4.应用对数函数的性质解决对数类问题要遵循定义域优先的原则.一、对数如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N.其中a叫做底数,N叫做真数底数的限制a>0,且a≠1对数式与指数式的互化:a x=N⇔log a N=x负数和零没有对数1的对数是零,log a1=0底数的对数是1,log a a=1对数恒等式:log a Na=Nlog a(M·N)=log a M+log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0log a MN=log a M-log a Nlog a M n=nlog a M(n∈R)公式:log a b=loglogccba(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)推广:logam b n=n m log a b(a>0且a≠1,b>0);log a b=1logba(a>0且a≠1;b>0且b≠1)1.法则理解应用法则log a M+log a N=log a(M·N)时,注意M>0,且N>0,而不能只考虑到M·N>0,导致增解.2.与换底公式有关的结论log a b·log b c·log c d=log a d.二、对数函数1.对数函数的概念、图象与性质概念函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数底数a>1 0<a<1图象定义域(0,+∞)值域R过定点(1,0),即x=1时,y=0性质在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数2.指数函数与对数函数的关系指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.1.概念理解(1)对数函数的定义是形式定义,其解析式的特征为①系数为1;②次数为1;③底数a>0且a≠1;④真数只能是自变量x.(2)对数函数解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标,即可确定一个对数函数.2.与对数函数图象相关的知识点(1)如图是对数函数①y=log a x;②y=log b x;③y=log c x;④y=log d x的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是0<a<b<1<c<d.(2)对数函数图象之间的位置关系:在第一象限,图象从左到右,底数由小到大;(3)对数函数图象以y轴为渐近线,进行图象变换时,渐近线也应随之变换;(4)底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称;(5)画对数函数图象应抓住三个关键点:(1a,-1),(1,0),(a,1).3.与对数函数性质的应用相关联的知识(1)对数类函数的问题求解时要树立定义域优先的意识;(2)比较幂、对数大小的常用方法①单调性法:构造函数,利用其单调性;②中间量法:通过与特殊值比较大小判定结论,常见的有a0=1,log a1=0,log a a=1;③数形结合法.1.函数12log x( D )(A){x|x>0} (B){x|x≥1}(C){x|x≤1} (D){x|0<x≤1}解析:要使得函数12log x12log0,0,xx≥⎧⎪⎨⎪>⎩所以0<x≤1,因此可知函数的定义域为{x|0<x≤1}.选D.2.(2019·天津卷)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( A )(A)a<c<b (B)a<b<c(C)b<c<a (D)c<a<b解析:因为y=log5x是增函数,所以a=log52<log因为y=log0.5x是减函数,所以b=log0.50.2>log0.50.5=1.因为y=0.5x是减函数,所以0.5=0.51<c=0.50.2<0.50=1,即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A.3.函数y=log a(3x-2)(a>0,且a≠1)的图象经过定点A,则A点坐标是( C )(A)(0,23) (B)(23,0)(C)(1,0) (D)(0,1)解析:当3x-2=1,即x=1时,y=log a1=0,故定点A为(1,0).4.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即a b=N⇔b=log a N.现在已知2a=3,3b=4,则ab= .解析:因为2a =3,3b =4, 所以a=log 23,b=log 34,所以ab=log 23·log 34=ln3ln 2×ln 4ln3=ln 4ln 2=2. 答案:25.已知定义域为R 的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,若f(1)<f(lg x),则实数x 的取值范围是 . 解析:因为f(x)是偶函数,并且在区间[0,+∞)上是增函数, 所以f(x)在区间(-∞,0]上是减函数, 所以由f(1)<f(lg x)得|lg x|>1, 所以lg x>1或lg x<-1,所以x>10或0<x<110.所以实数x 的取值范围为{x|x>10或0<x<110}. 答案:{x|x>10或0<x<110}考点一 对数的基本运算[例1] (1)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m+n ; (2)计算26666(1log3)log 2log 18log 4-+⋅;(3)计算(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 解:(1)法一 因为log a 2=m,log a 3=n, 所以a m =2,a n =3,所以a 2m+n =(a m )2·a n =22×3=12. 法二 因为log a 2=m,log a 3=n,所以a 2m+n =(a m )2·a n =(log 2a a)2·log 3a a=22×3=12.(2)原式=266666612log 3log 3log log (63)3log 4-++⋅⨯()=26666612log3log 3(1log 3)(1log 3)log 4-++-+()=22666612log 3log 31(log 3)log 4-++-()=6621log 32log 2-() =666log 6log 3log 2- =66log 2log 2=1. (3)原式=(lg 2lg3+lg 2lg9)·(lg3lg 4+lg3lg8) =(lg 2lg3+lg 22lg 3)·(lg 32lg 2+lg 33lg 2) =3lg 22lg 3·5lg 36lg 2=54. 在对数运算中, 要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.1.(1)计算log 22的值是 ;(2)计算lg 4+lg 50-lg 2的值是 . 解析:(1)log 2=log 2=log 2 122-=-12. (2)lg 4+lg 50-lg 2=lg(4×50÷2)=lg 100=2. 答案:(1)-12(2)2 2.(2019·杭州市期末检测)设a=log 23,b=log 38,则2a = ;ab= .解析:由a=log 23得2a =3,ab=log 23×log 38=ln3ln 2×ln8ln 3=3ln 2ln 2=3ln 2ln 2=3. 答案:3 3考点二 对数函数的图象及应用[例2] (1)已知函数y=log a (x+b)(a,b 为常数,其中a>0,且a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )(A)a>1,b>1 (B)a>1,0<b<1 (C)0<a<1,b>1 (D)0<a<1,0<b<1(2)设方程10x =|lg(-x)|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) (A)x 1x 2<0 (B)x 1x 2=0 (C)x 1x 2>1 (D)0<x 1x 2<1解析:(1)函数y=log a (x+b)递减,所以0<a<1.同时log (1)0,log 0aa b b +<⎧⎨>⎩⇒11,01,b b +>⎧⎨<<⎩⇒0<b<1,故选D. (2)作出y=10x ,与y=|lg(-x)|的大致图象,如图. 显然x 1<0,x 2<0.不妨设x1<x2,则x1<-1<x2<0,所以110x=lg(-x1),210x=-lg(-x2),此时110x<210x,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)常将一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2018·绍兴市柯桥区二模)若log a2<log b2<0,则( B )(A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1(C)a>b>1 (D)b>a>1解析:log a2<log b2<0,所以a,b都小于1,log a2<log b2⇒lg2lg a <lg2lg b⇒lga>lg b⇒a>b,综上0<b<a<1.故选B.2.(2019·温州适应性测试)已知实数a>0,b>0,a≠1,且满足lna 则下列判断正确的是( C )(A)a>b (B)a<b(C)log a b>1 (D)log a b<1解析:由ln b=a =a-a得ln b-a+a=0,设f(x)=ln x-x+x(x>0),则f′(x)=1x -2x-2x x=2(1)2xx x--,则函数f(x)=ln x-x+x在(0,+∞)上单调递减, 且f(1)=0,所以当0<x<1时,ln x-x+x >0,即ln x>x-x;当x>1时,ln x-x+x <0,即ln x<x-x,在平面直角坐标系内画出函数y=ln x与y=x-x的图象如图所示,由图易得若ln b=a =a-a,则0<b<a<1或1<a<b,A,B错误;当a>1时,1<a<b,函数y=log a x为增函数,则log a b>log a a=1,当0<a<1时,0<b<a<1,函数y=log a x为减函数,则log a b>log a a=1,C正确,D错误,故选C.考点三对数函数的性质及应用[例3] 已知函数f(x)=12log(x2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.解:(1)由f(-1)=-3,得12log(4+2a)=-3.所以4+2a=8,所以a=2.这时f(x)= 12log (x 2-4x+3),由x 2-4x+3>0, 得x>3或x<1,故函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). 令g(x)=x 2-4x+3,则g(x)在(-∞,1)上单调递减, 在(3,+∞)上单调递增.又y=12log x 在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1), 单调递减区间是(3,+∞).(2)不存在满足题意的实数a,理由:令h(x)=x 2-2ax+3,要使f(x)在(-∞,2)上为增函数,应使h(x)在(-∞,2)上单调递减,且恒大于0.因此2,(2)0,a h ≥⎧⎨>⎩即2,740,a a ≥⎧⎨->⎩a 无解.所以不存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数.(1)利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的. (2)利用对数性质比较大小的解题策略①能化为同底数的对数值可直接利用其单调性进行判断.②既不同底数,又不同真数的对数值,先引入中间量(如-1,0,1等),再利用对数函数的性质进行比较.③底数不同,真数相同的对数值,可利用函数图象或比较其倒数大小来进行.1.(2018·江苏卷)函数2log 1x -的定义域为 .解析:由20,log 10x x >⎧⎨-≥⎩解得x ≥2,所以函数2log 1x -{x|x≥2}. 答案:{x|x ≥2} 2.函数f(x)=log x log 2(4x)的最小值为 ,此时x 的值是 . 解析:f(x)=log x log 2(4x)=12log 2x ·(2+log 2x),可令log 2x=t,t ∈R,则y=12t ·(2+t)=12t 2+t, 当t=-1时,函数取到最小值为-12, 此时x=12. 答案:-1212考点四 易错辨析[例4] (2018·天津卷)已知a=log 2e,b=ln 2,c=121log 3,则a,b,c 的大小关系为( )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)c>b>a (D)c>a>b 解析:c=121log 3=log 23>log 2e=a>1,即c>a.又b=ln 2=21log e<1<log 2e=a,即a>b. 所以c>a>b.故选D.(1)由于a 与c 既不同“底”又不同“真”,所以无法直接比较大小,造成思维受阻;(2)在利用对数函数的单调性比较大小时因函数的单调性判断错误而致误.1.已知a=2log 3.45,b=4log 3.65,c=3log 0.315(),则( C )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b解析:c=3log 0.315()=3log 0.35 =310log 35.法一 在同一坐标系中分别作出函数y=log 2x,y=log 3x,y=log 4x 的大致图象,如图所示.由图象知,log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x 为增函数. 所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315()>4log 3.65,故a>c>b.故选C.法二 因为103<3.4, 所以log 3103<log 33.4<log 23.4. 因为log 43.6<log 44=1,log 3103>log 33=1,所以log 43.6<log 3103.所以log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x为增函数.所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315()>4log 3.65,故a>c>b.故选C.2.(2018·全国Ⅲ卷)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( B ) (A)a+b<ab<0 (B)ab<a+b<0 (C)a+b<0<ab (D)ab<0<a+b 解析:因为a=log 0.20.3>log 0.21=0, b=log 20.3<log 21=0,所以ab<0.因为a b ab +=1a +1b =log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4,1=log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31=0,所以0<a b ab +<1,所以ab<a+b<0.故选B.类型一 对数的基本运算 1.已知x,y 为正实数,则( D ) (A)2lg x+lg y =2lg x +2lg y (B)2lg(x+y)=2lg x ·2lg y (C)2lg x ·lg y =2lg x +2lg y (D)2lg(xy)=2lg x ·2lg y 解析:2lg x+lg y =2lg x ·2lg y ,选项A 错; 2lg x ·2lg y =2lg x+lg y =2lg(xy),选项B 错; 令x=10,y=10,则2lg x ·lg y =2, 2lg x +2lg y =4,选项C 错.故选D.2.已知函数f(x)=123e 1,2,1log ,2,3x x x x -⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩则f(x)的零点为( A )(A)1,2 (B)1,-2 (C)2,-2 (D)1,2,-2解析:当x<2时,令f(x)=e x-1-1=0, 即e x-1=1,解得x=1满足x<2; 当x ≥2时,令f(x)=log 3213x -=0, 则213x -=1,即x 2=4,得x=-2(舍)或x=2.因此,函数y=f(x)的零点为1,2,故选A.3.已知函数f(x)= 311log (3),2,3,2,x x x x -+-<⎧⎪⎨≥⎪⎩则f(-6)+f(log 312)= ,满足f(x)>3的x 的取值范围是 . 解析:f(-6)=1+log 39=3, 因为log 312>log 39=2, 所以f(log 312)=4; 则f(-6)+f(log 312)=7;当x<2时,1+log 3(3-x)>3,解得x<-6, 当x ≥2时,3x-1>3,解得x>2,所以f(x)>3的x 的取值范围为(-∞,-6)∪(2,+∞). 答案:7 (-∞,-6)∪(2,+∞) 类型二 对数函数的图象及应用4.函数y=2log 4(1-x)的图象大致是( C )解析:函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B; 函数y=2log4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.故选C.5.(2019·嘉兴市、丽水市、衢州市高三模拟测试)函数y=ln(x+21x+)·cos 2x的图象可能是( D)解析:设f(x)=y=ln(x+21x+)·cos 2x,则易得函数的定义域为R,且f(-x)=ln[-x+2()1x-+]·cos 2(-x)=ln[2()1x x+-+]·cos2x=-ln(x+21x+)·cos 2x=-f(x),所以函数f(x)=ln(x+21x+)·cos 2x为奇函数,则函数图象关于原点中心对称,排除A,B;f′(x)=22111xx x++++·cos 2x-2ln(x+21x+)·sin 2x=21x+·cos2x-2ln(x+21x+)·sin 2x,f′(0)=1,即函数f(x)=ln(x+21x+)·cos 2x在原点处的切线的斜率为1,不为0,排除C,故选D.6.若不等式(x-1)2<log a x在x∈(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围是.解析:设f 1(x)=(x-1)2,f 2(x)=log a x,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f 2(x)=log a x 图象的下方. 当0<a<1时,显然不成立; 当a>1时,如图所示,要使x ∈(1,2)时,f 1(x)=(x-1)2的图象在f 2(x)=log a x 的图象下方,只需f 1(2)≤f 2(2),即(2-1)2≤log a 2,即log a 2≥1.所以1<a ≤2,即实数a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2]7.已知x 1,x 2,x 3分别为方程2x =12log x, 1()2x=log 2x, 1()2x=12log x 的根,则x 1,x 2,x 3的大小关系是 (从小到大排列).解析:作出y=2x ,y=12log x,y=1()2x,y=log 2x 的大致图象,由图象知x 1<x 3<x 2.答案:x 1<x 3<x 2类型三 对数函数的性质及应用 8.(2019·浙江省教育绿色评估联盟)已知a=121()3 ,b=32,c=121log 3,则( C )(A)a>b>c (B)c>a>b(C)a>c>b (D)c>b>a 解析:因为a=121()3-,b=32,c=121log 3=log 23,则a>b,又322<3,则log2322=32<log 23,即b<c;构造函数f(x)=log 2则f ′(x)=1ln 2x 因此函数f(x)在区间(0,4(e2log )2)上单调递增,在区间 (4(e 2log )2,+∞)上单调递减,由f(4)=0,知f(3)<0,即 a>c,故选C.9.函数f(x)=12log (x 2-4x)的单调递减区间是 ;单调递增区间是 .解析:由x 2-4x>0,解得x>4或x<0,即函数定义域为(-∞,0)∪(4,+∞),根据复合函数的单调性知f(x)= 12log (x 2-4x)的单调递减区间是(4,+∞),单调递增区间是(-∞,0). 答案:(4,+∞) (-∞,0) 10.关于函数f(x)=lg 21xx+ (x ≠0),有下列结论: ①其图象关于y 轴对称;②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是lg 2;④f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数. 其中所有正确结论的序号是 . 解析:因为函数f(-x)=lg 2()1x x -+-=lg 21x x+=f(x),所以函数为偶函数,即图象关于y 轴对称,故①正确.因函数y=x+1x 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=|x|+1x在(-∞,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数,在区间(-∞,-1)和(0,1)上是减函数,故②错,④正确.因为21x x +=|x|+1x≥=2,所以f(x)≥lg 2,即最小值为lg 2,故③正确. 答案:①③④11.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f(13)=0,则不等式f(18log x)>0的解集为 . 解析:因为函数f(x)是偶函数, 所以f(x)=f(|x|),所以f 18log x)>0⇔f(|18log x|)>f(13). 因为f(x)在[0,+∞)上为增函数, 所以|18log x|>13, 即18log x<-13或18log x>13. 因为18log x=-log 8x=-13log 2x, 所以不等式可转化为log 2x>1或log 2x<-1, 所以x>2或0<x<12. 答案:(0,12)∪(2,+∞) 类型四 易错易误辨析12.若log a 43<2,则a 的取值范围是( D ))(C)(0,1)∪) (D)(0,1)∪,+∞)解析:log a 43<2等价于log a 43<log a a 2,201,43a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩或21,4,3a a >⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得0<a<1或故选D.13.已知函数f(x)=|ln(x-1)|,满足f(a)>f(4-a),则实数a 的取值范围是( A ) (A)(1,2) (B)(2,3) (C)(1,3) (D)(2,4)解析:函数f(x)=|ln(x-1)|的定义域为(1,+∞),由f(a)>f(4-a)可得|ln(a-1)|>|ln(4-a-1)|=|ln(3-a)|,两边平方得 [ln(a-1)]2>[ln(3-a)]2⇔[ln(a-1)-ln(3-a)][ln(a-1)+ln(3-a)]>0,则ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a a a a a a --->⎧⎪-+->⎪⎨->⎪⎪->⎩① 或ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a a a a a a ---<⎧⎪-+-<⎪⎨->⎪⎪->⎩② 解①得a 无解,解②得1<a<2, 所以实数a 的取值范围是(1,2), 故选A.。
对数与对数函数一、相关知识点1.对数的定义:如果()1,0≠>=a a N a x 且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作N x a log =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
2.几种常见对数(1)()1,0≠>a a 且①01log =a ; ②1log =a a ; ③N a Na =log ; ④N a N a =log .(两个对数恒等式) (2)对数的重要公式:①换底公式:()0,1,log log log >=N b a b aN aNb均为大于零且不等于;②abba log 1log =,推广:da d c cb b a log log log log =⋅⋅. (3)对数的运算法则:如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且,那么 ①()Na M a MN aloglog log += ; ②NaM a N Malog log log -=; ③()R n n MaM a n∈=log log ;④b a b a mnnm log log = . 3.反函数,只需了解:指数函数xa y =与对数函数xa y log =互为反函数,它们的图象关于直线x y =对称。
题型一:对数的化简和求值1.计算:(1)2110025lg 41lg ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-;(2)32log 2450lg 2lg 5lg +⋅+;(3)()232031027.0252lg 3.0lg 21000lg 8lg 27lg --⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++-+;(4)()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++. 2.已知()[]0lg log log 25=x ,求x 的值.3.已知0>a ,且1≠a ,m a =2log ,n a =3log ,求nm a +2的值能力提高:(1).设m ba==52,且211=+ba ,则=m ; (2).若632==b a ,求证:c b a 111=+题型二:(1)对数函数的基本性质题型一:基本性质1.函数()()223lg +-=x x f 恒过定点_______________________2.如果0log log 2121<<y x ,那么()(A)1<<x y ; (B)1<<y x ;(C)y x <<1; (D)x y <<1.3.已知()x x f a log =,()x x g b log =,()x x r c log =,()x x h d log =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为A.b a d c <<<;B.a b d c <<<;C.b a c d <<<;D.d c b a <<<4.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛+≥=)()(4214log 2x x f x x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛23f 的值是( ) A.21; B.1; C.23; D.2 5.若点()b a ,在x y lg =图像上,1≠a ,则下列点也在此图像上的是()A.⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1;B. ()b a -1,10;C.⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a ; D.()b a 2,2. 6.函数()()13log 2+=xx f 的值域为7.为了得到函数103lg+=x y 的图像,只需把函数x y lg =的图像上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度; B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度; C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度; D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.8.若函数()()()101≠>--=a a a a k x f xx且在R 上既是奇函数,又是减函数()()k x x g a +=log 的图象是( )9.对于函数()x f 定义域中任意的()2121,x x x x ≠,有如下结论: ①()()()2121x f x f x x f ⋅=+; ②()()()2121x f x f x x f +=⋅; ③()()02121>--x x x f x f ; ④()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当()x x f lg =时,上述结论中正确结论的序号是. 能力提高:1.已知函数()22log 21+-=a y x 的值域是R ,求a 的取值范围.2.已知函数()()1log 22++=ax ax x f 的定义域为全体实数,求a 的取值范围.3.已知函数()()1log 22++=ax axx f 的值域域为全体实数,求a 的取值范围。
对数与对数函数1.对数(1)对数的定义:如果a b =N (a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N =b . (2)指数式与对数式的关系:a b =N log a N =b (a >0,a ≠1,N >0).两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. (3)对数运算性质: ①log a (MN )=log a M +log a N . ②log a NM =log a M -log a N .③log a M n =n log a M .(M >0,N >0,a >0,a ≠1) ④对数换底公式:log b N =bNa a log log (a >0,a ≠1,b >0,b ≠1,N >0).2.对数函数(1)对数函数的定义函数y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是,根据对数定义: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa 就可以等于一切实数(比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 (比如,log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4;一个等于1/16,另一个等于-1/16) (2)对数函数的图象Oxyy = l o g x a ><a <a111( ))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x (3)对数函数的性质: ①定义域:(0,+∞). ②值域:R .③过点(1,0),即当x =1时,y =0.④当a >1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,在(0,+∞)上是减函数.基础例题1.(2005年春季北京,2)函数f (x )=|log 2x |的图象是1 11111 1xxxxy y y yOO OOABC D解析:f (x )=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案:A2.(2004年春季北京)若f -1(x )为函数f (x )=lg (x +1)的反函数,则f-1(x )的值域为___________________.解析:f -1(x )的值域为f (x )=lg (x +1)的定义域.由f (x )=lg (x +1)的定义域为(-1,+∞),∴f -1(x )的值域为(-1,+∞). 答案:(-1,+∞)3.已知f (x )的定义域为[0,1],则函数y =f [log 21(3-x )]的定义域是__________.解析:由0≤log 21(3-x )≤1⇒log 211≤log 21(3-x )≤log 2121⇒21≤3-x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案:[2,25]4.若log x 7y =z ,则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析:由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ,即y =x 7z . 答案:B5.已知1<m <n ,令a =(log n m )2,b =log n m 2,c =log n (log n m ),则A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b解析:∵1<m <n ,∴0<log n m <1. ∴log n (log n m )<0. 答案:D6.(2004年天津,5)若函数f (x )=log a x (0<a <1)在区间[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 等于A.42 B.22C.41D.21解析:∵0<a <1,∴f (x )=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=-32.∴a =42. 答案:A7.函数y =log 2|ax -1|(a ≠0)的对称轴方程是x =-2,那么a 等于 A.21B.-21C.2D.-2解析:y =log 2|ax -1|=log 2|a (x -a1)|,对称轴为x =a1,由a1=-2 得a =-21. 答案:B注意:此题还可用特殊值法解决,如利用f (0)=f (-4), 可得0=log 2|-4a -1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=-1. ∵a ≠0,∴a =-21.8.函数f (x )=log 2|x |,g (x )=-x 2+2,则f (x )·g (x )的图象只可能是yyO x yO x yABC D解析:∵f (x )与g (x )都是偶函数,∴f (x )·g (x )也是偶函数,由此可排除A 、D.又由x →+∞时,f (x )·g (x )→-∞,可排除B.答案:C9.(2004年湖南,理3)设f -1(x )是f (x )=log 2(x +1)的反函数,若[1+ f -1(a )][1+ f -1(b )]=8,则f (a +b )的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析:∵f -1(x )=2x -1,∴[1+ f -1(a )][1+ f -1(b )]=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8,∴a +b =3. 答案:C10.(2004年春季上海)方程lg x +lg (x +3)=1的解x =___________________. 解析:由lg x +lg (x +3)=1,得x (x +3)=10,x 2+3x -10=0. ∴x =-5或x =2.∵x >0,∴x =2. 答案:2典型例题【例1】 已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f (2+log 23)的值为 A.31B.61C.121D.241剖析:∵3<2+log 23<4,3+log 23>4, ∴f (2+log 23)=f (3+log 23)=(21)3+log 23=241. 答案:D【例2】 求函数y =log 2|x |的定义域,并画出它的图象,指出它的单调区间.解:∵|x |>0,∴函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}.显然y =log 2|x |是偶函数,它的图象关于y 轴对称.又知当x >0时,y =log 2|x |⇔y =log 2x .故可画出y =log 2|x |的图象如下图.由图象易见,其递减区间是(-∞,0),递增区间是(0,+∞).1-1Oxy注意:研究函数的性质时,利用图象会更直观.【例3】 已知f (x )=log 31[3-(x -1)2],求f (x )的值域及单调区间.解:∵真数3-(x -1)2≤3,∴log 31[3-(x -1)2]≥log 313=-1,即f (x )的值域是[-1,+∞).又3-(x -1)2>0,得1-3<x <1+3,∴x ∈(1-3,1]时,3-(x -1)2单调递增,从而f (x )单调递减;x ∈[1,1+3)时,f (x )单调递增.注意:讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a (3-ax )在[0,2]上是x 的减函数,求a 的取值范围.解:∵a >0且a ≠1,∴t =3-ax 为减函数.依题意a >1,又t =3-ax 在[0,2]上应有t >0,∴3-2a >0.∴a <23.故1<a <23.【例5】设函数f (x )=lg (1-x ),g (x )=lg (1+x ),在f (x )和 g (x )的公共定义域内比较|f (x )|与|g (x )|的大小. 解:f (x )、g (x )的公共定义域为(-1,1). |f (x )|-|g (x )|=|lg (1-x )|-|lg (1+x )|.(1)当0<x <1时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=-lg (1-x 2)>0; (2)当x =0时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=0;(3)当-1<x <0时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=lg (1-x 2)<0. 综上所述,当0<x <1时,|f (x )|>|g (x )|;当x =0时,|f (x )|=|g (x )|;当-1<x <0时,|f (x )|<|g (x )|. 【例6】 求函数y =2lg (x -2)-lg (x -3)的最小值.解:定义域为x >3,原函数为y =lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x =3442-+-x x x =31)3(2)3(2-+-+-x x x =(x -3)+31-x +2≥4,∴当x =4时,y min =lg4.【例7】 (2003年北京宣武第二次模拟考试)在f 1(x )=x 21,f 2(x )=x 2,f 3(x )=2x ,f 4(x )=log 21x 四个函数中,x 1>x 2>1时,能使21[f (x 1)+f(x 2)]<f (221x x +)成立的函数是 A.f 1(x )=x 21B.f 2(x )=x 2C.f 3(x )=2xD.f 4(x )=log 21x解析:由图形可直观得到:只有f 1(x )=x 21为“上凸”的函数. 答案:A探究创新1.若f (x )=x 2-x +b ,且f (log 2a )=b ,log 2[f (a )]=2(a ≠1). (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值;(2)x 取何值时,f (log 2x )>f (1)且log 2[f (x )]<f (1)? 解:(1)∵f (x )=x 2-x +b ,∴f (log 2a )=log 22a -log 2a +b . 由已知有log 22a -log 2a +b =b ,∴(log 2a -1)log 2a =0. ∵a ≠1,∴log 2a =1.∴a =2.又log 2[f (a )]=2,∴f (a )=4. ∴a 2-a +b =4,b =4-a 2+a =2.故f (x )=x 2-x +2, 从而f (log 2x )=log 22x -log 2x +2=(log 2x -21)2+47.∴当log 2x =21即x =2时,f (log 2x )有最小值47.(2)由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0<x <1. 2.(2004年苏州市模拟题)已知函数f (x )=3x +k (k 为常数),A (-2k ,2)是函数y = f -1(x )图象上的点.(1)求实数k 的值及函数f -1(x )的解析式;(2)将y = f -1(x )的图象按向量a =(3,0)平移,得到函数 y =g (x )的图象,若2 f -1(x +m -3)-g (x )≥1恒成立,试求实数m的取值范围.解:(1)∵A (-2k ,2)是函数y = f -1(x )图象上的点, ∴B (2,-2k )是函数y =f (x )上的点.∴-2k =32+k .∴k =-3. ∴f (x )=3x -3.∴y = f -1(x )=log 3(x +3)(x >-3). (2)将y = f -1(x )的图象按向量a =(3,0)平移,得到函数 y =g (x )=log 3x (x >0),要使2 f -1(x +m -3)-g (x )≥1恒成立,即使2log 3(x +m )-log 3x ≥1恒成立,所以有x +xm +2m ≥3在x >0时恒成立,只要(x +xm +2m )min ≥3.又x +xm ≥2m (当且仅当x =xm ,即x =m 时等号成立),∴(x +xm +2m )min =4m ,即4m ≥3.∴m ≥169. 小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时,可以首先将它们与零比较,分出正负;正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1,然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下,求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数与对数运算一、对数的概念若N a x=)1,0(≠>a a ,则x 叫做以.a 为底..N 的对数(Logarithm ), 记作:N x a log = 其中a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式 说明:1、注意底数的限制0>a ,且1≠a ;2、x N N a a x=⇔=log ; 3、 注意对数的书写格式.二、对数的基本运算法则如果0,1,0,0a a M N >≠>> 有:log ()log log log log log log log ()a a a aa a n a a MN M N MM N NM n M n R =+=-=∈三、对数的性质1、负数和零没有对数;0N >;2、1的对数是零:01log =a ;3、底数的对数是1:1log =a a ;4、对数恒等式:N a Na =log ; 5、n a n a =log .四、一些推论1、对数换底公式: aNN m m a log log log = ( a >0 ,a ≠ 1 ,m >0 ,m ≠ 1,N >0).2、两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a , 1log log log =⋅⋅a c b c b a . ② b mnb a na m log log =(a ,b >0且均不为1). 五、两种特殊的对数: 1、常用对数10log lg N N 记为;2、自然对数 e log ln N N 记为;(无理数e=2.718 28……) 六、典型例题例1、将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:(1)45625=;(2)61264-=;(3)1() 5.733n=;(4) 12log 164=-;(5) lg0.012=-;(6) ln10 2.303=.例2、求下列各式中x 的值: (1) 82log 3x =-;(2) 3log 274x = ;(3) 25log log 1x =() ;(4) 3log lg 0x =()。
§4.1 对数与对数运算1.对数:(1)定义:如果a N a a b=>≠()01且,那么数b 就叫做以a 为底的对数,记作b Na =l o g (a 是底数,N 是真数,lo g a N 是对数式。
) 由于N a b=>0故lo g a N 中N 必须大于0。
2.对数的运算性质及换底公式.(2)指数式与对数式的关系:a b =N ⇔log a N =b (a >0,a ≠1,N >0).(3)对数运算性质:①log a (MN )=log a M +log a N . ②log a NM =log a M -log a N . ③log log n m a amb b n=④对数换底公式:log b N =b N a a log log lg lg N b =○5log a M a M= ○61log log a b b a=1、求下列各式中x 的值:log 83x =(1) lg100x =(2) 2ln x e =(3)- 642(4)log x 3=-2、求下列各式的值:51log 25() 15log 15(2) 9log 81(3) 4lg1000()(5)lg10000 0.4log 1(6) 217log 16()lg 0.001(8)(9)lg0.01 (10) lg 5100 (11)3log 273 (12)5111255og3、化简求值(1)2log (74×52) (2)lg 5+lg 2 (3)5log 3+5log 31(4)2log 6-2log 3(5)3log 5-3log (6)3lglg 70lg 37+-(7)(8) (9)2194log 2log 3log -⋅ (10)(11)3log 12.05- (12)(13)21lg 4932-34lg 8+lg 245强化训练:对数与对数运算练习题一.选择题1.2-3=18化为对数式为( )A .log 182=-3 B .log 18(-3)=2 C .log 218=-3 D .log 2(-3)=182.log 63+log 62等于( )A .6 B .5 C .1 D .log 65 3.如果lg x =lg a +2lg b -3lg c ,则x 等于( )A .a +2b -3c B .a +b 2-c 3 C.ab 2c 3D.2ab3c4.已知a =log 32,那么log 38-2log 36用a 表示为( ) A .a -2 B .5a -2C .3a -(1+a )2D .3a -a 2-1 5.的值等于( )A .2+ 5 B .2 5 C .2+52D .1+526.Log 22的值为( )A .- 2B. 2 C .-12D.127.在b =log (a -2)(5-a )中,实数a 的取值范围是( )A .a >5或a <2B .2<a <3或3<a <5C .2<a <5D .3<a <48.方程2log3x =14的解是( )A .x =19 B .x =x3C .x = 3D .x =99.若log 2(log 3x )=log 3(log 4y )=log 4(log 2z )=0,则x +y +z 的值为( )A .9 B .8 C .7 D .6 10.若102x =25,则x 等于( )A .lg 15 B .lg5 C .2lg5D .2lg 1511.计算log 89·log 932的结果为( )A .4 B.53 C.14 D.3512.已知log a x =2,log b x =1,log c x =4(a ,b ,c ,x >0且≠1),则log x (abc )=( ) A.47 B.27 C.72 D.74 二.填空题:1.2log 510+log 50.25=__ __. 2.方程log 3(2x -1)=1的解为x =_______. 3.若lg(ln x )=0,则x =_ ______. 4.方程9x -6·3x -7=0的解是_______ 5.若log 34·log 48·log 8m =log 416,则m =________.6.已知log a 2=m ,log a 3=n ,则log a 18=_______.(用m ,n 表示) 7.log 6[log 4(log 381)]=_______.8.使对数式log (x -1)(3-x )有意义的x 的取值范围是_______ 三.计算题1.(1)2log 210+log 20.04 (2) lg3+2lg2-1lg1.2(3)log 6112-2log 63+13log 627 (4)log 2(3+2)+log 2(2-3);(5)lg5·lg8000+06.0lg 61lg )2(lg 23++ (6)2)2(lg 50lg 2lg 25lg +⋅+(7)lg 25+lg2·lg50 (8)(log 43+log 83)(log 32+log 92)2.已知5lg 2lg 35lg 2lg 33⋅++=+b a ,求333ba ab ++3.已知log 34·log 48·log 8m =log 416,求m 的值.§5 对数函数及其性质1、对数函数图像过点(4,2),则该对数函数的解析式是( )A 、x y 2log =B 、x y 4log =C 、x y 8log =D 、不确定2、函数x a y a log )1(2-=是对数函数,则a 的值为( )A 、1B 、2C 、2±D 、任意值3、函数x a a y a log )33(2+-=是对数函数,则a 的值为( )A 、1B 、2C 、1或2D 、任意值4、若)10(log )(≠>=a a x x f a 且,且0)2(<f ,则)(x f 的图像是 ( )5、若函数)10()(≠>=-a a a x f x ,是定义在R 上的增函数,则函数)1(log )(+=x x g a 的图像大致是( )6、已知0lg lg =+ba ,则函数x a x f =)(与函数x x gb log )(-=的图像可能是( )7、函数)10(1log )(≠>-=a a x x f a 且的图像恒过点( )A 、(1,0)B 、(0,-1)C 、(1,1)D 、(1,-1)8、函数)10(12log )(≠>--=a a x x f a 且)(的图像恒过点( )A 、(1,0)B 、(0,-1)C 、(1,1)D 、(1,-1) 9、已知函数)10(98)3(log ≠>-+=a a x y a 且的图像恒过点A ,若点A 也在函数bx f x +=3)(的图像上,则b 的值为( )A 、0B 、0C 、0或1D 、-1 10、已知)1(log )2(log 45.045.0x x ->+,则实数x 的取值范围是11、已知)65(log )32(log 22->+x x ,则实数x 的取值范围是12、已知)2(log )43(log ->-x x a a ,则实数x 的取值范围是13、132log <a ,则a 的取值范围是 14、函数)1lg(-=x y 的图像大致是( )15、已知10≠>a a且,则函数x a y =与)(log x y a -=的图像可能是( )16、下列函数图像正确的是( )17、函数x y 2log =在[1,2]上的值域是 18、函数)1(log 22≥+=x x y 的值域是19、函数)73(1)1(log 2≤≤++=x x y 的值域是20、函数)73(1)1(log 21≤≤++=x x y 的值域是。
汇报人:日期:对数与对数运算常用对数任意底数的对数值域定义域加减法换底公式乘除法对数和指数互为逆运算。
例如,如果x^n=b,那么log(x)(b)=n;如果log(x)(b)=n,那么x^n=b。
对数的定义可以看作是“以任意底a把某个数x升幂到x^1=x”。
例如,log(2)(8)=3,因为2^3=8。
同样地,指数函数可以看作是“以任意底a把某个数x降幂到1”。
例如,2^3=8,因为2^3=8。
对数与指数的关系03幂法则01乘法法则02除法法则对数运算法则对数运算的简化无穷大的对数负数的对数整数的指数幂-log(x)。
对于整数n,log(a^n) = n *log(a)。
在科学计算中的应用在金融领域中的应用在信息科学中的应用对数运算的实际应用ln(xy)=lnx+lny ln(x^n)=nlnx01定义:常用对数是以10为底数的对数,记作lg x。
02性质:常用对数函数在定义域内是单调递增函数,其性质包括03当x>0时,log(x^n)=nlogx04log(xy)=logx+logy 05log(x/y)=logx-logy06log(x^n)=nlogx对数的换底公式对数函数的定义与性质定义对数函数是指数函数与自然对数的复合函数,即$log_{a}x$,其中$a$为底数,$x$为真数。
性质对数函数具有非负性、单调性、奇偶性等性质。
当$a>1$时,对数函数为增函数;当$0<a<1$时,对数函数为减函数。
利用计算机软件如GeoGebra、Desmos等可以方便地绘制对数函数的图像。
绘制方法图像求解方程01数据分析02信号处理03换底公式对于不同底的对数,可以通过换底公式“log(a, b) = log(c, a) / log(c, b)”进行转换。
求解方法利用对数的性质,例如log(a, b) = 1/log(b, a),可以对方程进行变形,从而求得未知数的值。
定义域分析先需要分析其定义域,即a和b的取值范围是否满足对数函数的定义。
§2.6对数与对数函数1.对数的概念一般地,如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么:①log a (MN )=log a M +log a N ;②log a MN =log a M -log a N ;③log a M n =n log a M (n ∈R ).(2)对数的性质①负数和零没有对数;②log a 1=0,log a a =1(a >0,且a ≠1);③log a Na=N (a >0,a ≠1,且N >0);④log a a N =N (a >0,且a ≠1).(3)对数的换底公式log a b =log c blog c a(a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;b >0).3.对数函数的图象与性质y =log a xa >10<a <1图象定义域(1)(0,+∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0),即x =1时,y =0(4)当x >1时,y >0;(5)当x >1时,y <0;当0<x <1时,y <0当0<x <1时,y >0(6)在(0,+∞)上是增函数(7)在(0,+∞)上是减函数4.反函数指数函数y =a x (a >0且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称.概念方法微思考1.根据对数换底公式:①说出log a b ,log b a 的关系?②化简log m na b .提示①log a b ·log b a =1;②logm na b =n mlog a b .2.如图给出4个对数函数的图象.比较a ,b ,c ,d 与1的大小关系.提示0<c <d <1<a <b .题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN >0,则log a (MN )=log a M +log a N .(×)(2)对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)在(0,+∞)上是增函数.(×)(3)函数y =ln1+x1-x与y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.(√)(4)对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)一、四象限.(√)题组二教材改编2.log 29·log 34·log 45·log 52=________.答案23.已知a =1-32,b =log 213,c =121log 3,则a ,b ,c 的大小关系为________.答案c >a >b解析∵0<a <1,b <0,c =121log 3=log 23>1.∴c >a >b .4.函数y的定义域是______.答案1解析由23log (21)x -≥0,得0<2x -1≤1.∴12<x ≤1.∴函数y1.题组三易错自纠5.已知b >0,log 5b =a ,lg b =c,5d =10,则下列等式一定成立的是()A .d =acB .a =cdC .c =adD .d =a +c答案B6.(多选)函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A .a >1B .0<c <1C .0<a <1D .c >1答案BC解析由图象可知函数为减函数,所以0<a <1,令y =0得log a (x +c )=0,x +c =1,x =1-c .由图象知0<1-c <1,∴0<c <1.7.若log a 34<1(a >0且a ≠1),则实数a 的取值范围是____________________.答案(1,+∞)解析当0<a <1时,log a 34<log a a =1,∴0<a <34;当a >1时,log a 34<log a a =1,∴a >1.∴实数a (1,+∞).对数式的运算1.已知2x =3,log 483=y ,则x +2y 的值为________.答案3解析由2x =3,log 483=y 得x =log 23,y =log 483=12log 283,所以x +2y =log 23+log 283=log 28=3.2.设函数f (x )=3x +9x ,则f (log 32)=________.答案6解析∵函数f (x )=3x +9x ,∴f (log 32)=339log 2log 2log 43929+=+=2+4=6.3.计算:(1-log 63)2+log 62·log 618log 64=________.答案1解析原式=1-2log 63+(log 63)2+log 663·log 6(6×3)log 64=1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64=2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1.4.(2019·北京)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E1E 2,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A .1010.1B .10.1C .lg 10.1D .10-10.1答案A解析两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E 1E 2,令m 2=-1.45,m 1=-26.7,lgE 1E 2=25·(m 2-m 1)=25(-1.45+26.7)=10.1,E 1E 2=1010.1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.(2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f (x )=log a (2x +b -1)(a >0,a ≠1)的图象如图所示,则a ,b 满足的关系是()A .0<a -1<b <1B .0<b <a -1<1C .0<b -1<a <1D .0<a -1<b -1<1答案A解析由函数图象可知,f (x )为单调递增函数,故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0,log a b ),由函数图象可知-1<log a b <0,解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)方程4x=log a x ,12上有解,则实数a 的取值范围为__________.答案,22解析若方程4x =log a x ,12上有解,则函数y =4x 和函数y =log a x ,12上有交点,a<1,a12≤2,解得0<a≤22.4x<log a x,12上恒成立,则实数a的取值范围是________.答案解析当0<x≤12时,函数y=4x的图象在函数y=log a x图象的下方.又当x=12时,124=2,即函数y=4x y=log a x,得a=22.若函数y=4x的图象在函数y=log a x图象的下方,则需22<a<1(如图所示).当a>1时,不符合题意,舍去.所以实数a思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.跟踪训练1(1)(2019·河北冀州中学月考)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是()答案B解析由函数值域为R,可以排除C,D,当x>1时,f(x)=lg(x-1)在(1,+∞)上单调递增,排除A,选B.(2)若不等式x 2-log a x <0对xa 的取值范围是________.答案116,解析只需f 1(x )=x 2f 2(x )=log a x图象的下方即可.当a >1时,显然不成立;当0<a <1时,如图所示,要使x 2<loga x 在x只需ff所以有≤log a 12,解得a ≥116,所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是116,对数函数的性质及应用命题点1解对数方程、不等式例2(1)方程log 2(x -1)=2-log 2(x +1)的解为________.答案x =5解析原方程变形为log 2(x -1)+log 2(x +1)=log 2(x 2-1)=2,即x 2-1=4,解得x =±5,又x >1,所以x =5.(2)设f (x )2x ,x >0,12(-x ),x <0,则方程f (a )=f (-a )的解集为________.答案{-1,1}解析当a >0时,由f (a )=log 2a =121log a ⎛⎫⎪⎝⎭=f (-a )=12log a ,得a =1;当a <0时,由f (a )=12log ()a-=logf (-a )=log 2(-a ),得a =-1.∴方程f (a )=f (-a )的解集为{1,-1}.本例(2)中,f (a )>f (-a )的解集为________.答案(-1,0)∪(1,+∞)解析>0,log 2a >12a<0,12(-a )>log 2(-a ),解得a >1或-1<a <0.命题点2对数函数性质的综合应用例3(2020·湛江质检)已知函数f (x )=12log (x 2-2ax +3).(1)若f (-1)=-3,求f (x )的单调区间;(2)是否存在实数a ,使f (x )在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出a 的范围;若不存在,说明理由.解(1)由f (-1)=-3,得12log (4+2a )=-3.所以4+2a =8,所以a =2.则f (x )=12log (x 2-4x +3),由x 2-4x +3>0,得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞).令μ=x 2-4x +3,则μ在(-∞,1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增.又y =12log μ在(0,+∞)上单调递减,所以f (x )的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(3,+∞).(2)令g (x )=x 2-2ax +3,要使f (x )在(-∞,2)上为增函数,应使g (x )在(-∞,2)上单调递减,且恒大于0.≥2,(2)≥0,即≥2,-4a ≥0,a 无解.所以不存在实数a ,使f (x )在(-∞,2)上为增函数.思维升华利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.跟踪训练2(1)若f (x )=lg(x 2-2ax +1+a )在区间(-∞,1]上单调递减,则a 的取值范围为()A .[1,2)B .[1,2]C .[1,+∞)D .[2,+∞)答案A解析令函数g (x )=x 2-2ax +1+a =(x -a )2+1+a -a 2,对称轴为x =a ,要使函数在(-∞,1](1)>0,≥1,-a >0,≥1,解得1≤a <2,即a ∈[1,2).(2)已知函数f (x )=log a (8-ax )(a >0,且a ≠1),若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围是__________.答案解析当a >1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是减函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,则f (x )min =f (2)=log a (8-2a )>1,且8-2a >0,解得1<a <83.当0<a <1时,f (x )在[1,2]上是增函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,知f (x )min =f (1)=log a (8-a )>1,且8-2a >0.∴a >4,且a<4,故不存在.综上可知,实数a比较指数式、对数式的大小例4(1)(2019·天津市河西区模拟)设a =log 3e ,b =e 1.5,c =131log 4,则()A .b <a <cB .c <a <bC .c <b <aD .a <c <b答案D 解析c =131log 4=log 34>log 3e =a .又c =log 34<log 39=2,b =e 1.5>2,∴a <c <b .(2)(2018·全国Ⅲ)设a =log 0.20.3,b =log 20.3,则()A .a +b <ab <0B .ab <a +b <0C .a +b <0<abD .ab <0<a +b答案B解析∵a =log 0.20.3>log 0.21=0,b =log 20.3<log 21=0,∴ab <0.∵a +b ab =1a +1b=log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4,∴1=log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31=0,∴0<a +b ab<1,∴ab <a +b <0.(3)已知函数y =f (x +2)的图象关于直线x =-2对称,且当x ∈(0,+∞)时,f (x )=|log 2x |,若a =f (-3),b =fc =f (2),则a ,b ,c 的大小关系是________.答案c <a <b解析易知y =f (x )是偶函数.当x ∈(0,+∞)时,f (x )=f |log 2x |,且当x ∈[1,+∞)时,f (x )=log 2x 单调递增,又a =f (-3)=f (3),b =f f (4),所以c <a <b .思维升华(1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.跟踪训练3(1)已知a =log 23+log 23,b =log 29-log 23,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系是()A .a =b <cB .a =b >cC .a <b <cD .a >b >c答案B解析因为a =log 23+log 23=log 233=32log 23>1,b =log 29-log 23=log 233=a ,c =log 32<log 33=1,所以a =b >c .(2)(2019·天津市滨海新区模拟)已知函数f (x )=|x |,且a =f b =f c =f (2-1),则a ,b ,c 的大小关系为()A .a <c <bB .b <c <aC .c <a <bD .b <a <c答案A解析ln 32<ln e =12,log 23>12,∴log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数,在(0,+∞)上为增函数,∴ff f (log 23)=f ∴a <c <b .(3)若实数a ,b ,c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0,则下列关系中正确的是()A .a <b <cB .b <a <cC .c <b <aD .a <c <b答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0,即log 2c <log 2b <log 2a <0,可得c <b <a <1.故选C.1.(2019·泸州诊断)2lg 2-lg 125的值为()A .1B .2C .3D .4答案B解析2lg 2-lg 125=2lg 100=2,故选B.2.设0<a <1,则()A .log 2a >B .>C .log 2a <D .log 2a <答案B解析∵0<a <1,∴0<a 2<a <a <1,∴在A 中,log 2a =,故A 错误;在B 中,>,故B 正确;在C 中,log 2a >,故C 错误;在D 中,log 2a >,故D 错误.3.函数y =ln1|2x -3|的图象为()答案A解析易知2x -3≠0,即x ≠32,排除C ,D.当x >32时,函数为减函数;当x <32时,函数为增函数,所以选A.4.(2019·衡水中学调研卷)若0<a <1,则不等式1log a x >1的解是()A .x >aB .a <x <1C .x >1D .0<x <a答案B解析易得0<log a x <1,∴a <x <1.5.函数f (x )=12log (x 2-4)的单调递增区间为()A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)答案D解析函数y =f (x )的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y =f (x )由y =12log t 与t =g (x )=x 2-4复合而成,又y =12log t 在(0,+∞)上单调递减,g (x )在(-∞,-2)上单调递减,所以函数y =f (x )在(-∞,-2)上单调递增.6.(2020·长沙期末)已知函数f (x )2x ,x >0,x,x ≤0,且关于x 的方程f (x )-a =0有两个实根,则实数a 的取值范围为()A .(0,1]B .(0,1)C .[0,1]D .(0,+∞)答案A解析作出函数y =f (x )的图象(如图),欲使y =f (x )和直线y =a 有两个交点,则0<a ≤1.7.(多选)关于函数f (x )=ln1-x1+x,下列说法中正确的有()A .f (x )的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)B .f (x )为奇函数C .f (x )在定义域上是增函数D .对任意x 1,x 2∈(-1,1),都有f (x 1)+f (x 2)=f 答案BD解析函数f (x )=ln 1-x1+x=其定义域满足(1-x )(1+x )>0,解得-1<x <1,∴定义域为{x |-1<x <1}.∴A 不对.由f (-x )=ln 1+x1-x=1=-ln1-x1+x=-f (x ),是奇函数,∴B 对.函数y =21+x -1在定义域内是减函数,根据复合函数的单调性,同增异减,∴f (x )在定义域内是减函数,C 不对.f (x 1)+f (x 2)=ln1-x 11+x 1+ln 1-x 21+x 2=f ∴D 对.8.(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )=2x 的图象关于直线y =x 对称,令h (x )=f (1-|x |),则关于函数h (x )有下列说法,其中正确的说法为()A .h (x )的图象关于原点对称B .h (x )的图象关于y 轴对称C .h (x )的最大值为0D .h (x )在区间(-1,1)上单调递增答案BC解析函数f (x )的图象与g (x )=2x 的图象关于直线y =x 对称,∴f (x )=log 2x ,h (x )=log 2(1-|x |),为偶函数,不是奇函数,∴A 错误,B 正确;根据偶函数性质可知D 错误;∵1-|x |≤1,∴h (x )≤log 21=0,故C 正确.9.函数f (x )=log 2x ·(2x )的最小值为________.答案-14解析依题意得f (x )=12log 2x ·(2+2log 2x )=(log 2x )2+log 2x 2x -14≥-14,当log 2x =-12,即x =22时等号成立,所以函数f (x )的最小值为-14.10.(2020·深圳月考)设实数a ,b 是关于x 的方程|lg x |=c 的两个不同实数根,且a <b <10,则abc 的取值范围是________.答案(0,1)解析由题意知,在(0,10)上,函数y =|lg x |的图象和直线y =c 有两个不同交点(如图),∴ab=1,0<c <lg 10=1,∴abc 的取值范围是(0,1).11.设f (x )=log a (1+x )+log a (3-x )(a >0,且a ≠1),且f (1)=2.(1)求实数a 的值及f (x )的定义域;(2)求f (x )在区间0,32上的最大值.解(1)∵f (1)=2,∴log a 4=2(a >0,且a ≠1),∴a =2.+x >0,-x >0,得-1<x <3,∴函数f (x )的定义域为(-1,3).(2)f (x )=log 2(1+x )+log 2(3-x )=log 2[(1+x )(3-x )]=log 2[-(x -1)2+4],∴当x ∈(-1,1]时,f (x )是增函数;当x ∈(1,3)时,f (x )是减函数,故函数f (x )在0,32上的最大值是f (1)=log 24=2.12.是否存在实数a ,使得f (x )=log a (ax 2-x )在区间[2,4]上是增函数?若存在,求出a 的范围;若不存在,说明理由.解设t=ax2-x=-1 4a.若f(x)在[2,4]上是增函数,<1,4,-4>0,2,2>0,解得a>1.∴存在实数a满足题意,即当a∈(1,+∞)时,f(x)在[2,4]上是增函数.13.已知函数f(x)=ln e xe-x,若fff1010(a+b),则a2+b2的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案B解析∵f(x)+f(e-x)=2,∴ff…+f2020,∴1010(a+b)=2020,∴a+b=2.∴a2+b2≥(a+b)22=2,当且仅当a=b=1时取等号.14.若函数f(x)=log a(x2-x+2)在区间[0,2]上的最大值为2,则实数a=________.答案2解析令u(x)=x2-x+2,则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max=4,最小值u(x)min=74.当a>1时,y=log a u是增函数,f(x)max=log a4=2,得a=2;当0<a<1时,y=log a u是减函数,f(x)max=log a74=2,得a=72(舍去).故a=2. 15.(2019·福州模拟)已知函数f(x)=log a(2x-a)在区间12,23上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是()B.13,D.23,答案A解析当0<a <1时,函数f (x )在区间12,23上是减函数,所以log ,即0<43-a <1,解得13<a <43,故13<a <1;当a >1时,函数f (x )在区间12,23上是增函数,所以log a (1-a )>0,即1-a >1,解得a <0,此时无解.综上所述,实数a 16.已知函数f (x )=lgx -1x +1.(1)计算:f (2020)+f (-2020);(2)对于x ∈[2,6],f (x )<lg m(x +1)(7-x )恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)由x -1x +1>0,得x >1或x <-1.∴函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <-1}.又f (x )+f (-x )=0,∴f (x )为奇函数.∴f (2020)+f (-2020)=0.(2)当x ∈[2,6]时,f (x )<lgm (x +1)(7-x )恒成立可化为x -11+x <m(x +1)(7-x )恒成立.即m >(x -1)(7-x )在[2,6]上恒成立.又当x ∈[2,6]时,(x -1)(7-x )=-x 2+8x -7=-(x -4)2+9.∴当x =4时,[(x -1)(7-x )]max =9,∴m >9.即实数m 的取值范围是(9,+∞).。
对数与对数函数二、知识要点梳理知识点一、对数及其运算我们在学习过程遇到2x=4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2x=3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念:1. 如果,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:log a N=b.其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2. 对数恒等式:3. 对数具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即;(2)1的对数为0,即;(3)底的对数等于1,即.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数,.以e为底的对数叫做自然对数,.(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知(1);推广:(2);(3).(五)换底公式同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0,a≠1,M>0的前提下有:(1)令log a M=b,则有a b=M,(a b)n=M n,即,即,即:.(2) ,令log a M=b,则有a b=M,则有即,即,即当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.知识点二、对数函数1. 函数y=log a x(a>0,a≠1)叫做对数函数.2. 在同一坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图像愈靠近x轴;当0<a<1时,对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见图1)(1)对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R(2)对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的图像过点(1,0)(3)当a>1时,三、规律方法指导容易产生的错误(1)对数式log a N=b中各字母的取值范围(a>0 且a≠1,N>0,b∈R)容易记错.(2)关于对数的运算法则,要注意以下两点:一是利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如:log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,因为虽然log2(-3)(-5)是存在的,但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来,即下面的等式是错误的:log a(M±N)=log a M±log a N,log a(M·N)=log a M·log a N,loga.(3)解决对数函数y=log a x (a>0且a≠1)的单调性问题时,忽视对底数a的讨论.(4)关于对数式log a N的符号问题,既受a的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供同学们学习时参考.以1为分界点,当a,N同侧时,log a N>0;当a,N异侧时,log a N<0.经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1.将下列指数式与对数式互化:(1);(2);(3);(4);(5);(6).思路点拨:运用对数的定义进行互化.解:(1);(2);(3);(4);(5);(6).总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三:【变式1】求下列各式中x的值:(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.解:(1);(2);(3)10x=100=102,于是x=2;(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2.求值:解:.总结升华:对数恒等式中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为真数.举一反三:【变式1】求的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0)思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.解:.类型三、积、商、幂的对数3.已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解:(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三:【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解:(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c,,求c的值.解:由3a=c得:同理可得.【变式3】设a、b、c为正数,且满足a2+b2=c2.求证:.证明:.【变式4】已知:a2+b2=7ab,a>0,b>0. 求证:.证明:∵a2+b2=7ab,∴a2+2ab+b2=9ab,即(a+b)2=9ab,∴lg(a+b)2=lg(9ab),∵a>0,b>0,∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4.(1)已知log x y=a,用a表示;(2)已知log a x=m,log b x=n,log c x=p,求log abc x.解:(1)原式=;(2)思路点拨:将条件和结论中的底化为同底.方法一:a m=x,b n=x,c p=x∴,∴;方法二:.举一反三:【变式1】求值:(1);(2);(3).解:(1);(2);(3)法一:法二:.总结升华:运用换底公式时,理论上换成以大于0不为1任意数为底均可,但具体到每一个题,一般以题中某个对数的底为标准,或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5.求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解:(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三:【变式1】求值:解:另解:设=m (m>0).∴,∴,∴,∴lg2=lgm,∴2=m,即.【变式2】已知:log23=a,log37=b,求:log4256=?解:∵∴,类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域,其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似,但要注意对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域:(1);(2).思路点拨:由对数函数的定义知:x2>0,4-x>0,解出不等式就可求出定义域.解:(1)因为x2>0,即x≠0,所以函数;(2)因为4-x>0,即x<4,所以函数.举一反三:【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a≠1,k∈R).解:(1)因为,所以,所以函数的定义域为(1,)(,2).(2)因为a x-k·2x>0,所以()x>k.[1]当k≤0时,定义域为R;[2]当k>0时,(i)若a>2,则函数定义域为(k,+∞);(ii)若0<a<2,且a≠1,则函数定义域为(-∞,k);(iii)若a=2,则当0<k<1时,函数定义域为R;当k≥1时,此时不能构成函数,否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1,1],求y=f(log2x)的定义域.思路点拨:由-1≤x≤1,可得y=f(x)的定义域为[,2],再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[,4].类型七、函数图象问题7.作出下列函数的图象:(1) y=lgx,y=lg(-x),y=-lgx;(2) y=lg|x|;(3) y=-1+lgx.解:(1)如图(1);(2)如图(2);(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以:①比较大小;②解不等式;③判断单调性;④求单调区间;⑤求值域和最值.要求同学们:一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数的单调性规律;三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小:(1)log23.4,log28.5(2)log0.31.8,log0.32.7(3)log a5.1,log a5.9(a>0且a≠1)思路点拨:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1:画出对数函数y=log2x的图象,横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方,所以,log23.4<log28.5;解法2:由函数y=log2x在R+上是单调增函数,且3.4<8.5,所以log23.4<log28.5;解法3:直接用计算器计算得:log23.4≈1.8,log28.5≈3.1,所以log23.4<log28.5;(2)与第(1)小题类似,log0.3x在R+上是单调减函数,且1.8<2.7,所以log0.31.8>log0.32.7;(3)注:底数是常数,但要分类讨论a的范围,再由函数单调性判断大小.解法1:当a>1时,y=log a x在(0,+∞)上是增函数,且5.1<5.9,所以,log a5.1<log a5.9当0<a<1时,y=log a x在(0,+∞)上是减函数,且5.1<5.9,所以,log a5.1>log a5.9 解法2:转化为指数函数,再由指数函数的单调性判断大小,令b1=log a5.1,则,令b2=log a5.9,则当a>1时,y=a x在R上是增函数,且5.1<5.9所以,b1<b2,即当0<a<1时,y=a x在R上是减函数,且5.1<5.9所以,b1>b2,即.举一反三:【变式1】若log m3.5>log n3.5(m,n>0,且m≠1,n≠1),试比较m ,n的大小.解:(1)当m>1,n>1时,∵3.5>1,由对数函数性质:当底数和真数都大于1时,对同一真数,底数大的对数值小,∴n>m>1.(2)当m>1,0<n<1时,∵log m3.5>0,log n3.5<0,∴0<n<1<m也是符合题意的解.(3)当0<m<1,0<n<1时,∵3.5>1,由对数函数性质,此时底数大的对数值小,故0<m<n<1.综上所述,m,n的大小关系有三种:1<m<n或0<n<1<m或0<m<n<1.9. 证明函数上是增函数.思路点拨:此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法,同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明:设,且x1<x2则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三:【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1),试判断函数f(x)的单调性.解:设t=log a x(x∈R+,t∈R).当a>1时,t=log a x为增函数,若t1<t2,则0<x1<x2,∴f(t1)-f(t2)=,∵0<x1<x2,a>1,∴f(t1)<f(t2),∴f(t)在R上为增函数,当0<a<1时,同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1,f(x)在R上总是增函数.10.求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解:设t=-x2+2x+3,则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数,且0<t≤4,∴y≥=-2,即函数的值域为[-2,+∞.再由:函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1,1)上递增而在[1,3)上递减,而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为[1,3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性.(1)(2).(1)思路点拨:首先要注意定义域的考查,然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解:由所以函数的定义域为:(-1,1)关于原点对称又所以函数是奇函数;总结升华:此题确定定义域即解简单分式不等式,函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性,不能轻易直接下结论,而应注意对数式的恒等变形.(2)解:由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x);所以函数.总结升华:此题定义域的确定可能稍有困难,函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧,要求掌握. 类型十、对数函数性质的综合应用12.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.思路点拨:与求函数定义域、值域的常规问题相比,本题属非常规问题,关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R,这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的,因为这里要求f(x)取遍一切实数,即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数,考察此函数的图象的各种情况,如图,我们会发现,使u 能取遍一切正数的条件是.解:(1)f(x)的定义域为R,即:关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R,当a=0时,此不等式变为2x+1>0,其解集不是R;当a≠0时,有a>1.∴a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R,即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1,∴a的取值范围为0≤a≤1.11。
题型一:对数的定义与对数运算
【例1】 ⑴将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
①4
5625=;②6
1264-=;③1 5.733m
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
;④12log 164=-;
⑤lg 0.012=-;⑥ln10 2.303=. ⑵求下列各式中x 的值:
①642
log 3
x =-;②log 86x =;③lg100x =;④2ln e x -=.
【例2】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)7
1
2128
-=
; (2)327a =; (3)1100.1-=; (4)12
log 325=-; (5)lg 0.0013=-; (6)ln100=4.606.
【例3】 将下列对数式写成指数式:
(1)
4
16log 2
1-=;(2)2log 1287=;
(3)lg 0.012=-; (4)ln10 2.303=
典例分析
板块一.对数运算
【例4】 已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于( ).
A. 1
B. 2
C. 8
D. 12
【例5】 计算下列各式的值:(1)lg 0.001; (2)4log 8; (3).
【例6】 ⑴27log 9,⑵81log 43,⑶()()
32log 32-+,⑷625log 345
【例7】
). A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
【例8】 2
5log ()a -(a ≠0)化简得结果是( ).
A. -a
B. a 2
C. |a |
D. a
【例9】 化简3log 1++的结果是( ).
A. 1
2
B. 1
C. 2
【例10】 计算2(lg5)lg 2lg50+⋅= .
【例11】 计算:()
2151515log 5log 45log 3⋅+
【例12】 化简与求值:(1)21lg 2lg5(lg 2
++;
(2)2log .
【例13】 若2510a b ==,则
11
a b
+= .
【例14】 化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 ( ).
A .1 B. 3
2
C. 2
D.3
【例15】 计算:① 5
3log 12.0- ②49log 3log 2⋅-
【例16】 求下列各值:
⑴221
log 36log 32
-
;⑵3log ;⑶lg1;⑷3
log 53;⑸3
log 59;⑹3
log
3;
⑺;⑻22(lg5)lg 2lg 25(lg 2)+⋅+;⑼827log 9log 32⋅.
【例17】 求值:
⑴257
2lg3lg 7lg
lg 94
++-
;⑵
;⑷32516log 4log 9log 5⋅⋅.
【例18】 (1)化简:
532111log 7log 7log 7
++; (2)设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=,求实数m 的值.
【例19】 (1)设log 2a m =,log 3a n =,求2m n a +的值.
(2)设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =,且A B =,求a 的值.
题型二:对数运算法则的应用
【例20】 若a 、0b >,且a 、1b ≠,log log a b b a =,则
A.a b =
B.1a b
=
C.a b =或1a b
=
D.a 、b 为一切非1的正数
【例21】 求证:(1)log n a a n =; (2)log log log a a a
M
M N N
-=.
【例22】 试推导出换底公式:log log log c a c b
b a
=
(0a >,且1a ≠;0c >,且1c ≠;0b >).
【例23】 下列各式中,正确的是
( )
A.2lg 2lg x x =
B.1
log log a a x n =
C.log log log a a a x x
y y
=
1
log 2
a x =
【例24】 已知λ====n a a a b b b n log log log 2121
求证:λ=)(log 2121n a a a b b b n
【例25】 已知32a =,用 a 表示33log 4log 6-
【例26】 若32a =,则33log 82log 6-= .
【例27】 已知3log 2a =,35b =用a b ,表示3log
【例28】 已知(0,0,1)ab m a b m =>>≠且log m b x =,则log m a 等于
A.1x -
B.1x +
C.
1
x
D.1x -
【例29】 已知lg5m =,lg3n =,用,m n 表示30log 8.
【例30】 (1)已知18log 9a =,185b =,试用a 、b 表示18log 45的值;
(2)已知1414log 7log 5a b ==,
,用a 、b 表示35log 28.
【例31】 已知2log 3a =,37b =,求12log 56
【例32】
8log 3p =,3log 5q =,那么lg5等于 (用p ,q 表示);
【例33】 知18log 9a =,185b =,用,a b 表示36log 45.
【例34】 设,,x y z 均为实数,且34x y =,试比较3x 与4y 的大小.
题型三:对数方程
【例35】 求底数:(1)5
3
3log -=x , (2)8
72log =
x
【例36】 已知2
(3)log (3)1x x x ++=,求实数x 的值.
【例37】 已知log log a a x c b =+,求x
【例38】
证明:b x
x
a a
b a log 1log log +=
【例39】 求x 的值:①4
3log 3-
=x ②3
5log 2-=x ③()()
1123log 2122
=-+-x x x
④()[]0log log log 432=x
【例40】 解方程24lg lg 3x x +=
【例41】 (1)方程lg lg(3)1x x ++=的解x = ;
(2)设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根,则12x x 的值是 .
【例42】 解方程()()1
212
log 21log 2
22x x --+--=-
【例43】 解方程)
12(log 2
)22(log 21
2+=
++x x
【例44】 已知1
2()x f x a -=,且(lg )f a =,求a 的值.
【例45】 解方程2
lg lg 1020x x x +=
【例46】 设a 为实常数,解关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-.
【例47】 设正数a ,b ,c 满足222c b a =+.
(1)求证:1)1(log )1(log 22=-++++
b c
a a c
b ; (2)又设1)1(log 4=++a
c b ,3
2
)(log 8=-+c b a ,求a ,b ,c 的值.。