高三数学小题狂做(20)理

狂刷43 椭圆1．“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知椭圆22:1641C x y +=，则下列结论正确的是A ．长轴长为12 B ．焦距为34 C ．短轴长为14D ．离心率为323．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>5P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为 A ．8 B ．6 C ．5D ．44．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点与右顶点的直线方程为240x y +-=，则椭圆C 的标准方程为A ．221164x y +=B ．221204x y += C ．221248x y +=D ．221328x y += 5．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为AB 1CD ．26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，，过2F 的直线l 交C 于,A B 两点，若1AF B △的周长为b 的值为A ．4B ．2CD ．7．已知椭圆2213216x y +=内有一点()2,2B ，1F ，2F 是其左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则1MF MB +u u u u r u u u r 的最小值为A ．4B ．C ．62D ．68．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为 A ．212B ．84C ．3D ．219．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且2POF △为等边三角形，则C 的离心率e = A ．31-B ．22C ．12D 10．若椭圆的方程为221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.11．过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则PFQ △的周长的最小值为_______.12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，A （﹣a ，0），B （0，b ）为椭圆的两个顶点，若F到AB________．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点是F ，O 为坐标原点，若椭圆上存在一点P ，使POF△是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能．．．为A BC ．2D ．215．已知椭圆222210)x y a b a b+=（＞＞的左顶点、上顶点和左焦点分别为,,A B F ，中心为O ，其离心率为12，则:ABF BFO S S =△△ A ．1:1B ．1:2C ．(2:2D 216．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u u r u u u r ，222AF F B =u u u u r u u u u r，则椭圆E 的离心率为A ．23 B ．34C D ．417．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线交椭圆E于,A B 两点，点A 在x 轴上方.若3AB =，2ABF △的内切圆的面积为9π16，则直线2AF 的方程是 A ．3230x y +-= B ．2320x y +-= C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=18．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PB 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．51,12⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作倾斜角60°的直线l 交C 于A ，B两点（A 在第一象限），则AF BF=________.20．已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线(0)y kx k =>与C 相交于,M N 两点（其中M 在第一象限），若||MN =，|||FM FN ≤，则C 的离心率的最大值是____．21．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=22．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．823．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b24．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．5925．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．1426．【2017年高考全国Ⅱ理数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3 B ．3C ．3D ．1327．【2017年高考全国III 理数】已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=28．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．29．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.30．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．31．【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．1．“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】方程2212x ym m +=-表示椭圆，即020022m m m m m>⎧⎪->⇒<<⎨⎪≠-⎩且1m ≠，所以“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选C ．【名师点睛】本题考查了椭圆的概念与常用逻辑用语，易错点为椭圆中a b ¹，属于较为基础题.先求得方程2212x y m m+=-表示椭圆的m 的取值范围，再利用充分必要条件去判断可得答案.2．已知椭圆22:1641C x y +=，则下列结论正确的是A ．长轴长为12 B C ．短轴长为14D 【答案】D【解析】由椭圆方程221641x y +=化为标准方程可得22111164x y +=， 所以11,,24a b c ===， 所以长轴长为21a =，焦距为22c =，短轴长为122b =，离心率c e a ==. 所以选D ．【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及a 、b 、c 的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题.3．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为 A ．8 B ．6 C ．5D ．4【答案】A【解析】椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率：c e a ==，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即212a =，可得：6a =，c =，4b ∴==，则椭圆短轴长：28b =.本题正确选项为A ．【名师点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题．求解时，利用椭圆的定义以及离心率，求出,a c ，然后求解椭圆短轴长即可．4．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点与右顶点的直线方程为240x y +-=，则椭圆C 的标准方程为A ．221164x y +=B ．221204x y += C ．221248x y +=D ．221328x y += 【答案】A【解析】在直线方程240x y +-=中，令x =0，得y =2，得到椭圆的上顶点坐标为（0,2），即b =2， 令y =0，得x =4，得到椭圆的右顶点坐标为（4,0），即a =4，从而得到椭圆方程为：221164x y +=. 故选A.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，属于简单题.通过直线方程可得椭圆的上、右顶点坐标，从而可确定椭圆方程.5．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为AB 1C ．2D ．32【答案】B【解析】设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，圆与椭圆交于A ，B ，C ，D 四个不同的点，则122F F c =，1DF c =，2DF =．根据椭圆定义，得122||||a DF DF c =+=+，所以1c e a ===. 故选B ．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.求解时，设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，圆与椭圆交于A ，B ，C ，D 四个不同的点，结合椭圆的定义以及离心率公式求得答案．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，，过2F 的直线l 交C 于,A B 两点，若1AF B △的周长为b 的值为A ．4B ．2CD ．【答案】Ce c a ==，若△ABF 1的周长为4a ＝a =c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3﹣1＝2，即b =故选C ．【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，离心率公式，考查计算能力，属于基础题．7．已知椭圆2213216x y +=内有一点()2,2B ，1F ，2F 是其左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则1MF MB +u u u u r u u u r 的最小值为A ．4B ．C ．D ．6【答案】C【解析】由题意得|1MF u u u u r |+|MB u u u r |＝2a ﹣（|2MF u u u u r |﹣|MB u u u r|）≥2a ﹣|2BF u u u u r |＝=，当且仅当M ，F 2，B 共线时取得最小值 故选C ．【名师点睛】本题考查了与椭圆有关最值的求法，考查了椭圆的定义的应用，考查了数学转化思想方法，是中档题．借助于椭圆的定义把|1MF u u u u r |+|MB u u u r |转化为2a ﹣（|2MF u u u u r |﹣|MB u u u r |），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案．8．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为 A ．212B ．84C ．3D ．21【答案】D【解析】依据题意作出椭圆与双曲线的图象如下，由椭圆方程2212516x y +=可得：2125a =，15a =，由椭圆定义可得：121210PF PF a +==…（1），由双曲线方程22145x y -=可得：224a =，22a =，由双曲线定义可得：12224PF PF a -==…（2）， 联立方程（1）（2），解得：127,3PF PF ==， 所以123721PF PF ⋅=⨯=.故选D ．【名师点睛】本题主要考查了椭圆及双曲线的定义，还考查了椭圆及双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题.9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且2POF △为等边三角形，则C 的离心率e = A1B．2 C ．12D【答案】A【解析】如图，由2POF △为等边三角形，可知：P 122c c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，，又点P 在椭圆C上，∴2222121c a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=，即42840e e -+=，∴24e =±1e =1（舍去），∴1e =. 故选A.【名师点睛】由2POF △为等边三角形，可知P 12c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，，又点P 在椭圆C 上，可得离心率e 的方程，解之即可.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．10．若椭圆的方程为221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________. 【答案】4或8【解析】因为221102x y a a +=--是椭圆的方程，所以100a ->且20a ->，所以210a <<， 由椭圆的方程可得()2102122c a a a =---=-， 又24c =，所以1224a -=，解得4a =或8a =. 故答案为4或8.【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，由椭圆的长半轴、短半轴以及半焦距之间的关系即可求解，属于基础题型.先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可.11．过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则PFQ △的周长的最小值为_______. 【答案】18【解析】由椭圆的对称性可知，P Q ，两点关于原点对称， 设F '为椭圆另一焦点，则四边形PFQF '为平行四边形，由椭圆定义可知：420PF PF QF QF a +++==''， 又PF QF ='，QF PF ='，10PF QF ∴+=， 又PQ 为椭圆内的弦，min 28PQ b ∴==，PFQ ∴△周长的最小值为：10818+=.【名师点睛】本题考查椭圆中三角形周长最值的求解问题，重点考查学生对于椭圆几何性质的掌握，关键是能够利用椭圆的对称性和定义求得PF QF +的值，再结合min 2PQ b =，从而得到所求周长的最小值.12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，A （﹣a ，0），B （0，b ）为椭圆的两个顶点，若F到AB________． 【答案】12【解析】依题意得，AB 的方程为1x ya b+=-，即：bx ﹣ay +ab ＝0， 设点F （﹣c ，0）到直线AB 的距离为d，则d ==∴5a 2﹣14ac +8c 2＝0，∴8e 2﹣14e +5＝0， ∵e ∈（0，1），∴e ＝12或e ＝54（舍去）． 故答案为12． 【名师点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．由题意可得直线AB 的方程：bx ﹣ay +ab ＝0，利用点F （﹣c ，0）到直线AB 的距离公式可建立关系式，整理得到关于e 的方程，即可求解．求曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，利用离心率的定义求解；②根据条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为关于e 的方程求解．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=【答案】C【解析】根据题意，椭圆2222 10x y a b a b+=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =22 4b a=，又222c a b =-，解得3a =，b =所以所求椭圆方程为：22196x y +=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．求解时，利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =22 4b a=，求解a ，b 然后推出椭圆方程．14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点是F ，O 为坐标原点，若椭圆上存在一点P ，使POF△是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能．．．为A BC ．2D ．2【答案】C【解析】当π2P ∠=时，将,22c c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程并化简得22241e e e +=-，解得e =当π2O ∠=时，b c =，a =，故2c e a ==.当π2F ∠=时，2b c a =，即2b ac =，22a ac c =+，210e e +-=，解得e =.综上所述，C 选项不可能，故选C.【名师点睛】本小题主要考查等腰直角三角形的性质，考查椭圆离心率的求解方法，属于中档题.分别根据,,P O F ∠∠∠为直角时，椭圆的离心率，由此得出正确的选项.15．已知椭圆222210)x y a b a b+=（＞＞的左顶点、上顶点和左焦点分别为,,A B F ，中心为O ，其离心率为12，则:ABF BFO S S =△△ A ．1:1B ．1:2C ．(2:2D 2【答案】A【解析】由题意，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，其离心率为12，则面积为1()2ABF S a c b =-⨯△，12BFO S cb =△， 则1()2121112ABFBFOa c bS a c a S c c cb --===-=-=△△，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质，合理利用三角形的面积公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u u r u u u r ，222AF F B =u u u u r u u u u r，则椭圆E 的离心率为A ．23B ．34C ．3D ．4【答案】C【解析】222AF F B =u u u u r u u u u rQ ，则可设2||BF x =，则2||2AF x =.由椭圆的定义，可以得到11||22,||2AF a x BF a x =-=-，120AF AF ⋅=u u u r u u u u rQ ，12AF AF ∴⊥.在1Rt AF B △中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =， 2124||,||33a aAF AF ∴==.在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得225=9c a ，c e a ∴== 故选C 项.【名师点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 的关系，得到离心率，属于中档题.17．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线交椭圆E于,A B 两点，点A 在x 轴上方.若3AB =，2ABF △的内切圆的面积为9π16，则直线2AF 的方程是 A ．3230x y +-= B ．2320x y +-= C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=【答案】D【解析】设内切圆半径为r ，则29ππ16r =，∴34r =， Q ()1,0F c -，∴内切圆圆心为3,04c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由3AB =知3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,0F c ，所以2AF 的方程为3430x cy c +-=，由内切圆圆心到直线2AF 距离为r34=，解得1c =， 所以2AF 的方程为3430x y +-=. 故选D 项.【名师点睛】本题考查内切圆的性质，直线的表示，点到直线的距离，属于中档题.求解时，根据内切圆面积，求得半径，然后得到圆心坐标，利用2,A F 坐标表示出直线，由圆与直线2AF 相切，得圆心到直线的距离等于半径，算出c ，从而确定直线方程.18．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PB 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是A．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．20,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．⎛⎝⎭D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】C【解析】设直线l 为过1B 且与22A B 垂直的直线，易知22,B A b k a =-则直线l 的斜率为ak b=， 而()10,B b -，则该直线l 的方程为ay x b b =-，所以该直线与x 轴的交点坐标为2,0b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，要使得12B PB ∠为钝角，则说明直线1B P 在直线l 上方，故满足2b c a <，结合222b a c =-，得到22,,c ac a c e a <-=结合得210e e +-<，结合01,e <<解得e ⎛∈ ⎝⎭.故选C. 【名师点睛】本道题考查了椭圆的基本性质，考查了点斜式直线方程计算方法，关键得出两直线与x 轴交点的关系，建立不等式，计算e 的范围，即可，属于偏难的题.结合题意，先计算垂直于直线22A B 的方程，计算与x 轴交点，建立不等式，计算e 的范围，即可.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作倾斜角60°的直线l 交C 于A ，B两点（A 在第一象限），则AF BF=________.【答案】35【解析】因为离心率为12，所以2,a c b ==， 将直线AB的方程)y x c -代入椭圆方程：2222143x y c c+=，得：2580x cx -=，又∵点A 在第一象限，故850A B x cx ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以2281(3)||||35.||51(3)|0|c c AF BF c +-==+-【名师点睛】本题考查直线与椭圆交点以及椭圆定义，考查基本分析转化求解能力，属中档题.解答本题时，先根据直线方程与椭圆方程解得点A 横坐标，再根据椭圆定义化简求值.20．已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线(0)y kx k =>与C 相交于,M N 两点（其中M 在第一象限），若||MN =，|||FM FN ≤，则C 的离心率的最大值是____．1【解析】设右焦点为F '，连接,MF NF ''，由椭圆对称性知四边形FMF N '为平行四边形，又||MN ==2c =||FF '，故四边形FMF N '为矩形，|||FM FN ≤|F M '，又||||2FM F M a '+=，即2a F M M '-≤'，∴F M ≥' 又222(2)4a F M F M c -+=''，故0<e 1-.1.【名师点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆定义的应用，转化化归思想，利用定义转化为矩形是关键，是中档题.求解时，设右焦点为F '，连接,MF NF ''，由椭圆对称性得四边形FMF N '为矩形，结合椭圆定义及勾股定理得a ，c 不等式求解即可.21．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．22．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．23．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c的关系可得满足题意的等式. 24．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y+=的离心率是A．3B．3C．23D．59【答案】B【解析】椭圆22194x y+=的离心率e==B．【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c的方程或不等式，再根据,,a b c的关系消掉b得到,a c的关系式，建立关于,,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．25．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A的直线上，12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为A．23B．12C．13D．14【答案】D【解析】因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以212||2||PF F F c==，由AP的斜率为6可得2tan6PAF∠=，所以2sin PAF∠=，2cos PAF∠=，由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠， 所以4a c =，14e =，故选D ． 【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于a,b,c 的方程或不等式，再根据a,b,c 的关系消掉b 得到a,c 的关系式，而建立关于a,b,c 的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.26．【2017年高考全国Ⅱ理数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．3 B．3C．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ． 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).27．【2017年高考全国III 理数】已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为b y x a =±，在椭圆中：2212,3a b ==，2229,3c a b c ∴=-==，故双曲线C 的焦点坐标为(3,0)±，据此可得双曲线中的方程组：2223,b c c a b a ===+，解得224,5a b ==， 则双曲线C 的方程为2145x y 2-=．故选B ．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2220x y a bλλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可.28．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.29．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.30．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.31．【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．1 2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c +，再根据椭圆定义得32c c a +=，所以椭圆M 的离心率为3113c a ==-+．双曲线N 的渐近线方程为ny x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m++===，所以2e =．。

专题八立体几何狂刷39立体几何的综合1．下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；③“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的充分不必要条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”.其中正确命题的序号是A．①②B．②③C．③④D．②④【答案】B【解析】①“a平行于b所在的平面”不能推出“直线a∥直线b”，如：正方体上底面一条对角线平行于下底面，但上底面的一条对角线却不平行于下底面非对应位置的另一条对角线，故错误；②“直线l⊥平面α内所有直线”是“l⊥平面α”的定义，故正确；③“直线a、b不相交”不能推出“直线a、b为异面直线”，这里可能平行；“直线a、b为异面直线”可以推出“直线a、b不相交”，所以是必要不充分条件，故正确；④“α内存在不共线的三点到β的距离相等”不能推出“平面α∥平面β”，这里包含了平面相交的情况，“平面α∥平面β”能推出“α内存在不共线的三点到β的距离相等”，所以是必要不充分条件，故错误.故选B．【名师点睛】本题考查空间中平行与垂直关系的判断，难度一般.对可以利用判定定理和性质定理直接分析的问题，可直接判断；若无法直接判断的问题可采用作图法或者排除法判断.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为A ．5B ．6C ．7D ．22【答案】C【解析】如图，AB =5，BD =1，2CD =，将四面体补成长方体，则BC =3，可知最长的棱为长方体的体对角线22AC =，最短的棱为1BD =，BD 平行于CE ，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，因为2,7BE CD AE ===则，因为1,BD CE ==且根据面面垂直和线面垂直的性质，可知CE AE ⊥，所以tan ACE ∠=7AECE=. 故选C.【名师点睛】本题综合考查了由三视图还原几何体，考查了求异面直线夹角，考查了面面垂直和线面垂直的性质，涉及了长方体的结构特征；把不规则的几何体补成规则几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算求解.由三视图还原几何体，采用补形法补成长方体，可知最长的棱与最短的棱，再求异面直线所成角的正切值.3．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，则θ的取值范围是A ．)2π,2π⎡⎣B ．π,2π⎡⎤⎣⎦C ．{}2πD ．2π,π2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】设轴截面的中心角为2α，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为212sin 222α⨯⨯=， 所以π22α=，则圆锥的底面圆半径r 满足22222r =⨯=，圆锥的底面圆周长为2π22πr =， 展开后对应的扇形弧长为222πθ=，解得2πθ=，故选C ．【名师点睛】本题考查圆锥侧面展开图扇形圆心角的计算，解题时要弄清楚圆锥底面圆的周长与侧面展开图扇形的弧长相等来建立等量关系，考查空间想象能力，属于中等题.4．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形 C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC A D ．四边形1AEC F 不可能为梯形 【答案】D【解析】对于A ，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形1AEC F 为菱形，故A 错误； 对于B ，四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影一定是正方形，故B 错误；对于C ，当两条棱上的交点是中点时，四边形1AEC F 垂直于平面11ACC A ，故C 错误； 对于D ，四边形1AEC F 一定为平行四边形，故D 正确. 故选D.5．《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍甍，底面ABCD 为矩形，且EF ∥底面ABCD ，EF 到平面ABCD 的距离为h ，BC a =，AB b =，EF c =，则2B CDEFE ABD V V --=时，b c=A ．12B ．32C ．23D ．1【答案】D 【解析】因为2B CDEFE ABDV V --=，所以2B CDEF E ABD V V --=，又B C D E FV -=B EFD V -+B CFD V -,且E ABD V -=B CFD V -，∴B EFD V -=B CFD V -，EFD CFD S S ∴=V V ，EF CD ∴=，即b c =，故选D ．【名师点睛】研究棱锥体积的时候，需要将底面进行转化，同时发现是否有相同的底面或相同的高，本题是道中等难度的题目.6．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1AB E【答案】C【解析】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，所以B 错； 对于C 项，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，所以C 正确；对于D 项，因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11AC ∥平面1AB E 不正确，所以D 项不正确. 故选C.【名师点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系.由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E 是BC 中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项.7．已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，4BC =，2CD =，3AD =，3AD AE =，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达点P 的位置，且平面PBE ⊥平面EBCD ，则四棱锥P EBCD -外接球的表面积为 A ．8π3B ．16π3C ．12πD ．16π【答案】D【解析】取BC 中点O ，过点P 作BE 的垂线，垂足为F ，连接PO ，FO ，OD ，OE ，由于2BO OC OD OE ====，22313cos30,2cos 6022BF PB FO BF BO BF BO =︒==+-⋅︒=，3sin 302PF PB =︒=， 所以222PO PF FO =+=，即2OP OB OC OD OE =====.所以球心在BC 的中点处，所以外接球的半径为2，其表面积为16π. 故选D.【名师点睛】本题主要考查了四棱锥的外接球的性质以及球的表面积公式，关键是确定球心所在位置，属于难题.求解时，确定BC 中点O 为四棱锥P EBCD -外接球的球心，根据球的表面积公式求解即可.8．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 （材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A ．89πB ．169πC ．()3421π- D ．()31221π-【答案】A【解析】结合三视图可得该几何体为圆锥，其底面半径为1，高为2，则该圆锥的体积为：212ππ33V R h ==，如图所示，将其加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，设此长方体底面是边长为n 的正方形，高为x ，根据轴截面可得：21221nx-=，解得：1212n x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则长方体的体积函数为：()()221321,4222g x x x g x x x ⎛⎫'=-∴=-+ ⎪⎝⎭，由()0g x '=可得：122,23x x ==， 又x <2，所以结合导函数与原函数的单调性之间的关系可知：()2max21221621323327g x g ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则利用率为：1682729ππ3=.本题选择A 选项.【名师点睛】(1)求解以三视图为载体考查空间几何体的体积，解题的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 9．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝AD ，E 为棱P A 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为A ．22B ．53 C ．52D ．32【答案】B【解析】在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，可得ECD ∠即为异面直线AB 与CE 所成角， 连接ED ，则CDE △为直角三角形， 不妨设2AB a =，则5,3DE a EC a ==，所以5sin 3DE ECD EC ∠==， 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面α∥平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】过点M 作MN PA ∥交AB 于点N ，点M 作MF BC ∥交PC 于点F ，过点N 作NE AD ∥交CD 于点E ，连接EF .则平面MNEF ∥平面PAD ，MNEF y S =四边形.由PA ⊥平面ABCD ，可得MN ⊥平面ABCD ，平面α与平面PAD 之间的距离为x AN =，且四边形MNEF 为直角梯形. 由MN PA ∥，MF BC ∥得22MN x PA -=，2MF xBC =，所以()22,MN x MF x =-=.所以()()()22242MNEF MN MF NE y S x x x +===-+=-四边形.故选D.11．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，2CD CC '==，1BC =，E 为线段AB 上一点，若DD '与平面D EC '所成角的正切值为12，则D EC '△的面积为______.【答案】5 【解析】11122123323D CDE CDE V S DD '-'=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，设DD '与平面D EC '所成角为α，则1tan 2α=，∴5sin 5α=，∴D 到平面D EC '的距离25sin 5h DD α'==. ∴1233D D CE D CE V S h ''-=⋅=△，∴5D CE S '=△.故答案为5．【名师点睛】本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积，属于中档题．求解时，求出D 到平面D ′EC 的距离和三棱锥D ′﹣CDE 的体积，根据V D ′﹣CDE ＝V D ﹣D ′EC 列方程求出．12．已知四面体ABCD 的所有棱长都为6，O 是该四面体内一点，且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为13，x ，16和y ，则1x +1y的最小值是______. 【答案】83【解析】该几何体为正四面体，体积为()326312⨯=.各个面的面积为()2333642⨯=，所以四面体的体积又可以表示为1331133236x y ⎛⎫⨯⨯+++= ⎪⎝⎭，化简得32x y +=，故()()112112282223333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x =y 时取等号.【名师点睛】本小题主要考查正四面体体积的计算，考查利用分割法求几何体的体积，考查了方程的思想，考查了利用基本不等式求解和的最小值的方法.首先根据题目的已知条件判断出四面体ABCD 为正四面体，由于正四面体的棱长给出，所以可以计算出正四面体的体积，根据等体积法求得,x y 的一个等式，再利用基本不等式求得最小值.13．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为A ．33B ．3C ．26D ．23【答案】D【解析】以正六棱柱的最大对角面作截面如图，设球心为O ，正六棱柱的上下底面中心分别为1O ，2O ，则O 是1O ，2O 的中点，设高为2h ，设底面边长为a ，则229a h =＋，∴229a h =-，∴2233362(9)242V a h h h ⎛⎫=⨯⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，327333V h h =-，2273930V h '=-=，∴3h =，∴3h =，223h =.故选D.【名师点睛】本题重点考查球的内接几何体的知识，将空间几何体与导数的应用相结合是解题的关键，考查了学生的空间想象能力和运算能力.根据正六棱柱和球的对称性，球心O 必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求得函数取得最值的条件即可求出所要求的量. 14．如图所示，在四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是①A C BD '⊥； ②90BA C ︒∠='；③CA '与平面A 'BD 所成的角为30°； ④四面体A BCD '-的体积为13.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】1AB AD CD ===，2BD AB AD =⇒⊥，平面A BD '⊥平面BCD 且BD CD ⊥⇒CD ⊥平面A BD '，取BD 的中点O ，∵A B A D ''=，∴A O BD '⊥． 又平面A BD '⊥平面BCD ，平面A BD'平面BCD BD =，A O '∴⊥平面BCD ，BD CD ⊥，∴OC 不垂直于BD ．假设A C BD '⊥，则BD ⊥平面A OC '，∴OC BD ⊥，矛盾，故A 错误；CD BD ⊥，平面A BD '⊥平面BCD ，CD ∴⊥平面A BD '，CD ∴⊥A B '．12A B A D BD ''===，，A B A D ''∴⊥，∴A B '⊥平面A CD '，∴A B A C ''⊥，即90BA C ︒∠='，故B 正确；易知CA D '∠为直线CA '与平面A BD '所成的角，所以45CA D '∠=︒，故C 错误；'''1136A BCD C A BD A BD V V S CD ==⋅=﹣﹣△，故D 错误． 故选B.【名师点睛】本题考查了线线垂直，线面夹角，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.根据题意，依次判断每个选项的正误得到答案.15．已知三棱锥P ABC -中，AB BC =，AB BC ⊥，点P 在底面ABC △上的射影为AC 的中点，若该三棱锥的体积为92，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为 A ．2B ．33C ．23D ．3【答案】D【解析】如图所示，设AC 的中点为D ，连接PD ，很明显球心在PD 上，设球心为O ，PD =h ，AB =x ，则2211927,322x h x h⨯=∴=，在Rt △OCD 中：OC 2=CD 2+OD 2，设OC =R ，则()22222R x h R ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：22232221271272727922322424444444h x h h h h h h h R h h h h h ⨯++===+=++≥⋅⋅=，当且仅当22744hh =，即h =3 时等号成立，此时其外接球的体积最小.即满足题意时三棱锥的高为3h =. 本题选择D 选项.【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16．已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面为等边三角形，且底面积为34，体积为34，点P ，Q 分别为线段A 1B ，B 1C 上的动点，若直线PQ ∩平面ACC 1A 1＝∅，点M 为线段PQ 的中点，则点M 的轨迹长度为 A ．24 B ．34 C ．22D ．32【答案】D【解析】由题意可作如下图：因为直线PQ 与平面11A ACC 无交点，所以直线PQ 与平面11A ACC 平行，所以1A P CQ =， 当点P 、点Q 分别在点1A 、C 处时，此时中点M 为1A C 中点， 当点P 、点Q 分别在点B 、1B 处时，此时中点M 为1BB 中点，若D 、E 、F 分别为三条棱的中点，则点M 的轨迹为等边DEF △的中线， 设底面边长为x ，由底面面积可得：23344x =，解得1x =， 所以轨迹长度为32. 故选D.【名师点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意得两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.由图可知点M 的轨迹为线段，两个端点分别为1A C 和1BB 的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M 的轨迹. 17．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是AB 中点，点F 是11B C 中点，若正方体1111ABCD A B C D -的内切球与直线EF 交于点,G H ，且3GH =，点Q 是棱1BB 上一个动点，则1AQ D Q +的最小值为A ．6B ．310C ．622+D ．612+【答案】C【解析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，内切球球心为O ，由题意可得内切球半径2ar =，OE =OF =22a ，2221162EF EB BB B F a =++=， 取EF 中点P ，则2224OP OE EP a =-=，所以224cos 22a OP POG a OG ∠===， 所以π3,,32222a GOH OG a ∠====， 把平面11DD B B 与平面AA 1B 1B 展成一个平面，则A ，Q ，D 1共线时AQ +D 1Q 最小，最小值为： D 1A =()()()2222263232622a a a ++=++=+.本题选择C 选项.【名师点睛】首先确定内切球半径，然后结合几何关系将空间几何体在平面上展开，据此求解AQ +D 1Q 的最小值即可.(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点间的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．18．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图形的面积为__________． 【答案】4π 【解析】如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以tan 2OMMNO ON∠==，则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图形的面积为21ππ24S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为4π.【名师点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.19．已知正方形ABCD 的边长为22，将ABC △沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B −ACD ．若O 为AC 的中点，点M ，N 分别为DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =，则当三棱锥N −AMC 的体积取得最大值时，点N 到平面ACD 的距离为______.【答案】1【解析】由题意知，BO AC ⊥，而平面ABC ⊥平面ACD ，所以BO ⊥平面ACD ，易知BO ＝2，设BN x =，三棱锥N AMC -的高为NO ，则2NO x =-， 由三棱锥体积公式得21122=22(2)(1)3233N AMC V y x x x -=⨯⨯⨯-=--+， ∴x ＝1时，y max ＝23.此时，211NO =-=. 故本题正确答案为1.【名师点睛】本题主要考查函数的应用，考查求三棱锥的体积，根据实际问题列出函数表达式是解题的关键，属中档题.求解时，设BN x =，由几何关系可求得N AMC V -是关于x 的一元二次函数，从而根据求二次函数最值的方法求得结果.20．如图，在矩形ABCD 中，点,G H 分别在,AD CD 上，285AG GD DH DC ====，沿直线GH 将DGH △翻折成1D GH △，使二面角1D GH D --为直角，点,E F 分别在线段,AB CH 上，沿直线EF 将四边形EFCB 向上折起，使B 与1D 重合，则CF =_______.【答案】32【解析】可设CF x =，由题意得翻折后，B 与1D 重合，∴1BF D F =， ∵25AG GD DH ===8DC =，90D ∠=︒，∴82GH =，20DC =，12HC =， 如图所示：取GH 的中点O ，连接OF ，∵二面角1D GH D --为直角，11D H D G =，∴1D O GH ⊥，∴1D O ⊥平面ABCD ，在FHO △中，135OHF ∠=︒，12FH x =-，42OH =， 由余弦定理可得()()222222cos135321281232272OF OH FH OH FH x x x x =+-⋅⋅︒=+-+-=-+，∴2222211322723232304D F OF D O x x x x =+=-++=-+，∵22222216256BF BC CF x x =+=+=+，∴2232304256x x x -+=+， ∴3248x =，解得32x =，故答案为32. 【名师点睛】本题考查了二面角的平面角，面面垂直，点与面的距离，余弦定理，解三角形，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题.可设CF x =，由题意得翻折后，B 与1D 重合，可得1BF D F =，根据余弦定理，二面角的平面角，面面垂直构造关于x 的方程，解方程即可得到CF 的长.21．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误． 22．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>； 在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.23．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ， ∴3112312cm 3O EFGH V -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=，所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.24．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）【答案】26，21-【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长CB 与FE 的延长线交于点G ，延长BC 交正方体的棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE △为等腰直角三角形，22,2(21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+=+=， 12121x ∴==-+，即该半正多面体的棱长为21-．【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．25．【2017年高考全国I 卷理数】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 .。

2016高三数学小题狂做（20）理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、集合{}R 01x x A =∈<<，()(){}R 2110x x x B =∈-+>，则A B =（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1-C ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．()(),10,-∞-+∞2、sin 40cos 20sin130sin20+=（ ）A．-C ．12-D ．123、已知函数()3log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则127f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．18B ．8C ．19D ．94、由曲线2y x =，3y x =围成的封闭图形的面积为（ ）A ．112B ．14C ．13D ．7125、“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知等差数列{}n a 中，311a =-，65a =-，其前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．15- B ．63- C ．64- D ．65-7、若方程221x y p q +=-表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）A ．2212x y q p q +=+B ．2212x y q p p+=-+C ．2212x y p q q +=+D ．2212x y p q p+=-+8、在梯形CD AB 中，2DC AB =，1D DC 3M =，1C 3BN =B ，若λμAB =AM +AN ，则λμ+=（ ）A ．15B ．45C ．47D ．679、定义：设A ，B 为非空的数集，a ∈A ，b ∈B ，若a 是b 的函数且b 也是a 的函数，则称a 与b 是“和谐关系”．如等式2b a =，[)0,a ∈+∞中a 与b 是“和谐关系”．则下列等式中a 与b 为“和谐关系”的是（ ）A ．sin a b a =，0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．325212b a a a =+++，22,3a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ C ．()2221a b -+=，[]1,2a ∈ D ．1a b +=，[]1,1a ∈-10、已知某几何体的三视图（单位：cm ），如图所示，则此几何体的外接球的体积为（ ） A ．9π3cm B ．36π3cmC ．643π3cm D ．92π3cm 11、设矩形CD AB （D AB >A ）的周长为24，把C ∆AB 沿C A 向DC ∆A 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ．当AB 为何值时D ∆A P 面积最大（ ）A ．6B ．7C ．62D ．7212、已知函数()314f x x ax =++，()ln g x x =-．用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，设函数()()(){}max ,h x f x g x =（0x >）有零点，则a 的取值范围为（ ）A ．54a <-B ．54a ≤-C ．34a ≥-D ．5344a -<<- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、若x ，y 满足5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，且35z x y =+，则z 的最大值为 ．14、若1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则122a e e =+，1232b e e =-+的夹角为 ． 15、学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有15改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有310改选A 种菜．用n a 、n b 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数，如果10300a =，则1a = ．16、抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知点P 是抛物线22y px =（0p >）过焦点F 的弦AB 在两端点处的切线的交点．下列关于阿基米德三角形的判断正确的是： ．①PA ⊥PB ；②点P 在抛物线的准线上；③F P ⊥AB ；④∆PAB 的面积的最小值为212p ．2016高三理科数学小题狂做（20）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）13、17 14、120 15、300 16、①②③。

高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔 〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔 〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种； 〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种； 〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔 〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称 解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。