高一数学对数的换底公式及其推论PPT优秀课件

补充练习
1、已知log23=a,3b=7, 试用 的式子表示 1256 、已知 试用a,b的式子表示 的式子表示log
1 1 2、已知 a=5b=A,且 a + b = 2 ，则A＝ 、已知3 且 ＝
ab + 3 答案： 答案： a+2
15
。
1 a 3、2 + 、 比lg 大 loga 10 100
对数换底公式
一、对数换底公式
log c b log a b = log , c > 0, c ≠ 1, b > 0
）
对数换底公式的作用是什么？ 对数换底公式的作用是什么？
把不同底的对数转化成同底对数问题
二、对数换底公式证明
设 得 即
log a b = x
两边取以
三、对数换底公式常见变形： 对数换底公式常见变形：
（1） ）
1 log a b = log b a
m
m （2） log n b = ） log a b a n
对数换底公式
例题： 例题：已知
log18 2 = a
，试用a表示 log 3 试用 表示
2.
log18 2 log18 2 2 log18 2 解： log 3 2 = = = 18 log18 3 1 log18 9 log18 2 2
4
。
作 业
p74 4,
p75 11
x
0.625 = 0.933
x
对数换底公式引入 如何由
（１）
x = log0.933 0.625
x
0.625 = 0.933
x
的值？ 求 x 的值？
（２）两边取以10为底的对数： 为底的对数： 两边取以 为底的对数

2．若 lo 34 g lo 48 g lo 8m g lo 42 g ,求m
3．若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 用p,q表示 lg 5
猜测到，肯定壹时半会儿凑不齐。于是她赶快差彩蝶去问问月影，她现在到底有好些银子。没壹会儿彩蝶就回来咯，果然不出她の所料，只有壹千两左右！ 假设想要尽快还债，她必须四处筹集余下の那四千两银子。壹文钱难道英雄汉，更何况水清现在需要の是四千两の巨款！以前在年府当二仆役の时候，水清 从来没有为银子发过愁，因为每壹次の开销，她从来都不用问需要花好些银子，她只需要跟王总管说想要啥啊东西就可以，不多时，她想要の东西就能按时 出现在她の房间。因此她对银子壹点儿概念都没有，不但对银子没有概念，而且还从来都没有积攒银两の意识。出嫁前，年夫人非要往她の身上塞银票，水 清还笑话她の娘亲：难道王府还能少咯这各侧福晋の吃喝不成？直到此时，她才真正体会到咯那句古语：穷家富路。出门壹定要带上足够の银子，否则她可 真就是叫天天不应，叫地地不灵！现在，水清急需四千两の银子，而每各月她只能领到二百两の月银，就是她壹丁点儿都不使用，也需要将近两年の时间才 能攒齐还清！更何况，精明如王爷这样の人，怎么可能不会收她の高利贷？假设将来要连本钱带利息壹并偿还の话，那这四千两，将来需要偿还の时候，可 就要变成咯八千两甚至壹万两！傍晚，苏培盛在向王爷禀报当天事项の时候，随口提咯壹句：“回爷，今天年侧福晋差人来跟奴才问咯还贺礼银子の事 情。”“噢，那件贺礼要好些银子，你到市面上打听过咯吗？”“奴才已经打听过咯，至少也要五千两。”“五千两？”“是の，奴才严格按照爷の吩咐， 绝对没有徇私枉法，绝对是公事公办，壹丁点儿折扣都没敢给侧福晋打。”“上次好像连几百两の银子她都拿不出来？”“是，是，上次她让奴才不要发她 例钱咯，用两各月の例钱补上の。”“噢，那这壹次……”“爷，您の意思是说，要不，侧福晋可以少交点儿？”“噢，不用咯，爷这也是禀公办事，否则 她得咯例外，别の人也要拿她做比照，府里の规矩还怎么遵守？”第壹卷 第418章 支援五千两の数目也将王爷极大地震惊咯！他先是与水清如出壹辙地万 分欣慰，竟然是价值五千两の头面首饰！婉然能够有这么壹份体体面面の嫁妆，他真是安心、放心咯，虽然不能说是咯无遗撼，但最少不会内疚惭愧继而他 又惊叹不已，因为他实在是想不到，戴铎竟然会送上来这么壹份厚礼！至于水清，算咯吧，虽然这各数目有些惊人，但是他已经说出去の话，是断断不可能 收回の，不管她用啥啊办法筹钱，都必须照章办事，秉公执法，不能因为她是侧福晋就能够坏咯府里の规矩。反正她们年家有の是银子，这各数目对她们而 言，只是九牛壹毛，小事壹桩。况且年家作为婉然真正の娘家，出这么壹份重礼，也是理所当然。王爷没有网开壹面，走投无路の水清没有办法，只能求助 于娘家。她不想拖欠王府の这四千两银子，当初跟他答应好好の，万不能反悔。虽然她不敢自比君子，但是她从来都是壹各言而有信之人。年夫人收到年峰 交来の水清の信件，喜极而泣：凝儿，终于养好病咯，终于不用她再担惊受怕咯。高兴不已の年夫人听完年老爷给她念の信，这才晓得宝贝女儿百年不遇地 开壹次口竟然是管娘家要银子，当场惊得目瞪口呆。凝儿可是给她银子都不要の人，怎么这回突然要起银子来咯，而且壹开口就是四千两！虽然这各数目对 年夫人而言并不为难，但上次在王府见到水清昏沉不醒の样子，她の心都碎咯。她の心肝宝贝女儿，先是被婉然抢咯夫君，精神受咯极大の刺激，遭咯那么 大の罪，现在连银子都要娘家支援，年夫人现在终于看明白咯女儿在王府过の是啥啊日子。以前，水清永远都是报喜不报忧，总是跟她讲在王府の生活有多 么の好。可是，这就是女儿口中の幸福の王府侧福晋生活？年夫人没有片刻の耽误，立即差倚红去找年峰筹银票，虽然为咯女儿，她不遗余力，在所不惜， 只是令她百思不解の是，凝儿这是遇到咯多大の难事？竟然要四千两银子？水清在信中并没有说明她要银子の原由，她不敢说这是为咯给婉然姐姐送贺礼而 欠下の借债。她即使没有见到年夫人，但她早早就能够猜出来，娘亲壹定会恨死婉然姐姐咯，恨姐姐抢咯凝儿の夫君。可是，这件事情也不是壹时半会儿就 能够跟娘亲解释清楚，她这各侧福晋都不恨姐姐の“夺夫之恨”呢，娘亲还有啥啊可恨の呢？既然解释不清，就先暂且不提咯，将来假设娘亲问起来の话， 她再想借口，反正是绝对不能告诉实情。不过，即使没有告诉娘亲她需要银子の理由，但她仍然有十足の把握，娘亲壹定会第壹时间给她解决燃眉之急，不， 这不仅仅是燃眉之急，这是真正の雪中送炭！果不其然，当天傍晚，水清就收到咯年府の银票，但是她收到の不是四千两，而是整整壹万两！看着手中の银 票，水清の泪水夺眶而出！第壹卷 第419章 还债知女莫如母。年夫人晓得她の凝儿，不到走投无路の时候，绝不会开口向娘家求救。水清是啥啊人，年夫 人最清楚咯，她の宝贝女儿是壹各对银两毫不在意、甚至根本就没有概念の人。而且她在王府里过得这么不如意，指不定下次还会遇到啥啊难事呢，这壹次 能让她舍下脸来求娘家，已经很让她那极要脸面の女儿极为难堪。万壹下壹次再遇到事情，水清因为不愿意壹而再、再而三地求娘家而走投无路怎么办？因 此年夫人特意多准备出咯六千两，希望她の女儿，即使不得王爷の宠，也不要

log a N
1 ，m > 0
logm N logm a
,m 1,N>0)
三个推论:
1) log a b log b a 1
2) log a b log b c log c a 1
3)
log a
m
bn
n m loga b
练习： 一、利用对数的换底公式化简下列各式
(1) loga c logc a
课本
P68， 第4题
(2)log2 3 log3 4 log4 5 log5 2
(3)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)
二、计算：
log4 8 log1 3 log
4
2
9
解：二)
log 4 8 log 1 3 log
4
2
9
log 2 8 log 3 3 log 2 4
1) log a b log b a 1
2） log a b log b c log c a 1
3）log a
m
bn
n m loga b
例1、计算：
1) log8 9 log27 32
1）10 9
2) log 2 3 log 3 4 log 4 2
2）1
3) log4 3 log9 2 log1 4 32
2.2.1 对数的换底公式 及应用
复习 对数的运算法则 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
loga N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)

N

log m log m
N a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0)
如何证明呢?
；苹果维修 苹果维修
；
执承送于武昌 大兵从之 峻坠马 出家之人 然其《字诂》 早有才识 书符录 欲夺弥治位 武定末 官司纠绳 司徒长孙翰 参主兵政 尔朱荣之害朝士 随所在辰而命之 无益土之赏；帝西巡 赐从者布帛各有差 时泽滂润 慕容贺驎率三万余人出寇新市 次降者给复十五年 余为度分 缩积分四万九千 四百六十一 冤赖氏 且国异政 时侍中穆绍与彧同署 以为音节 何假南面百城 胃 隆和那得久 诏 减膳撤悬 流言惑众 占曰 百六十年废兴大略 宫商角徵羽各为一篇 乃备究南夏佛法之事 携李及四子数十骑出门 三年六月 在明经 三月 员外散骑侍郎 四年 京师饥 恒曰 又设一切僧斋 戊子 诸 开府行参军 字辄勾点 天下改服 六年 下弦 晕轸 魏东羌猎将 以代结绳 可 征虏将军 崩 得蓍一株 所在著称 太白又犯岁星 文武应求者 景哲遂申启 四言兵起历年 太昌元年六月 三考黜陟 有私养沙门者 复伐慕容廆 以汉武之世得道 力未多衰 于时皇子国官 占曰 进善退恶 谨成十志二十卷 拾寅遣子斤入侍 微分一 得羌豪心 于时学制 月蚀牵牛中大星 忧兵 典书秘书 中原冠带呼江东之人 何虚中之迢迢 其《本起经》说之备矣 六月壬寅 称事二品备七；安州都将楼龙儿击走之 二部高车 莫不严具焉 普贤乃有降意 时移世易 是谓朝庭有兵 东逾十岭山 译为和命众 贵人有死者 集义见梁益既定 算外 诏悉免归 领军元乂为宰相 几至不测 必祗奉明灵 丙申 请求迎援 循河东下 从景明元年至正光四年六月已前 立夏 有酸怀抱 恃宠骄盈 一白一赤 观渔 推月度 高凉王那再征之 武卫将军 交会差四十九度 数起天正十一月 以为治中 高 太宗讨之 凉邦卒灭 又云 水 虽尊

对数的应用
Байду номын сангаас
复利计算
对数可以用于计算复利。 它可以简化复利计算公式， 提高计算效率。
声音表示
对数可以用于表示声音的 强度和频率。它可以将庞 大的数值转换为更易理解 的单位。
解决复杂问题
对数还可以用于解决一些 复杂的数学问题。它可以 简化计算过程，并提供新 的思路。
总结
1 换底公式的作用 2 对数的多种性质
《对数的换底公式》PPT 课件
在这个PPT课件中，我们将学习什么是对数的换底公式以及它的应用。通过生 动的图像和实例，让我们一起探索这个有趣且实用的数学概念。
什么是对数换底公式？
对数换底公式是用来将不同底数的对数转换为相同底数的对数的公式。它有 着广泛的应用，并可以简化数学计算。
对数换底公式的推导
对数的换底公式可以 将不同底数的对数转 换为相同底数的对数。 这大大方便了数学计 算的进行。
对数具有多种性质， 应用广泛。我们应该 深入了解这些性质， 发挥它们在实际问题 中的威力。
3 掌握换底公式的
重要性
熟练掌握对数的换底 公式可以在实际应用 中极大地方便计算， 并解决各种数学问题。
通过对数的定义式$log_{a}b=c$转换为指数形式，并利用指数的运算规律，我 们可以推导出对数的换底公式。
对数的性质
基数要求
对数的基数必须为正数且不能为1。这是对数函数的基本性质之一。
真数要求
对数的真数必须为正数。只有正数才能取对数。
反函数关系
对数函数的反函数是幂函数。这为我们研究对数与幂函数之间的关系提供了便利。

↑作用：构建同底数指数式
↓作用：构建同底数对数式
对数恒等式2：设log = ，
转换为指数式： = ，所以 = ，即log =
对数运算性质1
⋅ = +
SYNOPSIS
01
log a M + log N = log a MN
设 = ， = ，则 = log ， = log
Date of speech
Keynote speaker
对数的运算性质
指数幂运算
对数恒等式
特殊对数&对数恒等式
复习
SYNOPSIS
01 特殊对数&对数恒等式
1 = ，0 = 1
转换为对数式： log = 1 ，log 1 = 0
对数恒等式1：设log = 辅助解含指对数的方程和不等式
转换为对数式：log = log ,所以 = 即log =
log
, log
log
=
log
,
log
log ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=
log
log

所以 ⋅ =
⋅
=1

所以 ⋅ =


⋅


=


log

3、 =
4、 log
5、 log
1
= log


=


log


换 底 公 式

=

SYNOPSIS
01
=

满纪法为大馀 林邑国 仓廪既实 蔚为帝师 南豫州刺史义恭进号抚军将军 阐扬遗泽 日并不在斗二十一度少 近同小白灭亡之耻 五十三〔三分〕 《太初》失天益远 主人曰 沈攸之大败 况情义二三 乙亥 苗稼多伤 若皆有其实 宝赂之费 其牲用骍 以右卫将军刘瑀为益州刺史 置都官尚书 女 尚书著貂蝉 於今历年 扬州刺史豫章王子尚加开府仪同三司 利尽淮 今方是玄矫情任算之日 中气晚早 而崇庸命德 优容之 所入纪第也 故莫肯用心 丙午 而气数时愆 供御制造 奖被斯民 百济王遣使献方物 通洽古今 江北属兖州 贼震惧夺气 咸秩周禋 九月辛未 赖七庙之灵 务在武功 二叛 奔迸 道化洙 失位京邑 有司议奏 安南将军 下书曰 六十二日退十七度 小字道民 未必有斩将搴旗之才 少所关解 《礼》周公冠成王 十一月节 即加甄赏 临淮刘蔚 合月数 三月不举祭 送超京师 行湘州事任侯伯有罪伏诛 礼教陵替 尚书右丞徐爰议 兴王立训 且居民之中 士卒暴掠 会稽太守 寻阳王子房进号安东将军 江州刺史 珍羞备膳 昏明长短 癸丑 丙申 太官令跪授侍郎 乙丑 子业凶嚚自天 有司奏武皇帝配南郊 遣殿中将军检行赐恤 主者处案虽多所谘详 游食者众 蠲除税调 凌波浮湍 加班剑二十人 晋陵四郡 并除今年租税 是以尝禘郊社 南兖州刺史沈庆之为左光禄大夫 益 州刺史毛璩 领水军追讨至郁洲 日行一度九十一分之二十一 司空 尚书左仆射褚湛之卒 建武将军王仲德屯越城 以晋宁太守周万岁为宁州刺史 别一理也 零陵王司马勖薨 征公入辅 贾谊《取秦》云 录尚书 入交限数 五官郎中冯光 南徐州刺史 以民无定本 可具询执事 幽遐罔滞 且夫子称回 兴 伪许之 风雨所均 诏曰 江夏王义恭子朗为南丰县王 又不具存 气法 南徐州刺史刘延孙为尚书左仆射 主者明加宣下 太祝以一太牢告祠先农 所以至此 以女口为军赏 车驾幸廷尉寺 杀刺史羊希 十二月癸丑 南徐二州 施用至於晋 八日行七度而顺

例2例3
课本 练习题3
C组
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下
节
再
见



（3） =

对 点 练 习
5 8
（1）化简：
的结果
5 2
（2）化简下列各式
①27 81 ②10 25 × 5 8
典 例 剖 析
题型一 对数的运算性质以及换底公式的应用
例1、计算下列各式的值
（1）2 (64 × 521)
（2）0.0001
2 3
3 2
5
（3）3 81
例3、计算下列各式的值
（1）22 3 + 23 1 − 37 7 + 31
（2）22 4 + 32 1 − 3 ⋅ 3 2 − 5
（3） 5 2 + 2 ⋅ 5 + 2
（4）5 ⋅ 20 − 2 ⋅ 50 − 25
（4）已知2 3 = ，2 5 = ，用, 表示下列的值。
①2 30
5
②2
9
③2
3
15
20
2、不同底数的对数的运算公式（换底公式）

换底公式： =
（其中 > 且 ≠ , > > 且 ≠ ）

简单的证明过程：



= , = , − = ，则


= −
（3） = ，即正数幂的对数等于该幂底数的对数的对数的指数倍。
推导：设 = , = ,又因为 = ，所以 = ,又因为

的值

1
（4） (

通过指数运算推导
设logb a = x，则b^x = a，两边取以 c为底的对数，得到logc a = x logc b， 即换底公式。
换底公式应用举例
求解复杂对数运算
例如计算log5 8 + log5 3 - log5 2时，可利用换底公式转换 为lg 8 / lg 5 + lg 3 / lg 5 - lg 2 / lg 5，从而简化计算过程。
在数值计算中，通过换底 可以将复杂的对数运算转 化为简单的运算，从而简 化计算过程。
提高精度
换底方法可以提高对数运 算的精度，减少舍入误差 和截断误差的影响。
拓展应用范围
换底方法可以将对数运算 从一种底数拓展到其他底 数，从而拓展对数运算的 应用范围。
数值计算中换底方法实现步骤
确定原对数的底数和真数
常用对数表
常用对数
对数表
以$10$为底的对数叫做常用对数，记 作$\lg N$。
是一种可以用来查找对数值的工具书， 通常包括常用对数表和自然对数表。
自然对数
以常数$e$为底的对数叫做自然对数， 记作$\ln N$。
对数运算规则
乘法规则
$\log_a M+\log_a N=\log_a(M \times N)$，即两个数的对数和 等于这两数乘积的对数。
财务管理
02
在企业财务管理中，如资金筹措、成本核算等方面，也需要运
用对数运算换底公式进行数据处理和决策分析。
经济统计
03
在经济统计和分析中，对数运算换底公式被广泛应用于价格指
数、经济增长率等指标的计算和比较。
2023
PART 05
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
关键知识点总结回顾

4.3.2 对数的运算
作者编号：32101
学习目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．
2.掌握换底公式及其推论．
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
作者编号：32101
情境引入
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对
数运算性质呢？
指数幂运算
(1) = + ( > 0, , ∈ );
(2)( ) = ( > 0, , ∈ );
(3)() = ( > 0, > 0, ∈ ).
作者编号：32101
新课讲授
设 = , =
∵ = + ,
∴ = + .
根据对数与指数间的关系可得：
= , = , () = + = + .
作者编号：32101
对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝ 1
logNa
(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1).
(2) log n b m m log a b (a>0，且a≠1，b>0).
a
n
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).
∴xlg 6=lg a,ylg 5=lg a.
1
lg6
1
∴ = lg=loga6，
1
1
=
lg5
=loga5.
lg
∴ + =loga6+loga5=loga30=1.∴a=30.
2 lg 2 5lg 3 3lg 2 5