对数函数换底公式.ppt

4．利用换底公式求值： 2 (1)log54· log85＝ 3 .
10 (2)log89· log2732＝ 9 .
[解析]
lg4 lg5 2 (1)原式＝ · ＝ . lg5 lg8 3
lg9 lg32 2lg3 5lg2 10 (2)log89· log2732＝lg8×lg27＝3lg2×3lg3＝ 9 .
先利用换底公式化成同底的对数，然后根据对数的运算法则 求解．
[解析]
解法一：log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
log1845 log189×5 log189＋log185 ∴log3645＝log 36＝ ＝ log1818×2 1＋log182 18 a＋b ＝ 18＝2－a. 1＋log18 9 a＋b
logcb 2． 换底公式： logab＝ (其中 a>0 且 a≠1， c>0 且 c≠1， logca b>0)． 3．由换底公式可得： 1 (1)logab＝log a(a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1)． b
n (2)logambn＝ m logab(其中 a>0 且 a≠1，b>0)
思路方法技巧
命题方向 1 换底公式的应用
[例 1]
1 1 1 (1)计算 log2 · log3 · log5 . 25 8 9
(2)若 log34· log48· log8m＝log42，求 m 的值． [分析] (1)将底统一成以 10 为底的常用对数； (2)等式左
边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容 易进行约分求解 m 的值．
lg27 lg33 3lg3 (2)解法一： (换成以 10 为底)： log927＝ lg9 ＝lg32＝2lg3＝ 3 2.

所以 log3645＝log2×18(5×9) ＝log2×1818a＋b ＝(a＋b)·log2×1818.
第十二页，共31页。
又因为 log2×1818＝log18118×2 ＝1＋l1og182＝1＋lo1g18198 ＝1＋1－1log189＝2－1 a， 所以原式＝a2＋ －ba.
第十三页，共31页。
第九页，共31页。
1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对 数的底越小越便于化简，如 an 为底的换为 a 为底．
2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb； loganbm＝mn logab.
第十页，共31页。
[再练一题] 1．化简：(log43＋log83)(log32＋log92) 【解】 原式＝llgg34＋llgg38llgg23＋llgg29 ＝2llgg32＋3llgg32llgg23＋2llgg23 ＝56log23·32log32＝54.
第三十一页，共3解答】
(1)log1627log8132＝llgg
2176×llgg
32 81
＝llgg 3234×llgg 2354＝34llgg 32×54llgg 23＝1156.
(2)∵log23＝a，则1a＝log32，又∵log37＝b，
∴log4256＝lloogg335462＝lologg3737＋＋lo3g·l3o2g＋321＝aba＋b＋a＋3 1.
法二：∵18b＝5， ∴log185＝b， ∴log3645＝lloogg11884356＝lloogg118854××99 ＝2lloogg118852＋＋lloogg118899＝2log18a19＋8＋blog189 ＝2－2loga1＋89b＋log189＝a2＋－ba.

(2)设 3x＝4y＝36，求2x＋1y的值．
【解析】 (1)lg 5＝lloogg66150＝log62＋q log65＝p＋q q. (2)∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴1x＝log1336＝log13636＝log363，
log363
1y＝log1436＝log13636＝log364，
方法归纳,
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练 2 (1)已知 log62＝p，log65＝q，则 lg 5＝________；(用 p，q 表示)
类型二 用已知对数表示其他对数 [例 2] 已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645.
【解析】 法一：因为 log189＝a，所以 9＝18a. 又 5＝18b， 所以 log3645＝log2×18(5×9) ＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818. 又因为 log2×1818＝log18118×2 ＝1＋l1og182＝1＋lo1g18198
3.4.2 换底公式
【课标要求】 1.理解换底公式的证明过程，会用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数，能正确运用换底公式计算一般对数. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来，进行对数运 算．
|新知预习|
对数换底公式 logbN＝llooggaaNb (a，b>0，a，b≠1，N>0)， 特别 logba＝log1ab(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．
A．18

分析(2)：换成常用对数
注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还 要能逆用换底公 ．
例4 己知log189=a，10b=5，求log3645的值，(用a、 b表示．) 分析：因为己知对数与幂的底数都是18，所以，先 将需求值的对数化为与己知对数同底后再求解．
∴log182=1-a． ∵18b=5， ∴log185=b．
师：很好，还有其它解法吗？从底数考虑能否将“不同底” 转化为“同底”进而利用对数函数单调性，比较其大小呢？ 令log35=b1，log25=b2(只需比较b1、b2大小)．
两边同取常用对数得： b1log3=lg5，b2lg2=lg5．
在等式(*)中，从左到右，对数的底数变了，原对 数等于原真数的以10为底的对数除以原底数以10 为底数的对数所得的商，
注：一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、底数 的特征，换成其它合适的底数．
分析：先利用对数运算法则和换底公式进行化简，然后 再求值．
并应注意其在求值或化简中的应用． 例3 求证：logxy· logyz=logxz 分析(1)：注意到等式右边是以x为底数的对数，故 将logyz化成以x为底的对数．
1．19
换底公式
一、素质教育目标 (一)知识教育点 对数的换底公式及推导． (二)能力训练点 1．理解对数换底公式的意义． 2．掌握换底公式的推导方法． 3．学会换底公式在计算、恒等变形中的应用． 4．提高应用化归思想的意识． 二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：换底公式． 2．教学疑、难点：公式的推导及运用．
三、课时安排 本课题安排1课时． 四、教学设计 (一)复习引入新课 提问：比较下列两组值的大小：
生：第1题是“底”同“真”不同的两个对数值，可利 用对数函数

04 对数函数与其他函数的比 较
与指数函数的比较
指数函数和对数函数是互为反函数， 它们的图像关于直线y=x对称。
当a>1时，指数函数和对数函数都是 增函数，但它们的增长速度不同，对 数函数的增长速度更慢。
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图 像总是经过点(0,1)，而对数函数 y=log_a x（a>0且a≠1）的图像则 总是经过点(1,0)。
对数函数和三角函数的应用领域也不同。对数函数主要用于解决与对数运算相关的问题，如 对数的换底公式、对数的运算性质等；而三角函数则主要用于解决与三角形的边角关系、周 期性等问题相关的问题。
05 对数函数的学习方法与技 巧
学习方法
1 2 3
理解对数函数的定义
首先需要理解对数函数的基本定义，包括对数函 数的定义域、值域以及其变化规律。
对数函数ppt课件
目录
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 对数函数的学习方法与技巧
01 对数函数的定义与性质
定义
自然对数
以e为底的对数，记作lnx，其中e是自然对数的底数，约等于 2.71828。
常用对数
以10为底的对数，记作lgx。
当0<a<1时，指数函数和对数函数都 是减函数，但它们的下降速度也不同， 对数函数的下降速度更快。
与幂函数的比较
幂函数y=x^n（n为实数）的图像在 第一象限和第三象限都存在，而对数 函数y=log_a x（a>0且a≠1）的图像 只存在于第一象限。
幂函数的增长速度与指数和对数函数 不同，当n>0时，幂函数的增长速度 比对数函数更快；当n<0时，幂函数 的增长速度比对数函数更慢。

不是同底数对数，要考虑使用换底公式化为同底数对数再计算．
(1)已知，，试用，表示．(2)设，求的值．
解：(1)由，得．又，则．(2)由，得，，由换底公式得，，则．
技巧总结：(1)用已知对数表示其他对数的思路：①统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种问题的关键；②分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值．(2)指数式的连等式求值方法：第一步：可令连等式等于k（k>0），然后将指数式用对数式表示；第二步：由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数；第三步：运用对数的运算性质化简求值．
第四章 对数运算与对数函数
换底公式
1．通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算．2．运用对数运算性质解决有关问题．
对数运算的性质与换底公式的应用．
灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值．
有些计算器上只有常用对数键“LOG”(即“lg”)和自然对数键“LN”(即“ln”)．对一般的底数，且和，要计算 ，必须将它转换成常用对数或自然对数．如何转换呢?
计算：（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1）；（2）；（3）；（4）．
分别计算下列各式，你能得出什么结论?（1）；（2）；（3）．
解：（1）；（2））；（3）
通过观察得出结论：且，，．
设0，0，0且，，利用对数的换底公式证明：（1）;（2）．
设，是正数，且，求的值．
证明：（1）；（2）．
解：因为0，0，，所以 因为，所以， 即，所以，所以．
证明：令，则，， 计算，故，等式两边同时取对数： ， 所以．
可用代数法进行证明．
计算：（1）；（2）；（3）（0，0，且，）．
解： 根据对数的换底公式，得（1）；（2）；（3）.

变式体验 3 已知 lg2＝0.3010，lg3＝0.4771， 求 lg 45.
解：lg 45＝12lg45＝12lg920＝12(lg9＋lg10－lg2)＝12 (2lg3＋1－lg2)＝lg3＋12－12lg2
＝0.4771＋0.5－0.1505＝0.8266.
类型四 对数的实际应用问题 [例 4] 声音的强度 D(dB)由公式 D＝10lg(10I－16)给出， 其中 I 为声音能量(W/cm2)，如果能量小于 10－16W/cm2 时， 人听不见声音．求： (1)人低声说话(I＝10－13W/cm2)的声音强度； (2)平时常人交流(I＝3.16×10－6W/cm2)的声音强度； (3) 听 交响音 乐会 时， 坐在 铜管 乐前 (I＝ 5.01×10－ 6W/cm2)的声音强度．
[分析] 本题考查对数在实际问题中的应用．将所 给数据代入公式进行计算即可．
[解] (1)人低声说话时的声音强度： D＝10lg1100－ －1136＝10lg103＝30(dB)． (2)平时常人交流的声音强度： D＝10lg3.1160×－1160－6＝10lg(3.16×1010) ＝10(lg3.16＋10)≈105(dB)．
n个
(2)不正确．∵(logax)n＝(logax·logax·…·logax)，而 logaxn ＝nlogax＝logax＋logax＋…＋logax，∴一般两式不相等．
n个
自我检测 1．若 a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子 中正确的个数是( ) ①logax·logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； ③logaxy＝logax÷logay； ④loga(xy)＝logax·logay.

典例精讲：题型二：运用 对数的运算性质求值
【例2】计 算： (1); (3) (4) (2)；
[思路分析]运用对数运算性质求值时，当底数相同， 则直接利用对数运算性质求解，若底数不同，则借 助对数运算性质和换底公式，化式子为同底的形式 ，同时尽可能使真数只有一种或少数几种(通常为
典例精讲：题型二：运用 对数的运算性质求值
探究 点2
换底公式
换底公式用途和 本质: (1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常 用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决 对数求值的问题． (2)换底公式的本质是化为同底，这是解决对数 问题的基本方法．
典例精讲：题型一：对 数的运算性质
【例 1】 用 logax ， logay ， logaz 表
第三章 指数函数和对 数函数
§4 对数
第2课时 对数的运算性质和 换底公式
高中数学必修1· 精品课
学习目标
1 ．加深对数的
概念. 2．理解对数运算性质的推导过程，掌握对数的运算 性质、换底公式. 3．能熟练运用对数的运算性质进行 化简求值．
引入 课题
在前面，我们已经知道对数式 logaN ＝ x 是由
探究 点2
换底公式
问题 结合对数的定义，你能推导出对数的 1: 换底公式吗? (a>0,且a≠1; c>0,且 c≠1; b>0)
证明：设， 由对数的定义可得：
两边取以c为底的对数得： ∴
即证得 ∴
探究 点2
换底公 式:
换底公式 (a>0,且a≠1; c>0,且 c≠1; b>0)
即：一个对数可以用同底数的两个对数 的商来表示． 推论 (1)bnlogab； logba＝1)． (2)logab＝ (或logab·

B．aabb＋＋13
C．abb＋＋31
D．aabb－ ＋31
[答案] A
[解析] ∵log23＝llgg32＝a，log37＝llgg73＝b， ∴ab＝llgg32·llgg73＝llgg27. ∴lg7＝ablg2. ∴log1456＝llgg5164＝llgg77＋＋3llgg22 ＝aabb＋ ＋31llgg22＝aabb＋ ＋31.
[答案] B
[解析] ∵p＋q＝log72＋log75＝log710＝lg17，
q＝log75＝llgg57，∴p＋q q＝llgg57·lg7＝lg5.
4．若log23·log325·log5m＝2，则m＝________. [答案] 2
[解析]
∵log23·log325·log5m＝
lg3 lg2
对数换底公式的综合应用
值；
(1)已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645的
(2)设 3x＝4y＝6z>1，求证：1z－1x＝21y. [分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中 可用整体代换法求出x，y，z，并结合换底公式与对数的运算性 质证明．
[解析] (1)由 18b＝5，得 log185＝b， ∴log3645＝lloogg11884356＝log11＋85＋loglo18g2189 ＝1＋1b－＋laog189＝a2＋ －ba. (2)设 3x＝4y＝6z＝t，∵3x＝4y＝6z>1， ∴t>1，∴x＝llgg3t ，y＝llgg4t ，z＝llgg6t ， ∴1z－1x＝llgg6t －llgg3t ＝llgg2t ＝2lglg4t＝21y. ∴1z－1x＝21y.
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修1

(0,+∞)
.
(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
a>1
性质
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
性质
(3)过定点(1,0),即当x=1时,y=0
(4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0
(5)在定义域(0,+∞)上是增函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值
②自然对数:当对数的底数a=
记为 ln N .
e 时,通常称之为自然对数,并把logeN简
2.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2)loga1= 0
,loga a= 1
;
(3)对数恒等式: lo g =N (a>0,a≠1,N>0).
3.对数的运算性质
(1)若 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,b∈R,那么:①loga(M·N)= logaM+logaN ;
2.若a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0,则logab·logbc=logac.(
)
3.若函数 g(x)的最大值为 m,则函数 f(x)=log 1 g(x)的最大值是 log 1 m.
2
4.函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在其定义域上单调递增.(
2
)
( × )
题组二 双基自测
2
能量为E1,门源县地震所释放的能量为E2, 则 的近似值为(
1
A.15
B.20
C.32