对数运算与换底公式

对数的运算法则及公式是什么在数学中，对数是指一个数以另一个数为底的指数。

对数的运算法则和公式是数学中对数运算的基本准则和表达方式。

本文将重点介绍对数的运算法则及公式。

一、对数的定义和符号对数是指数的逆运算，主要用于求指数运算的未知数。

以底数为a，对数为n的运算表达为：a^n = x，其中n为指数，a为底数，x为真数。

对数的符号为log。

例如，对于底数为2的对数运算：2^3 = 8，可以表示为log2(8)=3。

其中，2为底数，3为指数，8为真数。

二、对数运算法则1. 对数的基本运算法则(1) 乘法法则：loga(M*N) = loga(M) + loga(N)。

(2) 除法法则：loga(M/N) = loga(M) - loga(N)。

(3) 幂运算法则：loga(M^k) = k*loga(M)。

(4) 开方法则：loga√M = 1/2 * loga(M)。

2. 对数换底公式对数换底公式是指当底数不同时，如何在不同底数之间进行换算。

常用的对数换底公式有以下两种形式：(1) loga(M) = logc(M) / logc(a)，其中c为任意常数。

(2) loga(M) = ln(M) / ln(a)，其中ln表示自然对数。

三、对数公式1. 对数幂的对数公式对数幂的对数公式是指对数运算中底数为幂的情况，常用的对数幂的对数公式有以下两种形式：(1) loga(a^k) = k，其中k为任意常数。

(2) loga(1) = 0。

2. 对数的乘法公式对数的乘法公式是指对数运算中底数相同，真数相乘的情况。

常用的对数的乘法公式有以下两种形式：(1) loga(M*N) = loga(M) + loga(N)。

(2) loga(a) = 1。

3. 对数的除法公式对数的除法公式是指对数运算中底数相同，真数相除的情况。

常用的对数的除法公式有以下两种形式：(1) loga(M/N) = loga(M) - loga(N)。

换底公式的五个推论及其证明换底公式是指在对数运算中，当底数不一致时如何转化为同一底数进行计算。

它有五个常用的推论，分别是：推论一：对数的乘法规则对数的乘法规则是指loga(M×N) = loga(M) + loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。

该公式表明，两个正数的乘积的对数等于这两个正数的对数之和。

推论二：对数的除法规则对数的除法规则是指loga(M÷N) = loga(M) - loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。

该公式表明，两个正数的商的对数等于这两个正数的对数之差。

推论三：对数的幂次规则对数的幂次规则是指loga(M^k) = k*loga(M)，其中a表示底数，M 表示正数，k表示任意实数。

该公式表明，一个正数的幂的对数等于这个正数的对数乘以幂。

推论四：对数函数的换底公式对数函数的换底公式是指loga(M) = (logb(M))/(logb(a))，其中a 和b分别表示底数，M表示正数。

该公式表明，如果要求一些正数的以a 为底的对数，可以将其转化为以b为底的对数进行计算，其中b可以是任意一个正数。

推论五：自然对数的换底公式自然对数的换底公式是指ln(M) = (loge(M))/(loge(a))，其中M表示正数，e表示自然对数的底数。

该公式表明，如果要求一些正数的自然对数，可以将其转化为以任意一个底数a为底的对数进行计算。

下面对这五个推论进行证明：证明推论一：假设loga(M×N) = x，根据对数的定义可得a^x = M×N。

又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。

同理，假设loga(N) = z，根据对数的定义可得a^z = N。

将上述三式相乘可得(a^y)(a^z)=M×N，即a^(y+z)=M×N。

由指数运算的性质可知，a^(y+z)=a^x，因此得到x=y+z。

对数换底公式及其应用logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)其中，logₐ(b) 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓ(b) 表示以 x 为底数的 b 的对数，logₓ(a) 表示以 x 为底数的 a 的对数。

1.计算不同底数的对数之间的关系使用对数换底公式，可以将一个底数为 a 的对数转化为底数为 x 的对数，以便计算或进行比较。

例如，要计算 log₃(2) 的值，可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₃(2) = log₁₀(2) / log₁₀(3)2.化简复杂的对数表达式有时候，对数表达式可能比较复杂，难以计算或分析。

在这种情况下，对数换底公式可以帮助我们将其转化为更简单的形式，以便进行进一步的计算。

例如，对于表达式 log₉(27)，我们可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₉(27) = log₁₀(27) / log₁₀(9)= log₁₀(3³) / log₁₀(3²)= 3 * log₁₀(3) / 2 * log₁₀(3)=3/23.解决指数方程x = log₂(16) = log₁₀(16) / log₁₀(2) = 4 / log₁₀(2)4.求解连续复利问题连续复利是一种常见的复利计算方法，其中利息不断累积，而不是离散计算。

对数换底公式可以用于求解连续复利问题的相关计算。

例如，如果我们正在计算以年利率为8%的连续复利的总金额，我们可以使用对数换底公式将其转化为以自然对数e为底数的对数：F = P * (1 + r/n)^(nt)=P*(1+8%/1)^(1*1)=P*(1+0.08)^1= P * e^(ln(1 + 0.08))5.编程中的应用综上所述，对数换底公式是一种非常有用的数学工具，可以应用于许多不同的场景，包括计算不同底数的对数之间的关系、化简复杂的对数表达式、解决指数方程、求解连续复利问题以及在编程中的应用。

对数底数转换公式对数底数转换公式是数学中常用的一种方法，它可以将一个对数的底数转换成另一个底数的对数。

在解决数学问题时，我们经常会遇到需要不同底数的对数进行运算的情况，这时候就需要用到对数底数转换公式。

对数底数转换公式的表达方式如下：logₐb = logₐc * log_cb其中，logₐb表示以a为底数的b的对数，logₐc表示以a为底数的c的对数，log_cb表示以c为底数的b的对数。

这个公式可以帮助我们将一个对数的底数转换成另一个底数的对数。

为了更好地理解对数底数转换公式，下面我们通过几个实际的例子来进行说明。

例子1：假设我们需要计算以10为底数的1000的对数，但是我们只知道以2为底数的1000的对数。

这时候，我们可以利用对数底数转换公式来进行计算。

根据对数底数转换公式，我们可以将以10为底数的1000的对数转换成以2为底数的1000的对数。

首先，我们需要知道以2为底数的10的对数，我们可以使用换底公式来计算log₂10：log₂10 = log₁₀10 / log₁₀2 ≈ 3.32接着，我们将以10为底数的1000的对数转换成以2为底数的1000的对数：log₁₀1000 = log₂1000 * log₁₀2 ≈ 9.97所以，以10为底数的1000的对数约等于9.97。

例子2：假设我们需要计算以e为底数的100的对数，但是我们只知道以10为底数的100的对数。

这时候，我们同样可以利用对数底数转换公式来进行计算。

我们需要知道以10为底数的e的对数，我们可以使用换底公式来计算log₁₀e：log₁₀e = 1 / logₑ10 ≈ 0.43接着，我们将以10为底数的100的对数转换成以e为底数的100的对数：log₁₀100 = logₑ100 * log₁₀e ≈ 4.61所以，以e为底数的100的对数约等于4.61。

通过以上两个例子，我们可以看到对数底数转换公式的实际应用。

它可以帮助我们在不知道一个底数的对数的情况下，通过已知底数的对数来计算出所需底数的对数。

对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。

/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

§2.2.1 对数的运算性质及换底公式三维目的：（1）理解对数的运算性质；（2）会用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

教学重点：对数的运算性质； 难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用． 一、【复习回顾】、（预习教材P 64~ P 68，找出疑惑之处） 1、对数的定义：2．指数运算法则：)_______()(),______()(),_____(R n ab R n m a R n m a a n n m n m ∈=∈=∈=⋅ )()(),()(),(R n b a ab R n m a a R n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m －n＝__________.解：43 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m －n＝a 2m a n ＝(a m )2a n ＝223＝43.二、【讲授新课】：1、对数的运算性质：(a>0，a≠1，M>0，N>0) （1）log a (MN)＝log a M ＋log a N ，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．（2）log a MN＝log a M －log a N ，即两个正数的商的对数，等于同一底数被除数的对数减去除数的对数．（3）log a M n＝n·log a M ，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． 证明：①设a log M=p, a log N=q 由对数的定义可以得：M=p a ，N=q a∴MN= p a q a =qp a+ ∴a log MN=p+q ，∴ a log MN=a log M + a log②设a log M=p ，a log 由对数的定义可以得M=p a ，N=q a∴q p q pa aa N M -== ∴q p N M a -=log ∴N M N M a a a log log log -= ③设a l o g M=P 由对数定义可以得M=p a ,∴n M ＝np a ∴alog n M =np ，∴ a log n M =n a log M说明：1、上述证明是运用转化的思想，先将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式 2、对数的运算性质中必须注意适用条件：M>0，N>0，3、防止出现以下错误：log a (M±N)＝log a M±log a N ，log a (M·N)＝log a M·log a N ，log a M N ＝log a M log a N，log a M n ＝(log a M)n .4、 运算性质的正用和逆用：（1）对于同底的对数的化简常用方法是：(a )“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (b )“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．（2）对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．（3）对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．（4）利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算,降级运算，加快计算速度.（5）对数的运算性质主要用于化简与求值,它只适用于同底的对数的化简. 探究问题1：换底公式的推导 思考：2、换底公式：abb c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．证明：当a ＞0，且a ≠1时，设a b =N ， ① 则log a N=b. ② 在①的两边取以c （c ＞0，且c ≠1）为底的对数，则log c a b =log c N ， 即blog c a=log c N .∴b=a N c a log log . ③ 由②③得log a N=aNc c log log （c ＞0，且c ≠1）. 一般地，log a N=aNc c log log （a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；N ＞0），这个公式称为换底公式.利用换底公式推导下面的结论：（1）b mnb a n a m log log =； （2）ab b a log 1log =即：1log log =⋅a b b a， 推广：1log log log =⋅⋅a c b c b a换底公式的主要用途在于将一般的对数转化为常用对数或自然对数或其他同一底数的对数,这在计算和求值方面很有用处. 6．对换底公式的两点说明（1）作用：换底公式的主要用途在于将一般的对数转化为常用对数或自然对数或其他同一底数的对数,这在计算和求值方面很有用处. （2）利用换底公式计算、化简、求值问题的两种思路一是先利用对数的运算性质进行部分运算,最后再换成统一底计算. 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、通分、求值. 例1计算：（1）9log 27； （2）827log 9log 32⋅242log 16log 16log 4求与的值由242log 16log 16log 4= 抽象推广到一般情况可得重要的对数换底公式 ()()238272..1log 3log 22log 9log 32⋅⋅例利用对数的换底公式求下列各式的值练习：例3 已知 log 2 3 = a ， log 3 7 = b ,用 a, b 表示log 4256例4 计算4219432log 2log 3log -⋅练习三、例1 、用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：log )2(;(1)log z xya a 解：（1）zxya log =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z（2）32log zyx a =a log （2x 3log )zy a -= a log 2x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-例2、计算（1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×52）， （4）lg 5100解：（1）5log 25= 5log 25 （2）4.0log 1=0（3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+2log 52= 2×7+5=19（4）lg 5100=52lg1052log10512==变式训练、计算：(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2.1lg 10lg 38lg 27lg -+(1)解法一：lg14-2lg 37+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(23×2)=lg2+lg 7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0解法二：lg14-2lg 37+lg7-lg18=lg14-lg 2)37(+lg7-lg18=lg01lg 18)37(7142==⨯⨯ 23lg 23lg 53lg 3lg 9lg 243lg )2(25===1023lg)10lg(32lg )3lg(2.1lg 10lg 38lg 27lg )3(2213213⨯=+=-+212lg 23lg )12lg 23(lg 23=-+-+=例3、20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M=lgA-lgA 0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。

对数变形常用公式及变形技对数运算是高中数学中常用的运算，也是高考要求掌握的一个内容，更是培养学生的数学转化意识的重要载体。

因此，学好本部分内容，对学生的学习是很有帮助的。

对数计算常用的四组公式：( 一) 互化公式：a x=NlogaN=x(二)性质公式：log a1=0,log a a=1,a logaN=N(三)运算公式：积的对数公式：logₐ(MN)=logₐM+logₐN商的对数公式：logαMN=logαM−logαN幂的对数公式：loga M21=nlog a M(四)换底公式：log a b=log c blog c a一个常用结论: 若xy=1, 且 x>0,y>0, 则logax=1-logay【典型例题】例1.若2ᵃ=5ᵇ=10,则1a +1b=¯分析：根据问题，需要将a，b解放出来，方法就是通过对数互化，将指数变为对数。

为了便于求和，最好把所求用同一个底数表示。

解: 对2°=10 两边取常用对数, 即得alg2=1, 因此1a =lg2,同理1b=lg5所以1a +1b=lg2+lg5=1例2.已知log₁₈9=a,18ᵇ=5,求log₃₆45解：由18ᵇ=5得log185=b,log3645=log1n45log1n36而log₁₈45=log₁₈5+log₁₈9=a+blog₁₈36=log₁₈9+2log₁₈2=log₁₈9+2(1−log₁₈9)=2−b所以log3645=a+b2−b总结：本题在求log₁₈2时利用了结论: 若xy=1, 且x>0,y>0, 则logₐx=1−logₐy.。

4.3.2对数的运高一数学复习知换底公式及应数的运算(第2课时)
复习知识讲解课件
式及应用问题
课时学案
探究
1
(1)
换底公式的本质是化异底为数或自然对数，解决一般对数的求值问题(2)
利用换底公式化简、求值的一般思路 异底为同底，也可以将一般对数化为常用对问题．
般思路：
探究2 利用对数式与指数式互化求值(1)在对数式、指数式的互化运算中，则，尤其要注意条件和结论之间的关系，(2)对于连等式可令其等于k (k >0，且由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数
化求值的方法：
，要注意灵活运用定义、性质和运算法，进行正确地转化．
且k ≠1)，然后将指数式用对数式表示，再的对数，从而使问题得解．
探究3 关于对数运算在实际问题中的
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题代入，最后利用对数运算性质、换底公式进(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数运算，从而简化复杂的指数运算．
题中的应用： 先将题目中数量关系理清，再将相关数据公式进行计算．
可将指数式利用取对数的方法，转化为对
课 后 巩 固。