一阶方程初值问题解的存在与唯一性定理的几点注记

第三章一阶微分方程的解的存在定理本章重点介绍和证明一阶微分方程的解的存在唯一性定理,并叙述解的一些性质,如解的延拓,解对初值的连续性和可微性等.教学目的1.掌握可分离变量方程的解法；2.掌握齐次型方程的解法。

教学重点、难点可化为齐次型方程的解法；教学时数12学时§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的1.理解存在唯一性定理；2.了解逐步逼近法。

教学重点、难点存在唯一性定理与逐步逼近法； 教学时数 4学时 教学过程3.1.1 存在唯一性定理1. 考虑导数已解出的一阶微分方程)1.3)(,(y x f dxdy= f (x ,y ) 在矩阵区域 R | x -x 0 | ≤ a , | y -y 0 | ≤ b 上连续.利普希茨条件 若对函数 f (x ,y ) 存在常数 L >0 ,使得对所有 (x , y 1), (x , y 2) ∈R 都成立不等式 | f (x ,y 1)- f (x ,y 2) | ≤ L | y 1- y 2 |,则称函数 f (x ,y ) 在 R 上满足利普希茨条件.定理1 如果f (x ,y ) 在矩形区域 R 上连续且关于 y 满足利普利茨条件,则方程(3.1)存在唯一的解y =ϕ(x ), 定义于区间 | x -x 0 | ≤ h 上,连续且满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0.|),(|max ),,min( ),(y x f M Mba h R y x ∈==其中.采用皮卡(Picard)的逐步逼近法来证明.区间取为 x 0≤x ≤x 0+h . 皮卡逐步逼近法(思路)(1)证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0的连续解;(2)取一连续函数 ϕ0(x ) 进行迭代求解,构造函数序列: ϕ0(x ), ϕ1(x ), ϕ2(x ),… ϕn (x );⎰+=x x x x x f y x 0d ))(,()(001ϕϕ⎰+=xx x x x f y x 0d ))(,()(102ϕϕ⎰+=x x x x x f y x 0d ))(,()(203ϕϕ…⎰-+=xx n n x x x f y x 0d ))(,()(10ϕϕ(3)如果上述过程可无限地进行,则证明此过程构造的函数列收敛于某一连续函数ϕ(x ); (4)证明上述解是唯一的;命题1 设y =ϕ(x )是方程(3.1)的定义于区间 x 0≤x ≤x 0+h 上,满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0 的解,则 y =ϕ(x ) 是积分方程)5.3(),(00⎰+=xx dx y x f y y的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解,反之亦然.证明：“=>”由y =ϕ(x )是方程(3.1)的定义于区间 x 0≤ x ≤ x 0+h 上,满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0 的解有))(,(d )(d x x f xx ϕϕ= 两边从x 0到x 积分可得⎰⎰=x x xx x x x,f x 0))d (()(d ϕϕ⎰=-⇒xx x x x,f x x 0))d (()()(0ϕϕϕ将初始条件 ϕ(x 0)=y 0 代入即得到⎰+=xx x x x,f y x 0))d (()(0ϕϕ所以y =ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.“<=”设y =ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解,则有⎰+=xx x x x,f y x 0))d (()(0ϕϕ两边对x 求导得),())(,()(y x f x x f x y =='=ϕϕ又上述积分方程显然满足初始条件,所命题成立.现取 ϕ0(x )=y 0 ,构造皮卡逐步逼近函数序列:)7.3(,...2,1,d ))(,()( ,d ))(,()()(01000100⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+==⎰⎰-n t t t f y x t t t f y x y x xx n n xx ϕϕϕϕϕ命题2 对于所有的 n ,函数 ϕn (x ) 在 x 0≤x ≤x 0+h 上有定义,连续且满足不等式 | ϕn (x )-y 0 | ≤ b . 证明： (用数学归纳法)当 n =1 时,⎰+=xx t t t f y x 0d ))(,()(001ϕϕ,显然在x 0≤x ≤x 0+h 上是有定义,并是连续的;并且⎰=-xx t t t f y x 0d ))(,(|)(|001ϕϕ⎰≤x x t t t f 0d |))(,(|0ϕ⎰≤xx t M 0d )(0x x M -≤b x x M ≤-≤)(0,命题成立;假设命题当 n =k 时成立,即⎰-+=xx k k t x t f y x 0d ))(,()(10ϕϕ在x 0≤x ≤x 0+h 上是有定义、连续用满足b y x k =≤-|)(|0ϕ则⎰+=+xx k k t x t f y x 0d ))(,()(01ϕϕ由于ϕk (x )的连续性,知ϕk +1(x )在x 0≤x ≤x 0+h 也显然上是有定义和连续的. 并且=-+|)(|01y x k ϕ⎰xx k t x t f 0d ))(,(ϕ⎰≤xx k t x t f 0d |))(,(|ϕb x x M ≤-≤)(0所以当n =k 时命题也成立,从而命题2对一切 n ∈N 都成立.命题3 函数序列 {ϕn (x )} 在 x 0≤x ≤x 0+h 上是一致收敛的. 证明：由级数与数列的关系:级数收敛等价于部分和数列收敛. 考虑级数∑∞=--+110)]()([)(k k kx x x ϕϕϕ,它的部分和恰为)()]()([)(110x x x x n nk k k ϕϕϕϕ=-+∑=-因此要证明函数序列 {ϕn (x )} 在 x 0≤x ≤x 0+h 上一致收敛只须证明上述级数一致收敛即可.⎰≤-xx dt t t f x x 0))(,(||)()(|001ϕϕϕ )(0x x M -≤⎰-≤-xx dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|0112ϕϕϕϕ由于函数f (x ,y )对y 满足利普希茨条件 | f (x ,y 1)- f (x ,y 2) | ≤ L | y 1- y 2 | 则有⎰-xx dt t t f t t f 0|))(,())(,(|01ϕϕ⎰-≤x x dt t t L 0|)()(|01ϕϕ⎰-≤xx dt x t M L 0)(020)(2x x ML-=同理⎰-≤-xx dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|1223ϕϕϕϕ⎰-≤xx dt t t L 0|)()(|12ϕϕ⎰-≤xx dt x t ML 0202)(2302)(!3x x ML -= 设对正整数 k 有k k k k x x k ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕϕ 则对正整数 k +1 有⎰-+-≤-xx k k k k dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|11ϕϕϕϕ⎰--≤xx k k dt t t L 0|)()(|1ϕϕ⎰-≤xx kkdt x t k ML 0)(!010)()!1(+-+=k k x x k ML从而由数学归纳法知对任一正整数 n 有n n n n x x n ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕϕ从而对级数而言有∑∞=--+110)]()([)(k k k x x x ϕϕϕ∑∞=--+≤1010)(!)(k nn x x n L M x ϕ∑∞=-+≤110!)(k n n n h L M x ϕ 上式是收敛的正项级数,因此由M 判别法(魏尔斯特拉斯判别法)知,左端的级数收敛,故函数列 {ϕn (x )}在 x 0≤ x ≤x 0+h 上一致收敛.命题4 ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.证明：因为函数列{ϕn (x )}一致收敛于ϕ(x ),加之利普希茨条件 | f (x , ϕn (x ))- f (x , ϕ(x )) | ≤ L | ϕn (x )- ϕ(x ) | 可知函数列{ f (x , ϕn (x ))}收敛于f (x , ϕ(x )). 因此,两边取极限有⎰-∞→∞→+=x x n n n n dt t t f y x 0))(,(lim )(lim 10ϕϕ⎰+=xx dt t t f y x 0))(,()(0ϕϕ所以ϕ(x )是积分方程定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.命题5 设 ψ(x ) 是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的另一连续解,则 ϕ(x )= ψ(x ). 证明:由命题1可知⎰+=xx t t t,f y x 0))d (()(0ψψ只要证明 ψ(x ) 也是函数列 {ϕn (x )} 的极限函数即可. 由于⎰≤-xx t t t f x x 0d |))(,(||)()(|0ψψϕ)(0x x M -≤=-|)()(|1x x ψϕ⎰-≤xx dt t t f t t f 0|))(,())(,(|0ψϕ⎰-≤xx dt t t L 0|)()(|0ψϕ200)(2)(0x x LMdt t t LM xx -=-≤⎰ 假设对正整数 n -1 时有|)()(|1x x n ψϕ--n n x x n ML )(!01-≤- 则对正整数 n 有|)()(|x x n ψϕ-⎰-≤-xx n dt t t f t t f 0|))(,())(,(|1ψϕ⎰-≤-xx n dt t t L 0|)()(|1ψϕ100)()!1()(!0+-+=-≤⎰n n xx nn x x n M L dt t t n M L 因此,由数学归纳法可和,上述公式对所有正整数都成立. 即1)!1(|)()(|++≤-n n n h n M L x x ψϕ上式右端是收敛级数的一般项,当 n →∞ 时它趋于零,因而函数列 {ϕn (x )} 一致收敛于 ψ(x ) ,由极限的唯一性,有 ψ(x )= ϕ(x ) .注1 存在唯一性定理中数 h 的几何意义.注2 由于利普希茨条件比较难检验,常用 f (x ,y ) 在 R 上有对 y 的连续偏导数来代替. 注3 设方程(3.1)是线性的,即方程为)()(x Q y x P dxdy+= 那么当 P (x ), Q (x ) 在区间 [α ,β]上连续时,定理1的条件能满足.2. 考虑一阶隐式方程 F (x , y , y ')=0由隐函数定理,若在点 (x 0, y 0, y '0) 的某邻域内 F 连续且 F (x 0, y 0, y '0)=0 而0≠'∂∂y f,则 y ' 唯一地表示为 x , y 的函数,且 f (x , y ) 在点 (x 0, y 0) 的某邻域内连续且满足y '0= f (x 0, y 0).定理2 如果在点 (x 0, y 0, y '0) 的某一邻域中(1) F (x , y , y ')对所有变量 x , y 及 y ' 连续,且存在连续偏导函数; (2) F (x 0, y 0, y '0)=0 (3)0),,(000≠'∂'∂y y y x F则方程(3.15)存在唯一解 y =y (x ), | x -x 0 | ≤ h ( h 是足够小的正数) 满足初值条件 y (x 0)=y 0, y '(x 0)= y '0.3.1.2 近似计算和误差估计第 n 次近似解 ϕn (x ) 和真实解 ϕ(x ) 在区间 | x -x 0 | ≤ h 内的误差估计式1)!1(|)()(|++≤-n n n h n ML x x ϕϕ.例1 方程22y x dxdy+=定义在矩形域 R : -1≤ x ≤1, -1≤ y ≤1 上,试利用存在唯一性定理确定经过点 (0, 0) 的解的存在区间,并求此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式. 解：2|),(|max ),(==∈y x f M Ry x 21}21,1min{},min{===M b a h 利普希茨常数 L =2 :2|2|≤=∂∂y yf由题意,第n 次近似解 ϕn (x ) 和真实解 ϕ(x ) 的误差不超过0.05,即1)!1(|)()(|++≤-n n n h n M L x x ϕϕ121)!1(22+⋅+⨯=n n n )!1(1+=n 20105.0=< 即取 n =3 即可,从而可作如下近似计算0)(0=x ϕ3))((0)(302021x dt t t x x=++=⎰ϕϕ⎰+=xdt t t x 02122))(()(ϕϕ⎰+=xdt t t 062)9(63373x x +=⎰+=xdt t t x 02223))(()(ϕϕ⎰+++=xdt t t t t 0141062)396918929(5953520792633151173x x x x +++= ϕ3(x )即为所求的近似解.作业: P88,2.§3.2 解的延拓教学目的1.理解解的延拓的概念与条件；2.会将方程的解在指定区间上延拓。

一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明)()(x q y x p dxdy +=摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一?首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域R:上的连续函数.b y y a x x ≤-≤-00,函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式对于所有的 都成立,L 称2121),(),(y y L y x f y x f -≤-R y x y x ∈),(),,(21为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程(1)解的存在唯一性)()(x q y x p dxdy+=定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续)(x y ϕ=h x x ≤-0且满足初始条件:这里 00)(y x =ϕ),min(Mba h =),(max y x f M =R y x ∈),(我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只就区间来讨论,对于的讨论完全一样.h x x x +≤≤0000x x h x ≤≤-现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解这里我们用f(x,y)=p(x)y+q(x)来[]⎰++=x x dx x q y x p y y 0)()(0替代,因此也就等价于求积分方程 的连续解,然⎰+=xx dx y x f y y 0),(0后去证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数 代入上面的积分方程右端的y 就得)(0x ϕ到函数dx x x f y x xx ))(,()(0001⎰+≡ϕϕ显然也是连续解,如果那么就是积分方)(1x ϕ)(1x ϕ≡)(0x ϕ)(0x ϕ程的解.否则,我们又把代入积分方程右端的y 得到)(1x ϕ dxx x f y x xx ))(,()(0102⎰+≡ϕϕ如果 ,那么就是积分方程的解,否则我们继≡)(2x ϕ)(1x ϕ)(1x ϕ续这个步骤.一般地做函数 (2)dx x x f y x xx n n ))(,()(010⎰-+≡ϕϕ这样就得到连续函数序列,……)(0x ϕ)(1x ϕ)(x n ϕ如果那么就是积分方程的解,如果始终不发生这种≡+)(1x n ϕ)(x n ϕ)(x n ϕ情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数即)(x ϕ 存在因此对(2)取极限就得到)()(lim x x n n ϕϕ=∞→dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+=ϕϕ =dxx x f y xx n n ))(,(lim 010⎰-∞→+ϕ =dxx x f y xx ))(,(00⎰+ϕ即 dxx x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕ这就是说是积分方程的解,这种一步一步地求出方程的解的方法)(x ϕ就成为逐步逼近法,由(2)所确定的函数称为问题(1)的n 次近)(x n ϕ似解,在定理的假设条件下以上步骤是可以实现的下面我们分四个命题来证明这个定理.命题1,设是一阶线形微分方程(1)的定义于区间)(x y ϕ=上的,且满足初始条件的解,则是积分方h x x x +≤≤0000)(y x =ϕ)(x y ϕ=程()的定义于上的连续解,反⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00h x x x +≤≤00之亦然.因为是一阶线形微分方程(1)的解故有)(x y ϕ=))(,()(x x f dxx d ϕϕ=两边从到x 取定积分得到0x dx x x f x x x x ))(,()()(00⎰≡-ϕϕϕhx x x +≤≤00把代上式,即有00)(y x =ϕ dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕhx x x +≤≤00因此, 是积分方程定义于上的)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00连续解反之如果是积分方程的连续解,则有)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0 (3)dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕh x x x +≤≤00微分之,得到))(,()(x x f dxx d ϕϕ=又把代入(3)得到0x x =00)(y x =ϕ因此是方程(1)的定义于 上且满足初始条件)(x y ϕ=h x x x +≤≤00的解.命题1证毕.00)(y x =ϕ现在取,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:00)(y x =ϕ ⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰-x x n nd f y x y x 0))(,()()(1000ξξϕξϕϕh x x x +≤≤00(n=1,2,…)(4)命题2 函数序列在上是一致收敛的{})(x n ϕh x x x +≤≤00证明:我们考虑级数 (5)[]∑∞=--+110)()()(k k k x x x ϕϕϕh x x x +≤≤00它的部分和为=[]∑=--+nk k k x x x 110)()()(ϕϕϕ)(x ϕ因此,要证明序列在上一致收敛,只需证明级数(5)在{})(x n ϕh x x x +≤≤00上一致收敛.为此,我们进行如下估计.由(4)有h x x x +≤≤00 (6))())(,()()(00001⎰-≤≤-xx x x M d f x x ξξϕξϕϕ及 ⎰-≤-xx d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ利用利普希兹条件及(6)得到⎰-≤-xx d L x x 0)()()()(0112ξξϕξϕϕϕ =ξξd x M L x x ⎰-≤0)(020)(!2x x ML-设对于正整数n,不等式nn n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕ成立,则有利普希兹条件,当时,有h x x x +≤≤00 ⎰-+-≤-x x n n n n d f f x x 0))(,())(,()()(11ξξϕξξϕξϕϕ⎰--≤xx n n d L 0)()(1ξξϕξϕ100)()!1()(!+-+=-≤⎰n n xx nnx x n ML d x n ML ξξ于是,由数学归纳法得知,对于所有的正整数k,有如下的估计(7)k k k k x x k ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕh x x x +≤≤00从而可知,当时h x x x +≤≤00 (8)kk k k h k ML x x !)()(11--≤-ϕϕ(8)的右端是正项收敛级数∑∞=1!k kkk h ML的一般项,由维尔斯特拉斯判别法级数(5)在上一h x x x +≤≤00致收敛,因而序列也在上一致收敛,命题2证毕.{})(x n ϕh x x x +≤≤00命题3 是积分方程(2)的定义于上的连续解.)(x ϕh x x x +≤≤00证明: 由利普希兹条件)()())(,())(,(x x L x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-以及在上一致收敛于,即知序列{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x ϕ{}{})(,()(x x f x f n n ϕ≡在上一致收敛于.因而对于(4)两边取极h x x x +≤≤00{})(,(x x f ϕ限,得到dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+≡ϕϕ =⎰-∞→+xx n n d f y 0))(,(lim 10ξξϕξ即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这就是说是积分方程(2)的定义于上的连续解.命)(x ϕh x x x +≤≤00题3证毕.命题4 设是积分方程(2)的定义于上的一个连)(x φh x x x +≤≤00续解,则 , )()(x x ϕφ≡hx x x +≤≤00证明:我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数.)(x φ{})(x n ϕ为此,从0)(y x =ϕ (n=1,2,…)⎰+=xx n d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ ξξφφd x f y x xx ))(,()(00⎰+≡我们可以进行如下估计)()(,()()(000x x M d f x x xx -≤≤-⎰ξξφξφϕξξφξξϕξφϕd f f x x x x ⎰-≤-0))(,())(,()()(01 ξξφξϕd L xx ⎰-≤0)()(0 200)(!2)(0x x MLd x ML xx -=-≤⎰ξξ现设,则有n n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---φϕ ξξφξξϕξφϕd f f x x xx n n ⎰-≤--0))(,())(,()()(1 ξξφξϕd L xx n ⎰-≤-0)()(1 100)()!1()(!+-+=-≤⎰n xx Nx x n MLd x n ML ξξ故有数学归纳法得知,对于所有的正整数n,有下面的估计式(10)10)()!1()()(+-+≤-n nn x x n ML x x φϕ因此,在上有h x x x +≤≤00 (11)1)!1()()(++≤-n n n h n ML x x φϕ是收敛级数的公项,故因而1)!1(++n n h n ML 0)!1(1→+∞→+n n h n ML n 时在上一致收敛于,根据极限的唯一性,即得{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x φ)()(x x ϕφ≡h x x x +≤≤00命题4证毕.综合1-4,即得到一阶线性微分方程解的存在唯)()(x q y x p dxdy+=一定理的证明.。

第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时）一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理.二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：1 课题引入在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v123(,,,)(,,,)(,,,)x y zv f t x y z v f t x y z v f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。

因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dzv dt =, 所以这个问题其实就是求一阶微分方程组123(,,,)(,,,)(,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩的满足初始条件00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z =的解(),(),()x t y t z t .另外，在n 阶微分方程（1.12）()(1)(,,,,)n n yf x y y y-'=中,令(1)121,,,n n y y y y yy --'''===就可以把它化成等价的一阶微分方程组11221111(,,,,)n n n n dy y dx dy ydx dy y dx dyf x y y y dx----⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩注意，这是一个含n 个未知函数11,,,n y y y - 的一阶微分方程组.含有n 个未知函数12,,,n y y y 的一阶微分方程组的一般形式为：11122112112(,,,,)(,,,,)(,,,,)n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ (3.1)如果方程组(3.1)右端函数不显含x , 则相应的方程称为是自治的. 方程组(3.1)在[,]a b 上的一个解，是这样的一组函数12(),(),,()n y x y x y x使得在[,]a b 上有恒等式12()(,(),(),,())i i n dy x f x y x y x y x dx=(1,2,,)i n =含有n 个任意常数12,,,n C C C 的解1112221212(,,,,)(,,,,)(,,,,)n n n n n y x C C C y x C C C y x C C C ϕϕϕ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组11212212121212(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0n n n n n n n x y y y C C C x y y y C C C x y y y C C C Φ=⎧⎪Φ=⎪⎨⎪⎪Φ=⎩则称后者为(3.1)的通积分.如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件1010202000(),(),,()n n y x y y x y y x y ===(3.2)的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于12,,,n C C C 的n 个方程式，如果从其中解得12,,,n C C C ，再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.2 一阶微分方程组的向量和矩阵表示为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1). 令n 维向量函数12()()(),()n y x y x Y x y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11221212(,,,,)(,,,,)(,)(,,,,)n n n n f x y y y f x y y y F x Y f x y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦并定义111(),dy dx dy dY x dx dx dy dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦00001()()()()x x x x n x x x n x f x dx f x dx F x dx f x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰则(3.1)可记成向量形式(,)dYF x Y dx= (3.3)初始条件(3.2)可记为00(),Y x Y = 其中102000n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.2)′(3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为00(,)()dYF x Y dx Y x Y⎧=⎪⎨⎪=⎩(3.4)这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.进一步，对n 维向量Y 和矩阵()ij A a =,12,n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义1,ni i Y y ==∑,1nij i j A a ==∑易于证明以下性质：1.0Y ≥,且0Y =, 当且仅当0Y =(0 表示零向量，下同);2.1212Y Y Y Y +≤+;3.对任意常数α，有Y Yαα=;4.0A ≥;5.A B A B+≤+;6.对任意常数γ，有A Aγγ=;7.AY AY ≤;8. AB A B≤.称Y 和A 分别为向量Y 和矩阵A 的范数. 进而还有如下性质()()xxx x F x dx F x dx ≤⎰⎰有了n 维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛的概念. 即：如果对[,]a b 上的任意x ，有lim ()()0n n Y x Y x →∞-=则称()n Y x 在[,]a b 上按范数收敛于Y (x ).如果上式对[,]a b 上的x 为一致的，则称()n Y x 在上[,]a b 按范数一致收敛于()Y x .另外, 如果对n 维向量函数F (x )有0lim ()()0x x F x F x →-=则称()F x 在0x 连续. 如果()F x 在区间[,]a b 上每一点0x 都连续, 则称()F x 在区间[,]a b 上连续. 有了以上准备，完全类似于第二章定理 2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理. 定理3.1 如果函数(,)F x Y 在1n + 维空间的区域00:,R x x a Y Y b -≤-≤上满足： 1) 连续；2) 关于Y 满足李普希兹条件，即存在0N >, 使对于R 上任意两点1(,),x Y 2(,)x Y ,有1212(,)(,)F x Y F x Y N Y Y -≤-则存在00h >, 使初值问题(3.4)的解在00x x h -≤ 上存在且唯一，其中0min(,),bh a M=(,)max (,)x Y RM F x Y ∈=.定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程0()(,())xx Y x Y F x Y x d x =+⎰(3.5)同解.为证(3.5)的解在00x x h -≤ 上的存在性，同样用逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成.对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量y 换成向量Y 即可.最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间xoy 平面上的一条曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一个解就是1x Y中的一条曲线了，也称它为方程组(3.3) n 维空间(,)的积分曲线.本节要点：1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义.2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在.作业: 完成定理3.1的证明.。

常微分方程Ordinary Differential Equations第三讲一阶常微分方程解的存在性与唯一性内容提要问题引入存在唯一性定理 例题00d (,),()d yf x y y x y x ==一阶方程初值问题 初等积分法求解的方程可变量分离的方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程等22d ,(0) 1 d y x y y x =+=不能用初等积分法求解的方程非线性方程, 如黎卡提方程结论需要从理论上研究微分方程解的性质d ,(0) 1 (1)d yy y x==例1证明初值问题的解存在且唯一.证明0 (),(1) ()1()d . (2)xy x y s y s y x ==+⎰若是初值问题的解则对方程两端积分可得,()(2),(1),(1)(2).y y x =反之若一个连续满足式则它一定是初值问题的解即初值问题与积分方程解的存在唯一性等价下面用逼近的方法求(2)的解. 令0()1,y x = 100()1()d 1,xy x y s s x =+=+⎰2210()1()d 1,2x xy x y s s x =+=++⎰23320()1()d 1,2!3!xx xy x y s s x =+=+++⎰2310()1()d 1.2!3!!nx n n x xxy x y s s x n -=+=+++++⎰(),lim ()e .xn n n y x y x →∞=收敛且e (1).xy =是方程的解 ()()(1),()()(), ()()()()()(),(0)0.y f x y g x h x f x g x h x f x g x f x g x h x h ===-'''=-=-==设和都是方程的解令则有[()()]e[()e ]0.xxh x h x h x --''-==于是可知()e0,()0.xh x h x -≡=因此可得即存在性✔唯一性✔问题一般微分方程初值问题解的存在唯一性?(){}00121212(,),||,||,0,(,),(,)|(,)(,)|||,(,)Lipschitz , Lipschitz .1 f x y D x y x x a y y b L x y x y D f x y f x y L y y f x y D y L -≤-≤>∈-≤-若在矩形区域=上连续 且存在常数使得对所有的都有 则称在上关于满足条件称为数 常定义000(,)0d (,) (3)(,)Lipschitz ,[,],min ,,=max |d ((,)|.1)x y Df x y yD y f x y I x h x h b h a M f x y M x y x y∈⎧=⎪⎨=-+⎪=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎩若在 上连续 且关于满足 条件 则初值问题: 在区间上有并且只有一个解 其中 常数 定理二、存在唯一性定理()00(3i ((),)d 4)xxy y f t y t =+⎰初值问题等价于积分方程:(4).I 定理的证明等价于证明积分方程在区间上有且只有一个解证明分四步进行Picard (ii)构造迭代函数序列01000()(,())d (5)()x n n x y x y f t y t t y x y +⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰Picard {}(iii), (4);n y I 序列在区间上一致收敛且极限是的解.(iv)解的唯一性第一步等价的积分方程0 ()(,)d . ()(3), (4)xx y x y f t y t y y x =+=⎰若是初值问题的解对方程两端积分可得()(4),()(3),(3)(4).y y x y x =反之若是积分方程的解则满足初值问题的解即初值问题与积分方程解的存在唯一性等价第二步构造Picard 迭代函数列00100 ();()()(,())d ;xx y x y y x y x f t y t t ==+⎰020121()()(,())d ;()(),,xx y x y x f t y t t y x y x =+=⎰若停止否则10()(),,y x y x =若停止否则01,,()()(,())d .xn n x y x y x f t y t t -=+⎰重复上述过程12,()(),()(4)Picar .{()},.d k k k n k y x y x y x y x -≥=若存在使得则显然是的解否则得到一个连续函数序列为序列称第三步Picard 函数列一致收敛, 且极限是方程(4)的解0000,] , ,] .x x h x h x +-只证在区间[成立对于[类似可证011 ()[()()], (6)k k k y x y x y x ∞-=+-∑考虑函数项级数0111():()()[()()]().n nn k k n k n S x S x y x y x y x y x -=+=+-=∑其前项部分和 (6){()}.n y x 下面通过证明级数的一致收敛来证明一致收敛010000|()()|=|(,())d ||(,())|d ();x xx x y x y x f t y t t f t y t t M x x -≤≤-⎰⎰02110|()()||(,())(,())|d xx y x y x f t y t f t y t t-≤-⎰002010(|()d ().2!)()|d xxx x L ML LM x x t y x x t y t t ≤-=-≤-⎰⎰Lipschitz 条件000+1111010|()()||(,())(,())|d (),(1|()(())|d )!d !xn n n n n x n x x n x x n n n L y t y y x y x f t y t f t y t tM ML LM x x t L x t t x n n --+--≤-+-=-≤≤-⎰⎰⎰110|()()|(),!n n n n ML y x y x x x n ---≤-设则111000,|()()|(),[,].!!k k k k k k k ML ML y x y x x x h x x x h k k ----≤-≤∈+所以由数学归纳法可得对所有的自然数 有11100100, ![()()Weierstrass [{(),],Picard ,}[]].k k k k k n k y x x ML h k y x y x x h x x h -∞=∞-=++-∑∑又级数由判别法知函数收敛一致收项级数在上故序列在上一致收敛敛00Lipschitz |(,())(,())||()()|,(,)(){(,())} [,] (,()), n n n n f x y x f x x L y x x f x y y x f x y x x x h f x x ϕϕϕ-≤-+再根据条件的连续性以及的一致收敛性可得函数列在上一致收敛到 因而()(),()(),n n y x x y x x ϕϕ→设则由的一致收敛可知连续00001010()lim ()lim (,())d lim (,())d (,())d ,xn n x n n xn x n x x x y x y f t y t t y f t y t t y f t t t ϕϕ-→∞→∞-→∞==+=+=+⎰⎰⎰()(4) , () (3) .x x ϕϕ即连续函数是积分方程的解于是也是初值问题的解第四步解的唯一性00()()[,], ,|()()|.x x x x h x x K ψϕψϕ-+-≤在 上连续故有界 设 ()(4), ()().x x x ψψϕ=设也是积分方程的解需要证明000Lipschitz ()()||[(,())(,())]d | |()()|d (),xx xx x x f t t f t t t L t t t LK x x ψϕψϕψϕ-=-≤-≤-⎰⎰由条件有|0[()],()()|, 1.!n K L x x x x n n ψϕ--≤≥重复此操作可由归纳法得到|0(||)0,()()0,()=().n L x x K x x x x n ψϕψϕ-→-→因为所以即！000200()()|()()()||()()|d [()],()()|()d =.2!xx x x x x LK x x x x L t t t K L x x x x L LK t x t ψϕψϕψϕψϕ-≤--≤---≤-⎰⎰再将|代入不等式|的右端可得 |✔注记(,) .f x y D 在矩形区域 上有连续的偏导数 定理1中的Lipschitz 条件验证比较困难, 在实际应用中经常用如下条件代替:122121212, (,) , ,(,) , |(,)(,)|=| (,())()| ||.y y y f x y D D f x y L f x y f x y f x y y y y y L y y ≤-+--≤-θ 事实上若 在上连续则它在 上有界不妨设 | | 则由微分中值定理有定理1中只给出了局部范围解的存在唯一性, 实际上在很多情况下都可以将解的存在范围延拓到较大的区间.证明221,1, {(,)|||1,1min{||1},(,), ,, 2, .}2 a b D x y x y f x y x y D M b h a M ===≤≤=+=== 取则 在上连续且有连续偏导数且所以 22d ,(0)0 d y x y y x =+=例2 证明初值问题的解在区间上存在且唯一, 且求其Picard 序列中的前四个.11[,]22-11[,]22.- 于是由解的存在唯一性定理知该初值问题在区间上有唯一解证明22d ,(0)0 d y x y y x =+=例2 证明初值问题的解在区间上存在且唯一, 且求其Picard 序列中的前四个.11[,]22-下面求解. 0()0,y x = 23101()0d ,3x y x s s x =+=⎰222010232370()()[+()]d 111 0[()]d ;3363x x y x y x s y s s s s s x x =+=++=+⎰⎰2237111530201121()()[+()]d .363207959535x y x y x s y s s x x x x =+=+++⎰皮卡( Picard, Charles Emile) 1856.7.24—1941.12.11, 法国数学家皮卡(Picard Charles Emile,1856年7月24日—1941年12月11日), 法国数学家. 生于巴黎, 卒于同地. 1877年毕业于巴黎高等师范学校, 获得博士学位. 1879年被聘为图卢兹大学教授, 同时任教于巴黎高等师范学校和巴黎综合工科学校. 1898年任巴黎大学教授,1917年当选为法国科学院终身秘书. 他是伦敦皇家学会、原苏联科学院等30多所重要科研机构的成员, 并被5所外国大学授予名誉博士学位, 曾获多种科学奖金.皮卡的主要贡献在解析函数论、微分方程、代数几何学和力学等方面. 1879年他提出皮卡第一定理, 次年得到皮卡第二定理. 这两个定理成为复变函数论许多新方向的起点. 1883–1888年皮卡将庞加莱（Poincaré）自守函数的方法推广到二元复变函数, 进而研究了代数曲面(1901), 导致了“皮卡群” （Picard Group）的建立. 他推广了逐步逼近法, 证明了含复变量的微分方程和积分方程的解的存在唯一性定理.李普希茨（Lipschitz, Rudolf Otto Sigismund) 1832.5.14—1903.10.7, 德国数学家利普希茨的数学贡献涉及众多学科, 特别在常微分方程和微分几何领域做出重要贡献. 在常微分方程解的存在性探求中创立了著名的“利普希茨条件” 判别法, 得到柯西-利普希茨存在性定理. 在代数数论领域引入了实变换的符号表示法及其计算法则, 建立起被称为“利普希茨代数” 的超复数系. 在微分几何方面他对黎曼1854年的有关结果进行了研究, 讨论了多重微分与子流形的性质, 并由此开创了微分不变量理论的研究, 其研究成果为爱因斯坦建立广义相对论奠定了数学基础. 此外, 利普希茨在力学和物理学方面也做出了不少贡献.利普希茨（Lipschitz, Rudolf Otto Sigismund), 生于柯尼斯堡,卒于伯恩. 在柏林大学曾师从狄利克雷学习数学, 1853年8月9日获博士学位. 随后在柯尼斯堡预科学校和埃尔宾预科学校任教四年, 1857年回柏林大学任教, 1864年成为伯恩大学数学教授. 曾被选为巴黎科学院和柏林、格廷根、罗马等地研究院的通讯院士.感谢大家的聆听！。

第二章 一阶微分方程的解的存在定理§2.1 一阶微分方程解的基本理论主要内容一 导数已解出方程初值问题解的存在唯一性定理 考虑导数已解出的一阶DE 的初值问题()()00,y f x y y x y '=⎧⎪⎨=⎪⎩(2.1)(2.2)这里()y x f ,是在闭矩形域R ： a x x ≤-0，b y y ≤-0上的连续函数。

定义2.1 如果存在常数0>L ，使得对于所有的点()1,y x ，()2,y x R ∈，都有不等式()()2121,,y y L y x f y x f -≤-成立，则称函数()y x f ,在R 上关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件。

1定理2.1 （毕卡存在唯一性定理） 如果()y x f ,在R 上满足条件： 1）连续；2）关于y 满足李普希兹条件，则初值（2.1）和（2.2）在区间h x x ≤-0上存在唯一解()x y y =，其中()M b a h ,m in=，()y x f M R y x ,max ),(∈=。

注1 取数h 的意义。

注意到()y x f M R y x ,max ),(∈=，从而积分曲线()x y y =在任一点()()R x y x ∈,处的切线斜率()M x y ≤'。

于是从点()o y x p ,0引两条斜率分别为M 和M -的直线1l 和2l ，便知过点P 的积分曲线必限制在图2.1和图2.2的阴影区域内。

而直线1l 和2l 相交情形有如下两种可能。

（i ）若相交成如图 2.1所示的情况，则a Mb>，积分曲线()x y y =在a x x ≤-0上不越出R ,从而应取a h =。

（ii ）若相交成如图 2.2所示的情况，则a Mb >，积分曲线()x y y =在Mb x x ≤-0上不越出R ,从而应取Mb h =。

总之，取()M ba h ,min =，就是为了使初值问题（2.1）和（2.2）的解在h x x ≤-0上总存在。

一阶微分方程的解的存在定理总结下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!一阶微分方程的解的存在定理总结一阶微分方程是微积分中的重要内容，它描述了变量之间的变化率与变量本身的关系。

一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1)这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。

定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。

定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3)这里，。

我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。

为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。

现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。

首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。

然后去证明积分方程的解的存在唯一性。

任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数，显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。

否则,我们又把代入积分方程右端的，得到，如果，那末就是积分方程的解。

否则我们继续这个步骤。

一般地作函数(3.1.1.4)这样就得到连续函数序列：，，…，，….如果，那末就是积分方程的解。

如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到即，这就是说是积分方程的解。

这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。

由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。

在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。

下面我们分五个命题来证明定理1。

常微分方程教程第三章信计09级命题1设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上，满足初始条件(3.1.1.3)的解，则是积分方程(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。

反之亦然。

证明因为是方程(3.1.1.1)的解，故有，两边从到取定积分得到把(3.1.1.3)代入上式，即有因此，是(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。