Mohr-Coulomb屈服准则在岩土工程中的应用

mohr-coulomb屈服准则Mohr-Coulomb屈服准则是材料力学中广泛采用的描述材料断裂的准则之一。

它是由恩斯特·莫尔(Ernst Mohr)和查尔斯·奥古斯特·德·科尔朗(Charles-Auguste de Coulomb)两位科学家在19世纪提出。

该准则适用于介质中某一位置的剪应力和法向应力在破坏前正比例关系的情况。

Mohr-Coulomb屈服准则的本质是通过实验数据来观察和定义材料的破坏条件。

其基本形式为：τ = c + σ tan(φ)其中，τ为剪应力，c为固有抗剪强度，σ为法向应力，φ为内摩擦角。

该公式可以看作一个描述材料在断裂前允许承受的最大剪应力的方程式。

其中，φ代表着材料的抗剪性能，表明了材料内摩擦的强度，是一个常数。

c代表着材料在不考虑法向应力作用下的抗剪强度，这也被称为剪切强度，表示了材料在无侧向应力作用下的抗剪性能。

c的大小受到岩土工程中土层的一些影响因素的影响，例如土壤颗粒抗压强度、含水量、荷载历史等。

σ则代表着材料内部的法向应力，这种应力对于材料的抗剪强度具有重要的影响。

相对应的，不同的材料在破坏前提供的抗压强度会有所不同，这也是材料在不同应力作用下的关键区别。

破坏准则是描述材料在何种条件下会发生破裂的方程式。

Mohr-Coulomb屈服准则是一种可视化的、对工程和材料科学来说都是有效的准则。

它可以用于实际情况的分析和应用，以便为工程和材料科学提供一种可预测性更强的模型。

总的来说，Mohr-Coulomb屈服准则在工程和地质科学中运用广泛，很多工程都涉及到岩土工程的问题，而岩土力学研究所需要的工具就有考虑与这种准则相关的参数。

这也是该准则得到广泛应用的原因之一。

五种常见的屈服准则及其优缺点、适用范围屈服准则表示在复杂应力状态下材料开始进入屈服的条件，它的作用是控制塑性变形的开始阶段。

屈服条件在主应力空间中为屈服方程。

一、几种常用的屈服准则五种常用的屈服准则，它们分别是Tresca准则，Von-Mises准则，Mnhr-Coulomb准则，Drucker Prager准则，Zienkiewicz-Pande准则。

其中后三种适用于混凝土和岩土材料的准则。

1. Tresca屈服准则当最大剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。

这就是Tresca屈服条件，也称为最大剪应力条件。

规定σ1≥σ2≥σ3时，上式可表示为：如果不知道σ1、σ2、σ3的大小顺序，则屈服条件可写为：换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。

或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。

所以Tresca屈服准则又称为最大切应力不变条件。

这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。

在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。

Tresca屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响。

2. Mises屈服准则当与物体中的一点应力状态对应的畸变能达到某一极限值时，该点便产生屈服，其表达式为：或其中，k为常数，可根据简单拉伸试验求得：或根据纯剪切试验来确定：它所代表的屈服面是一个以空间对角线为轴的圆柱体，在平面上屈服条件是一个圆。

这时有：换言之当等效应力达到定值时，材料质点发生屈服，该定值与应力状态无关。

或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料变形时的性质，而与应力状态无关。

Mises屈服准则的物理意义：当材料的单位体积形状改变的弹性能达到某一常数时，质点就发生屈服。

故Mises屈服准则又称为能量准则。

3. Mnhr Coulomb准则Tresca屈服条件和Mises屈服条件主要是对金属材料成立的两个屈服条件，但是这两个屈服条件如果简单地应用于岩土材料，会引起不可忽视的偏差。

第29卷第4期2010年12月世界地质GLOBAL GEOLOGYVol.29No.4Dec.2010文章编号：1004－5589（2010）04－0633－07Mohr-Coulomb 屈服准则在岩土工程中的应用刘英1，2，于立宏31．吉林大学建设工程学院，长春130026；2．长春万科房地产开发有限公司，长春130031；3．中国水电顾问集团北京勘测设计研究院，北京100024摘要：对Tresca 屈服准则、Mises 屈服准则、双剪屈服准则及Mohr-Coulomb 屈服准则的屈服线、屈服应力进行分析比较，找出了各种屈服准则之间的差异。

探讨Mohr-Coulomb 屈服准则与其他屈服准则的关系，并确定Mohr-Coulomb 屈服准则在岩土工程中的安全性及岩土体破坏时的破裂面位置与滑移线之间的关系。

以亚碧罗水电站实测地应力为例，对实测地应力用不同的屈服准则进行分析，论证了Mohr-Coulomb 屈服准则的安全性及剪切破裂面与滑移线的差异。

关键词：Mohr-Coulomb 屈服准则；安全性；亚碧罗水电站；地应力；滑移线中图分类号：TV 698.11；TU 452文献标识码：Adoi ：10.3969/j.issn.1004-5589.2010.04.015收稿日期：2010-04-28；改回日期：2010-10-25基金项目：国家自然科学基金项目（40872170）Application of Mohr-Coulomb yield criterion ingeo-technical engineeringLIU Ying1，2，YU Li-hong31．College of Construction Engineering ，Jilin University ，Changchun 130026，China ；2．Changchun Vanke Co．Ltd ，Changchun 130031，China ；3．HydroChina Beijing Engineering Corporation ，Beijing 100024，ChinaAbstract ：The yield curves and yield stress of Tresca ，Mises ，Double shear and Mohr-Coulomb yield criteri-ons were discussed and compared to find the differences among them．The relation among Mohr-Coulomb yield cri-terion and the others were discussed ，and comfirmed the safety of Mohr-Coulomb yield criterion in geo-technical en-gineering and the relationships between fracture plane location and slip curves when the rock and soil fractured．The different yield criterions were analyzed and compared taking Yabiluo hydropower station geo-stresses for exam-ple ，and demonstrated the safety of Mohr-Coulomb yield criterion and the difference between failure surface and slip curves．Key words ：Mohr-Coulomb yield criterion ；safety ；Yabiluo hydropower station ；geo-stresses ；slip curves0引言随着岩土工程的发展，岩土材料的屈服准则得到了各界的关注。

灾害与防治工程2007年第1期(总第62期)Coulomb2Mohr屈服准则及其改进赵二平摘要:简要介绍了一下Coulomb2Mohr屈服准则的基本原理、内容及其在模型和算法中的优缺点,继而用等效Coulomb2Mohr屈服准则对Coulomb2Mohr屈服准则进行了修正,算例结果表明,算法更容易收敛,且边坡安全系数偏小,更利于工程设计的安全性。

关键词:Coulomb2Mohr;　屈服准则;　改进The Coulomb2Mohr Yield Criterion and Its AmeliorationZhao ErpingAbstract　Firstly,t his article int rodues t he basic p rinciple,content,advantages and disad2 vantages of t he Mohr2Coulomb yield criterion.Then,using t he equivalent Coulomb2Mohr yield criterion to modify Coulomb2Mohr yield criterion.By taking t he analysis of rock slope for example,we can find t hat t he algorit hm is more easily to be converged and t he slop safety factor calculated by adopting t he equivalent Coulomb2Mohr yield criterion is smaller and much better to design t he p roject.K eyw ords　Coulomb2Mohr;　yield criterio n;　amelioration1　Coulomb2Mohr屈服准则简介及优缺点评价Coulomb2Mo hr强度理论是Mohr强度理论的一个特殊情况。

岩土体材料特征的确定对于工程设计和施工具有重要意义。

Mohr-Coulomb 强度准则是一种广泛用于岩土工程领域的强度准则，该准则认为岩土体材料在达到其强度时，会发生剪切破坏或拉伸破坏。

本文将介绍一种基于Mohr-Coulomb 强度准则的岩土体材料特征确定方法与流程。

一、确定材料特征1. 获取岩土体材料的基本信息，包括颗粒级配、密度、含水量等。

这些信息可以通过试验或现场勘测获得。

2. 根据获取的基本信息，计算出材料的内摩擦角和凝聚力。

内摩擦角反映材料内部颗粒之间的摩擦阻力，凝聚力反映材料内部颗粒之间的粘聚力。

3. 根据计算出的内摩擦角和凝聚力，确定材料的Mohr-Coulomb强度参数，包括内摩擦角、凝聚力、弹性模量和泊松比等。

二、建立Mohr-Coulomb强度准则模型1. 基于Mohr-Coulomb强度准则，建立数学模型。

该模型可以表示为：σ=σ0+tan(45°+φ)×tan(45°+∅)×[σ]其中，σ为剪切强度，σ0为单轴抗压强度，φ为内摩擦角，∅为内聚力，[]为标准贯入试验锤击数或十字板剪切试验所确定的界限贯入深度。

2. 根据建立的数学模型，利用已知的材料特征参数进行计算，得到岩土体的Mohr-Coulomb强度准则参数。

三、应用Mohr-Coulomb强度准则进行工程设计和施工1. 在工程设计和施工过程中，可以利用Mohr-Coulomb强度准则对岩土体的稳定性进行分析和评估。

例如，在边坡工程中，可以利用该准则对边坡的稳定性进行计算和分析，以确定是否需要进行加固或支护措施。

2. 在施工过程中，可以利用Mohr-Coulomb强度准则对岩土体的开挖和支护方案进行优化。

例如，在隧道开挖过程中，可以利用该准则对开挖方案进行模拟和分析，以确定最优的开挖方式和支护措施。

3. 在工程监测中，可以利用Mohr-Coulomb强度准则对岩土体的变形和稳定性进行评估。

屈服准则对土质边坡稳定安全度计算的影响分析*董玉文1,2,　郭航忠3,　任青文1(1.河海大学　土木工程学院,江苏南京　210098;2.重庆交通学院　河海学院,重庆　400074;3.河海大学　水利水电工程学院,江苏南京　210098)摘要:分析了在应用有限元强度折减法计算土质边坡稳定安全度时,屈服准则对计算结果的影响。

M o-h r-Coulo mb准则和Drucker-P rager准则是岩土工程中较常用的屈服准则,计算结果表明M ohr-Cou-l o m b准则得出的安全度偏小,D r ucker-P rager准则与参数α和k的选取直接相关,其中用M ohr-Cou-l o m b内接圆及等面积圆得出的安全度比较合理;统一强度理论可以考虑岩土材料的中间主应力效应及拉压差效应,在边坡稳定分析中可以发挥材料的承载潜力。

关键词:屈服准则;强度折减有限元法;统一强度理论;边坡稳定分析;安全度中图分类号:TU457 文献标识码:A 文章编号:1006-7329(2006)03-0051-05Infl uence of Y i el d Cr iterion on Calcu l ati ng Safety D egree of Soil SlopeDONG Yu-w en1,2,GUO Hang-zhong3,REN Q ing-wen1(1.Co llege o f C iv il Eng inee ri ng,Hohai U niversit y,N an jing210098,P.R.Ch i na;2.D epar t m en t o f R iver and O cean Enginee ri ng, Chongqing Jiao tong Institute,Chongqi ng400074,P.R.China;3.Co ll ege o fW a ter Conse rvancy andH ydropow er Eng i neering,Hohai Un i ve r-sit y,N anjing210098,P.R.Ch i na)Abst ract:In co mpu ti n g safe t y deg ree o f t h e soil sl o pe stability by nonli n ea r FE M streng t h reduction m ethod,t h e infl u-ence o f y i e ld criterion on t h e calcu lati o n resu lts is ana l y zed.M ohr-Coulo m b and Drucker-Prager criteria ar e co mm on-l y used in c i v il eng i n ee ring.Ca lculation resu lts sho w t h at the safe t y degree using M ohr-Coulo m b criterion is s m a ll e r, w hich is rela t e d to t h e para m eters such asαand k w hen using D r ucke r-Prager criterion.The safety degree is mo r e rea-sonable whenαand k is co m puted by the circle connecting inner vertexes o fM ohr-Cou lo mb circle and by the circle w hose area is equa l to t h e area o fM ohr-Cou lo mb c irc l e.A t the sa m e ti m e,the unified str ength t h eo r y is used fo r sl o pe stabilit y analysis because it can r e flec t t h e e ffec ts o f the m iddle pri m ar y str e ss and the diffe r ence be t w een pu lling str eng t h and pressing streng t h.Results sho w tha t un ified streng th t h eo r y is useful for slope stabilit y ana l y sis and it can m ake the m a terial streng t h being u tilized fully.K eywords:y i e ld crit e rion;str eng t h reduction o f FE M;un ified streng th t h eo r y;stab ility ana l y sis o f slope;safe t y deg ree 边坡稳定分析是边坡设计的前提,也是经典土力学最早试图解决而至今仍未圆满解决的问题[1],解决这一问题必须先要查清坡体的地质状况并确定强度参数,同时又要有科学合理的分析方法。

第22卷 第2期 岩石力学与工程学报 22(2)：171～176 2003年2月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Feb.，20032001年4月30日收到初稿，2001年7月23日收到修改稿。

莫尔-库仑和霍克-布朗强度准则 用于评估脆性岩石动态强度的适用性赵 坚 李海波(新加坡南洋理工大学土木工程学院 639798 新加坡) (中国科学院武汉岩土力学研究所 武汉 430071)摘要 基于对新加坡Bukit Timah 花岗岩进行的一系列的动力实验，包括单轴压缩、三轴压缩、单轴拉伸和直剪实验，以及对这些实验结果的系统分析，检验莫尔-库仑准则和霍克-布朗准则用于评估岩石动态强度的适用性。

研究结果表明，在较低的围压条件下，岩石动态强度大致符合莫尔-库仑强度准则，且强度变化主要是由于粘聚力随加载速率变化引起的。

岩石动态强度更好地符合霍克-布朗强度准则，特别是在较高围压下(如大于100　MPa)。

关键词 岩石力学，岩石动态抗压强度，莫尔-库仑强度准则，霍克-布朗强度准则 分类号 TU 451 文献标识码 A 文章编号 1000-6915(2003)02-0171-06ESTIMATING THE DYNAMIC STRENGTH OF ROCK USING MOHR-COULOMB AND HOEK-BROWN CRITERIAZhao Jian 1， Li Haibo 2(1Shool of Civil Engineering ，Nanyang Technological University ， Singapore 639798) (2Institute of Rock and Soil Mechanics ，The Chinese Academy of Sciences ， Wuhan 430071 China )Abstract A series of dynamic compression ，tension and shear tests were conducted on the Bukit Timah granite of Singapore. The results are analyzed in an effort to examine the validity and the applicability of the Hoek-Brown and Mohr-Coulomb criteria for rock material under dynamic compression. It is indicated that the rock strength can be approximately described by the Mohr-Coulomb criterion at low confining pressure. The change of strength with loading rate is primarily due to the variation of cohesion with loading rate. The dynamic compression strengths are more accorded with the Hoek-Brown criterion ，especially under higher confining pressure(higher than 100 MPa). Key words rock mechanics ，dynamic compressive strength of rock ，Mohr-Coulomb strength criterion ，Hoek-Brown strength criterion1 引 言众多研究表明，岩石材料强度通常随着加载率的增加而提高[1～5]，而且已有多种机理用来解释这一现象[5～7]。

D-P准则在岩体工程中的应用摘要:Drucker-Prager(下简称D-P)系列屈服准则作为Mohr-Coulomb(下简称M-C)准则的修正模型在岩土工程中得到了广泛的使用。

本文主要介绍D-P准则在岩体工程中的应用研究，即采用不同的D-P准则具体分析在不同工程中的应用。

本文分析了不同D-P准则在稳定分析中的应用、在隧道开挖中的应用、边坡系数的研究和地下洞室围岩稳定影响研究。

关键词：D-P系列屈服准则；稳定分析；隧道开挖；边坡系数；地下洞室围岩稳定影响研究1 D-P系列屈服准则在稳定分析中的应用研究这一问题的探讨分为两部分进行:一是通过算例来探讨在稳定分析中选用合适的D-P系列屈服准则应具备的条件;二是通过算例结果分析提出在稳定分析中如何选用合适的D-P系列屈服准则的方法。

由王先军等研究分析可知，只要选用的D-P系列屈服准则对应的Lode角氏能反映产生滑动的区域的受力状态，是能够得到较为理想的结果的。

一些对于抗滑稳定影响不大的部位，即使其应力状态与所选用D-P系列屈服准则对应的氏有一定差距(有时即使较大)，也不会对结果造成太大影响。

因此，在稳定分析中选用合适的D-P系列屈服准则时应先明确产生滑动的区域以及滑动区域的受力状态，然后再采用对应的D-P系列屈服准则进行计算。

明确滑动区域的问题相对来说比较简单，因为在稳定分析中采用不同的D-P 系列屈服准则得到的强度储备系数可能不同，但一般不会改变边坡和坝基的失稳模式，因此，采用任一D-P系列屈服准则就可以得到边坡和坝基的失稳模式，从而明确产生滑动的区域。

明确滑动区域受力状态的问题相对比较复杂，在强度储备系数为2.1之前，θb平均值相对稳定在200左右，变化较小，而此时尾岩抗力体部位的大部分岩体还处于弹性状态，在强度储备系数为2.1以后，屈服区快速发展，氏平均值减小速度加快，很快过渡到失稳状态。

由于在整个降强度的过程中，θb平均值150-21.70之间变化，变化范围不大，并在强度储备系数为1.0时取到最大值21.7，而强度储备系数为1.0时尾岩抗力体部位均处于弹性状态，因此，可先采用弹性有限元计算，确定滑动区域的受力状态，根据滑动区域受力状态对应的氏平均值选用相应的D-P系列屈服准则进行计算即可。

写一篇关于摩尔库伦准则在岩土工程中的应用的两千字读书报告-回复题目：摩尔库伦准则在岩土工程中的应用摩尔库伦准则（Mohr-Coulomb Criterion）是岩土力学中常用的一种准则，描述了材料在破坏时的力学行为。

它是由奥托·摩尔库伦（Otto Mohr）和查尔斯-欣利·库伦（Charles-Augustin de Coulomb）分别在19世纪70年代和18世纪60年代提出的。

该准则广泛应用于岩土工程中，用于分析和预测岩土体的强度和稳定性。

本文将探讨摩尔库伦准则在岩土工程中的应用。

第一部分：摩尔库伦准则的基本原理摩尔库伦准则是基于两个关键假设：内摩擦角和正应力与剪应力之间的线性关系。

内摩擦角是指材料在破坏前相对于垂直方向的最大摩擦角度。

正应力是作用在岩土体上的垂直力，剪应力是两个面之间的平行力。

根据摩尔库伦准则，岩土体的强度通过正应力和剪应力之间的关系来描述。

摩尔库伦准则的公式如下：τ = c + σ * tan(φ)其中，τ是剪应力，c是介质的凝聚力（cohesion），σ是正应力，φ是内摩擦角。

第二部分：摩尔库伦准则在岩土工程中的应用1. 岩土体的强度分析摩尔库伦准则能够定量描述岩土体的强度特性。

通过实验测定岩土试样的抗剪强度参数（凝聚力c和内摩擦角φ），可以利用摩尔库伦准则来确定岩土体的抗剪强度。

这对于岩土工程中的土体承载力分析、边坡稳定性评估等具有重要意义。

2. 边坡稳定分析在边坡设计和稳定性分析中，摩尔库伦准则被广泛应用。

通过对边坡体进行离散单元分析，可以利用摩尔库伦准则来计算边坡体各个单元的剪应力。

通过比较计算得到的剪应力和岩土体的抗剪强度参数，可以评估边坡的稳定性。

如果剪应力大于材料的抗剪强度，边坡就有可能破坏。

3. 岩土体材料的选择和设计摩尔库伦准则在岩土工程中也被用于岩土体材料的选择和设计。

根据不同的工程需求，可以通过试验测定岩土体的抗剪强度参数，进而确定最适合的岩土体材料。

D-P准则在岩体工程中的应用摘要:Drucker-Prager(下简称D-P)系列屈服准则作为Mohr-Coulomb(下简称M-C)准则的修正模型在岩土工程中得到了广泛的使用。

本文主要介绍D-P准则在岩体工程中的应用研究，即采用不同的D-P准则具体分析在不同工程中的应用。

本文分析了不同D-P准则在稳定分析中的应用、在隧道开挖中的应用、边坡系数的研究和地下洞室围岩稳定影响研究。

关键词：D-P系列屈服准则；稳定分析；隧道开挖；边坡系数；地下洞室围岩稳定影响研究1 D-P系列屈服准则在稳定分析中的应用研究这一问题的探讨分为两部分进行:一是通过算例来探讨在稳定分析中选用合适的D-P系列屈服准则应具备的条件;二是通过算例结果分析提出在稳定分析中如何选用合适的D-P系列屈服准则的方法。

由王先军等研究分析可知，只要选用的D-P系列屈服准则对应的Lode角氏能反映产生滑动的区域的受力状态，是能够得到较为理想的结果的。

一些对于抗滑稳定影响不大的部位，即使其应力状态与所选用D-P系列屈服准则对应的氏有一定差距(有时即使较大)，也不会对结果造成太大影响。

因此，在稳定分析中选用合适的D-P系列屈服准则时应先明确产生滑动的区域以及滑动区域的受力状态，然后再采用对应的D-P系列屈服准则进行计算。

明确滑动区域的问题相对来说比较简单，因为在稳定分析中采用不同的D-P 系列屈服准则得到的强度储备系数可能不同，但一般不会改变边坡和坝基的失稳模式，因此，采用任一D-P系列屈服准则就可以得到边坡和坝基的失稳模式，从而明确产生滑动的区域。

明确滑动区域受力状态的问题相对比较复杂，在强度储备系数为2.1之前，θb平均值相对稳定在200左右，变化较小，而此时尾岩抗力体部位的大部分岩体还处于弹性状态，在强度储备系数为2.1以后，屈服区快速发展，氏平均值减小速度加快，很快过渡到失稳状态。

由于在整个降强度的过程中，θb平均值150-21.70之间变化，变化范围不大，并在强度储备系数为1.0时取到最大值21.7，而强度储备系数为1.0时尾岩抗力体部位均处于弹性状态，因此，可先采用弹性有限元计算，确定滑动区域的受力状态，根据滑动区域受力状态对应的氏平均值选用相应的D-P系列屈服准则进行计算即可。

收稿日期:20030708. 浙江大学学报(工学版)网址:w w /eng基金项目:国家自然科学基金资助项目(50278087).作者简介:李育超(1978 ),男,浙江嘉兴人,博士生,主要从事边坡稳定有限元分析研究.E mail:yuch ao.li@第39卷第2期2005年2月浙 江 大 学 学 报(工学版)Jo ur nal of Z hejiang U niv ersity (Engineering Science)Vol.39No.2Feb.2005Cosserat 连续介质的Mohr Coulomb屈服准则及其应用李育超,凌道盛,陈云敏(浙江大学岩土工程研究所,浙江杭州310027)摘 要:Co sser at 连续介质下的应力、应变张量具有不对称性,经典连续介质的屈服准则无法直接用于Cosserat 连续介质.将应变、应力张量分解为对称和反对称两部分,修正了经典连续介质下三个应力不变量的表达式,建立适用于Cosserat 连续介质弹塑性有限元分析的M o hr Coulo mb 屈服准则,给出了Cosser at 连续介质下von M ises 、T r esca 和D rucker Pr ag er 屈服准则的表达式.自然边坡数值算例表明了修正M ohr Coulomb 屈服准则的有效性,验证了Cosserat 连续介质理论通过引入材料特征长度可以解决经典连续介质理论分析应变局部化问题时遇到的网格敏感性问题.关键词:Co sser at 连续介质;有限单元法;M o hr Coulo mb 屈服准则中图分类号:T U 441;T U 461.1 文献标识码:A 文章编号:1008973X(2005)02025306Mohr Coulomb yield criterion for Cosseratcontinua and its applicationsLI Yu chao,LING Dao sheng,CHEN Yun min(I nstitute of Geotechnical Engineering ,Zhej iang Univer sity ,H ang z hou 310027,China )Abstract:Classical yield criterio ns canno t be applied directly to Cosserat continua since the strain tensor and stress tensor in Cosserat continua are asym metr ic.T he strain tensor and stress tensor w ere decom posed into symm etric and skew sym metr ic com po nents,and the for mulae of stress invariants w ere mo dified for Co sserat continua.M ohr Co ulo mb y ield criterion for Co sserat co ntinua w as established in detail,and the fo rmulae of vo n Mises,T resca and Drucker Prag er yield criterions fo r Cosserat continua w ere presen ted as w ell.E lasto plastic finite element method based on these y ield criterions w as addressed.A numeri cal ex ample on slope stability under gravity show s the superior behavior o f the established M ohr Coulom b y ield criterion,and demonstrates that the Co sserat mo del incorporating an internal leng th scale can resolv e the mesh dependence that classical continua enco unter in the strain localization problem.Key words:Co sserat continua;finite elem ent m ethod;M ohr Coulom b yield criterion 1909年Cosser at 兄弟提出了微极介质的概念,20世纪60年代,M indlin 等人[1,2]从数学角度进行了深入研究,奠定了Co sserat 连续介质理论的数学基础.20世纪80年代末和90年代初,Cosser at 连续介质理论被引入岩土工程,佘成学等人[3~5]利用Coser at 连续介质模型考虑岩层的抗弯能力,更好地模拟了层状结构的力学特性.刘俊等人[6]利用Co sserat 连续介质弹性理论给出受单向均匀拉力作用的小孔平板的解析解,进而解释了小孔附近环向应力系数小于3.0的实验现象.Co sserat 连续介质理论的重要应用之一是分析应变局部化问题.经典连续介质理论在分析应变软化材料应变局部化问题时经常遇到网格敏感性和控制方程失去椭圆性的问题,Cosserat 连续介质理论通过引入一个材料参数特征长度能很好地解决上述经典连续介质理论感到棘手的问题.M uhlhaus等人[7,8]利用Cosserat连续介质模型分别研究了颗粒材料剪切带宽度和应变软化材料的应变局部化问题.Peric等人[9]把自适应有限元法引入到Cosserat 连续介质,分析应变局部化问题.上述研究着重讨论Cosserat连续介质理论相对经典连续介质理论的优点,因此选用了稳定性较好的类似经典连续介质下的v on M ises屈服准则.vo n M ises屈服准则虽然能较好地模拟金属材料的弹塑性特性,但难以用于模拟岩土工程材料.岩土工程问题一般采用M ohr Coulom b屈服准则来模拟土或岩石等材料,因此有必要建立Cosserat连续介质下M ohr Co ulo mb屈服准则的表达式.由于Co sserat连续介质应变张量和应力张量具有不对称性,经典连续介质下的屈服条件无法直接运用于Cosser at连续介质,这给Co sserat连续介质弹塑性分析带来了困难,限制了Cosserat连续介质理论的应用范围.本文将Cosser at连续介质应变张量和应力张量分解成对称和反对称两个部分,修正三个应力不变量表达式,建立适用于Cosserat连续介质弹塑性有限元分析的M ohr Coulomb屈服准则,并通过自然边坡数值算例验证本文建立的Cosserat连续介质下M ohr Coulom b屈服准则的有效性.1 Cosserat连续介质弹塑性有限单元法1.1 弹性有限单元法为更好地叙述Cosser at连续介质弹塑性理论,这里先介绍其弹性理论.本文考虑小变形情况下的Cosserat连续介质平面应变问题.除了经典弹性力学理论的位移向量u外,Cosserat连续介质理论另外引入了一独立的转动变量 ,同时增加了曲率张量k和偶应力张量m(见图1).应变张量 由位移向量和转动向量共同决定.图1 Cosserat连续介质的单元体Fig.1 U nit fo r Cosserat continua几何方程可表示为!=∀u!∀ +e! ,#3=∀w∀ .(1)式中:{e! }为排列张量,e12=-e21=1.对于各向同性的弹性材料,物理方程可表示为∃!=D∃!%& %&,m3=D m3%3#%3.(2)式中:{D∃!%&}和{D m3%3}为材料特性张量.设p和q分别为单位体积力与单位体积力偶,则平衡方程可表示为∀∃!∀!+p=0,(3)∀m3∀ +e%&∃%&+q=0.(4)与经典连续介质相比,平衡方程增加了力偶平衡方程式.边界条件为u-u=0, - =0, o n∋u,(5)∃!n-∃=0,m3n-m=0, on∋t.(6)式中:∋u为位移已知边界;∋t为力已知边界;n为∋t上的单位外法线向量在轴上的投影,带-!变量为边界给定值.引入应变向量 和应力向量∃,=[ 11, 22, 33, 12, 21,#13l,#23l]T,(7)∃=[∃11,∃22,∃33,∃12,∃21,m13/l,m23/l]T.(8)式中:l为Cosser at连续介质材料的特征长度,则几何方程可表示为=L u (9)式中:L=∀∀∀x000∀∀∀y0∀∀∀y0∀∀∀x000000-11l∀∀∀x l∀∀∀yT,(10)u=[u1,u2, ]T对于平面应变弹性问题,本构方程可表示为∃=D (11)式中:D=D3#3 03#404#3 D^4#4,(12) D3#3=G2(1-()1-2(2(1-2(2(1-2(2(1-()1-2(2(1-2(sym2(1-()1-2(,(13)254浙 江 大 学 学 报(工学版)第39卷D^4#4=G 1+a1-a001+a0010sym1,(14)式中:G为剪切模量;(为泊松比;a为Co sserat剪切模量系数.若a取零值Cosserat连续介质可退化到经典连续介质的情况.因此经典连续介质理论可看作Cosser at连续介质理论的一个特例.与经典连续介质弹性材料相比,Co sserat连续介质弹性材料增加了两个材料参数:特征长度l和Cosserat剪切模量系数a.Cosserat连续介质平面单元与经典连续介质平面单元也有所不同,每个结点有三个独立自由度:普通位移变量u1、u2和转角变量 .普通位移变量与转角变量可采用不同的插值形式,推荐转角变量采用比普通位移变量低一次的插值形式.1.2 C osserat连续介质下的Mohr C ou lomb屈服函数经典连续介质理论塑性屈服面一般可通过应力的三个不变量J1、J2和J3来表示:F(∃ij,%)=f(J1,J2,J3,%)∃0.(15)式中:%为各向同性强化或软化材料的内变量. Cosserat连续介质应变张量和应力张量具有不对称性,因此需修正经典连续介质的三个应力不变量的表达式,使之适用于Cosserat连续介质.运用Findeiss[10]研究Cosserat连续介质弹塑性问题时的方法,把Co sserat应变张量分成对称和反对称两部分:sym!=12∀u!∀ +∀u∀!,(16)ant!=12∀u!∀ -∀u∀!+e! ,(17)#3=∀ ∀ .(18)同样,Cosserat应力张量也可分为对称和反对称两部分:∃sym!=D sym!%& sym%&,(19)∃ant!=G c ant!,(20)m3=G#3.(21)式中:D sym!%&为对称应力材料特性张量;G c为Cosser at剪切模量,G c=aG.这样对称应变张量 sym!和对称应力张量∃sym!仍保持了经典连续介质应变张量和应力张量的对称形式.利用对称和反对称应力向量表达式,修正经典连续介质平面问题的三个应力不变量表达式: J1=∃11+∃22+∃33,(22)J2=J sym2+J ant2+J m2,(23)J3=(s sym11s sym22s sym33-s sym12s sym21s sym33)/3,(24)J sym2=[(s sym11)2+(s sym22)2+(s sym33)2+(s sym12)2+(s sym21)2]/2,(25) J an t2=[(s ant12)2+(s ant21)2]/2,(26)J m2=m13m23/l2,(27)s sym!=∃sym!-J1&!/3,s ant!=∃ant!.(28)应力第一不变量J1与经典连续介质相同.应力第二不变量J2由对称应力项J sym2、反对称应力项J ant2和偶应力项J m2三部分组成,其中J sym2与经典连续介质的J2类似;J ant2和J m2分别反映了剪应力不对称部分和偶应力对J2的贡献.应力第三不变量J3由应力对称部分计算,其形式与经典连续介质相同.对于Cosserat连续介质,假设Mohr Coulomb屈服函数仍可表示为应力不变量的函数,且形式与经典连续介质相同.利用修正的三个应力不变量,可建立Cosserat连续介质下的Mohr Coulomb屈服函数: f=13J1sin)+J2(co s∗-13sin∗sin))-c co s)=0.(29)式中:c和)分别为Mo hr Coulomb屈服准则的材料参数黏聚力和摩擦角;Lode角的表达式为∗=13arcsin-332J3J3/22.(30) J1、J2和J3分别见式(22)~(24).M ohr Cou lomb屈服面在+面和子午面的奇点可能影响有限元分析的稳定性,其消除方法可参见文献[11].假设塑性应变满足相关流动法则,流动矢量可表示为T=∀f∀∃=C1T1+C2T2+C3T3.(31)式中:C1=∀f∀J1,C2=∀f∀J2,C3=∀f∀J3,(32)T1=∀J1∀∃,T2=∀J2,T3=∀J3∀∃.(33)对于Cosserat连续介质平面问题,1、2和3的表达形式为1=[1,1,1,0,0,0,0],(34)2=12J2[s sym11,s sym22,s sym33,(s sym12+s ant12),(s sym21+s ant21),m13/l,m23/l],(35) 3=[s sym22s sym33+J sym2/3,s sym33s sym11+J sym2/3, s sym11s sym22-s sym12s sym21+J sym2/3,-s sym33s sym21,255第2期李育超,等:Co sserat连续介质的Mo hr Coulomb屈服准则及其应用-s sym33s sym12,0,0].(36)假定Co sserat连续介质下v on M ises、Tresca 和Drucker Prag er屈服准则的表达形式也仍采用经典连续介质下的形式(见表1),但应力不变量J1、J2和J3需采用修正过的表达式,其流动矢量的计算方法参考M ohr Coulom b屈服准则.表1中∃Y(%)为von Mises和Tr esca屈服准则的由内变量%决定的单向屈服应力,其中%可按塑性功计算,%=%∃T d p,与经典连续介质有所不同,须包括偶应力所作的塑性功项;&和#&为Drucker Prager屈服准则的材料参数.表1 常用屈服函数及其流动矢量计算常数T ab.1 Classical yield criter ions and parameter s o f their flow vector s屈服准则屈 服 函 数C1C2C3v on M ises3J2=∃Y(%)030T r esca2J2cos∗=∃Y(%)02cos∗(1+tan∗t an(3∗))3sin∗J2cos(3∗)M ohr Coulo mb 13J1sin)+J2cos∗-13sin∗sin)=c co s)13sin)co s∗[(1+tan∗t an(3∗)+sin)(tan(3∗)-tan∗)/3]3sin∗+cos∗sin)2J2cos(3∗)Dr ucker P rag er&J1+J2=k&& 1.001.3 弹塑性有限单元法结合上述推导Cosser at连续介质下屈服函数,把Cosserat连续介质弹性理论扩展到弹塑性领域.假设塑性应变满足相关流动法则,考虑各向同性强化或软化的弹塑性材料.加卸载准则可采用经典连续介质下的形式,但应包括偶应力分量和曲率分量的影响.应变增量可分为弹性和塑性两部分:d !=d e!+d p!.(37)式中:d !、d e!和d p!分别为应变增量、弹性应变增量和塑性变增量.等效应变 p可按下式计算:p=13e p!e p!+13e p!e p!+23#p3#p3l21/2.(38)式中:e p!为偏塑性应变分量.根据相关流动法则,塑性应变增量可表示为d p!=d,∀f∀∃!.(39)根据一致性条件,d f=∀f∀∃!d∃!+∀f∀%d%=0.(40)式中:∀f∀%d%可进一步表示为∀f ∀%d%=∀f∀%∀%∀ p!∀f∀∃!d,=-H d,.(41)式中:H为材料的强化或软化系数.根据上述方程,弹塑性材料模型的增量应力应变关系可表示为如虎克定律的增量形式:d∃!=D ep!%&d %&,(42)D ep!%&=D!%&-D!mn∀f∀∃mn∀f∀∃pq D pq%&H+∀f∀∃rs D rstu∀f∀∃tu.(43)式中:{D ep!%&}和{D!%&}分别为弹塑性特性张量和弹性特性张量.2 实例分析Cosserat连续介质理论通过引入特征长度,可解决经典连续介质理论分析应变软化材料时出现的网格敏感性和控制方程丧失椭圆性的问题.由于本文着重讨论如何建立适用于Cosserat连续介质弹塑性分析的M ohr Co ulomb屈服函数,对于Cosserat连续介质理论的该特性这里不再细述,可详见文献[8]的压缩试验数值模拟.下面介绍运用前面建立的Cosserat连续介质弹塑性有限元法,采用Mohr Coulom b屈服准则计算自然边坡的安全系数.选择Griffiths等人[13]文中的边坡模型进行分析计算,边坡尺寸及网格划分见图2.为更好体现Coss erat连续介质的特性,不考虑孔隙压力影响,土的性质仅由黏聚力c和摩擦角)决定.材料参数:E soil=5.0 MPa,(=0.3,c=0.05%−,)=20∋,其中土的体积质量%=2 0kg/m3,坡高H=2m.Cosserat连续介质材料参数的取值参考文献[10],l=0.005m,a=0.5.256浙 江 大 学 学 报(工学版)第39卷图2 边坡尺寸及网格划分图F ig.2G eometr ic pr operty and slo pe discretizatio n分析采用修正New ton Raphso n 法,选用理想弹塑性模型,结点应力计算采用Zienkiew icz 等人[14]的超收敛分片覆盖方法(SPR).区域的网格离散采用六结点三角形单元,整个区域划分为1044个单元和2203个结点.左右边界水平固定,底边界水平和竖向均固定,三边界转角变量均为零.边坡的安全系数计算采用强度折减法,其原理及计算方法详见文献[13].通过有限元分析计算可得该边坡的安全系数为1.4,与原文计算的安全系数相同,且与Cousins[15]以极限平衡法制定的边坡安全系数图表中查得的安全系数1.38较接近.图3为边坡破坏时的网格变形图(结点位移扩大200倍),图4为边坡破坏时等效塑性应变 p等值线图,同时还给出了边坡破坏时Cosser at 连续介质的转角增量. 等值线图,见图5.从图3可明显看出边坡可能滑动带的位置,与Griffiths 等人[13]分析结果相近.图4中的应变集中的条带对应于图3中的可能滑动带的位置.从图5可看出Cosserat连续介质的转角增量集中的条带也图3 破坏时的网格变形图F ig.3 Deformed mesh at failure图4 破坏时的等效塑性应变等值线图F ig.4 Co nto ur of equivalent plastic str ain at failur e图5 破坏时的转角增量等值线图F ig.5 Conto ur of r otatio n incr emental failur e即可能滑动带位置,因此转角增量与等效应变一样可表征工程问题所关心的应变集中区域.有限元法确定的可能滑动带与极限平衡法相比更符合实际工程的情况,往往不是一条可用简单函数描述的曲线,而是具有一定宽度的滑移带.取不同特征长度l 大小计算比较可知,滑动带的宽度取决于Cosserat 连续介质的材料特征长度l ,由于篇幅限制这里不再详述,关于该特性具体可参考文献[8~10].从边坡算例可知,本文建立的Co sserat 连续介质下的M o hr Coulomb 屈服准则是稳定和可靠的.3 结 语将Cosserat 连续介质下的应变张量和应力张量分解为对称和反对称两部分,修正了经典连续介质三个应力不变量的表达式,建立了适用于Cosser at 连续介质弹塑性有限元法的M ohr Co ulo mb 屈服准则.同时给出Cosserat 连续介质下v on M ises 、Tresca 和Drucker Prag er 屈服准则表达式,从而扩大了Cosserat 连续介质弹塑性理论的应用范围,使之适用于分析多种性质材料的问题.边坡算例验证了本文建立的Cosserat 连续介质下的M ohr Cou lomb 屈服准则的有效性.该算例同时表明Cosserat 连续介质的转角增量和等效应变可表征应变集中区域,对工程问题分析具有很好的指导意义.滑移带的宽度由Cosserat 连续介质材料的特征长度决定,从而避免了经典连续介质分析应变局部化问题时的网格敏感性问题.最后需要说明的是Co sserat 连续介质材料特征长度l 的确定还处于研究阶段,有待于进一步发展.Lakes [16]对Cosserat 连续介质材料参数做了试验研究.参考文献(References):[1]M IN DL IN R D.Influence of couple stresses o n str essco ncentrat ions [J].Experimental Mechanics ,1962,2:18.[2]ERI NG EN A C.L inea r theor y of micr opolar elasticity[J].Journal of Mathematics and Mechanics 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[5]刘俊,黄铭,葛修润,等.层状岩体开挖的空间弹性偶应力理论分析[J].岩石力学与工程学报,2000,19(3): 276280.L IU Jun,H U A NG M ing,G E Xiu r en,et al.A naly sis o n layer ed rockmass excavat ing w ith spatia l elastic cou ple str ess theor y[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2000,19(3):276280.[6]刘俊,黄铭,葛修润,等.考虑偶应力影响的应力集中问题求解[J].上海交通大学学报,2001,35(10): 14811485.L IU Jun,H U A NG M ing,GE Xiu ren,et al.Solution o f stress concent ratio n pro blem considering influence o f co uple str ess[J].Journal of Shanghai Jiaotong Universi ty,2001,35(10):14811485.[7]M U HL H A U S H B,V AR DOU L A K IS I.T he thicknesso f shear bands in g ranular materials[J].Geotechnique, 1987,37(3):271283.[8]D E BORST R.Simulation of str ain lo calizatio n:a r eappraisal of the Cosserat continuum[J].Engineering C om putations,1991,8:317332.[9]PERIC D,Y U J G,OW EN D R J.O n err or est imatesand adaptiv ity in elasto plastic solid:A pplications to t he numer ical simulation of st rain localizat ion in classical and Cosserat continua[J].International Journal for Numeri cal Method in Engineering,1994,37:13511379. 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Mohr- Coulomb 强度准则评价优点•同时考虑了拉剪和压剪应力状态；可判断破坏面的方向。

•强度曲线向压区开放，说明与岩石力学性质符合。

•强度曲线倾斜向上说明抗剪强度与压应力成正比。

•受拉区闭合，说明受三向等拉应力时岩石破坏；受压区开放，说明三向等压应力不破坏。

不足•库仑准则是建立在实验基础上的破坏判据，未从破裂机制上作出解释。

•忽略了中间主应力的影响（中间主应力对强度影响在15%左右）。

•库仑准则和莫尔准则都是以剪切破坏作为其物理机理，但是岩石试验证明：岩石破坏存在着大量的微破裂，这些微破裂是张拉破坏而不是剪切破坏。

•莫尔—库仑准则适用于低围压的情况。

Griffith 强度准则评价：优点：•岩石抗压强度为抗拉强度的8倍，反映了岩石的真实情况；•证明了岩石在任何应力状态下都是由于拉伸引起破坏；•指出微裂隙延展方向最终与最大主应力方向一致。

不足：•仅适用于脆性岩石，对一般岩石，莫尔强度准则适用性远大于Griffith准则。

•对裂隙被压闭合，抗剪强度增高解释不够。

•Griffith准则是岩石微裂隙扩展的条件，并非宏观破坏。

扩容：岩石在压力下，发生非线性体积膨胀的现象称为扩容。

•扩容是由于岩石试件内细微裂隙的形成和扩张所致，这种裂隙的长轴与最大主应力的方向是平行的。

（a）马克斯威尔（Maxwell）模型•由弹性单元和粘性单元串联而成•本构方程松弛曲线§6.4 岩石边坡加固6.4.1 注浆加固6.4.2 锚杆或预应力锚索加固6.4.3 混凝土挡墙或支墩加固6.4.4 挡墙与锚杆相结合的加固。

第51卷第2期2020年2月中南大学学报(自然科学版)Journal of Central South University (Science and Technology)V ol.51No.2Feb.2020Mohr -Coulomb 准则的试验验证与修正曹艺辉，李铀(中南大学土木工程学院，湖南长沙，410075)摘要：利用真三轴试验数据，检验Mohr −Coulomb 准则对岩土材料的适用性，讨论并确定一种已有形状函数的模型参数，并利用该形状函数对Mohr −Coulomb 准则进行修正，以试验为基础提出黏结力c 和内摩擦角ϕ的动态计算式及考虑材料拉压差异的拉压强度比K 计算式。

研究结果表明：Mohr −Coulomb 准则对岩土材料的适用性较差，只能在一定三轴压缩条件下对压缩试验点进行预测，对拉伸强度试验点的预测性差；K 越小，模型参数m 对Van Eekelen 形状函数的影响越大，当m =−0.23时，该形状函数的外凸性最优；修正后的Mohr -Coulomb 准则对岩土材料的适用性较好，极限迹线变化规律与试验规律相符，对K 预测精确；基于试验结果对c 和ϕ的动态计算是可行的，考虑参数的变化能使修正后Mohr −Coulomb 准则对岩土材料强度预测更精确，也说明非线性准则优于线性准则；修正的K 计算式为静水应力p 的单值函数，通过与修正的Lade -Duncan 准则、峰值比法计算的K 比较，考虑拉压差异的非线性计算方法更优。

关键词：Mohr −Coulomb 准则；真三轴试验；材料参数；形状函数；拉压强度比K 中图分类号：TU45文献标志码：A开放科学(资源服务)标识码(OSID)文章编号：1672-7207（2020）02-0399-12Test verification and modification of Mohr −Coulomb criterionCAO Yihui,LI You(School of Civil Engineering,Central South University,Changsha 410075,China)Abstract:The true triaxial test data were used to test the applicability of the Mohr -Coulomb criterion to geotechnical materials.A model parameter of an existing shape function was discussed and determined.The shape function was used to modify the Mohr -Coulomb criterion.A dynamic calculation formula for the bonding force c and friction angle ϕand a calculation formula for the tension-compression ratio K considering the difference between the tension and compression of the materials were proposed.The results show that the Mohr −Coulomb criterion has limited applicability to geotechnical materials and can only be consistent with the experimental law under triaxial compression conditions,and has poor predictability for tensile strength test points.The smaller the K ,the greater the influence of model parameter m on the Van Eekelen shape function,and the shape function hasDOI:10.11817/j.issn.1672-7207.2020.02.014收稿日期：2019−04−16；修回日期：2019−06−22基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51874351)；湖南省科技计划项目(2014SK3226)；“十一五”国家科技支撑计划项目(2012BAF14B05)(Project(51874351)supported by the National Natural Science Foundation of China;Project (2014SK3226)supported by the Science and Technology Plan of Hunan Province;Project(2012BAF14B05)supported by the “Eleventh Five-Year ”National Science and Technology Support Program)通信作者：李铀，博士，教授，从事弹塑性力学、岩土力学与工程等研究；E-mail:***********.cn第51卷中南大学学报(自然科学版)the best convexity when m=−0.23.The modified Mohr−Coulomb criterion has good applicability to geotechnical materials,and the envelope variation law is consistent with the experimental law,and the prediction of K is accurate.Dynamic parameter calculation of c andϕbased on test results is feasible.Considering the change of parameters,the modified Mohr−Coulomb criterion can predict the strength of geomaterials more accurately,and nonlinear criteria is better than linear criteria.The modified K is a single-valued function of hydrostatic stress p. Compared with the values calculated by the modified Lade-Duncan criterion and peak ratio method,the nonlinear calculation method considering the difference of tension strength and pressure strength is better.Key words:Mohr−coulomb criterion;true triaxial test;material parameters;shape function;aspect ratio of K强度理论是研究材料在复杂应力状态下破坏规律的科学[1]，进行工程设计和结构稳定性分析时，正确描述材料的变形破坏规律至关重要。

五种常见的屈服准则及其适用范围屈服准则表示在复杂应力状态下材料开始进入屈服的条件，它的作用是控制塑性变形的开始阶段。

屈服条件在主应力空间中为屈服方程。

1.几种常用的屈服准则五种常用的屈服准则，它们分别是Tresca准则，Von-Mises准则 ，Mnhr- Coulomb准则，Drucker Prager准则，Zienkiewicz-Pande准则。

其中后三种适用于混凝土和岩土材料的准则1.1 Tresca屈服准则当最大剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。

这就是Tresca屈服条件，也称为最大剪应力条件。

规定时，上式可表示为：如果不知道的大小顺序，则屈服条件可写为:换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。

或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。

所以Tresca屈服准则又称为最大切应力不变条件。

这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。

在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。

Tresca屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响。

1.2 Mises屈服准则当与物体中的一点应力状态对应的畸变能达到某一极限值时，该点便产生屈服，其表达式为或 其中， 为常数，可根据简单拉伸试验求得，或根据纯剪切试验来确定， 它所代表的屈服面是一个以空间对角线为轴的圆柱体，在平面上屈服条件是一个圆。

这时有: 换言之当等效应力达到定值时，材料质点发生屈服，该定值与应力状态无关。

或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料变形时的性质，而与应力状态无关。

Mises屈服准则的物理意义：当材料的单位体积形状改变的弹性能达到某一常数时，质点就发生屈服。

故Mises屈服准则又称为能量准则。

1.3 Mnhr Coulomb准则Tresca屈服条件和Mises屈服条件主要是对金属材料成立的两个屈服条件，但是这两个屈服条件如果简单地应用于岩土材料，会引起不可忽视的偏差。