换底公式与自然对数(微课ppt)

例3 生物机体内碳14的半衰期为 5730年,湖南长沙马王堆汉墓 女尸出土时碳14的残余量约 占原始含量的76.7%,试推算 马王堆汉墓的年代.
作业：书上P74---3(5)(6)、4(3)(4)、
5(3)(4)、9, 11
补充：1．求值：
(log 2 5 log 4 0.2)(log 5 2 log 25 0.5)
5.
思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？
为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)，
为了简便，N的自然对数简记作lnN。
例题与练习
例1将下列指数式化为对数式，
对数式化为指数式.
（1）54=625
(2) 26 1
64
(3) (1)m 5.73 3
(4) log 1 16 4
2
(5) lg 0.01 2 （6）ln10 2.303
化为指数式：
1
(1) 54＝625 ;
1
(2) 2－6＝ 64 ;
(3)
(
)m＝5.73
3
;
(4)
log 1 16＝－４;
2
(5) lg0.01=－２; (6) ln10＝2.303.
例2.求下列各式中ｘ的值：
(1)log64x＝
2 3
;
(2)
logx8＝6
;
(3)lg100=x;
(4)－lne2＝ｘ .
知识探究（二）:幂的对数
思考1:log23与log281有什么关系？ 思考2:将log281=4log23推广到一般情形有什么结论？
思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法证明等式logaMn＝nlogaM成立．

对数的应用
Байду номын сангаас
复利计算
对数可以用于计算复利。 它可以简化复利计算公式， 提高计算效率。
声音表示
对数可以用于表示声音的 强度和频率。它可以将庞 大的数值转换为更易理解 的单位。
解决复杂问题
对数还可以用于解决一些 复杂的数学问题。它可以 简化计算过程，并提供新 的思路。
总结
1 换底公式的作用 2 对数的多种性质
《对数的换底公式》PPT 课件
在这个PPT课件中，我们将学习什么是对数的换底公式以及它的应用。通过生 动的图像和实例，让我们一起探索这个有趣且实用的数学概念。
什么是对数换底公式？
对数换底公式是用来将不同底数的对数转换为相同底数的对数的公式。它有 着广泛的应用，并可以简化数学计算。
对数换底公式的推导
对数的换底公式可以 将不同底数的对数转 换为相同底数的对数。 这大大方便了数学计 算的进行。
对数具有多种性质， 应用广泛。我们应该 深入了解这些性质， 发挥它们在实际问题 中的威力。
3 掌握换底公式的
重要性
熟练掌握对数的换底 公式可以在实际应用 中极大地方便计算， 并解决各种数学问题。
通过对数的定义式$log_{a}b=c$转换为指数形式，并利用指数的运算规律，我 们可以推导出对数的换底公式。
对数的性质
基数要求
对数的基数必须为正数且不能为1。这是对数函数的基本性质之一。
真数要求
对数的真数必须为正数。只有正数才能取对数。
反函数关系
对数函数的反函数是幂函数。这为我们研究对数与幂函数之间的关系提供了便利。

yQ
P
o
x
思考4:一般地，对数函数的图象可分为
几类？其大致形状如何？ y a>1 y
0<a<1
1 1
01
x
01
x
思考5:函数 y | log2 x | 与 y log2 | x |
4
一般地，什么叫对数函数？
思考4:为什么在对数函数中要求a＞0， 且a≠l？
思考5:对数函数的定义域、值域分别是 什么？
思考6:函数 y log3 x2 与 y 2log3 x 相同吗？ 为什么？
知识探究（二）：对数函数的图象
思考1:研究对数函数的基本特性应先研 究其图象.你有什么方法作对数函数的图 象？
2. y log 1 x（x>0）是函数吗？若
4
是，这是什么类型的函数？
知识探究（一）：对数函数的概念
思考1:在上面的问题中，若要使残留的 污垢为原来的 1 ，则要漂洗几次？
64
思考2:在关系式y log 1 x中，取 x a(a 0)
4
对应的y的值存在吗？怎样计算？
思考3:函数 y log 1 x 称为对数函数，
（3）aloga N N .
3.同底数的两个对数可以进行加、减 运算，可以进行乘、除运算吗？
4.由 1.01x
18 得
13
x
18 log1.01 13
，但这只
是一种表示，如何求得x的值？
知识探究（一）：对数的换底公式
思考1:假设 log2 5 x ，则
log2
5
log2 3
x log2 3
log2
3x，从而有 3x
5.
进一步可得到什么结论？
思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？

3
解法一：
解法二：
lg142lg7lg7lg18 3
lg142lg7lg7lg18 3
lg14 lg7()2lg7lg18 3
lg(2
7)
2
lg
7 3
lg 14 7 ( 7 )2 18
lg 7 lg(2 32 ) lg2lg72(lg7lg3)
3 lg10
lg7(lg22lg3)
0
16
例题讲解
新课教学新课教学logmnlog上述证明是运用转化的思想先通过假设将对数式化成指数式并利用幂的运算性质进行恒等变形
1
前课复习
定义： 一般地，如果 aa0,a1
的b次幂等于N, 就是 ab N ，那么数 b叫做
以a为底 N的对数，记作 loga Nb a叫做对数的底数，N叫做真数。
2
有关性质：
由对数的定义可以得：M ap, ∴ Mn anp loagMnnp
即证得
log a M n nlog a M(n R) ( 3 )
8
上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数 式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形； 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。
loga(MN)logaMlogaN (1) loga M NlogaMlogaN (2) logaMn nloagM(nR) (3)
证明：设 loagm Nn p,
由对数的定义可以得： Nn (am)p,
∴
Nn am p
mp
N an
loga
Nmp n
即证得
loagm Nn m nloagN
10
其他重要公式2:
loga
N
logc logc

[思路探究] 先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数 求值．
方法小结
[规律方法] 解对数应用题的步骤
方法小结
1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，有 两种思路： ①根据题目特点，先换部分对数的底进行运算． ②直接把题中对数全换成统一底的对数进行运算． 2．换底公式常用推论：
loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
23＋llgg
29＝
2llgg32＋3llgg32llgg 23＋2llgg23
＝56llgg
3 3lg 2·2lg
23＝54.
典例详解（2）用已知对数表示其他 对数
已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645.
[思路探究] 运用换底公式，统一化为以18为底的对数．
学习目标
重点难点 重点： 能推到出对数的换底公式 难点：会用对数换底公式进行化简与求值．
复习回顾
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N
> 0 有：
loga(MN) logaM logaN (1)
loga
M N

logaM
logaN
(2)
logaM n nlogaM (n R) (3)
解:（1）log9 27
=
log3 27 log3 9
=
3 2
（2）log 8 9 log 27 32
= lg 9 lg 32 lg 8 lg 27
= 2lg 3 5lg 2 3lg 2 3lg 3
10 9
课后练习
2.计算：
（1）log9 8 log32 27

∴(x－y)(x－4y)＝0，解得 x＝y 或 x＝4y. ∵xy＝1 或 4，∴log 2xy＝log 21＝0 或 log 2xy＝log 24＝4. [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于 0 这一条件．
[正解] ∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即 x2－ 5xy＋4y2＝0.
应用换底公式化简
已知log89＝a，log25＝b，用a、b表示lg3. [分析] 8＝23，9＝32，5＝120，故可用换底公式化为 lg2 与 lg3 的方程组，解之可得．
[解析] ∵log89＝llgg98＝23llgg32－lgl2g2＝b，
②
由①②消去 lg2 可得：lg3＝213＋a b.
计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
[解析] 原式＝(lgl1g225＋llgg245＋llgg58)(llgg52＋llgg245＋lglg1825)＝ (3llgg25＋22llgg52＋3llgg52)(llgg25＋22llgg25＋33llgg25)＝266llgg25·3llgg52＝13.
知能自主梳理
1.换底公式
logaN
一般地，logbN＝__lo_g_a_b_____，其中b＞0，b≠1，N＞0，a
＞0，a≠1，这个公式称为对数的换底公式．
2．自然对数
以_e_＝__2_.7_1_8_2_8_…____为底的对数叫做自然对数，logeN通常 记作___l_n_N___．
预习效果展示
2．log89·log32 的值为( 2
A. 3 C．32
[答案] A
) B．1 D．2
[解析] 原式＝llgg89·llgg23＝23llgg32·llgg23＝23.

探要点、究所然
探究点一 ：对数运算性质
第2课时
例 1 求下列各式的值： (1)log2(23×45)；(2)log5125. 解 (1)log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5×2＝13.
(2)log5125＝log553＝3log55＝3. 反思与感悟 这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方
你能不能推导出呢？ 答 令 M＝am，N＝an，则MN＝am÷an＝am－n， ∴m－n＝logaMN.又由 M＝am，N＝an，
∴m＝logaM，n＝logaN，
即：logaM－logaN＝m－n＝logaMN ；
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
第2课时
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：对数运算性质
第2课时
思考 4 同样地，由 am÷an＝am－n 和(am)n＝amn，也得到对数运算的其他性质： logaMN＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM(a>0，且 a≠1，M>0，N>0，n∈R)．
反思与感悟 在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对 数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数 互不相同，我们可以选择以 10 为底数进行换底．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点二 ：换底公式

利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问 题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起 了重要作用，在解题过程中应注意： （1）针对具体问题，选择好底数； （2）注意换底公式与对数运算法则结合使用； （3）换底公式的正用与逆用；
例三、设 求证：
3x 4 y 6 z t 1
1 1 1 z x 2y
logc b 证明:由换底公式 loga b logc a logb b 取以b为底的对数得： loga b logb a 1 logb b 1, loga b logb a
logx z logx y logy z logx y logx z logx y
还可以变形,得
loga M loga N
(loga M ) n
对数的换底公式
logc b loga b logc a
loga b x,
x
(a, c (0,1) (1,),b 0)
证明：设
ba ,
x
由对数的定义可以得：
logc b logc a , logc b x logc a,
∴
1 lg m lg 3 2
∴
m 3
例1、解方程： （1）2 2x －1 = 8 x
解：原方程化为 2 2x －1 = 2 3x
2x －1 = 3x
∴ 方程的解为 （2）lg x －lg ( x －3 ) = 1
x = －1
x = －1
解：原方程化为 lg x = lg 10 + lg ( x －3 )
(1 3 pq) lg 5 3 pq
∴
∴
3 pq lg 5 1 3 pq
例六、若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2

例2例3
课本 练习题3
C组
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下
节
再
见



（3） =

对 点 练 习
5 8
（1）化简：
的结果
5 2
（2）化简下列各式
①27 81 ②10 25 × 5 8
典 例 剖 析
题型一 对数的运算性质以及换底公式的应用
例1、计算下列各式的值
（1）2 (64 × 521)
（2）0.0001
2 3
3 2
5
（3）3 81
例3、计算下列各式的值
（1）22 3 + 23 1 − 37 7 + 31
（2）22 4 + 32 1 − 3 ⋅ 3 2 − 5
（3） 5 2 + 2 ⋅ 5 + 2
（4）5 ⋅ 20 − 2 ⋅ 50 − 25
（4）已知2 3 = ，2 5 = ，用, 表示下列的值。
①2 30
5
②2
9
③2
3
15
20
2、不同底数的对数的运算公式（换底公式）

换底公式： =
（其中 > 且 ≠ , > > 且 ≠ ）

简单的证明过程：



= , = , − = ，则


= −
（3） = ，即正数幂的对数等于该幂底数的对数的对数的指数倍。
推导：设 = , = ,又因为 = ，所以 = ,又因为

的值

1
（4） (

通过指数运算推导
设logb a = x，则b^x = a，两边取以 c为底的对数，得到logc a = x logc b， 即换底公式。
换底公式应用举例
求解复杂对数运算
例如计算log5 8 + log5 3 - log5 2时，可利用换底公式转换 为lg 8 / lg 5 + lg 3 / lg 5 - lg 2 / lg 5，从而简化计算过程。
在数值计算中，通过换底 可以将复杂的对数运算转 化为简单的运算，从而简 化计算过程。
提高精度
换底方法可以提高对数运 算的精度，减少舍入误差 和截断误差的影响。
拓展应用范围
换底方法可以将对数运算 从一种底数拓展到其他底 数，从而拓展对数运算的 应用范围。
数值计算中换底方法实现步骤
确定原对数的底数和真数
常用对数表
常用对数
对数表
以$10$为底的对数叫做常用对数，记 作$\lg N$。
是一种可以用来查找对数值的工具书， 通常包括常用对数表和自然对数表。
自然对数
以常数$e$为底的对数叫做自然对数， 记作$\ln N$。
对数运算规则
乘法规则
$\log_a M+\log_a N=\log_a(M \times N)$，即两个数的对数和 等于这两数乘积的对数。
财务管理
02
在企业财务管理中，如资金筹措、成本核算等方面，也需要运
用对数运算换底公式进行数据处理和决策分析。
经济统计
03
在经济统计和分析中，对数运算换底公式被广泛应用于价格指
数、经济增长率等指标的计算和比较。
2023
PART 05
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
关键知识点总结回顾

然对数.
例如：用计算器求log 2 5的值.
设log 2 5 = ，则2 = 5，
在2 = 5的两边取常用对数得lg2 = lg5，
∴ =
lg5
，
lg2
这样就可以用计算器中的常用对数键“LOG”算出log 2 5的值，
lg5
即log 2 5 =
≈ 2.32192809489.
lg2
新知探究
换底公式
如何证明
log c b
log a b
a 0 ，b 0 ，c 0 ，且 a 1 ，c 1 .
log c a
《换底公式》
思考交流
证明换底公式
log c b
log a b
a 0 ，b 0 ，c 0 ，且a 1 ，c 1 .
log c a
C．8237 年
D．8337 年
《换
底
公
式
log a b
log c b
(a 0 ，b 0 ，c 0 ，且a 1 ，c 1).
log c a
logb a log a b 1 (a 0 ，b 0 ，且a 1 ，b 1).
两个推论
则a x b.
证明 设 log a b x ，
两边取以c为底的对数，得 log c a x log c b.
log c b
则x log c a log c b ，即x
.
log c a
log c b
.
由于x log a b ，则 log a b
log c a
因为 log a b x =x log a b，


《换底公式》
例题讲解