等腰三角形、角平分线、中垂线
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等腰三角形、角平分线、中垂线
一、角平分线、中垂线
例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ∆的周长为28，
BC=8，则BCE ∆的周长为 ．
例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF
例3 如图，在ABC ∆中， 108=∠A ，AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD
例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的
垂直平分线．
例5 如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠3，
21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD
训练一下：
A
E F
B
D
C
1．如图，在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1cm ，则AC= cm.
2．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF
3．如图，在ABC ∆中，AB=AC ， 36=∠A ，21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．求证：AB=CF
4．如图，ABC ∆中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．求证：AC ⊥CD
5．如图，在ABC ∆中， 90=∠ABC ，
60=∠ACB ，
BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF
二、等腰三角形、等边三角形
（1）求角的度数
例1、如图所示,已知AB=AC, D 、E 分别在AC 和AB 上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A 的度数.
（2）证明角相等
例、已知：如图，AB=AD ，∠B=∠D 。
求证：AC 平分∠BCD 。
（3）证明线段相等
例、如图所示,已知△ABC 和△CDE 是等边三角形 求证:BD=AE
A
B
C
D
A
B
F
E G
C
D
H A
B
C
D
E
（4）证明问题
例、如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC ，D 为DC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．
训练一下：
1、如图，A 、B 、C 三点在同一直线上，分别以AB 、BC 为边，在直线AC 的同侧作等边△ABD 和等边△BCE 。
连结AE 交BD 于M ，连结CD 交BE 于N ，连结MN 得△BMN ，试判断△BMN 的形状？为什么？
2、如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，连接AF.试判断∠B 与∠CAF 的大小关系，并说明理由.
3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在AB 上，点D 在AC 的延长线上，且CD ＝EB ，ED 交BC 于M.求证：EM ＝DM.
A
B C D
E
N
M
E
D
C
B
A
E
M
D
C
B
A
E
F
C
D B
A
4、 如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE
交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．
5、如图，已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的
距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．
在图（1）中， 点P 是边BC 的中点，此时h 3=0，可得结论：h h h h =++321． 在图（2）--（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外． （1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论） （2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS 是等腰梯形，∠B =∠C =60o
， RS =n ，BC =m ，点P 在梯形内，且点P 到四边BR 、RS 、SC 、CB 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，桥形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
F
A
B C
D
E P M A
B
C D
E
P
M
(3)
A
B
C
D
E P
M
(2)
A
B C
D
E
()
(1)
A
B
C
D E P
M
(5)
作业：
1．如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B ，B ′分别在边AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB ′，那么该条件可以是 ． （1）B B ′⊥ （2）BC= B ′C （3）ACB ∠=AC ∠ B ′ （4）ABC ∠=∠A B ′C 2．在ABC ∆中，E 为BC 中点，BC DE ⊥交AB 于点D ，
若
25=∠B ，AD=CD ，则 25=∠B ，AD=CD ，则
ADC ∠ ，ACB ∠= ．
3．在ABC ∆中，AB=AC ，DE 是AB 边的中垂线，垂足为E ，交AC 于D ．若BDC ∆的周长为24，AB=14，则BC= ；若 40=∠A ，则DBC ∠= ．
4．在ABC ∆中， 120=∠BAC ．PM 为AB 边的中垂线，垂足为M ，交BC 于P ；QN 为
AC 边的中垂线，垂足为N ，交BC 于Q ，则PAQ ∠= ，若BC=9cm ，则APQ ∆的周长为 cm.
5．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知 100=∠BDC ．则A ∠的度数
为 ．
6．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ∆的周长为 ．
7.已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AC ＝DF ，BF ＝CE 。
求证：GF ＝GC 。
培优一下：
等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．
1．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAE ＝30°，则∠DEC 等于（ ）．
A ．7．5°
B ．10°
C ．12.5°
D ．18°
2．如图，AA ′、BB ′分别是△ABC 的外角∠EAB 和∠CBD 的平分线，且AA ′＝AB ＝B ′B ，A ′、B 、C 在一直线上，则∠ACB 的度数是多少？
3．如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°．D 是AB 边上的点，且AD ＝BC ，连结CD ，则∠BDC ＝________．
4. 如图，D 是等边三角形ABC 的AB 边延长线上一点，E 是等边三角形ABC 的AC 边延长线上一点，且EB ＝ED ．那么CE 与AD 相等吗？试说明理由．
练习
1．已知如图，在△ABC中，AB＝CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED•的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？
2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC ＝∠DCA＝15°，则BD与BA的大小关系是（）
A．BD>BA B．BD<BA C．BD＝BA D．无法确定
3．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？
4．已知：如图，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，•使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN是等边三角形吗？为什么？
5．已知：如图，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD＝AE，作等
边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF
⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？
7．已知：如图，△ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．
8．已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，说明CE与AC+CD相等的理由．。
