函数的单调性与导数导学学案

函数的单调性与导数导学案课题函数的单调性与导数学习目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系；2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法；2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

学习重点 探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

学习难点 探索函数的单调性与导数的关系。

教学方法问题启发式学生学习过程师生合作探究复习 1：导数的几何意义 复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法（图像法，定义法）问题提出：判断y=x 2的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢？探究任务一：函数单调性与其导数的关系：问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像。

通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最尝试用图像和定义去解决。

【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地， 。

（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地， 。

高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗?问题2：结合函数x y =，2x y =，3x y =，xy 1=，观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？探究任务二：()0'=x f 与函数单调性的关系： 问题5：若函数()x f 的导数()0'=x f ，那么()x f 会是一个什么函数呢？问题6：在区间()b a ,上()0'≥x f ，则函数()x f 区间()b a ,必为增函数，你认为这句话对吗？请说明理由。

函数的单调性与导数导学案【学习目标】1、了解可导函数的单调性与其导数的关系.2、掌握利用导数判断函数单调性的方法.【学习重难点】教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 【学法指导】运用导数这个工具研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的应用，并与以前知识相比较，体会导数在研究函数中优越性。

知识链接一、【自主学习】1．增函数、减函数的定义一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．1.观察23页图1.3.2的四副图，完成下列表格。

2、以小组为单位完成上列表格二【合作探究】1、学生以小组为单位讨论上述表格函数的单调性与其导数的正负的关系：2、抽生回答3、师总结：在区间[a’b]内，若f '(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f '(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减。

备注：f '(x )＞0是函数单调递增的充分不必要条件 f '(x )＜0是函数单调递减的充分不必要条件。

f '(x )》0f '(x )《0例．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．师扮演过程：解：f (x )'＝6x 2－12x ．令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2．因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数， 当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2． 因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 师总结：利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．练习1：教材P24面的例2 【课堂小结】1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法. 【达标检测】1、求下列函数的单调区间．(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝12x.2、已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1） 求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。

导数与函数单调性【课标要求】1．掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 【核心扫描】1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点) 2．利用导数证明一些简单不等式．(难点) 3．常与不等式、方程等结合命题教学过程： 一、复习引入、回顾思考 1.导数的几何意义: 2.常见函数的导数公式：3.求导法则：4.思考：（1）到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？（2）函数单调性的定义是什么？怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（3）由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？（4）还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？ 有没有捷径？ 5．探究活动、观察与表达通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？ 填表（表格1）填表（表格2）32()233616f x x x x =--+二、建构数学探究1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y =f (x )的切线的斜率就是函数y =f (x )的导数. 从函数342+-=x x y 的图象可以看到：探究2. 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系结论：一般地,设函数y ＝f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间注：三、数学运用命题角度1 求不含参数的函数的单调区间 例1：求函数f(x)=2x 3-6x 2+7的单调区间.思考与感悟：用导数法求函数单调区间的一般步骤：（1） （2） （3） （4）例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 2－ln x ；(2)f(x)＝1-x e x；题组训练：求下列函数单调区间(1) y ＝e x －x ＋1. （2）f (x )＝3x 2－2ln x);,0(,sin )( )3(π∈-=x x x x f 32(4) ()2324 1.f x x x x =+-+;ln )5(x x y =命题角度2 应用导数信息确定函数大致图象例3已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状. (选讲)命题角度3利用导数判断函数的单调性例4 证明：函数f(x)＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．四、巩固训练五、课堂小结：通常对于哪些函数我们用“导数法”来判断它们的单调性比较简便？六、课后作业：教案精品文档。

《导数与函数的单调性》导学案一、学习目标1、理解导数的概念，掌握导数的几何意义。

2、掌握利用导数判断函数单调性的方法。

3、能够运用导数求函数的单调区间。

二、学习重难点1、重点（1）导数的定义及几何意义。

（2）利用导数判断函数的单调性。

2、难点（1）导数概念的理解。

（2）导数与函数单调性的关系的推导。

三、知识回顾1、函数单调性的定义设函数\（f(x)＼）的定义域为\（I\），如果对于定义域\（I\）内某个区间\（D\）上的任意两个自变量的值\（x_1\），＼（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼）（或\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼）），那么就说函数\（f(x)＼）在区间\（D\）上是增函数（或减函数）。

2、常见函数的单调性（1）一次函数\（y ＝ kx ＋ b\）（＼（k ≠ 0\）），当\（k ＞ 0\）时，函数在\（R\）上是增函数；当\（k ＜ 0\）时，函数在\（R\）上是减函数。

（2）二次函数\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a ≠ 0\）），当\（a ＞ 0\）时，函数在\（＼left(＼infty, ＼dfrac{b}｛2a}＼right\）上是减函数，在\（＼left\dfrac{b}｛2a}，＋＼infty\right)＼）上是增函数；当\（a ＜ 0\）时，函数在\（＼left(＼infty, ＼dfrac{b}｛2a}＼right\）上是增函数，在\（＼left\dfrac{b}｛2a}，＋＼infty\right)＼）上是减函数。

四、新课导入在前面的学习中，我们主要通过函数的定义和图象来研究函数的单调性。

但是，这种方法对于一些复杂的函数来说，可能不太直观和方便。

那么，有没有一种更有效的方法来判断函数的单调性呢？这就是我们今天要学习的利用导数来研究函数的单调性。

五、导数的概念1、定义设函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处及其附近有定义，如果\（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）与\（＼Delta x\）的比值\（＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x} ＝＼dfrac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）当\（＼Delta x ＼to 0\）时的极限存在，那么这个极限值称为函数\（y ＝f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数，记作\（f'（x_0)＼）或\（y'｜＿{x ＝ x_0}＼）。