2018年高中数学高考总复习：统计与概率理科解析版(精炼基础,链接高考)
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统计与概率理科解析版（精炼基础，链接高考）
例题
某小学对五年级的学生进行体质测试，已测得五年级一班30名学生的跳远成绩(单位：cm)用茎叶图统计如图．
男生成绩在175cm以上(包括175cm)定义为“合格”，成绩在175cm以下(不包括175cm)定义为“不合格”，女生成绩在165cm以上(包括165cm)定义为“合格”，成绩在165cm以下(不包括165cm)定义为“不合格”．
（1）求男生跳远成绩的中位数；
（2）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生的人数；
（3）若从男、女生测试成绩“合格”的同学中选取2名参加复试，用X表示男生被选中的人数，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）男生跳远成绩的中位数为
176＋178
2
＝177(cm)．
（2）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
5
30
＝
1
6
，根据茎叶图，女生共18人，
∴抽取的女生有18×1
6
＝3(人)．
（3）依题意，男、女生测试成绩“合格”的分别有8人、10人．
X 的取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 210
C 218＝5
17，P (X ＝1)＝C 18C 110
C 218＝80153
，P (X ＝2)
＝C 28C 218＝28
153
，
X 的分布列为：
∴E (X )＝8
9
．
【答案】（1）177(cm)；（2）3；（3）8
9
．
近年来高考分析
纵观近几年全国卷的命题，概率统计呈现以下特点： 1．题量稳定：题量为2题，约占全卷题量的9%．
2．题型稳定：题型为1道客观题和1道解答题，客观题主要考查随机事件的概率计算，统计图表的分析判断，解答题主要考查数据的整理分析，用样本估计总体，随机变量的．
3．分值稳定：分值为17分，1道客观题5分，1道解答题12分．
4．难度稳定：难度中等或中等偏易，选择题位于前5题位置，填空题位于前2题位置，解答题位于前3题位置．
5．综合性强：客观题经常将古典概型与计数原理、排列组合知识结合起来考查，
将几何概型与简单线性规划、定积分知识结合起来考查．解答题经常是以抽样问题为背景，以频数分布表、频率分布直方图、茎叶图、散点图等统计图表为载体，以能力为立意，将统计知识与概率知识、函数知识结合起来的综合题． 概率统计内容主要位于必修3和和选修2-3．
规范训练
综合题
1．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序；通过预赛，选拔出了甲、乙等五支队伍参加决赛．
（1）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望．
【解析】（1）设事件A 为“甲乙排在前两位”，则()()()23
23
5
5A A 1A 10
n A P A n ⋅===Ω； （2）X 可取得值为0,1,2,3，
()23
23
554A A 20A 5P X ⋅⋅===
， ()23
23
553A A 31A 10P X ⋅⋅===
， ()2323
5
52A A 12A 5
P X ⋅⋅===， ()2323
5
51A A 13A 10
P X ⋅⋅===， ∴X 的分布列为：
∴2311
()01231310510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．
【答案】（1）1
10
，（2）1．
2．为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动．这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人．求：
（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率； （2）选出的3人中，语文教师人数X 的分布列和数学期望．
【解析】（1）设事件i A 为“3人中有i 名语文教师”，j B 为“3人中有j 名数学教师”，事件A 为“语文教师人数多于数学教师人数”， ∴
()()()()()1221213
33
3334310202133333
10101010
C C C C C C C C C C C P A P A B P A B P A B P A =+++=+++9912131
120120
+++=
=．
（2）语文教师人数X 可取的值为0,1,2,3，依题意可得：()10,3,3X H :，
()37310C 35
0C 120
P X ===
，
()1237
310C C 631C 120
P X ===
， ()21
37310C C 21
2C 120
P X ===
，
()33310C 1
3C 120
P X ===
， ∴X 的分布列为：
P
35
120
63
120
21
120
1
120
∴()35632119
0123
12012012012010
E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．
【答案】（1）31
120；（2）9
10
．
3．某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲，乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．
（1）求甲，乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[)
160,170（单位：cm）内的运动员人数b；
（2）在甲，乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；
（3）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．
【解析】（1）由频率直方图可知：成绩在以190cm 以上的运动员的频率为
0.005100.05⨯=， ∴全体运动馆总人数2
400.05
a =
=（人）， ∴成绩位于[)160,170中运动员的频率为0.03100.3⨯=，人数为400.312⨯=， 由茎叶图可知：甲队成绩在[)160,170的运动员有3名， ∴1239b =-=（人）；
（2）由频率直方图可得：180cm 以上运动员总数为：
()0.0200.005104010+⨯⨯=，
由茎叶图可得，甲乙队180cm 以上人数恰好10人，所以乙在这部分数据不缺失，且优秀的人数为6人，
设事件A 为“至少有1人成绩优秀”，事件B 为“两人成绩均优秀”，
∴()()
24
210C 1311C 15P A P A =-=-=，()2
6210C 1C 3
P AB ==，
∴()()()1155|==31313
P AB P B A P A =
⋅； （3）X 可取的值为0,1,2，
∴()024226C C 10C 15P X ===，()114226C C 81C 15P X ===，()2042
26C C 622=C 155
P X ===，
∴X 的分布列为：
∴()1824012151553
E X =⨯
+⨯+⨯=．
【答案】（1）40a =，9b =；（2）
513；（3）4
3
．
4．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ．
【解析】（1）依题意可得：参加甲游戏的概率为121
63
P ==，参加乙游戏的概率为24263
P =
=， 设事件i A 为“有i 个人参加甲游戏”，∴()44
12C 33i
i
i i P A -⎛⎫
⎛⎫
= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴()2
2
224128C 3327P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
； （2）设事件B 为“甲游戏人数大于乙游戏人数”，∴34B A A =U ，
∴()()()()3
4
3434344
41211C C 3339
P B P A A P A P A ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫==+=⋅+= ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭U ； （3）ξ可取的值为0,2,4，
∴()()2
2
2
24
1280C 3327P P A ξ⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()()()33
1313441212402C C 333381P P A P A ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
()()()44
04044
421174C C 3381
P P A P A ξ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，
∴()8401714802427818181E ξ=⨯
+⨯+⨯=． 【答案】（1）827；（2）19；（3）148
81
．。
