材料力学3-第三章

第三章扭转目录第三章扭转 (3)§3－1 扭转的概念 (3)一、定义 (3)二、基本概念 (3)三、实例 (3)§3－2 外力偶矩计算、扭矩和扭矩图 (5)一、外力偶矩计算 (5)二、扭矩和扭矩图 (6)§3－3 纯剪切 (8)一、薄壁圆筒扭转时的剪应力 (8)二、剪应力互等定理 (9)三、剪应变、剪切胡克定律 (9)§3－4 圆轴扭转时的应力 (10)一、圆轴扭转时的应力计算公式 (10)二、极惯性矩计算 (11)三、圆轴扭转强度条件 (12)§3－5 圆周扭转时的变形 (13)一、相邻截面扭转角计算公式 (13)第三章扭转§3－1 扭转的概念一、定义在杆两端作用两大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶，使杆的任意两个截面发生绕轴的相对转动。

杆件的这种变形形式称为扭转。

二、基本概念轴：工程中一般将发生扭转变形的直杆称为轴扭转角：扭转时杆的任意两个横截面的相对角位移三、实例搅拌机轴、汽车传动轴等1、螺丝刀杆工作时受扭2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭3、机器中的传动轴工作时受扭。

§3－2 外力偶矩计算、扭矩和扭矩图一、 外力偶矩计算在工程实际中，作用于轴上的外力偶矩往往上未知的，已知的往往是轴的转速以及轴上各轮所传送的功率。

以下图所示的齿轮轴简图为例，主动轮B 的输入功率经轴的传递，由从动轮A 、C 输出给其它构件。

1. 外力偶矩与功率、角速度关系e P M ϖ=2. 外力偶矩与功率、转速关系()()()()r/min 7024r/min kW 9549n P n P m 马力== (1马力=735.5N •m/s) 二、扭转杆件的内力——扭矩和扭矩图1、扭转杆件的内力（截面法）由平衡方程0M T =∑，e e M M 0M -M T T ==得，T M 称为截面m-m 上的扭矩。

按右手螺旋法则把T M 表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线的方向一致时，T M 为正；反之，为负。

2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。

右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。

T以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩，绘成的图形称为扭矩图。

3、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形 扭矩图作法：同轴力图例题：一传动轴如图a)所示，主动轮A 输入功率22kW P A =,从动轮B 、C 输出功率分别为kW 2.7P 14.8kW,P C B ==,轴的转速为300r/m in n =。

试求横截面上的扭矩，并画出扭矩图解：1、计算作用于各轮上的外力扭m N 700m N 3002295499549M eA ⋅=⋅⨯==n P Am N 4713008.1495499549M eB ⋅=⨯==n P Am N 2293002.795499549M eC ⋅=⨯==n P A2、用截面法计算各段内的扭矩CA 段：0M x =∑，0M M T1=+eC ,m N 229M M T1⋅-=-=eC 负号说明实际扭矩方向与假设的正扭矩相反。

a)AB 段：m N 471M M M T2⋅=-=eC eA从图中可以看出，最大扭矩在AB 段内，且m 471N M Tm ax ⋅=§3－3 纯剪切一、薄壁圆筒扭转时的剪应力1. 实验取一薄壁圆筒，加载前在表面画一系列圆周线和纵向线，然后加上一对转向相反的扭转力偶。

当圆筒产生不大的扭转角ϕ，可观察到得现象：M 2294712、变形规律（1）各圆周线的形状、大小和它们之间的距离都没有变化，只是绕轴线相对转到了不同的角度，使图中矩形两侧对边发生相对错动；（2）各纵向线倾斜了同一个微小角度γ，纵向线之间的距离没有改变。

3、 现象表明薄壁圆筒扭转后其横截面上没有正应力σ，只有切应力τ。

由于筒壁δ很小，可以认为沿筒壁厚度的各点处切应力是均匀分布的。

如果在横截面上取一微面积dA,则作用在其上的微内力为dA τ,所有微内力对x 轴的力矩应为r r δτπ2，其中r 为圆筒的平均半径。

4、切应力的计算公（薄壁圆筒横截面上的切应力计算）.AT dA r r td r t T r tπττατπτπ====⎰⎰22200002022二、剪应力互等定理在相互垂直的两个平面上，切应力必定成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线，称剪应力互等定理。

当所研究的单元体的侧面上只有切应力而无正应力作用，单元体的这种应力状态也称为纯剪切应力状态 三、剪应变、剪切胡克定律 1. 试验通过低碳钢薄壁圆筒的扭转实验，可以得出材料在纯剪切力τ与切应变γ之间的关系，实验结果表明：当切应力不超过材料的切应力比例极限P τ时，切应变γ与切应力成正比，这就是剪切胡克定律:γτG =.2. E G 、、μ之间的关系tτ()μ+=12EG§3－4 圆轴扭转时的应力一、圆轴扭转时的应力计算公式1. 变形几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律在扭转力矩作用下，当圆轴转动一个不大的角度时，观察到的表面现象与薄壁圆筒受扭转时的现象完全一样。

（1）各圆周线的形状、大小和相邻圆周线间的距离都没有变化，只是绕轴线相对地旋转到了一个角度（2）各纵向线倾斜了同一个微小角度，变形前表面上的矩形方格，变形后错动为平行四边形。

（3）圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。

dxd ϕργρ=该式表明横截面上沿径向任意点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比。

2. 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律取楔形体O 1O 2ABCD为研究对象微段扭转变形d ϕD’max PG G d G dxρρρτττγτγφτρ≤=→== 3. 静力关系M T AdA ρρτ=⎰二、极惯性矩计算1. 计算公式⎰=AP dA I 2ρρρρτI MT = ρτI M T m a x R = PW M Tm a x =τ 抗扭转截面系数R W P ρI =2. 圆形截面极惯性矩计算（1）实心圆轴32242032D d dA I D A P πρπρρ===⎰⎰ 16D R I W 3PP π==z（2）空心圆轴)1(32)(32244442232αππρπρρ-=-===⎰⎰D d D d dA I D d A P())1(16-D 16R I W 4344P P αππ-===D d 三、圆轴扭转强度条件[]τρτρ≤P I M T ＝对于等截面杆， []ττ≤PT W M max max ＝ 例题：某汽车的主传动轴AB ，由45钢的无缝钢管制成，如图，其外径D=90mm ，壁厚2.5mm 。

在使用时最大力偶矩m kN 8.1⋅=e W 。

已知材料的[]MPa 65=a τ，试校核该轴的强度。

如果汽车主传动轴AB 改用实心轴，在保证轴的最大应力不变的条件下，试确定实心圆轴的直径1D ，并比较空心轴和实心轴的重量。

解：1.计算AB 轴的抗扭截面系数3343343P mm 1029)945.01(16mm 90)1(16W ⨯=-⨯=-=παπD2.校核轴的强度[]ττ≤=⨯⨯⋅⨯=-MPa 1.62m 101029m N 108.13933max max P T W M ＝，所以该轴强度足够 3．在保证MPa 1.62=τ条件下，设实心圆轴的直22为1D ，MPa 1.6216D m N 108.1313max max =⋅⨯=πτP T W M ＝, 解得：mm 530.053m D 1== 4.在两轴长度相等、材料相同的情况下，实心轴与空心轴的重量之比等于其横截面面积之比，即2.3859053)d -(D 4D 4A A 2222221=-==ππ空心实心 可见，在同等受载情况下，实心轴的重量超过空心轴，空心轴的材料消耗少。

注意，若将空心轴沿轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低，所以工程中的扭转构件要避免空心轴纵向开口。

§3－5 圆周扭转时的变形一、相邻截面扭转角计算公式⎰=l Pdx GI T 0ϕ P GI 反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。

P GI 越大，扭转变形ϕ愈小。

圆轴扭转刚度度计算[]⎰≤⋅=l P dx GI T 0180θπφ 例题：某机器的转动轴如图所示，转速300r/min ，主动轮的功率kW 3671＝N ，三个从动轮的功率kW 11021=N N ＝，kW 1474=N 。

试设计轴的直径。

已知[][]G Pa 80/m 3.0MPa 40=G ，＝，＝ θτ。

二、 圆轴扭转破坏分析1. 塑料的扭转失效2. 脆性材料的扭转失效。